§ 1. Hay un término de frecuente aparición en los tratados de Probabilidad, y que ya hemos tenido ocasión reiterada de emplear, a saber:[ TN: space] la designación aleatorio aplicada a un evento, como en la expresión «una distribución aleatoria». La concepción científica implícita en el uso correcto de este término no es, a mi entender, sino la de orden colectivo e irregularidad individual (o aparente irregularidad), que ya ha sido descrita en los capítulos precedentes. Una breve discusión sobre los requisitos de esta concepción científica, y en particular sobre la naturaleza y algunas de las razones de la desviación respecto de la concepción popular, puede servir para esclarecer algunas de las principales dificultades restantes que acompañan a esta parte de nuestro tema.

El significado original,[1] y todavía popular, del término difiere por supuesto ampliamente del científico. Lo que este busca es el origen, no los resultados, de la ejecución aleatoria, y se refiere más a la acción individual que a un grupo o serie de acciones.

Así, cuando un hombre tiende un arco «a la ventura» o «al azar», solo pretendemos señalar el carácter sin rumbo de la acción; lo estamos contrastando con la intención definida de dar en un blanco determinado. Pero no es menos cierto, como ya se ha señalado, que solo podemos aplicar procesos de inferencia a ejecuciones de este tipo cuando las consideramos capaces de una repetición frecuente, o más bien indefinidamente prolongada.

Comencemos con una ilustración. Quizás el mejor ejemplo típico que podamos dar del significado científico de distribución aleatoria sea el que ofrece la disposición de las gotas de lluvia en un chubasco.

Nadie puede adivinar en qué lugar exacto caerá una gota en un momento dado, pero sabemos que si sacamos una hoja de papel, esta se irá manchando gradualmente de forma uniforme; y que si trazáramos dos áreas iguales cualesquiera sobre el papel, estas tenderían gradualmente a ser golpeadas con la misma frecuencia.

§ 2. I. Todo intento de extraer inferencias a partir de la hipótesis de una disposición aleatoria debe postular la aparición de este estado de cosas particular en alguna fase u otra. Pero a menudo existe una dificultad considerable, que a veces conduce a cierta arbitrariedad, al decidir la fase concreta en la que debe introducirse.

(1) Así, en muchos de los problemas discutidos por los matemáticos, miramos tan enteramente los resultados obtenidos, y pensamos tan poco en el proceso real mediante el cual se obtienen, como cuando observamos la disposición de las gotas de lluvia. Un ejemplo sencillo de este tipo sería el siguiente. Un peón, cuyo diámetro de base es una pulgada, se coloca al azar en un tablero de ajedrez, cuyo diámetro de las casillas es de una pulgada y cuarto: hállese la probabilidad de que su base quede sobre una de las líneas de intersección. Aquí podemos imaginar los peones como si, por decirlo así, llovieran verticalmente sobre el tablero,

y la cuestión consiste en hallar la proporción última de aquellos que cruzan una línea limítrofe respecto al total de los que caen. El problema se convierte, por tanto, en uno meramente geométrico, a saber,[** TN: space] determinar la razón de cierta área del tablero respecto al área total. La determinación de esta razón es lo único que el matemático toma jamás en consideración.

Ahora tomemos lo siguiente: Una varilla recta y quebradiza se rompe al azar en dos partes: halla la probabilidad de que las piezas puedan formar un triángulo.[2]

Dado que la única condición para formar un triángulo con tres líneas rectas es que cada dos de ellas sean mayores que la tercera, el problema parece implicar la misma concepción general que en el caso anterior. Debemos concebir tales varillas rompiéndose en un par de puntos tras otro —nadie puede decir con precisión dónde—, pero mostrando la misma tendencia última a distribuir estos puntos de manera uniforme por toda la longitud. Como en el último caso, el matemático no piensa en otra cosa que en este resultado final, y no presta atención al proceso mediante el cual puede llevarse a cabo. En consecuencia, el problema se reduce de nuevo a uno de mensuración, aunque de carácter algo más complicado.

§ 3. (2) En otra clase de casos tenemos que contemplar un proceso intermedio más bien que un resultado final; pero aquí hay que introducir la misma concepción, aunque ahora se aplique a la etapa anterior y, en consecuencia, por lo general no se aplique a la última.

Por ejemplo: se dispara un tiro al azar desde un arma cuyo alcance máximo (es decir,[** TN: espacio] a 45° de elevación) es de 3000 yardas: ¿cuál es la probabilidad de que el alcance real supere las 2000 yardas? Se suele suponer que la distribución en última instancia uniforme (o aleatoria) aquí se aplica a las diversas direcciones en las que se puede apuntar el arma; estando todas las direcciones posibles por encima del plano horizontal igualmente representadas a la larga. Tenemos, por tanto, que contemplar una superficie de distribución uniforme, pero será la superficie, no del suelo, sino de un hemisferio cuyo centro está ocupado por el hombre que dispara. La distribución final de las balas en los puntos donde impactan en el suelo no será uniforme. El problema consiste, de hecho, en descubrir la ley de variación de la densidad de distribución.

Lo anterior es, supongo, el tratamiento adoptado por lo general para resolver un problema de este tipo. Pero no parece haber una necesidad absoluta de una elección tan particular. Es indudablemente admisible que cualquiera sostenga[3] que su concepción de la aleatoriedad de los disparos se define al afirmar que es probable que un hombre comience orientándose hacia cualquier punto de la brújula de manera indiferente, para luego proceder a elevar su arma a cualquier ángulo también de manera indiferente.

