§ 1. En el transcurso del capítulo anterior, la naturaleza de un tipo particular de serie —a saber, aquella que debe considerarse constitutiva de la base de la ciencia de la Probabilidad— ha recibido una explicación suficientemente general para el propósito preliminar de introducción.
Podría decirse de hecho algo más que esto; pues las características que allí se señalaron son en realidad suficientes por sí mismas para dar una idea general bastante clara de la naturaleza de la Probabilidad y de la clase de problemas de los que se ocupa.
Pero en los párrafos finales se indicó que las series de este tipo, tal como ocurren en la naturaleza o como resultados de una producción más o menos artificial, rara vez o nunca se presentan en una forma tan simple como cabría esperar a raíz de lo dicho anteriormente; sino que casi siempre se observa que están asociadas entre sí en grupos de un modo algo complejo.
Debe emprenderse ahora una discusión más exhaustiva de este tema.
Tomaremos para su examen un caso de un tipo con el que las investigaciones de Quételet habrán servido para familiarizar a algunos lectores. Supongamos que medimos las alturas de un gran número de hombres adultos en cualquier ciudad o país.
Estas alturas se situarán, por supuesto, entre ciertos extremos en ambas direcciones, y si continuamos acumulando nuestras medidas, se descubrirá que tienden a situarse de forma continua entre estos extremos; es decir, que bajo tales circunstancias ninguna altura intermedia resultará estar permanentemente sin representación en tal conjunto de mediciones.
Supongamos ahora que estas alturas se ordenan según su magnitud. Lo que siempre encontramos es algo del siguiente tipo: alrededor del punto medio entre los extremos, se hallará un gran número de resultados aglomerados; un poco a cada lado de este punto todavía habrá un exceso, pero no en tan gran medida; y así sucesivamente, en alguna escala decreciente de proporción, hasta que, a medida que nos acercamos a los resultados extremos, los números disminuyen y se vuelven relativamente extremadamente pequeños.
El punto al que aquí se llama la atención no es el mero hecho de que las cifras así tiendan a disminuir desde el centro en ambas direcciones, sino, como se explicará con más detalle en seguida, la ley de acuerdo con la cual tiene lugar esta disminución progresiva.
La palabra «ley» se usa aquí en su sentido matemático, para expresar la fórmula que relaciona entre sí los dos elementos en cuestión, a saber, la altura misma y el número relativo que se encuentra de dicha altura. Tendremos que averiguar si uno de estos elementos es una función del otro y, de ser así, qué función.
§ 2. Después de lo dicho en el capítulo anterior, apenas es necesario insistir en que el interés y la significación de investigaciones como estas dependen casi por completo de que las estadísticas sean muy extensas. En una u otra de las obras de Quételet sobre Física Social[1] se encontrará una selección de medidas de casi todos los elementos que la estructura física del hombre puede proporcionar: su altura, su peso, la fuerza muscular de diversas extremidades, las dimensiones de casi cada parte y órgano, y así sucesivamente.
Algunas de las más extensas expresan las estaturas de 25 000 soldados federales del Ejército del Potomac y las circunferencias de los pechos de 5738 milicianos escoceses tomadas hace muchos años. Aquellos que deseen consultar un amplio repertorio de tales estadísticas no pueden ser remitidos a mejores fuentes que a estas y otras obras del mismo autor.[2]
Interesantes y valiosas, sin embargo, como son las investigaciones estadísticas de Quetelet (y gran parte de la importancia que hoy se concede merecidamente a tales indagaciones se debe, tal vez, más a sus esfuerzos que a los de cualquier otra persona), no puedo dejar de convencerme de que hay mucho en lo que ha escrito sobre el tema que resulta erróneo y confuso en lo que respecta a los fundamentos de la ciencia de la Probabilidad y a las cuestiones filosóficas que esta entraña.
Estos errores no se limitan en modo alguno a él, pero por diversas razones será mejor discutirlos bajo la forma de una crítica a su expresión explícita o implícita de los mismos, que de cualquier otra manera más independiente.
§ 3. En primer lugar, pues, da siempre, o casi siempre, por sentado que solo puede haber una y la misma ley de disposición para los resultados de nuestras observaciones, mediciones y demás en estas investigaciones estadísticas. Es decir, da por supuesto que, siempre que obtenemos un grupo de tales magnitudes agrupadas en torno a una media, y cuya frecuencia disminuye a medida que se apartan de dicha media, encontraremos que esta disminución de frecuencia tiene lugar de acuerdo con una ley invariable, cualquiera que sea la naturaleza de estas magnitudes y cualquiera que sea el proceso mediante el cual se hayan obtenido.
Que semejante uniformidad prevalezca entre clases de fenómenos numerosas y diversas parecería probablemente sorprendente en cualquier caso.
Pero la plena significación de un hecho como este (si es que en verdad fuera un hecho) solo se vuelve aparente cuando se dirige la atención hacia las profundas distinciones en la naturaleza y el origen de los fenómenos que así se supone quedan armonizados al ser abarcados por un único principio comprensivo.
Esto se apreciará mejor si echamos un breve vistazo a algunas de las principales clases en las que se pueden dividir las cosas de las que se ocupa principalmente la Probabilidad. Estas son de una índole triple.
§ 4. En primer lugar están las diversas combinaciones y rachas de suerte que ofrecen los juegos de azar. Supóngase que un puñado de diez monedas fuera lanzado al aire muchas veces de manera sucesiva y que los resultados se tabulasen.
Lo que obtendríamos sería algo del tenor siguiente. En una cierta proporción de casos —y estos los más numerosos de todos—, hallaríamos que obtuvimos cinco caras y cinco cruces; en una proporción de casos algo menor tendríamos, como resultados de igual frecuencia, cuatro caras y seis cruces, y cuatro cruces y seis caras; y así sucesivamente en una proporción en continua disminución hasta que al fin descendiéramos, en un número de casos relativamente muy pequeño, a nueve caras y una cruz, y nueve cruces y una cara; al tiempo que los resultados posibles menos frecuentes serían aquellos que diesen todo caras o todo cruces.[3]
Aquí los elementos estadísticos objeto de consideración son, en lo que respecta a su origen al menos, opcionales o provocados por la elección humana. Se describiría, por tanto, a estos elementos como fundamentalmente artificiales en su mayor parte, pero a sus resultados como, en última instancia, puramente fortuitos.
En segundo lugar, podríamos tomar las mediciones exactas —es decir,[ TN: espacio] las magnitudes reales en sí mismas— de un gran número de objetos naturales, pertenecientes al mismo género o clase; como en los casos, ya mencionados, de las estaturas u otras características de los habitantes de cualquier comarca. Aquí la voluntad humana o la intervención de cualquier tipo parece tener poco o nada que ver con el asunto. Depende de nuestra opción recopilar las medidas, pero las cosas medidas están fuera de nuestro control. Por lo tanto, se describiría comúnmente que son en su totalidad producto de la naturaleza, y no se supondría que, en estricto rigor, el azar tuviera absolutamente nada que ver con el asunto.
