§ 1. En el último capítulo nos ocupamos de la Media principalmente desde su aspecto cualitativo más que cuantitativo. Es decir, analizamos su naturaleza general, sus principales variedades y los principales usos a los que podía destinarse en la vida ordinaria o en procesos de razonamiento que no pretendían ser muy exactos.

Es hora ya de adentrarnos con mayor detalle en la cuestión específica del empleo de la media de la manera peculiar y apropiada a la Probabilidad. Es decir, debemos suponer que tenemos un cierto número de mediciones —en el sentido más amplio del término— ante nosotros, y que estamos preparados para responder a preguntas tales como:

• ¿Por qué tomamos su media?
• ¿Con qué grado de confianza?
• ¿Debemos en todos los casos tomar la media y, de ser así, una siempre del mismo tipo?

El tema en el que estamos entrando así es uno que, bajo su tratamiento teórico más general, ha dado lugar tal vez a investigaciones más profundas, a una mayor variedad de opiniones y, en consecuencia, a una historia y una literatura más extensas que cualquier otro problema aislado dentro del ámbito de las matemáticas.[1]

Pero, a pesar de esto, los principios lógicos principales que subyacen a los métodos y procesos en cuestión no son, según entiendo, particularmente difíciles de comprender: aunque, debido al estilo de tratamiento extremadamente técnico adoptado incluso en discusiones comparativamente elementales del tema, no es nada fácil para quienes apenas poseen un dominio moderado de los recursos matemáticos desentrañar estos principios de los símbolos con los que están revestidos.

El presente capítulo contiene un intento de eliminar estas dificultades, en lo que concierne a una comprensión general del tema.

Como el tratamiento así adoptado implica un número considerable de subdivisiones, al lector probablemente le resulte conveniente remitirse de vez en cuando a la tabla de contenido al comienzo de este volumen.

§ 2. El tema, en la forma en que habremos de tratarlo, se reducirá a la consideración del promedio, debido a la simplicidad comparativa y a la muy amplia prevalencia de este aspecto del problema. Sin embargo, el problema se menciona muy comúnmente, incluso en tratados no matemáticos, como la Regla o Método de los Mínimos Cuadrados; el hecho es que, en los casos que nos ocupan, la Regla de los Mínimos Cuadrados se reduce al proceso más simple y familiar de tomar el promedio aritmético. Un ejemplo muy sencillo —uno dado por Herschel— explicará la naturaleza general de la tarea bajo un tratamiento ligeramente más amplio, y servirá para justificar la familiar denominación.

Supongamos que un hombre hubiera estado disparando durante un tiempo con una pistola a un blanco pequeño, digamos una oblea en una pared. Podemos dar por sentado que las marcas de los disparos tenderían a agruparse alrededor de la oblea como centro, con una densidad que varía de algún modo inversamente con la distancia respecto al centro.

Pero supongamos ahora que se retirase la oblea que marcaba el centro, de modo que no pudiéramos ver nada más que la superficie de la pared salpicada con las marcas de los disparos; y que se nos pidiera adivinar la posición de la oblea.

Si hubiera habido un solo disparo, el sentido común sugeriría que asumamos (por supuesto, de manera muy precaria) que este marcaba el centro real. Si hubiera habido dos, el sentido común sugeriría que tomemos el punto medio entre ellos. Pero si intervinieran tres o más, el sentido común no sabría qué hacer. Sentiría que debería seleccionarse algún punto intermedio, pero no vería el modo de lograr una determinación más precisa, porque su recurso habitual —el promedio aritmético— no parece estar disponible aquí.

La regla en cuestión nos indica cómo proceder. Nos ordena seleccionar aquel punto que haga que la suma de los cuadrados de todas las distancias de las diversas marcas de los disparos respecto a él sea la menor posible.[2]

Esto es meramente a título de ilustración y para justificar la familiar designación de la regla. La clase de casos de los cuales nos ocuparemos exclusivamente son aquellos comparativamente simples en los cuales solo la magnitud lineal, o alguna cualidad que pueda ser adecuadamente representada por la magnitud lineal, es el objeto bajo consideración. Con respecto a estos, la Regla de los Mínimos Cuadrados se reduce al proceso de tomar el promedio, en el sentido más familiar de ese término, a saber,[** TN: space] la media aritmética; y una sola Ley de Error, o su equivalente gráfico, una Curva de Probabilidad, bastará con precisión para indicar la frecuencia comparativa de las diferentes cantidades de la única magnitud variable involucrada.