La etapa de la distribución en última instancia uniforme ha retrocedido aquí un paso más. No se asigna directamente a la superficie de un hemisferio imaginario, sino a las líneas de altitud y azimut trazadas en dicha superficie. En consecuencia, la distribución sobre el propio hemisferio ya no será uniforme —habrá una concentración comparativa hacia el polo— y la distribución final sobre el terreno no será la misma que antes.

§ 4. Dificultades de esta índole, derivadas de la incertidumbre sobre qué etapa debe seleccionarse como la de distribución uniforme, se presentarán ocasionalmente.

Por ejemplo: tómese un libro al azar de una estantería; ¿cuál es la probabilidad de dar con un volumen determinado? Apenas sé cómo se trataría comúnmente esta pregunta.

Si situáramos a nuestro hombre frente al centro del estante y preguntáramos qué ocurriría generalmente en la práctica, suponiéndolo con los ojos vendados, no puede caber mucha duda de que los volúmenes no se seleccionarían con igual frecuencia. Por el contrario, es probable que hubiera una tendencia a una mayor frecuencia alrededor de un centro indicado por la altura de su hombro y (a menos que sea zurdo) un tanto a la derecha del punto exactamente opuesto a su punto de partida.

Si la cuestión fuera una que realmente valiera la pena desarrollar en estos términos, se nos llevaría muy lejos. Del mismo modo que imaginamos la posición de nuestro tirador (en la segunda suposición) determinada por dos coordenadas independientes de supuesta continuidad e igual facilidad, así podríamos concebir que intentamos analizar los movimientos del hombre descomponiéndolos en un cierto número de constituyentes independientes. Podríamos suponer que todas las direcciones posibles desde su punto de partida, a lo largo del suelo, son igualmente probables; y que, cuando llega a los estantes, el movimiento aleatorio de su mano ha de ser regulado a la manera de un disparo efectuado al azar.

Lo anterior sería una manera de plantear la formulación del problema. Pero el lector comprenderá que todo lo que aquí me propongo sostener es que en estos, como en cualquier caso similar, siempre nos tropezamos, bajo esta concepción de «aleatoriedad», en alguna etapa u otra, con este postulado de uniformidad última de distribución sobre alguna magnitud asignada: ya sea el tiempo; o el espacio, lineal, superficial o sólido. Pero la selección de la etapa en la que esto ha de aplicarse puede dar lugar a una dificultad considerable, e incluso a una arbitrariedad de elección.

§ 5. Hace algunos años se sostuvo una discusión muy interesante sobre este tema en la sección matemática del Educational Times (véase, en especial, el vol. VII). Como no pocas veces ocurre en las matemáticas, hubo un acuerdo casi

total entre los distintos autores en cuanto a las hipótesis que debían hacerse en la práctica en cualquier caso particular y, por tanto, en cuanto a la conclusión que debía extraerse, combinado con una cantidad muy considerable de discrepancias en cuanto a los axiomas y las definiciones que debían emplearse. Así, el Sr. M. W. Crofton, con el acuerdo sustancial del Sr. Woolhouse, estableció sin vacilar que «al azar» tiene «un significado muy claro y preciso; uno que no se puede expresar mejor que con la definición del Sr. Wilson, “según ninguna ley”; y solo en este sentido pretendo usarlo». Según cualquier interpretación científica de la «ley», yo habría dicho que donde no hay ley no puede haber inferencia. Pero la tendencia última hacia la igualdad de distribución es dada por sentada tanto por el Sr. Crofton como por cualquier otro; de hecho, él deduce esto de su definición: «Como este sistema infinito de paralelas se traza según ninguna ley, están tan densamente dispuestas a lo largo de cualquier parte de la perpendicular [común] como a lo largo de cualquier otra» (VII, p. 85). El Sr. Crofton sostiene que cualquier tipo de distribución desigual implicaría ley: «Si los puntos [en un plano] tendieran a volverse más densos en alguna parte del plano que en otra, debe haber alguna ley que los atraiga allí» (ibíd., p. 84). El mismo punto de vista se refuerza en su artículo sobre Probabilidad local (en las Phil. Trans., vol. 158). Ciertamente, si tienden a volverse igualmente densos, esto es exactamente un caso de regularidad o ley.

Puede señalarse que, siempre que de una debida garantía de la aleatoriedad deseada dependan consecuencias prácticas graves, se procura siempre ingeniárselas de tal modo que ningún designio, torpeza o parcialidad inconsciente altere el resultado.

El principal caso al respecto lo ofrecen, por supuesto, los juegos de azar. Lo que pretendemos al lanzar un dado es garantizar que todos los números del 1 al 6 estén representados con la misma frecuencia a la larga, pero que ninguna persona pueda predecir su aparición individual.

Al plantear un problema, podríamos postular con la misma facilidad «un número pensado al azar» que «un disparo efectuado al azar», pero nadie jugaría sus posibilidades de ganancia y pérdida sobre la suposición de que esto se haría con imparcialidad continua.

En consecuencia, construimos un dado cuyas caras son exactamente iguales, y se observa que podemos hacer casi lo que queramos con este, en cualquier fase previa a su salida del cubilete sobre la mesa, sin interferir en la naturaleza aleatoria del resultado.