En tercer lugar, el resultado al que aspiramos puede ser alguna magnitud fija, una e idéntica en cada uno de nuestros intentos sucesivos, de modo que si nuestras mediciones fuesen estrictamente precisas, nos limitaríamos a obtener el mismo resultado repetido una y otra vez.
Pero dado que todos nuestros métodos para alcanzar nuestros propósitos están sujetos en la práctica a innumerables imperfecciones, los resultados obtenidos en la realidad se apartarán en mayor o menor medida, en casi todos los casos, del valor real y fijo que intentamos asegurar. Unas veces desviándose más del blanco y otras menos, siendo los peores intentos, como es natural, los menos frecuentes.
Si un hombre apunta a una diana, rara vez o nunca la alcanzará exactamente en el centro, pero sus buenos tiros serán más[4]
numerosos que los malos. Aquí de nuevo, por tanto, tenemos una serie de magnitudes (es decir, [** TN: espacio] las desviaciones de los disparos respecto al punto al que se apunta) agrupadas en torno a una media, pero producidas de un modo muy diferente al de los dos casos anteriores. En este caso, los elementos se considerarían comúnmente como el resultado solo parcial de la voluntad humana, y el azar por tanto como un mero coagente en los efectos producidos.
Con estos hay que clasificar lo que puede llamarse estimaciones, en contraposición a las mediciones. Por las segundas se entienden generalmente los resultados de cierta cantidad de mecanismo o manipulación; por las primeras podemos entender aquellos casos en los que la magnitud en cuestión se determina mediante la observación directa o la introspección.
El interés y la importancia de esta clase, en lo que respecta a los principios científicos, datan principalmente de las investigaciones de Fechner. Su campo principal se halla naturalmente entre los datos psicológicos.
Podrían señalarse fácilmente otras clases de cosas, además de las aludidas anteriormente. Estas son, sin embargo, las clases sobre las cuales se pueden obtener estadísticas más extensas, o a las que se atribuye mayor importancia e interés práctico. Las profundas diferencias que separan su origen y carácter son obvias. Si todas ellas mostraran realmente con precisión la misma ley de variación, sería un hecho sumamente notable, que sin duda señalaría alguna identidad profunda subyacente a las diversas formas, aparentemente tan dispares, en que se han producido. Las cuestiones que ahora han de discutirse son: ¿Es cierto, con un grado considerable de rigor, que solo una ley de distribución prevalece realmente?[** TN: space] y, en la medida en que esto sea así, ¿cómo llega a suceder?
§ 5. En apoyo de una respuesta afirmativa a la primera de estas dos preguntas, se ofrecen, o podrían ofrecerse, varios tipos diferentes de pruebas.
(I.) En cuanto a un primer plan, podemos apelar directamente a la experiencia mediante la recopilación de series de estadísticas y la observación de su ley de distribución. Como se ha señalado más arriba, esto se ha llevado a cabo en una gran variedad de casos, y en algunos de ellos en una medida muy considerable, por Quetelet y otros. Sus investigaciones han demostrado con absoluta claridad que muchas clases de cosas y procesos, que difieren ampliamente en su naturaleza y origen, parecen ajustarse, sin embargo, con un grado considerable de exactitud a una y la misma[5] ley. Al menos esto queda patente en lo que respecta a los valores más centrales, es decir, aquellos que se sitúan más cerca de la media.
Por otra parte, respecto a los valores extremos, se plantea cierta dificultad. Por ejemplo, en la distribución de las estaturas de un cierto número de hombres, dichos extremos constituyen un tanto un escollo; de hecho, se ha propuesto descartarlos de ambos extremos de la escala con el pretexto de que son monstruosidades, siendo el caso de que sus números relativos no parecen ser en absoluto los que la teoría asignaría.[6] Sin embargo, tal plan de exclusión carece por completo de coadyuvante oficial, ya que estos enanos y gigantes nacen en el mundo al igual que sus hermanos de tamaño más normal, y tienen exactamente el mismo derecho que cualquier otro a ser incluidos en las fórmulas que elaboramos.
Aparte del caso de las estaturas de los hombres, ya se ha hecho referencia a otras clases de observaciones de un carácter algo similar recopiladas y ordenadas por Quetelet.
Sin embargo, por la naturaleza del caso, no hay muchas que sean apropiadas a mano; pues cuando nuestro objetivo no es ilustrar una ley que puede demostrarse de otro modo, sino obtener una prueba directa y real de ella, la recopilación de observaciones y mediciones debe realizarse a una escala tan grande que disuadiría a cualquiera, salvo a los calculistas más perseverantes, de someterse al esfuerzo requerido.
Algunas de las observaciones hechas en el transcurso de la nota de la página opuesta servirán para ilustrar las dificultades que se interpondrían en el camino de tal modo de prueba.
Aquí estamos hablando, debe entenderse, únicamente de curvas simétricas: si hay asimetría, es decir[** TN: space] si la Ley de Error es diferente a los distintos lados de la media, un número comparativamente muy pequeño de observaciones bastaría para detectar el hecho. Pero, concedidas la simetría y la rápida disminución de frecuencia a cada lado de la media, podríamos por lo general seleccionar alguna especie de la curva exponencial que representara bastante de cerca nuestras estadísticas en el vecindario de la media. Es decir, donde las estadísticas son numerosas podríamos asegurar la concordancia; y donde no pudiéramos asegurar la concordancia, las estadísticas serían comparativamente tan escasas que tendríamos que continuar las observaciones durante muchísimo tiempo para probar la discordancia.
§ 6. Concediendo a las diversas estadísticas el crédito que merecen por su extensión, pertinencia, exactitud y demás, la conclusión general que en conjunto extraerá casi cualquiera que se tome la molestia de consultarlas es que, en gran medida, se ajustan aproximadamente a un tipo o ley, al menos para todos los valores excepto los extremos. Tanto como esto debe admitirse plenamente.
Pero que no lo hacen, y de hecho podemos decir que no pueden hacerlo siempre en el caso de los valores extremos, se hará evidente con un poco de reflexión.
En algunas de las clases de cosas a las que se supone que se aplica la ley, por ejemplo, las sucesiones de caras y cruces en los lanzamientos de una moneda, no hay límite para la magnitud de las fluctuaciones que pueden ocurrir y ocurrirán.
Postulemos una sucesión tan larga de caras o de cruces como queramos, y si tan solo pudiéramos vivir y lanzar el tiempo suficiente para ello, acabaríamos por conseguirla.
En otros casos, incluidas muchas de las aplicaciones de la Probabilidad a los fenómenos naturales, difícilmente pueden dejar de existir tales límites.
Las desviaciones que exceden un cierto rango pueden no ser meramente improbables, es decir, de ocurrencia muy rara, sino que a menudo pueden ser realmente imposibles por la naturaleza del caso.
Y aun cuando no sean realmente imposibles, puede parecer frecuentemente tras el examen que solo son posibles debido a la introducción ocasional de agentes que no se supone que estén disponibles en la producción de los valores más ordinarios o intermedios.
Cuando, por ejemplo, hacemos observaciones con cualquier tipo de instrumento, la naturaleza de su construcción puede poner un límite absoluto a la cantidad posible de error.