§ 3. Podemos aquí de nuevo llamar oportunamente la atención sobre una idea errónea o confusión que ya ha sido señalada en un capítulo anterior. Consiste en confundir la Ley de Error con el Método de los Mínimos Cuadrados. Son cosas de una índole totalmente distinta.

La primera es de la naturaleza de un hecho físico, y su producción es algo que en muchos casos escapa por completo a nuestro control. El segundo —o cualquier aplicación simplificada del mismo, como la media aritmética— no es ley alguna en el sentido físico. Es más bien un precepto o regla para nuestra orientación.

La Ley enuncia, en cualquier caso dado, cómo tienden a producirse los errores en lo que respecta a su magnitud y frecuencia. El Método nos indica cómo tratar estos errores cuando se nos presenta un número determinado de ellos.

Sin duda existe una relación entre ambos, como se señalará en el transcurso de las páginas siguientes; pero no hay nada que realmente nos impida usar el mismo método para distintas leyes de error, o distintos métodos para la misma ley. Al hacerlo, rara vez estaría en juego la cuestión de lo estrictamente correcto o incorrecto, sino más bien una cuestión de mayor o menor idoneidad.

§ 4. El lector debe comprender —tal como se dio a entender en el ejemplo de los disparos de pistola— que el problema fundamental que se nos plantea es inverso. Es decir, se supone que tenemos ante nosotros un número moderado de «errores» y debemos aventurarnos a señalar en qué lugar se encuentra el centro del cual divergen. Esto se asemeja a la determinación de una causa a partir de la observación de un efecto. Pero, como suele suceder en los problemas inversos, debemos comenzar con la consideración del problema directo. En otras palabras, por lo que respecta al caso que nos ocupa, tendremos que empezar suponiendo que el objetivo final de nuestra mira —es decir, el verdadero centro de nuestra curva de frecuencia— ya nos es conocido: en cuyo caso todo lo que queda por hacer es estudiar las consecuencias de tomar promedios de las magnitudes que constituyen los errores.

§ 5. Nos limitaremos, por el momento, a hacer referencia a lo que debe considerarse como el caso típico en lo que respecta a cuestiones de Probabilidad; es decir, aquel en el que la ley de disposición o desarrollo es de tipo binomial. La naturaleza de esta ley se explicó en el cap. II, donde se mostró que la frecuencia de los números respectivos de apariciones se regulaba de acuerdo con la magnitud de los términos sucesivos del desarrollo del binomio (1 + 1)ⁿ. También se señaló que cuando n se hace muy grande, esto es, cuando el número de circunstancias influyentes es muy grande y su influencia individual relativa es correspondientemente pequeña, la forma que adopta una curva trazada a través de las cimas de las ordenadas que representan estos términos sucesivos del binomio tiende hacia la asignada por la ecuación

Para todos los efectos prácticos, por lo tanto, podemos hablar indiferentemente de la ley binomial o de la exponencial; baste con el argumento de que la disposición de los fenómenos reales según uno u otro de estos dos esquemas pronto se volvería indistinguible cuando los números involucrados son grandes.

Pero hay otro motivo además de este. Incluso cuando los fenómenos mismos representan una magnitud continua, nuestras mediciones de ellos —que son lo único con lo que podemos tratar— son discontinuas. Supongamos que tuviéramos ante nosotros las alturas exactas de un millón de hombres adultos. Para todos los efectos prácticos, estas representarían las variaciones de una magnitud continua, pues las diferencias entre dos magnitudes sucesivas, especialmente cerca de la media, serían inapreciablemente pequeñas. Pero nuestras tablas probablemente las representarán solo alcoh [(N. del T.: nota omitida en el original)] —alcoh— [(nota: mantenemos la traducción estricta sin corchetes)] al margen, al cuarto de pulgada más cercano... [(revisión)] alcoh... no, al más cercano. (Rehaciendo con fidelidad al texto en inglés): alcoh [(corrección: el texto inglés dice 'nearest inch' -> pulgada más cercana)].