§ 6. II. Otra característica en la que la concepción científica me parece apartarse de la significación popular o original es la siguiente. El área de distribución que tenemos en cuenta debe ser finita o limitada. La necesidad de esta restricción puede no ser obvia a primera vista, pero la consideración de uno o dos ejemplos servirá para indicar el punto en el que se hace sentir. Supongamos que a uno le pidieran elegir un número al azar, no de un rango finito, sino de las inexhaustibles posibilidades de la numeración. En el sentido popular del término,—es decir, de pronunciar un número sin detenerse a elegir—, no hay dificultad. Pero un momento de reflexión mostrará que ninguna disposición que tienda siquiera hacia una distribución en última instancia uniforme puede garantizarse de este modo. Ningún promedio podría establecerse con una firmeza cada vez mayor. Lo mismo ocurre con el infinito espacial. Podemos hablar racionalmente de elegir un punto al azar en una línea recta, área o volumen dados. Pero si suponemos que la línea no tiene fin, o que la selección se realiza en el espacio infinito, la base de la tendencia última hacia lo que puede llamarse el depósito igualmente denso de nuestros puntos aleatorios nos falla por completo.

Del mismo modo, en cualquier otro ejemplo en el que una de las magnitudes sea ilimitada. Supongamos que arrojo un bastón al azar en un plano horizontal contra una hilera de rejas de hierro y pregunto por la probabilidad de que pase a través de ellas sin tocarlas. El problema guarda cierta analogía con el de las piezas de ajedrez, y en lo que respecta al movimiento de traslación del bastón (si empezamos por este), no presenta ninguna dificultad. Pero en cuanto a la rotación, la situación es distinta. Para cualquier velocidad lineal asignada hay una cierta velocidad angular por debajo de la cual el bastón puede pasar sin contacto, pero por encima de la cual no puede hacerlo. Y dado que el primer rango es limitado y el segundo ilimitado, nos encontramos con la misma imposibilidad que antes al intentar concebir una distribución uniforme. Por supuesto, podríamos eludir esta dificultad en particular comenzando con una estimación de la velocidad angular, momento en el cual tendríamos que repetir lo que acaba de decirse, mutatis mutandis, con respecto a la velocidad lineal.

§ 7. Soy por supuesto consciente de que hay una variedad de problemas actuales que parecen entrar en conflicto con lo que acaba de decirse, pero todos ellos se prestarán a una explicación. Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que tres líneas rectas, tomadas o trazadas al azar, sean de longitudes tales que permitan formar un triángulo?

Hay dos formas en las que podemos considerar el problema. Por un lado, podemos partir del supuesto de tres líneas no mayores que cierta longitud n, y luego determinar hacia qué límite tiende la probabilidad a medida que n aumenta sin cesar.

O bien, podemos sostener que la cuestión es meramente de proporción relativa de las tres líneas. Podemos entonces partir de cualquier magnitud que nos plazca para representar una de las líneas (por simplicidad, digamos, la mayor de ellas), y considerar que todas las formas posibles de un triángulo estarán representadas variando las longitudes de las otras dos.

En cualquiera de los dos casos obtenemos un resultado definido sin necesidad de intentar concebir ninguna selección aleatoria a partir del infinito de las longitudes posibles.

Así pues, en lo que se denomina el «problema de los tres puntos»: se seleccionan al azar tres puntos en el espacio; hallar la probabilidad de que formen un triángulo acutángulo. Lo que se hace es partir de un volumen cerrado —digamos una esfera, por su mayor simplicidad—, hallar la probabilidad (bajo el supuesto de una distribución uniforme dentro de este volumen); y luego concebir la ampliación continua e indefinida de esta esfera. Así considerado, el problema es perfectamente coherente e inteligible, aunque no alcanzo a ver por qué debería denominarse una selección al azar en el espacio en lugar de en una esfera. Por supuesto, si partiéramos de un volumen diferente, digamos un cubo, obtendríamos un resultado distinto; y por ello se sostiene (p. ej.[ TN: espacio] por el Sr. Crofton en el Educational Times, como ya se ha mencionado) que el espacio infinito debe considerarse de manera más natural y apropiada como el límite hacia el que tiende la ampliación de una esfera que la de un cubo o cualquier otra figura.

Nuevamente: se toma un grupo de enteros al azar; demuéstrese que el número así tomado tiene más probabilidades de ser impar que par.

Lo que hacemos al responder a esto es comenzar con cualquier número finito n, y demostrar que de todas las combinaciones posibles que pueden hacerse dentro de este rango hay más impares que pares. Puesto que esto es verdad independientemente de la magnitud de n, tendemos a hablar como si pudiéramos concebir que la selección se hace al azar de entre la verdadera infinidad contemplada en la numeración.

§ 8. Cuando estas condiciones no pueden garantizarse, me parece que el intento de asignar cualquier valor finito a la probabilidad fracasa. Por ejemplo, en el siguiente problema, propuesto por el Sr. J. M. Wilson: «Se trazan tres líneas rectas al azar en un plano infinito, y se traza una cuarta línea al azar de modo que las interseque: hállese la probabilidad de que pase a través del triángulo formado por las otras tres» (Ed.[ TN: space] Times, Reprint, Vol. V.[** TN: space] p. 82), él ofrece la siguiente

solución: «De las cuatro líneas, dos deben pasar y dos no deben pasar por el interior del triángulo formado por las tres restantes. Puesto que todas se trazan al azar, la probabilidad de que la última trazada pase a través del triángulo formado por las otras tres es por consiguiente ¹/₂».