Y aun cuando no exista un límite absoluto bajo todo tipo de uso, puede darse el caso de que sí lo haya bajo un uso razonable y adecuado; dándose la circunstancia de que solo cuando el instrumento se manipule intencionadamente o por descuido se introducirán nuevas causas de divergencia que no estaban contenidas dentro de los antiguos límites.
Supongamos, por ejemplo, que un hombre está disparando a un blanco. Debe suponerse que sus peores disparos son provocados por la combinación de causas tales como las que actuaban, o estaban preparadas para actuar, en cualquier otro caso; el caso extremo de lo que así podemos denominar «uso regular» se da cuando una serie de causas distintas han coincidido en conspirar juntas de modo que tienden en la misma dirección, en lugar de, como en los otros casos, neutralizar más o menos la labor de las demás.
Pero bien puede suponerse que el efecto agregado de tales causas es limitado. El hombre no disparará casi en ángulo recto con respecto a la verdadera línea de fuego a menos que intervenga una causa totalmente nueva, como que alguna circunstancia insólita haya distraído su atención o que haya sufrido algún ataque espasmódico. Pero no se suponía que influencias de este tipo estuviesen presentes antes; e incluso si lo estuvieran, estamos dando un paso audaz al asumir que estas grandes perturbaciones ocasionales están sujeta al mismo tipo de leyes que los agregados de innumerables pequeñas perturbaciones.
No podemos, en verdad, conceder mucha importancia a un ejemplo de este último tipo, en comparación con aquellos en los que podemos ver con certeza que existe un límite fijo para el margen de error.
Se ofrece, por tanto, más para ilustración que para prueba. La magnitud enorme, de hecho inconcebible, de los números que expresan la probabilidad de combinaciones muy raras, como las de que se trata, ejerce un efecto tan desconcertante en la mente que a veces uno puede ser propenso a confundir lo imposible con los grados más altos de lo meramente improbable desde el punto de vista matemático.
§ 7. En el momento en que se redactó la primera edición de este ensayo, los escritores sobre Estadística estaban, a mi juicio, todavía en su mayor parte bajo la influencia de Quetelet, y tendían a sobrevalorar su autoridad en este tema en particular; sin embargo, últimamente se ha llamado la atención de forma reiterada sobre la necesidad de tener en cuenta otras leyes de ordenación distintas de la binomial o exponencial.
Mr. Galton, por ejemplo —a quien tanto debe cada rama de la teoría de la estadística—, ha insistido[7] en que la «hipótesis que se encuentra en la base de la conocida ley de “Frecuencia de Error”… es incorrecta en muchos grupos de fenómenos vitales y sociales…. Por ejemplo, supongamos que intentamos igualar un tono; la ley de Fechner, en su forma aproximativa y más simple de sensación = log estímulo, nos dice que una serie de tonos, en los cuales las cantidades de blanco dispersas sobre un fondo negro están en proporción de 1, 2, 4, 8, 16, 32, etc., parecerán al ojo estar separados por intervalos de tono iguales.
Por lo tanto, al igualar un gris que contiene 8 porciones de blanco, somos tan propensos a equivocarnos seleccionando uno que tiene 16 porciones como uno que tiene 4 porciones. En el primer caso habría un error por exceso de 8; en el segundo habría un error por defecto de 4. Por consiguiente, un error de la misma magnitud por exceso o por defecto no es igualmente probable».
Las consecuencias de esta hipótesis se desarrollan en un notable artículo del Dr. D. McAlister, al cual habrá que volver a aludir más adelante. Todo lo que nos concierne señalar aquí es que, cuando los resultados de estadísticas de esta índole se disponen gráficamente, no obtenemos una curva simétrica a ambos lados de un eje central.
§ 8. Más recientemente, el Sr. F. Y. Edgeworth (en un informe de un Comité de la Asociación Británica nombrado para investigar la variación del patrón monetario) ha instado a las mismas consideraciones respecto a los precios de las mercancías. Da una serie de estadísticas «extraídas de los precios de doce mercancías durante los dos períodos 1782–1820, 1820–1865. Habiéndose anotado el registro máximo y mínimo para cada serie, se encuentra que el número de registros por encima del “punto medio”, a mitad de camino entre el máximo y el mínimo,[8] es en cada caso menor que la mitad del número total de registros en la serie. En las veinticuatro pruebas no hay una sola excepción a la regla, y en muy pocos casos hay siquiera un acercamiento a una excepción. Podemos presumir entonces que las curvas son del carácter desequilibrado indicado por el diagrama adjunto».
Los mismos hechos se constatan también respecto a las variaciones de lugar en contraposición a las variaciones de tiempo. A estos se pueden añadir algunas estadísticas propias, referidas a las alturas del barómetro tomadas a la misma hora en más de 4000 días sucesivos (v. Nature, 2 de septiembre de 1887). Hasta donde llegan, estas muestran una marcada asimetría de disposición.
En realidad me parece que esta falta de simetría debe buscarse en todos aquellos casos en que los fenómenos objeto de medición tienen un carácter «unilateral»; en el sentido de que se miden en un solo lado de cierto punto fijo desde el cual se supone que parte su posibilidad.
Pues no solo les es imposible caer por debajo de este punto: mucho antes de alcanzarlo, la influencia de su proximidad se hace sentir al incrementar la dificultad e importancia de la misma cantidad de diferencia absoluta.
Considérese una tabla de estaturas, por ejemplo, con un valor medio de 69 pulgadas. Una disminución de tres pies (si esto fuera posible) es mucho más influyente —cuenta mucho más, en todos los sentidos de la palabra— que un aumento de la misma magnitud; pues lo primero no duplica la media, mientras que lo segundo la reduce a más de la mitad. Volvamos a un ejemplo. Si una vasta cantidad de circunstancias influyentes insignificantes del tipo ya descrito actuaran sobre un péndulo oscilante, esperaríamos que las desviaciones en cada dirección mostraran simetría; pero si actuaran sobre un resorte, no cabría esperar tal resultado. Difícilmente puede esperarse que cualquier fenómeno del cual este último sea el ejemplo más apropiado se disponga con simetría en torno a una media.[9]
§ 9. (II.) Las últimas observaciones sugerirán otro tipo de prueba que podría ofrecerse para establecer la naturaleza invariable de la ley del error. Es de carácter deductivo directo, sin apelar inmediatamente a la estadística, sino implicando una investigación sobre la naturaleza real o supuesta de las causas mediante las cuales se producen los acontecimientos.
Imagínese que el acontecimiento en cuestión se lleva a cabo, en primer lugar, por alguna causa fija, o grupo de causas fijas. Si esto comprendiera todas las circunstancias influyentes, el acontecimiento ocurriría indefectiblemente de la misma manera exacta: no habría errores ni desviaciones de ningún tipo que debieran tenerse en cuenta.
Pero supongamos ahora que hubiera también un número enorme de causas muy pequeñas que tendieran a producir desviaciones; que estas causas actuasen con total independencia unas de otras; y que cada una de ellas operase tan a menudo, a la larga, en una dirección como en la opuesta. Es fácil[10] ver, de un modo general, qué se seguiría de estas suposiciones.
En muy pocos casos, casi todas las causas actuarían en la misma dirección; en otras palabras, en muy pocos casos la desviación sería extrema.