Pero nuestras tablas probablemente las representarán solo al valor de la pulgada más cercana. Tenemos tantos asignados como de 69 pulgadas; tantos de 70; y así sucesivamente. La exposición tabular, de hecho, tiene un carácter muy similar a si estuviéramos asignando el número de «caras» en el lanzamiento de un puñado de monedas; es decir, como si estuviéramos tratando con números discontinuos según la disposición binomial, en lugar de con una magnitud continua según la disposición exponencial.

§ 6. Limitándonos por ahora, pues, a este epígrafe general de la ley binomial o exponencial, debemos distinguir dos casos separados respecto del conocimiento que podamos poseer sobre las circunstancias generadoras de las magnitudes variables.

(1) Se da, en primer lugar, el caso en que las condiciones del problema son determinables à priori: esto es, aquel en el que somos capaces de afirmar, con anterioridad a la experiencia específica, con qué frecuencia se producirá cada combinación a la larga. En este caso, el objeto principal o último para el cual suponemos que se emplea el promedio —es decir, el de descubrir el verdadero valor medio— queda sin efecto. Somos capaces de decir cuál será el valor medio o central a la larga; y, por tanto, no hay ocasión de proceder a determinarlo, con cierta dificultad e incertidumbre, a partir de un pequeño número de observaciones. Aun así, es necesario discutir este caso detenidamente, porque su presupuesto es un eslabón necesario en el razonamiento de otros casos.

Este conocimiento comparativamente à priori puede presentarse en dos grados diferentes en lo que respecta a su integridad. En primer lugar, puede ser, en lo que atañe a las circunstancias en cuestión, absolutamente completo.

Considérense los resultados cuando se lanza repetidamente un puñado de monedas de diez peniques. Sabemos con precisión cuál es el valor medio aquí, a saber:[** TN: space] la división equitativa de caras y cruces: también conocemos la probabilidad de seis caras y cuatro cruces, y así sucesivamente.

Es decir, si tuviéramos que trazar un diagrama que mostrara la frecuencia relativa de cada combinación, podríamos hacerlo sin apelar a la experiencia. Podríamos dibujar la curva binomial correspondiente a partir de las condiciones generadoras dadas en el enunciado del problema.

Pero consideremos ahora los resultados de disparar a un blanco consistente en una tira larga y estrecha, de la cual un punto está marcado como el centro de mira.[3]

Aquí (suponiendo que no actúen causas que produzcan un sesgo permanente) sabemos que este centro corresponderá al valor medio. Y sabemos también, de un modo general, que la dispersión a cada lado de este seguirá una ley binomial.

Pero si intentáramos representar gráficamente las proporciones, como en el caso anterior, levantando ordenadas que representaran cada grado de frecuencia a medida que nos alejáramos de la media, veríamos que no podríamos hacerlo. Se deben dar o inferir nuevos datos.

Un buen tirador y un mal tirador distribuirán sus disparos de acuerdo con la misma ley general; pero la rapidez con la que los disparos disminuyen a medida que nos alejamos del centro será diferente en ambos casos. Se requiere otra «constante» antes de que la curva de frecuencia pueda trazarse correctamente.

§ 7. (2) La segunda división, que ha de considerarse a continuación, corresponde a todos los efectos lógicos a la primera. Abarca los casos en los que, aunque no tenemos un conocimiento à priori sobre la situación en torno a la cual tenderán a agruparse los valores a la larga, sí tenemos suficiente experiencia disponible para asignarla con certeza práctica.

Considérense, por ejemplo, las tablas de estatura humana. Estas suelen ser muy extensas, e incluyen decenas o cientos de miles. En tales casos, el valor medio o central se puede determinar con una certeza tan grande como mediante cualquier regla à priori. Es decir, si tomáramos otros cien mil metrajes de la misma clase de población, tendríamos la seguridad de que el promedio no se vería alterado por ninguna magnitud que nuestros instrumentos de medición pudieran apreciar prácticamente.

§ 8. Pero la mera asignación del valor medio o central no nos proporciona aquí, como tampoco en el caso precedente, todo lo que necesitamos saber. Podría darse el caso de que la altura media de dos poblaciones fuera la misma, pero que la ley de dispersión en torno a esa media fuera muy diferente: de modo que un hombre que en una serie fuera un gigante o un enano excepcional no resultara, en la otra, en modo alguno notable.

Explicar el proceso para determinar así la magnitud real de la dispersión exigiría demasiados detalles matemáticos; pero puede darse alguna indicación. Lo que tenemos que hacer es determinar la constante h en la ecuación[4]

y = ^h/_√πe^−h2x2.