Cito esta solución porque me parece que ilustra la dificultad a la que quiero llamar la atención.

Tal como está redactado el problema, se supone que un triángulo queda determinado por tres líneas rectas. Por muy grande que sea, su tamaño no guarda ninguna proporción finitaria en absoluto con el área infinitamente mayor que lo rodea; y, hasta donde puedo darle una interpretación comprensible a tal suposición, la probabilidad de trazar una cuarta línea aleatoria que resulte intersecar esta área finita debe calcularse como cero.

El problema que el Sr. Wilson ha resuelto me parece enteramente distinto, a saber:[** TN: space] «Dadas cuatro líneas rectas que se cortan, hallar la probabilidad de que seleccionemos, al azar, una que pase a través del triángulo formado por las otras tres».

La misma dificultad me parece surgir en la mayoría de los demás intentos de aplicar esta concepción de la aleatoriedad a la infinitud real. Lo siguiente parece ser un análogo exacto del problema anterior:—Se selecciona un número al azar, hállese la probabilidad de que otro número seleccionado al azar sea mayor que el primero;—la respuesta sin duda debe ser que la probabilidad es la unidad, es decir,[ TN: space] la certeza, porque el intervalo por encima de cualquier número asignado es infinitamente mayor que el que está por debajo de él. O, expresado en el único lenguaje en el que puedo entender el término «infinitud», lo que quiero decir es esto. Si el primer número es m y me limito a seleccionar hasta n (n > m), entonces la probabilidad de superar a m es n − m : n; si me limito a 2n, entonces es 2n − m : 2n y así sucesivamente. Esto es, por muy grandes que sean n y m, la expresión siempre es inteligible; pero, habiendo sido elegido m primero, n puede hacerse tan

grande en comparación con m como queramos: es decir,[** TN: space] la probabilidad puede hacerse aproximarse tanto a la unidad como queramos.

No puedo menos que pensar que hay una falacia semejante en el artículo admirablemente sugerente de De Morgan sobre el Infinito (Camb.[ TN: space] Phil.[ TN: space] Trans.[ TN: space] Vol. 11)[ TN: space] cuando discute el «problema de los tres puntos», es decir:[ TN: space] dados tres puntos tomados al azar, hallar la probabilidad de que formen un triángulo acutángulo. Todo lo que demuestra es que, si partimos de un lado como dado y consideramos las sucesivas posiciones posibles del vértice opuesto, hay infinitamente tantas posiciones de ese tipo que formarían un triángulo acutángulo como obtusángulo: pero, como antes, esto es resolver un problema diferente.

§ 9. La aproximación más cercana que puedo lograr hacia la verdadera aleatoriedad indefinida, o selección aleatoria a partir de una verdadera indefinición, es la siguiente. Supóngase un círculo con una línea tangente extendida indefinidamente en cada dirección. Ahora bien, desde el centro, trazanse radios al azar; en otras palabras, hágase que la semicircunferencia que se encuentra hacia la tangente sea intersecada de manera última y uniforme por los radios. Prodúzcanse entonces estos radios de modo que intersequen la línea tangente, y considérese la distribución de estos puntos de intersección. Obtendremos como resultado una característica de nuestra distribución aleatoria; es decir,[ TN: space] ninguna porción de esta tangente, por pequeña o por remota que sea, dejará de encontrarse a la larga en la posición de cualquier porción pequeña de la acera en nuestra supuesta lluvia continua. Es decir, cualquier fragmento elemental de ese tipo quedará cada vez más densamente punteado por los puntos de intersección. Pero la otra característica esencial, a saber,[ TN: space] la de una distribución última y uniforme, estará ausente. Habrá una forma especial de distribución —lo que de hecho tendrá que discutirse en un capítulo futuro bajo la denominación de «ley de errores»—, en virtud de la cual la concentración tenderá a ser mayor en un cierto punto (el de contacto con el círculo), y se irá atenuando desde aquí en cada dirección según una fórmula fácilmente calculable. La existencia de un estado de cosas como este se opone por completo a la concepción de la verdadera aleatoriedad.

§ 10. III. Aparte de las definiciones y de lo que de ellas se deriva, tal vez la pregunta más importante relacionada con la concepción de la aleatoriedad sea esta: ¿Cómo hemos de determinar, en un caso dado, si un arreglo observado debe considerarse aleatorio o no? Esta cuestión deberá discutirse más a fondo en un capítulo futuro, pero ya estamos en condiciones de vislumbrar la solución a algunas de las dificultades que entraña.

(1) Si se supone que los eventos u objetos bajo consideración han de continuar indefinidamente, o si sabemos lo suficiente acerca del modo en que se producen como para detectar su tendencia última —,o incluso, sin llegar a tanto, si son lo suficientemente numerosos como para superar la cuenta práctica—, no hay mayor dificultad. Nos enfrentamos simplemente a una cuestión de hecho, que debe resolverse como otras cuestiones de hecho.

En el caso de las gotas de lluvia, obsérvense dos cuadrados iguales de pavimento u otras superficies, y nótese si llegan a estar cada vez más densa, uniforme y regularmente salpicados: si es así, entonces la disposición es lo que llamamos aleatoria.

