Roberval y Pascal mejoraron la base racional del Método de los Indivisibles, al considerar un área compuesta por un número indefinido de rectángulos en lugar de líneas, y un sólido compuesto por sólidos infinitamente pequeños en lugar de superficies.
Roberval aplicó el método al cálculo de áreas, volúmenes y centros de gravedad. Efectuó la cuadratura de una parábola de cualquier grado , y también de la parábola . Ya hemos mencionado su cuadratura de la cicloide.
Roberval es más conocido por su método para trazar tangentes. Fue el primero en aplicar el movimiento a la resolución de este importante problema. Su método está emparentado con el principio de las fluxiones de Newton.
Arquímedes concibió su espiral como generada por un doble movimiento. Esta idea la extendió Roberval a todas las curvas. Las curvas planas, como por ejemplo las secciones cónicas, pueden ser generadas por un punto sobre el que actúan dos fuerzas, y son la resultante de dos movimientos.
Si en cualquier punto de la curva la resultante es descompuesta en sus componentes, entonces la diagonal del paralelogramo determinado por ellas es la tangente a la curva en ese punto. La mayor dificultad relacionada con este ingenioso método consistía en descomponer la resultante en componentes que tuvieran las longitudes y direcciones adecuadas.
Roberval no siempre logró hacer esto, pero aun así su nueva idea supuso un gran avance. Se desmarcó de la antigua definición de tangente como una línea recta que solo tiene un punto en común con una curva, una definición que no es válida para curvas de grados superiores, ni apta siquiera en las curvas de segundo grado para revelar las propiedades de las tangentes y el papel que pueden desempeñar en la generación de las curvas.
El tema de las tangentes recibió especial atención también por parte de Fermat,
Descartes y Barrow, y alcanzó su más alto desarrollo tras la invención del cálculo diferencial.
Fermat y Descartes definieron las tangentes como secantes cuyos dos puntos de intersección con la curva coinciden; Barrow consideró que una curva era un polígono, y llamó tangente a uno de sus lados prolongados.
Un erudito profundo en todas las ramas del saber y un matemático de facultades excepcionales fue Pierre de Fermat (1601–1665). Estudió derecho en Toulouse y, en 1631, fue nombrado consejero del parlamento de Toulouse. Su tiempo libre lo dedicaba principalmente a las matemáticas, que estudiaba con una pasión irresistible. A diferencia de Descartes y Pascal, llevó una vida tranquila y poco combativa. Fermat dejó la impronta de su genio en todas las ramas de las matemáticas conocidas en su época. Una gran contribución a la geometría fue su De maximis et minimis. Aproximadamente