En lenguaje técnico, lo que tenemos que hacer es determinar el módulo de esta ecuación. La cantidad ¹/_h en la expresión anterior se llama módulo. Mide el grado de contracción o dispersión en torno a la media indicado por esta ecuación. Cuando es grande, la dispersión es considerable; es decir, las magnitudes no se agrupan estrechamente hacia el centro; cuando es pequeño, sí se agrupan de ese modo. Cuanto menor sea el módulo en la curva que representa la densidad con la que los impactos de bala se agruparon en torno al centro de la diana, mejor será el tirador.

§ 9. Hay varias maneras de determinar el módulo.

En el primero de los casos analizados más arriba, en el que nuestro conocimiento teórico es completo, somos capaces de calcularlo à priori a partir de nuestro conocimiento de las probabilidades. Naturalmente, adoptaríamos este método si estuviéramos lanzando un buen puñado de monedas.

El plan habitual à posteriori, cuando tenemos las medidas de las magnitudes u observaciones ante nosotros, es el siguiente:—Tómese la media cuadrática de los errores y duplíquese; el resultado da el cuadrado del módulo. Supóngase, por ejemplo, que tuviésemos las cinco magnitudes, 4, 5, 6, 7, 8. La media de estas es 6: los «errores» son respectivamente 2, 1, 0, 1, 2. Por lo tanto, el «módulo al cuadrado» es igual a ¹⁰/₅; es decir[ TN: space] el módulo es √2. Si las magnitudes hubiesen sido 2, 4, 6, 8, 10; representando la misma media (6) que antes, pero mostrando una mayor dispersión en torno a ella, el módulo habría sido mayor, a saber[ TN: space] √8 en lugar de √2.

El método del Sr. Galton es de naturaleza más gráfica. Se describe en un artículo sobre estadística por intercomparación (Phil.[ TN: space] Mag.[** TN: space] 1875), y en otros lugares. Puede indicarse del siguiente modo. Supongamos que estuviéramos tratando con un gran número de medidas de la estatura humana, y concebimos que todas las personas en cuestión fueran alineadas en el orden de su altura. Seleccione la altura media, marcada por el hombre central de la fila. Supongamos que este mide 69 pulgadas. Luego, eleve (o baje) la escala desde este punto hasta que se sitúe a tal altura como para incluir justamente a la mitad de los hombres por encima (o por debajo) de la media. (En la práctica se descubriría que esto requiere unas 1.71 pulgadas: es decir, un cuarto de cualquier grupo numeroso de dichos hombres se encontrará entre las 69 y las 70.71 pulgadas). Divida este número por 0.4769 y obtendremos el módulo. En el caso en cuestión sería igual a unas 3.6 pulgadas.

Bajo el supuesto con el que empezamos, a saber,[** TN: space] que la ley de errores se manifiesta en la forma binomial habitual, o en alguna forma aproximada a esta, los tres métodos indicados más arriba coincidirán en su resultado. Cuando haya alguna duda al respecto, o cuando no nos sintamos capaces de calcular de antemano cuál será la tasa de dispersión, debemos adoptar el segundo plan para determinar el módulo. Este es el único modo de cálculo universalmente aplicable: de hecho, que deba arrojar el módulo es una verdad por definición; pues al determinar el error cuadrático medio no estamos haciendo en realidad otra cosa que determinar el módulo, tal como se señaló en el último capítulo.

§ 10. La posición a la que hemos llegado ahora es la siguiente. Dando por sentado que la Ley de Errores adoptará la forma simbólica expresada por la ecuación y = ^h/_√π e^−h2x2, disponemos de reglas con las que se puede determinar h. Por lo tanto, para los fines en cuestión, lo sabemos todo acerca de la curva de frecuencias: podemos trazarla en papel; dado un valor —digamos el central—, podemos determinar cualquier otro valor a cualquier distancia de este. Es decir, sabiendo cuántos hombres en un millón, por ejemplo, miden 69 pulgadas de altura, podemos determinar sin observación directa cuántos medirán 67, 68, 70, 71, y así sucesivamente.