Sin embargo, en un número mayor de casos, solo la mayor parte de ellas actuarían en una dirección, mientras que unas pocas harían lo posible por contrarrestar al resto; el resultado sería un número comparativamente mayor de desviaciones algo menores.
Así sucesivamente, en números crecientes, hasta que nos acercamos al punto medio. Aquí tendremos un número muy grande de desviaciones muy pequeñas: los casos en que las influencias opuestas logran exactamente equilibrarse entre sí, de modo que no se produce error alguno, siendo, aunque en la práctica infrecuentes, los relativamente más frecuentes de todos.
Ahora bien, si todas las desviaciones respecto a una media se produjeran de la manera acabada de indicar (una indicación que debe bastar por el momento), tendríamos siempre una y la misma ley de distribución de frecuencias para estas desviaciones o errores, a saber,[** TN: space] la ley exponencial[11] mencionada en el § 5.
§ 10. Puede admitirse fácilmente, a partir de lo que sabemos sobre la producción de los acontecimientos, que algo parecido a estas suposiciones, y por tanto algo parecido a las consecuencias que de ellas se desprenden, se asegura realmente en un número muy grande de casos. Pero aunque esto pueda cumplirse de forma aproximada, es altamente improbable que pudiera garantizarse jamás, ni siquiera artificialmente, con nada que se acerque a una precisión rigurosa.
Por un lado, las causas de desviación rara vez o nunca serán verdaderamente independientes unas de otras. Algunas de ellas serán generalmente de tal índole que la suposición de que varias actúan en una misma dirección puede afectar la capacidad de cada una para producir aquel efecto pleno que habría sido capaz de producir si se la hubiera dejado hacer su trabajo sola.
En el ejemplo común, por ejemplo, de disparar a un blanco, mientras consideremos el caso de tiradores medianamente buenos, el efecto del viento (una de las causas de error) será aproximadamente el mismo cualquiera que sea la dirección precisa de la bala. Pero cuando un tiro se desvía considerablemente del blanco, ya no se puede considerar que el viento actúa en ángulos rectos respecto a la línea de vuelo y, en consecuencia, su efecto no será exactamente el mismo que antes.
En otras palabras, las causas aquí no son estrictamente independientes, como se había supuesto; y en consecuencia los resultados atribuibles a cada una no están totalmente libres de la influencia de las demás.
Sin duda el efecto es insignificante aquí, pero supongo que si escrutáramos cuidadosamente los modos en que los diversos elementos de la causa total se conjuga, hallaríamos que la suposición de una independencia absoluta era arriesgada, por no decir injustificable, en un número muy grande de casos.
Estas breves observaciones sobre el proceso mediante el cual se producen las desviaciones deben bastar para el propósito actual, ya que el tema recibirá una investigación más completa en el transcurso del capítulo siguiente.
De acuerdo, por lo tanto, con la mejor consideración que en la etapa actual puede concederse a este tema, podemos extraer una conclusión similar de esta línea de argumento deductivo que de la apelación directa a las estadísticas.
El mismo resultado general parece quedar establecido; a saber, que aproximadamente, con la precisión suficiente para todos los fines prácticos, podemos decir que un examen de las causas por las cuales las desviaciones son generalmente provocadas muestra que son en su mayoría de un carácter tal que daría como resultado la comúnmente aceptada «Ley de Error», como se le denomina.[12]
Las dos líneas de investigación, por lo tanto, dentro de los límites asignados, se brindan mutuamente una confirmación decidida.
§ 11. (III.) Todavía queda una tercera línea de prueba, indirecta y matemática, que podría ofrecerse para establecer la conclusión de que la Ley de los Errores es siempre una y la misma. Puede sostenerse que el empleo reconocido y universal de un mismo método —el conocido por los matemáticos y astrónomos como el Método de los Mínimos Cuadrados— en toda clase de casos diferentes con resultados muy satisfactorios, solo es compatible con la suposición de que los errores a los que se aplica dicho método deben agruparse de acuerdo con una ley invariable. Si todas las «leyes de errores» no fuesen de un mismo y único tipo, es decir, si la frecuencia relativa de las grandes y pequeñas divergencias (como de las que venimos hablando) no estuviera dispuesta según un mismo patrón, ¿cómo podría un solo método o regla convenirles a todas por igual?
Para preservar la continuidad del tratamiento, es necesario prestar cierta atención a esta cuestión aquí, aunque, al igual que en el caso del argumento anterior, resulte imposible una discusión exhaustiva del tema en la etapa actual.
Por un lado, requeriría un uso excesivo de las matemáticas, o al menos de conceptos matemáticos, para adecuarse al plan general de este tratado; por consiguiente, he dedicado un capítulo especial a su consideración.
La razón principal, sin embargo, en contra de discutir este argumento aquí es que hacerlo implicaría anticipar un aspecto totalmente diferente de la ciencia de la Probabilidad respecto al tratado hasta ahora. En esto hay que insistir especialmente, ya que su negligencia conlleva mucha confusión y algunos errores.
Durante estos primeros capítulos nos hemos ocupado por entero de sentar lo que puede llamarse los cimientos físicos de la Probabilidad. No hemos hecho otra cosa que establecer, de un modo u otro, la existencia de ciertos grupos o disposiciones de cosas que se descubre que se presentan en la naturaleza; nos hemos esforzado en explicar cómo llegan a suceder, y hemos ilustrado sus características principales.
Pero estos son meramente los cimientos de la Inferencia; aún no hemos dicho una sola palabra sobre los procesos lógicos que han de erigirse sobre estos cimientos. Por tanto, aún no hemos entrado en la lógica del azar.
§ 12. Ahora bien, la forma en que a veces se habla del Método de los Mínimos Cuadrados tiende a ocultar la magnitud de esta distinción. Los escritores lo han considerado sinónimo de la Ley de los Errores, cuando el hecho es que ambas cosas no solo son totalmente distintas, sino que apenas tienen conexión necesaria entre sí.
La Ley de los Errores es la afirmación de un hecho físico; simplemente asigna, con mayor o menor precisión, la frecuencia relativa con la que los errores o desviaciones de cualquier tipo se presentan en la práctica. Pertenece, por tanto, a lo que puede denominarse los fundamentos físicos de la ciencia.
El Método de los Mínimos Cuadrados, por otra parte, no es una ley en absoluto en el sentido científico del término. Es simplemente una regla o instrucción que nos indica cómo debemos proceder de la mejor manera para tratar cualquier grupo de estos errores que se nos presente, a fin de extraer el verdadero resultado al que apuntaban. Es evidente, por tanto, que pertenece a la parte inferencial o lógica de la materia.
No puede negarse en verdad que los métodos que empleamos deben tener alguna conexión con la disposición de los hechos a los que se aplican; pero ambas cosas no son menos distintas en su naturaleza, y en este caso la conexión no parece en absoluto necesaria, sino a lo sumo una cuestión de propiedad y conveniencia.
El método de los mínimos cuadrados se aplica habitualmente, sin duda, a la forma más familiar y común de la ley de error, a saber, la forma exponencial de la que nos hemosocupado recientemente. Pero pueden existir otras formas de leyes de error y, de ser así, el método en cuestión podría aplicarse igualmente a ellas.