Si quiero saber si una pipa de tabaco se rompe realmente al azar y, por lo tanto, serviría como ilustración del problema propuesto unas páginas atrás, solo tengo que dejar caer un número suficiente de ellas y comprobar si las piezas de todas las longitudes posibles están igualmente representadas a la larga. O bien, puedo argumentar deductivamente, a partir de lo que sé sobre la resistencia de los materiales y la constitución molecular de dichos cuerpos, acerca de si es igualmente probable que se produzcan fracturas de piezas pequeñas y grandes.

§ 11. La atención del lector debe dirigirse cuidadosamente hacia una fuente de confusión aquí, surgida de cierta división cruzada.

Lo que ahora estamos discutiendo es una cuestión de hecho, a saber,[** TN: espacio] la naturaleza de cierto arreglo último; no estamos discutiendo el modo particular en que se lleva a cabo. En otras palabras, la antítesis se da entre lo que es y lo que no es aleatorio: no se da entre lo que es aleatorio y lo que está diseñado. Como veremos en unos momentos, es del todo posible que un arreglo que sea resultado —si es que alguna vez algo lo fue— del «diseño», presente sin embargo el sello inconfundible de la aleatoriedad en su disposición.

Consideremos un caso que se ha discutido mucho y al que volveremos más adelante: la disposición de las estrellas.

La cuestión aquí se complica bastante debido a que no sabemos nada acerca de las posiciones mutuas reales de las estrellas, pues todo lo que podemos percibir son sus lugares aparentes o visibles proyectados sobre la superficie de una supuesta esfera.

Apelando a lo único que así podemos observar, es obvio que la disposición, en su conjunto, no es de tipo aleatorio. La Vía Láctea y las demás nebulosas resolubles, tal como se nos presentan, son una infracción tan evidente de dicha disposición como lo sería la aparición aquí y allá de zonas de terreno en una lluvia que recibieran un número muchísimo mayor de gotas que los espacios que las rodean.

Si dejamos de lado estas áreas excepcionales y consideramos únicamente las estrellas visibles a simple vista o con un poder telescópico leve, parece igualmente seguro que la disposición es, en su mayor parte, una disposición aleatoria bastante representativa. Con esto no queremos decir otra cosa que el hecho de que, cuando delimitamos cualquier número de áreas iguales en la esfera visible, se descubre que contienen aproximadamente el mismo número de estrellas.

La disposición real de las estrellas en el espacio puede ser asimismo de la misma naturaleza: es decir, la acumulación aparentemente más densa puede ser solo aparente, debida al hecho de que estamos observando a través de regiones que no están más densamente ocupadas, sino que son meramente más extensas.

La alternativa que se nos presenta, de hecho, es la siguiente. Si todo el volumen, por decirlo así, de los cielos estrellados tiene una forma razonablemente regular, entonces la disposición de las estrellas no es de un orden aleatorio; si dicho volumen tiene una forma muy irregular, es posible que la distribución en su interior sea enteramente de ese orden.

§ 12. (2) When the arrangement in question includes but a comparatively small number of events or objects, it becomes much more difficult to determine whether or not it is to be designated a random one. In fact we have to shift our ground, and to decide not by what has been actually observed but by what we have reason to conclude would be observed if we could continue our observation much longer. This introduces what is called ‘Inverse Probability’, viz.[** TN: space] the determination of the nature of a cause from the nature of the observed effect; a question which will be fully discussed in a future chapter. But some introductory remarks may be conveniently made here.

Todo problema de Probabilidad, tal como se entiende aquí el tema, introduce la concepción de un límite último y, por lo tanto, presupone una posibilidad indefinida de repetición.

Cuando tenemos ante nosotros solo un número finito de ocurrencias, nos falta la evidencia directa del carácter de su disposición, y tenemos que recurrir a la naturaleza del agente que las produce. Y a medida que el número se hace menor, la confianza con la que podemos estimar la naturaleza del agente disminuye gradualmente.

Comencemos por un caso intermedio. Hay un pequeño césped, salpicado de margaritas: ¿es esta una disposición aleatoria?

Tenemos cierta confianza en que así es, a simple vista; queriendo decir con esto que (en negativo) no se puede discernir rastro alguno de un patrón regular y (en afirmativo) que si tomamos un área moderadamente pequeña, digamos una yarda cuadrada, encontraremos más o menos el mismo número de plantas en ella.

Pero podemos auxiliarnos recurriendo a la agencia de distribución conocida en este caso. Sabemos que la margarita se propaga por semilla, y considerando el efecto del viento y el barrido y la siega continuos del césped, podemos detectar causas en funcionamiento que son análogas a aquellas por las cuales se rigen el reparto de cartas y el lanzamiento de dados.

En el caso anterior, la apelación al proceso de producción fue subsidiaria, pero cuando pasamos a considerar la naturaleza de una sucesión o grupo muy pequeño, esta apelación cobra mucha mayor importancia.

Se nos habla de una cierta sucesión de «caras» y «cruces» hasta un número de diez. El margen aquí es demasiado pequeño para decidir, y a menos que se nos diga si el agente que las obtuvo estaba lanzando una moneda al aire o diseñando el resultado, somos totalmente incapaces de decir si la designación de «aleatorio» debe aplicarse o no al resultado obtenido.

Nunca debe olvidarse la verdad de que, aunque el «diseño» está destinado a fracasar a la larga si intenta producir directamente la apariencia de aleatoriedad,[4] sin embargo, durante un breve lapso de tiempo puede simularla a la perfección. Cualquier sucesión corta, digamos de caras y cruces, puede haber sido producida igualmente bien mediante el lanzamiento al aire o por elección deliberada.