No afirmo que fuera necesariamente el mejor método en todos los casos, pero sí sería uno posible; de hecho, podemos ir más allá y decir, como se mostrará en un capítulo futuro, que sería un buen método en casi todos los casos. Pero sus méritos o deméritos particulares no interfieren con su posible empleo en cada caso en el que decidamos recurrir a él.
Se verá, por tanto, incluso a partir de las pocas observaciones que aquí pueden hacerse sobre el tema, que el hecho de que uno y el mismo método se emplee muy comúnmente con resultados satisfactorios ofrece poca o ninguna prueba de que los errores a los que se aplica deban estar dispuestos según una ley fija.
§ 13. Baste esto en cuanto al intento de demostrar la prevalencia, en todos los casos, de esta ley particular de divergencia. El siguiente punto en el tratamiento del asunto por parte de Quetelet que merece atención por considerarse erróneo o confuso, es la doctrina sostenida por él y por otros sobre la existencia de lo que denomina un tipo en los grupos de cosas en cuestión.
Esta es una consecuencia no del todo antinatural de algunos de los datos y conclusiones de los párrafos anteriores. Remitámonos a dos de las tres clases de cosas ya mencionadas en el § 4. Si realmente fuera el caso de que, al ordenar una serie de observaciones o intentos incorrectos propios y una colección de objetos naturales pertenecientes a una misma especie o clase, descubriéramos que la ley de su divergencia era en cada caso idéntica a la larga, nos sentiríamos naturalmente dispuestos a aplicar la misma expresión de «Ley de Error» a ambos casos por igual, aunque en rigor solo pudiera ser apropiada para el primero.
Cuando realizamos nosotros mismos una operación con plena conciencia de aquello a lo que aspiramos, podemos hablar con total propiedad de toda desviación de esto como de un error; pero cuando la Naturaleza nos presenta un grupo de objetos de cualquier índole, resulta una metáfora bastante osada hablar también en este caso de una ley de error, como si ella hubiera estado apuntando a algo todo el tiempo y, al igual que el resto de nosotros, hubiera errado su blanco en mayor o menor medida en casi todos los casos.[13]
Supongamos que hacemos una larga sucesión de intentos para medir con exactitud la altura precisa de un hombre; por una u otra causa rara vez o nunca lograríamos hacerlo con absoluta precisión.
Pero no tenemos derecho a suponer que estas mediciones imperfectas nuestras habrían de desviarse según una ley de error particular como para presentar el duplicado exacto de una serie de alturas reales de hombres diferentes, suponiendo que estas últimas se determinaran con absoluta precisión.
Cuál pudiera ser la ley de error real en una serie de mediciones directas de cualquier magnitud dada difícilmente podría afirmarse de antemano, y probablemente el intento de determinarla mediante la experiencia no se ha realizado con la frecuencia suficiente como para permitirnos averiguarlo; pero por razones generales no parece en absoluto seguro que siguiera la llamada ley exponencial.
Sea como fuere, sin embargo, es más bien un exceso verbal hablar como si la naturaleza hubiera estado obrando del mismo modo que uno de nosotros; apuntando (infructuosamente en su mayor parte) a un resultado dado, es decir, a producir un hombre dotado de cierta estatura, proporciones, etcétera, que pudiera por tanto ser considerado como el hombre típico.
§ 14. Afirmado como queda, a saber, que existe un tipo humano fijo e invariable que todos los especímenes individuales de la humanidad pueden considerarse destinados a alcanzar, pero del cual se han desviado en una u otra dirección; de acuerdo con una ley de desviación susceptible de determinación a priori, la doctrina no es más que absurda. Pero si observamos más de cerca los hechos del caso, y la probable explicación de estos hechos, podremos vislumbrar una verdad importante.
Los hechos, basándose en la autoridad de las estadísticas de Quetelet (cuyo gran interés y valor deben admitirse francamente), son, en muy pocas palabras, los siguientes:
si tomamos cualquier elemento de nuestra estructura física que admita una medición precisa, digamos la altura, y determinamos esta medida en un gran número de individuos diferentes pertenecientes a cualquier clase de personas razonablemente homogénea, encontraremos que estas alturas admiten efectivamente una disposición ordenada en torno a una media, según el modo que ya se ha mencionado repetidamente.
¿Qué se entiende por clase homogénea?[** TN: space] es una cuestión pertinente y significativa, pero aplicando esta condición a cualquier caso sencillo, su significado se enuncia fácilmente. Implica que la media en cuestión será diferente según la nacionalidad de las personas objeto de medición. Según Quetelet,[14] en el caso de los ingleses, la media es de aproximadamente
5 pies [ TN: space] 9 pulgadas; para los belgas unos 5 pies [ TN: space] 7 pulgadas; para los franceses unos 5 pies [** TN: space] 4 pulgadas. Hacía falta apenas añadir que estas medidas son las de varones adultos.
§ 15. Puede preguntarse con razón aquí cuál habría sido la consecuencia si nosotros, en lugar de mantener separados el inglés y el francés, hubiésemos mezclado los resultados de nuestras mediciones de todos ellos. La pregunta es importante, ya que nos obligará a comprender con mayor claridad qué entendemos por clases homogéneas.
La respuesta que suele darse a esta cuestión, aunque sustancialmente correcta, es un tanto demasiado decisiva y sumaria.
Se diría que aquí estamos mezclando elementos claramente heterogéneos y que, en consecuencia, la ley de error resultante no tendrá en absoluto el carácter simple exhibido anteriormente.
En la medida en que tal respuesta deba ser admitida, sus fundamentos son fáciles de apreciar.
De acuerdo con la ley general de errores, las divergencias respecto a la media se vuelven continuamente menos numerosas a medida que aumenta su magnitud.
Ahora bien, si mezclamos las estaturas francesas e inglesas, ¿qué sucederá?
Partiendo de la media inglesa de 5 pies y 9 pulgadas, las estaturas seguirán al principio casi por completo la ley determinada por estas condiciones inglesas, ya que en este punto los datos ingleses son muy numerosos y los franceses, en comparación, muy escasos.
Pero, a medida que empecemos a acercarnos a la media francesa, las cifras dejarán de mostrar esa disminución continua que deberían mostrar, según la escala de distribución inglesa, pues aquí los datos franceses son a su vez muy numerosos y los ingleses, en comparación, escasos.
El resultado de semejante combinación de elementos heterogéneos se ilustra en la figura adjunta, por supuesto en una forma muy exagerada.
§ 16. En el caso anterior, la naturaleza de la heterogeneidad y las razones por las cuales las estadísticas deben recopilarse y organizarse de modo que se evite parecían bastante obvias. Se verá con aún mayor claridad si tomamos un caso paralelo extraído de procedimientos artificiales.
Supongamos que, después de que un hombre hubiera disparado unos cuantos miles de tiros a cierto punto, digamos una oblea fijada en alguna parte de una pared, la posición del punto al que apunta fuera cambiada, y disparara unos cuantos miles de tiros más a la oblea en su nueva posición. Recopilemos y organicemos ahora todos los tiros de ambas series en el orden de su distancia respecto a cualquiera de los centros, por ejemplo, el nuevo.