§ 13. El lector observará que esta cuestión de la aleatoriedad se trata aquí simplemente como un puro hecho estadístico definitivo. He admitido plenamente que esta no es la concepción primitiva, ni tampoco es la interpretación popular, pero adoptarla parece ser el único camino abierto para nosotros si hemos de extraer inferencias como las contempladas en la Probabilidad.

Cuando examinamos el agente productor de la disposición última, podemos encontrar que este es muy variado. Puede resultar ser (unas pocas fases atrás) uno de propósito consciente y deliberado, como al sacar una carta o lanzar un dado; puede ser el resultado de una interacción extremadamente complicada de muchas causas naturales, como en la disposición de las flores esparcidas sobre un césped o prado; puede ser de un tipo del que no sabemos literalmente nada en absoluto, como en el caso de la disposición real de las estrellas las unas en relación con las otras.

Este era el estado de cosas que se tenía en vista cuando se dijo hace unas páginas que la aleatoriedad y el diseño darían como resultado una especie de división cruzada.

Se pueden mencionar abundantes disposiciones en las que el diseño tuvo participación, uno o dos grados atrás, que serían completamente indistinguibles en sus resultados de aquellas en las que no se pudiera rastrear diseño alguno.

Quizás el caso más llamativo al respecto se encuentre en la disposición de los dígitos en una de las constantes aritméticas naturales, como $\pi$ o e, o en una tabla de logaritmos.

Si nos fijamos en el proceso de producción de estos dígitos, no puede hallarse ejemplo más extremo de lo que entendemos por la antítesis de la aleatoritud:

cada cifra ocupa su posición necesariamente preordenada, y un momento de decaimiento en la intención frustraría todo el propósito del calculista.

Y sin embargo, si atendemos únicamente a los resultados, no puede encontrarse mejor ejemplo que una de estas filas de dígitos si pretendiera ilustrar lo que entendemos por la disposición casual de una serie de objetos de un modo práctico.

Cada dígito aparece aproximadamente con la misma frecuencia, y esta tendencia se desarrolla a medida que avanzamos: la yuxtaposición mutua de los dígitos también muestra la misma tendencia, es decir, a cualquier dígito (digamos el 5) le sigue tanto el 6 o el 7 como cualquiera de los demás.

De hecho, si tomáramos toda la fila de cifras calculadas hasta ahora, suprimiéramos las cinco primeras por resultarnos a todos familiares y contempláramos el resto, nadie tendría el menor motivo para suponer que estas no hubieran surgido como los resultados de un dado de diez caras iguales.

§ 14. Si se pregunta por qué ocurre esto, se plantea una cuestión bastante enigmática. Siempre que interviene la causalidad física, por lo general se entiende que hemos satisfecho la exigencia implícita en esta pregunta si asignamos antecedentes a los que siga regularmente el suceso que tenemos ante nosotros; pero en la geometría y en la aritmética no hay cabida para los antecedentes. Lo que entonces buscamos comúnmente es una demostración, es decir[** TN: space], la reducción del hecho observado a axiomas, de ser posible, o al menos a verdades admitidas de mayor generalidad. No sé si se puede ofrecer una demostración sobre la existencia de esta característica de aleatoriedad estadística en sucesiones de dígitos como las que estamos considerando. Pero las siguientes observaciones pueden servir para desplazar la carga de la improbabilidad al sugerir que el peso de la analogía favorece más bien dicha existencia.

Tomemos en consideración la conocida constante $\pi$. Esta representa una cantidad que se manifiesta en una gran variedad de relaciones aritméticas y geométricas; tomemos para su examen la más conocida de ellas, considerándola como representativa de la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Así considerada, no es más que un simple caso de la medición de una magnitud mediante una unidad seleccionada arbitrariamente. Concebida entonces la situación de que tuviéramos ante nosotros una varilla o línea y deseáramos medirla con absoluta precisión. Debemos suponer —si hemos de tener un análogo adecuado para la determinación de $\pi$ con varios cientos de cifras— que, mediante la aplicación de un poder de aumento continuamente mayor, podemos detectar subdivisiones cada vez más finas en la graduación. Colocamos nuestra varilla contra la escala y hallamos, por ejemplo, que cae entre 31 y 32 pulgadas; luego observamos la siguiente división de la escala, a saber,[** TN: space] la de décimas de pulgada. ¿Podemos ver la más mínima razón por la cual el número de estas décimas deba ser distinto e independiente del número de pulgadas enteras? El «pedazo sobrante» que estamos midiendo puede considerarse, de hecho, como un pedazo completamente nuevo, que cayera en nuestras manos después de que el de 31 pulgadas hubiera sido medido y descartado; y de manera similar con cada pedazo sobrante sucesivo, a medida que avanzamos hacia las divisiones cada vez más finas.

Observaciones similares pueden hacerse sobre la mayoría de las otras cantidades incomensurables, como las raíces irreducibles.

Imagínense dos líneas rectas en ángulo recto, y que medimos un cierto número de pulgadas a lo largo de cada una de ellas desde el punto de intersección; digamos dos y cinco pulgadas, y unimos los extremos de estas de modo que formemos la diagonal de un triángulo rectángulo. Si procedemos a medir esta diagonal en función de cualquiera de las otras líneas, estaremos, a todos los efectos prácticos, extrayendo una raíz cuadrada.