Aquí estaríamos mezclando en realidad dos conjuntos discordantes de elementos, cualquiera de los cuales, si se hubiera mantenido separado del otro, habría sido de carácter simple y homogéneo. Encontraremos, en consecuencia, que la ley de error resultante delata su origen compuesto o heterogéneo mediante una flagrante desviación respecto a la forma habitual, algo al estilo indicado en el diagrama anterior.
El caso de las estaturas de ingleses y franceses se asemeja al que acabamos de exponer, pero dista mucho de alcanzarlo en cuanto a la rigurosidad con que se garantizan las condiciones necesarias. El hecho es que aquí no disponemos de los requisitos más adecuados, a saber,[** TN: space] un grupo formado por unas pocas causas fijas complementadas por innumerables pequeñas influencias perturbadoras. Lo que llamamos nación es en realidad un cuerpo altamente artificial, cuyos miembros están sujetos a un número considerable de causas perturbadoras locales u ocasionales. Entre los franceses se incluía, presumiblemente, a bretones, provenzales, alsacianos, etcétera, mezclando así distinciones que, aunque menores que las existentes entre franceses e ingleses, considerados en su conjunto, distan mucho de ser insignificantes. Y a estas diferencias de raza hay que añadir otras perturbaciones, también muy importantes, dependientes de la variación del clima, la alimentación y la ocupación. Es evidente, por tanto, que cualquier objeción que exista contra confundir las estadísticas de franceses e ingleses, existe también, aunque por supuesto en menor grado, contra confundir las de los diversos componentes provinciales y de otro tipo que conforman el pueblo francés.
§ 17. Entre la gran variedad de causas importantes que influyen en la estatura de los hombres, es probable que aquellas que cumplen más estrictamente las condiciones principales exigidas por la «Ley de Error» sean sobre las que menos sabemos.
Sobre los efectos de la alimentación y la ocupación, la observación tiene algo que decir, pero acerca de las causas puramente fisiológicas por las cuales la estatura de los padres influye en la estatura de la descendencia, probablemente no poseemos nada que merezca llamarse conocimiento. Quizá la mejor suposición que podamos hacer sea una que, de acuerdo con el refrán de que «de tal palo tal astilla»,[1] asuma que las causas puramente fisiológicas representan el elemento constante; es decir, dada una raza homogénea de personas para empezar, que contraen matrimonio libremente y están sometidas a circunstancias similares de clima, alimentación y ocupación, el patrón se mantendría en general constante.[15]
En tal caso, el hombre que poseyera la estatura media, el peso medio, la fuerza media, y así sucesivamente, podría entonces ser llamado, en cierto modo, un «tipo». Las desviaciones de este tipo se producirían entonces por innumerables pequeñas influencias, en parte fisiológicas, en parte físicas y sociales, que actuarían en su mayor parte de forma independiente unas de otras y darían como resultado una Ley de Error de la descripción habitual.
Bajo tales restricciones y explicaciones, no parece haber ninguna objeción razonable para hablar de un tipo o media francesa o inglesa. Pero siempre debe recordarse que, bajo las circunstancias actuales de cualquier nación política, estos cuerpos algo heterogéneos podrían subdividirse en varios grupos más pequeños, cada uno de los cuales exhibiría con frecuencia las características de dicho tipo en un grado aún más marcado.
§ 18. A este respecto, los informes del Comité Antropométrico, ya mencionados, son de lo más instructivo. Ilustran el grado en que esta subdivisión podría llevarse a cabo y demuestran —si es que fuera necesaria alguna prueba— que el descubrimiento del homme moyen de Quetelet nos daría mucho que buscar. Hasta donde alcanzan sus resultados, la estatura media «inglesa» (en pulgadas) es de 67,66. Pero esta se compone de elementos escoceses, irlandeses, ingleses y galeses, cuyas medias respectivas son: 68,71, 67,90, 67,36 y 66,66. Pero estas a su vez pueden subdividirse; pues una observación cuidadosa muestra que la estatura media inglesa es netamente mayor en ciertos distritos (p. ej.[** TN: space] los condados del Nordeste) que en otros. Además, la media de las clases profesionales es considerablemente mayor que la de los jornaleros; y la de los honestos e inteligentes es muchísimo mayor que la de los elementos criminales y de dementes de la población. Y, en la medida en que las observaciones son lo suficientemente amplias para este propósito, parece que cualquier característica respecto a la agrupación en torno a una media que pueda detectarse en las clases más amplias puede detectarse también en las más estrechas.
Tampoco hay razón para suponer que el mismo proceso de subdivisión no pudiera llevarse tan lejos como decidiéramos prolongarlo.
§ 19. Apenas es necesario añadir a las observaciones anteriores que nadie que adhiera en lo más mínimo a la Doctrina de la Evolución podría considerar el tipo, en el sentido anteriormente calificado del término, como poseedor de alguna permanencia y fijeza reales.
Si las causas constantes, cualesquiera que sean, permanecen inalteradas, y si las variables continúan a la larga equilibrándose mutuamente, los resultados seguirán agrupándose en torno a la misma media.
Pero si las constantes experimentan un cambio gradual, o si las variables, en vez de equilibrarse mutuamente, permiten que una o más de ellas comiencen a adquirir una influencia preponderante, de modo que impriman una especie de sesgo a su efecto conjunto, la media comenzará de inmediato, por decirlo así, a mudar de posición. Y una vez que haya comenzado a mudarla, podrá seguir haciéndolo, en la medida misma en que reconocemos que las Especies son variables y el Desarrollo es un hecho.
Es como si el punto de la diana al que apuntamos, en vez de estar fijo, cambiara lentamente de posición a medida que seguimos disparando contra él; cambiando casi con certeza en cierta medida y de forma temporal, y no siendo improbable que lo haga en una medida considerable y de forma permanente.
§ 20. Nuestros ejemplos a lo largo de este capítulo se han tomado casi exclusivamente de características físicas, ya sea del hombre o de cosas inanimadas; pero no ha de suponerse que estemos necesariamente confinados a tales instancias. El Sr. Galton, por ejemplo, ha propuesto extender los mismos principios de cálculo a los fenómenos mentales, con miras a su determinación más exacta. Los objetivos que se persiguen al hacerlo pertenecen más bien a la parte inferencial de nuestro tema, y se indicarán mejor más adelante; pero no implican ningún principio distinto.
Al igual que otros intentos de aplicar los métodos de la ciencia en la región de la mente, esta propuesta ha encontrado cierta oposición; con muy escasa razón, según me parece. Que nuestras cualidades mentales, si pudieran someterse a una medición exacta, seguirían la habitual Ley de los Errores, puede suponerse sin mucha vacilación. La extensión conocida de la correlación entre las características mentales y corporales otorga alta probabilidad a la suposición de que lo que se prueba que prevalece, al menos de manera aproximada, entre la mayoría de los elementos corporales que han sido sometidos a medición, prevalecerá también entre los elementos mentales.