Deberíamos esperar, más bien al contrario, encontrar aquí, como en el caso de π, que la incomensurabilidad y el aparente desorden resultante en los dígitos eran la regla, y la conmensurabilidad, la excepción. De vez en cuando, como cuando los dos lados fueran tres y cuatro, hallaríamos que la diagonal es conmensurable con ellos; pero estas serían las excepciones ocasionales, o más bien las excepciones comparativamente finitas en medio de los casos indefinidamente numerosos que constituían la regla.

§ 15. La mejor manera tal vez de ilustrar el carácter verdaderamente aleatorio de una hilera de cifras de este tipo sea recurrir a la ayuda gráfica. No es fácil aquí, como tampoco en la estadística ordinaria, captar el significado de meras cifras; mientras que la disposición de grupos de puntos o líneas se comprende con mucha más rapidez. El ojo es muy rápido para detectar cualquier síntoma de regularidad en la disposición, o cualquier tendencia a una aglomeración más densa en una dirección que en otra.

¿Cómo debemos entonces disponer nuestras cifras de modo que las forcemos a mostrar su verdadero carácter? Yo sugeriría que nos propongamos trazar una línea al azar; y, puesto que no podemos confiar en nuestros propios esfuerzos desasistidos para hacer esto, que confiemos en la ayuda de tal tabla de cifras para que lo haga por nosotros, y examinemos luego con qué clase de eficacia pueden llevar a cabo la tarea.

El problema de trazar líneas rectas al azar, bajo diversas limitaciones de dirección o intersección, es bastante familiar, pero no me consta que nadie haya sugerido el trazo de una línea cuya forma, así como su posición, sean de un carácter puramente aleatorio. Para mayor simplicidad, suponemos que la línea está confinada a un plano.

La definición de tal línea no parece entrañar ninguna dificultad en particular. Expresada de acuerdo con el lenguaje ordinario, la describiríamos como la trayectoria (es decir,[** TN: espacio] cualquier trayectoria) trazada por un punto que en cada momento tiene las mismas probabilidades de moverse en una dirección cualquiera que en cualquier otra. Que nosotros mismos no podríamos trazar tal línea, y que no podríamos lograr que la trazara ningún agente físico, es seguro. La mera inercia de cualquier cuerpo en movimiento le conferirá siempre una tendencia, por leve que sea, a continuar en línea recta en cada momento, en lugar de responder instantáneamente a los dictados instantáneamente variables respecto a su dirección de movimiento. Tampoco podemos concebir ni imaginar tal línea en su estado último o ideal. Pero es fácil ofrecer una aproximación gráfica a ella, y es fácil también mostrar cómo esta aproximación puede prolongarse tanto como queramos hacia el ideal en cuestión.

Podemos proceder del siguiente modo. Tomemos una hoja del papel rayado ordinario preparado para la representación gráfica de curvas. Seleccionemos como punto de partida la intersección de dos de estas líneas y consideremos los ocho «puntos cardinales» indicados por estas líneas y las bisecciones de los ángulos rectos comprendidos.[5]

Para sugerir la selección aleatoria entre estas direcciones, numerémoslas del 0 al 7, y digamos que una línea medida estrictamente hacia el «norte» será designada por la cifra 0, el «noreste» por el 1, y así sucesivamente. La selección entre estos números, y por tanto entre las direcciones, en cada esquina, podría encomendarse a un dado de ocho caras; pero para el propósito de la ilustración que tenemos en vista, seleccionamos los dígitos del 0 al 7 tal como se presentan en el valor calculado de $\pi$. El tipo de trayectoria por el cual deberíamos avanzar mediante una serie de tales pasos dados así al azar puede concebirse fácilmente; se ofrece al final de este capítulo.

Para el propósito con el que se propuso esta ilustración, viz.[** TN: space] la representación gráfica de la sucesión de dígitos en cualquiera de las constantes inconmensurables de la aritmética o la geometría, lo anterior puede bastar. Tras comprobar efectivamente algunas de ellas de este modo, me parece, en la medida en que el ojo, o los principios teóricos que se mencionarán a continuación, sirvan de guía, que responden bastante bien a la descripción de aleatoriedad.

§ 16. Como estamos en el tema, sin embargo, parece oportuno ir más allá indagando cuán cerca podríamos llegar del ideal de aleatoriedad de dirección. Para llevar esto a cabo por completo, deben hacerse dos mejoras. Por un lado, en lugar de limitarnos a ocho direcciones, debemos admitir un número infinito. Esto no presentaría gran dificultad; pues en lugar de emplear un número pequeño de dígitos, tendríamos que usar simplemente algún tipo de perinola circular que descansara indiferentemente en cualquier dirección. Pero, en segundo lugar, en lugar de pasos finitos cortos, debemos suponerlos indefinidamente cortos. Es aquí donde se hace sentir la inalcanzabilidad real.

Estamos bastante familiarizados con el recurso, empleado por Newton, de pasar del polígono discontinuo a la curva continua. Pero podemos recurrir a este recurso porque el ideal, a saber,[** TN: space] la curva, se dibuja con tanta facilidad (y, me atrevería a decir, se concibe o imagina con tanta facilidad) como cualquiera de los pasos que nos conducen a ella. Pero en el caso que tenemos ante nosotros ocurre de otro modo. La línea en cuestión seguirá siendo discontinua, o más bien angulosa, hasta el final: pues sus ángulos no tienden siquiera a perder su agudeza, aunque los fragmentos que los componen aumenten en número y disminuyan en magnitud sin límite alguno. Y tal ideal no es concebible como un ideal.