Hasta qué punto tales mediciones podrían llevarse a cabo en la práctica es harina de otro costal. No me parece que pudiera hacerse con gran éxito; en parte porque nuestras cualidades mentales están tan estrechamente relacionadas, de hecho se funden tanto las unas en las otras, que resulta imposible aislarlas con fines comparativos.[16]
Esto es hasta cierto punto una dificultad en las medidas corporales, pero lo es mucho más en las de la mente, donde apenas podemos ir más allá de lo que puede llamarse una buena conjetura.
La doctrina, por consiguiente, de que las cualidades mentales siguen la ahora familiar ley de disposición apenas puede fundamentarse en algo más que en una fuerte analogía.
Aun así, esta analogía es lo suficientemente fuerte como para justificar que aceptemos la doctrina y todas las conclusiones que de ella se desprenden, en la medida en que nuestras estimaciones y mediciones puedan considerarse confiables.
Parece, por tanto, que no hay nada irrazonable en el intento de establecer un sistema de clasificación natural de la humanidad mediante su ordenación en un cierto número de grupos por encima y por debajo de la media, estando destinado cada grupo a corresponder a ciertos límites de excelencia o deficiencia.[17]
Todo lo que se requiere para tal propósito es que la tasa de desviación respecto a la media sea razonablemente constante bajo circunstancias muy diversas; en este caso, a través de todas las razas del hombre.
Por supuesto, si la ley de divergencia es la misma que prevalece en la naturaleza inanimada, tenemos a mano un sistema de clasificación aún más amplio y natural, y uno que debería ser familiar, más o menos, a todo aquel que tenga que evaluar cualidades de este modo.
§ 21. Tal vez una de las mejores ilustraciones de la aplicación legítima de tales principios se encuentre en la obra del Sr. Galton sobre el Genio hereditario. En verdad, toda la fuerza y el sentido de algunos de sus razonamientos allí expuestos apenas pueden ser apreciados, excepto por aquellos que estén familiarizados con las concepciones que hemos estado discutiendo en este capítulo. Solo disponemos de espacio para señalar uno o dos puntos, pero el estudiante encontrará en la lectura, al menos de las partes más argumentativas de dicho volumen[18], una interesante ilustración de las doctrinas que ahora se discuten.
Por una parte, puede afirmarse con seguridad que nadie no familiarizado con la Ley de Error apreciaría jamás en lo más mínimo la excesiva rapidez con que los grados superiores de excelencia tienden a escasear. Todo el mundo, por supuesto, puede ver de inmediato, de un modo numérico al menos, lo que implica ser «uno de un millón»; pero no comprenderían en absoluto cuánta poca superioridad adicional cabe esperar en el hombre que es «uno de dos millones».
Confundirían la mera distinción numérica, que de algún modo parece implicar una doble excelencia, con la superioridad intrínseca, que por lo general estaría representada por una ventaja fraccionaria muy pequeña.
Ser «uno entre diez millones» suena grandioso, pero si las cualidades en cuestión pudieran evaluarse por sí mismas sin el conocimiento del área enormemente más amplia de la cual se ha hecho la selección, y libres por tanto de cualquier sesgo numérico consecuente, la gente se sorprendería al descubrir cuán ligera superioridad comparativa se obtenía, por regla general, de este modo.
§ 22. El punto que acabo de mencionar es de gran importancia en los argumentos basados en la estadística. Si, por ejemplo, encontramos a un pequeño grupo de personas, emparentadas entre sí y que poseen todas alguna característica mental en marcada superioridad, gran parte dependerá de la rareza comparativa de dicha excelencia cuando intentamos decidir si la posesión común de estas cualidades fue o no accidental.
Tal decisión nunca podrá ser más que aproximada, pero si ha de tomarse en absoluto, esta consideración debe intervenir como un factor. De nuevo, cuando comparamos una nación con otra,[19] digamos la ateniense con cualquier pueblo europeo moderno, ¿acaso la mente popular aprecia en absoluto qué clase de evidencia de superioridad general implica la producción, a partir de una sola nación, de un grupo como el que puede componerse con Sócrates, Platón y algunos de sus contemporáneos?
En este último caso también estamos empleando, cabe señalar, la «Ley de Error» de una segunda manera; pues estamos suponiendo que allí donde los extremos son grandes, también lo serán las medias; en otras palabras, estamos suponiendo que cada grado de desviación de la media se produce con un grado de frecuencia relativa (grosso modo) calculable. Por muy general que sea la aceptación de esta verdad de un modo impreciso, su evidencia solo puede ser apreciada por quienes conocen las razones que pueden aducirse en su favor.
Pero los mismos principios también aportarán una advertencia en el caso del último ejemplo. Nos recuerdan que, con el mero propósito de comparación, el hombre promedio de cualquier grupo o clase es un objeto de selección mucho mejor que el eminente.
Puede haber mayores dificultades en el camino para detectarlo, pero una vez que lo hayamos hecho, habremos obtenido una base de comparación más segura y estable.
Él es seleccionado, por la naturaleza de las cosas, del estrato más numeroso de su sociedad; el hombre eminente, de un estrato escasamente poblado. De acuerdo, por lo tanto, con las ya familiares leyes de los promedios y de los grandes números, las fluctuaciones entre los primeros serán por lo general muy pocas y pequeñas en comparación con las de los segundos.
1
Essai de Physique Sociale, 1869. Anthropométrie, 1870.
2
En cuanto a las estadísticas posteriores sobre el mismo tema, el lector puede remitirse a los Reports of the Anthropometrical Committee of the British Association (1879, 1880, 1881, 1883; —especialmente este último). Estos informes me parecen un gran avance respecto a los resultados obtenidos por Quetelet, y justifican plenamente la afirmación del secretario (el Sr. C. Roberts) de que sus estadísticas son «únicas en alcance y número». Abarcan no solo a los reclutas militares —como la mayoría de las tablas anteriores—, sino a casi todas las clases y edades, y a ambos sexos. Además, se refieren no solo a la estatura, sino a una serie de otras características físicas.
3 Como todo matemático sabe, el número relativo de cada uno de estos posibles lanzamientos viene dado por los términos sucesivos del desarrollo de (1 + 1)10, es decir, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1.
4
That is they will be more densely aggregated. If a space the size of the bull's-eye be examined in each successive circle, the number of shot marks which it contains will be successively less. The actual number of shots which strike the bull's-eye will not be the greatest, since it covers so much less surface than any of the other circles.
5
Comúnmente llamada la ley exponencial; su ecuación es de la forma y = Ae−hx2. La curva correspondiente corta al eje de las y en ángulos rectos (expresando el hecho de que cerca de la media hay un gran número de valores aproximadamente iguales); al cabo de un tiempo comienza a declinar rápidamente hacia el eje de las x (expresando el hecho de que los resultados pronto empiezan a ser menos comunes a medida que nos alejamos de la media); y el eje de las x es una asíntota en ambas direcciones (expresando el hecho de que ninguna magnitud, por muy alejada que esté de la media, es estrictamente imposible; es decir, cualquier desviación, por excesiva que sea, terminará por encontrarse dentro del alcance de una experiencia suficientemente prolongada). La curva es obviamente simétrica, lo que expresa el hecho de que las desviaciones iguales respecto a la media, por exceso y por defecto, tienden a ocurrir con la misma frecuencia a la larga.