Es como si tuviéramos un cuerpo rugoso bajo el microscopio, y descubriéramos que al someterlo a potencias cada vez mayores no había ninguna tendencia a que los ángulos se redondearan. Nuestra «línea aleatoria» debe seguir siendo tan «espinosa» como siempre, aunque el tamaño de sus espinas, por supuesto, disminuya sin límite alguno.

El caso, por tanto, parece ser este. Es fácil, en palabras, indicar la concepción hablando de una línea que en cada instante tiene la misma probabilidad de tomar una dirección que otra. Además, es fácil trazar tal línea con cualquier grado de minuciencia que decidamos exigir. Pero no es posible concebir o imaginar la línea en su forma última.[6]

No hay de hecho aquí ningún «límite», inteligible para el entendimiento o imaginable por la imaginación (que corresponda a la asíntota de una curva, o a la curva continua respecto al polígono que se desarrolla incessantemente), hacia el cual nos encontremos continuamente aproximándonos, y que por lo tanto tendamos a concebir como alcanzado en última instancia. El supuesto habitual, por lo tanto, que subyace a la geometría infinitesimal newtoniana y al cálculo diferencial, deja de aplicarse aquí.

§ 17. Si nos gusta considerar dicha línea en una de sus etapas aproximadas, como se indicó anteriormente, me parece que

algunos de los teoremas habituales de la Probabilidad, donde hay grandes números involucrados, pueden aplicarse sin riesgo. Si se pregunta, por ejemplo, si tal línea tenderá en última instancia a desviarse indefinidamente lejos de su punto de partida, se puede apelar a la «Ley de los Grandes Números» de Bernoulli, en virtud de la cual diríamos que era sumamente improbable que su divergencia fuese relativamente grande. Recurramos a nuestra ilustración gráfica y consideremos primero la desviación resultante del punto (tras una gran cantidad de pasos) a la derecha o a la izquierda de la línea vertical que pasa por el punto de partida. De los ocho movimientos admisibles en cada etapa, dos no afectarán esta posición relativa, mientras que los otros seis tienen la misma probabilidad de hacernos dar un paso a la derecha o a la izquierda. Nuestra «deriva» resultante, por tanto, hacia la derecha o hacia la izquierda será análoga a la diferencia resultante entre el número de caras y cruces tras un gran número de lanzamientos de una moneda. Ahora bien, el resultado bien conocido de tal número de lanzamientos es que, a la larga, la aproximación proporcional a la probabilidad à priori, es decir[ TN: space] a la igualdad de caras y cruces, se cumple cada vez más estrictamente, pero que la desviación absoluta se manifiesta de manera cada vez más amplia.

Aplicando esto al caso que nos ocupa, y recordando que los resultados se aplican por igual a las direcciones horizontal y vertical, deberíamos decir que, tras un número muy grande de tales «pasos» como los contemplados, la proporción entre nuestra distancia desde el punto de partida y la distancia total recorrida será con bastante certeza pequeña, mientras que la distancia real desde él sería grande.

También deberíamos decir que cuanto más tiempo continuáramos produciendo tal línea, más pronunciadas se harían estas tendencias.

En lo que concierne a esta prueba, y a la proporcionada por el aspecto general de las líneas trazadas —esta última, como se ha señalado anteriormente, siendo bastante confiable—, no albergo ninguna duda en cuanto al carácter generalmente «aleatorio» de las filas de cifras desplegadas por las proporciones inconmensurables o irracionales en cuestión.

Como puede interesar al lector ver un espécimen real de tal trayectoria, adjunto uno que representa la disposición de los ocho dígitos del 0 al 7 en el valor de π. Los datos provienen del asombroso trabajo del Sr. Shanks en el cálculo de esta constante hasta 707 cifras (Proc.[ TN: space] of R. S., XXI,[** TN: space] p. 319). De estas, tras omitir el 8 y el 9, quedan 568; el diagrama representa el curso trazado al seguir la dirección de estos como guía de nuestro camino. Muchos de los pasos se han dado, por supuesto, en direcciones opuestas dos o más veces. El resultado me parece que ofrece una indicación gráfica muy razonable de aleatoriedad. Lo he comparado con trayectorias correspondientes proporcionadas por filas de cifras tomadas de tablas logarítmicas, y de otras maneras, y encuentro que los resultados son muy similares.

1 Según el prof.[ TN: space] Skeat (Etymological Dictionary) el significado más antiguo conocido es el de acción furiosa, como en una carga de caballería. La etimología, según considera, está relacionada con la palabra teutónica rand (borde), e implica la acción furiosa e irregular de un río lleno hasta el borde.

2

Véase el problema del examen del 18 de enero de 1854 en los Cambridge Mathematical Tripos.

3 Como, según el Sr. H. Godfray, la mayoría de los candidatos efectivamente supusieron una vez que se propuso el problema en un examen. Véase el Educational Times (Reprint, Vol. VII.[** TN: space] p. 99.)

4

Vide p. 68.

5

Desde luego, sería más completo tomar diez alternativas de dirección y no omitir así ninguno de los dígitos; pero esto resulta mucho más laborioso en la práctica que limitarse a ocho.

6

Del mismo modo que no imaginamos la forma de una espiral equiangular en el centro.

# CAPÍTULO VI. [*]