Arriba se ofrece una representación gráfica aproximada de la curva. Para beneficio de quienes no estén familiarizados con las matemáticas, se pueden añadir aquí uno o dos breves comentarios acerca de algunas de sus propiedades. (1) No debe suponerse que todos los ejemplares de la curva sean semejantes entre sí. Las líneas punteadas son igualmente ejemplares de ella. De hecho, variando las unidades, esencialmente arbitrarias, en las que se estiman respectivamente x e y, podemos hacer que la porción hacia el vértice de la curva sea tan obtusa o tan aguda como queramos. Esta consideración es de importancia; pues nos recuerda que, variando una de estas unidades arbitrarias, podríamos obtener una «curva exponencial» que se asemejara razonablemente bien a cualquier curva simétrica de error, siempre que esta última reconociera y se basara en la suposición de que las divergencias extremas eran excesivamente raras. De ahí que sería difícil, por la mera observación, probar que la ley de error en un caso dado no era exponencial; a menos que las estadísticas fueran muy extensas, o que los resultados reales se apartaran considerablemente de la forma exponencial. (2) Es totalmente imposible dar una idea adecuada, mediante cualquier representación gráfica, de la excesiva rapidez con la que la curva, al cabo de un tiempo, se aproxima al eje de x. En el punto R, a nuestra escala, la curva se aproximaría hasta la quince milésima parte de una pulgada del eje de x, una distancia que solo un muy buen microscopio podría detectar. Mientras que en la hipérbola, p. ej.[ TN: space] la velocidad de acercamiento de la curva a su asíntota disminuye continuamente, aquí ocurre justamente lo contrario; esta velocidad aumenta continuamente. De ahí que ambas, a saber,[ TN: space] la curva y el eje de x, parezcan a simple vista, al cabo de muy poco tiempo, fundirse en una sola.
6
Como señala Quetelet: citado, entre otros, por Herschel, Essays, página 409.
7 Proc.[ TN: space] R. Soc.[** TN: space] 21 de oct. de 1879.
8
Estamos considerando aquí, recuérdese, el caso de una cantidad finita de estadísticas; de modo que existen límites reales en cada extremo.
9
Hay que admitir que la experiencia todavía no ha (creo yo) mostrado esta asimetría respecto a las alturas.
10
El razonamiento anterior será probablemente aceptado como válido en esta etapa de la investigación. Pero, en rigor, aquí se hacen suposiciones que, por muy justificables que sean en sí mismas, implican una cierta anticipación. Exigen, y en un capítulo futuro recibirán, un examen y una crítica más minuciosos.
11
Un ejemplo numérico concreto de este tipo de concentración de la frecuencia en torno a la media se dio en la nota del § 4. Era de forma binomial, consistente en los términos sucesivos del desarrollo de (1 + 1)m.
Ahora bien, puede demostrarse (Quetelet, Letters, p. 263; Liagre, Calcul des Probabilités, § 34) que el desarrollo de dicha binomial, a medida que m se hace indefinidamente grande, se aproxima en su límite a la forma exponencial; es decir, si tomamos un número de ordenadas equidistantes proporcionales respectivamente a 1, m, m(m − 1)/1·2, etc., y conectamos sus vértices, la figura que obtenemos representa de forma aproximada alguna forma de la curva y = Ae−hx2, y tiende a volverse idéntica a ella a medida que m aumenta sin límite.
En otras palabras, si suponemos que los errores son producidos por un número limitado de causas finitas, iguales e independientes, tenemos una aproximación a la Ley Exponencial de los Errores, la cual se funde en la identidad a medida que las causas aumentan en número y disminuyen en magnitud sin límite. Jevons ha proporcionado (Principles of Science, p. 381) un diagrama dibujado a escala para mostrar cuán rápida es esta aproximación.
Un punto debe recordarse cuidadosamente aquí, ya que a menudo se pasa por alto (por Quetelet, por ejemplo). Los coeficientes de un binomio de dos términos iguales —como (1 + 1)m, en el párrafo precedente— son simétricos en su disposición desde el principio y muy rápidamente se vuelven indistinguibles en su contorno (gráfico) de la forma exponencial final.
Pero si, por otra parte, hubiéramos de considerar los términos sucesivos de un binomio tal como (1 + 4)m (que son proporcionales a las probabilidades relativas de 0, 1, 2, 3, … fallos en m empresas, de un suceso que tiene una probabilidad a favor frente a cuatro en contra), tendríamos una sucesión asimétrica. Si, sin embargo, suponemos que m aumenta sin límite, como en la suposición anterior, la asimetría desaparece gradualmente y tendemos exactamente hacia la misma forma exponencial que si hubiéramos comenzado con dos términos iguales. La única diferencia es que la posición del vértice de la curva ya no está en el centro: en otras palabras, el término o suceso más probable no es un número igual de aciertos y fallos, sino aciertos y fallos en la proporción de 1 a 4.
12
«Ley del Error» es el término técnico habitual para lo que se ha mencionado más arriba como Ley de Divergencia respecto a una media. En sentido estricto, solo es apropiado en el caso de una —concretamente la tercera— de las tres clases de fenómenos mencionadas en el § 4, pero mediante una generalización conveniente se aplica igualmente a las otras dos; de modo que denominamos «error» a la magnitud de la divergencia respecto a la media en todos los casos, sin importar cómo se haya originado.
13 Esto sin embargo parece ser el propósito, ya sea por afirmación directa o por implicación, de dos elaboradas obras de Quetelet, a saber,[ TN: space] su Physique Sociale y su Anthropométrie.
14
Apenas pretende, sin embargo, ofrecer estas medidas como un cálculo exacto de la altura media, ni da tampoco siempre exactamente la misma medida.
En la práctica, al no medirse más que a los soldados en gran número, la estatura de los ingleses no ofrecía datos precisos a gran escala. Las estadísticas presentadas unas pocas páginas más adelante son probablemente mucho más fidedignas.
15
Esta afirmación recibirá cierta explicación y corrección en el capítulo siguiente.
16
No hablo aquí de los resultados, hoy ya familiares, de la psicofísica, que se ocupan principalmente de la medición de las percepciones y de otros estados simples de conciencia.
17 Tal vez la mejor exposición breve del método del señor Galton se encuentra en un artículo de Mind (julio de 1880) sobre la estadística de las imágenes mentales. El tema objeto de comparación aquí —a saber,[** TN: espacio] el poder relativo que poseen las distintas personas de evocar nítidas imágenes visuales de objetos que ya no están presentes ante nosotros— es uno que parece imposible de «medir», en el sentido ordinario del término. Pero al ordenar todas las respuestas según la escala en que dicha facultad parece poseerse, podemos, con cierta aproximación a la exactitud, seleccionar a la persona situada justo en el centro de la serie y usarla como base de comparación con la persona correspondiente de cualquier otro grupo. Y de manera similar con quienes ocupan otras posiciones relativas distintas a la del centro.
18
Me refiero a los capítulos introductorio y final: el grueso del libro está ocupado principalmente, por la naturaleza de las cosas, por detalles estadísticos y biográficos.
19
Véase la obra de Galton Hereditary Genius, págs. 336–350, «On the comparative worth of different races».