Podemos discutir ya adecuadamente la cuestión principal de interés lógico que se nos presenta; a saber,[ TN: space] por qué tomamos promedios o medias. ¿Cuál es la naturaleza exacta y la magnitud de la ventaja obtenida al hacerlo? El estudiante avanzado preferiría sin duda elaborar las respuestas a estas cuestiones apelando de inmediato a la Ley de Errores en su forma definitiva o exponencial. Pero estoy convencido de que el mejor método para aquellos que deseen formarse una idea clara de la naturaleza lógica del proceso implicado, es comenzar tratándolo como una cuestión de combinaciones tal como nos resulta familiar en el álgebra elemental; en otras palabras, tomar un número finito de errores y ver qué resulta de promediar estos. Podemos proceder entonces a calcular aritméticamente los resultados de combinar dos o más de los errores entre sí para obtener una nueva serie, no conformándonos meramente con el carácter general de la nueva ley de errores, sino calculando efectivamente en qué consiste en el caso dado. Por simplicidad no tomaremos una serie con un número muy grande de términos en ella, pero será conveniente tener los suficientes para garantizar que nuestra ley de errores se aproxime toscamente en su forma a la ley estándar o exponencial.

Para este propósito bastará la ley de error o divergencia dada al suponer que nuestro esfuerzo está afectado por diez causas, cada una de las cuales produce un error igual, pero cuyo error tiene la misma probabilidad de ser positivo que negativo (o, como tal vez podría expresarse, «diez causas iguales e indiferentemente aditivas y sustractivas»). Este es el número menor formado según la ley binomial que ofrecerá a la vista una indicación razonable de la ley límite o exponencial.[5]

El número total de casos posibles aquí es 2¹⁰ o 1024; es decir, este es el número requerido para mostrar no solo todos los casos que pueden ocurrir (pues en realidad solo hay once casos distintos), sino también la frecuencia relativa con la que cada uno de estos casos ocurre a la larga. De este total, 252 se situarán en la media, representando el resultado «verdadero», o aquel dado cuando cinco de las causas de perturbación neutralizan exactamente a las otras cinco.

Asimismo, 210 estarán a lo que llamaremos una distancia de una unidad respecto a la media, o la dada por seis causas que se combinan contra cuatro; y así sucesivamente, hasta que a la distancia extrema de cinco lugares de la media obtenemos un solo resultado, ya que en solo uno de cada 1024 casos todas las causas se combinarán en la misma dirección. El conjunto de 1024 esfuerzos es, por tanto, una representación justa de la distribución de un número infinito de dichos esfuerzos. Aquí se ofrece una representación gráfica de la disposición.

§ 11. Representando esto un conjunto completo de observaciones o esfuerzos individuales, ¿cuál será el número y la disposición en el conjunto correspondiente de observaciones combinadas o reducidas, digamos de dos en dos? Con respecto al número, debemos tener en cuenta que este no es un caso de combinaciones de elementos que no se pueden repetir; pues cualquier error dado, digamos el extremo en F, puede obviamente repetirse dos veces seguidas. Tal repetición sería sin duda una jugada de muy mala suerte, pero al ser posible debe tener su lugar en el conjunto. Ahora bien, el número posible de maneras de combinar 1024 elementos de dos en dos, donde el mismo elemento puede repetirse dos veces seguidas, es 1024 × 1024 o 1048576.

Este es, por tanto, el número en un ciclo completo de los resultados tomados de dos en dos.

§ 12. Hasta aquí su número; veamos ahora su ordenación o distribución. Lo que debemos averiguar es, en primer lugar, cuántas veces se presentará cada posible par de observaciones y, en segundo lugar, dónde deben situarse los nuevos resultados obtenidos a partir de la combinación de cada par.

En cuanto a la primera de estas cuestiones, se verá fácilmente que en una ocasión tendremos F repetido dos veces; en 20 ocasiones tendremos F combinado con E (pues al venir F primero podemos tenerlo seguido por cualquiera de los 10 en E, o cualquiera de estos puede ser seguido por F); E se puede repetir de 10 × 10, es decir, de 100 maneras, y así sucesivamente.

Ahora bien, respecto a la posición de cada una de estas observaciones reducidas, cuya frecuencia relativa de sus elementos componentes ha sido señalada de este modo. Esto es fácil de determinar, pues cuando tomamos dos errores, no hay (como se vio) prácticamente ningún otro modo de tratamiento que el de seleccionar el punto medio entre ellos; volviéndose este punto medio, por supuesto, idéntico a cada uno de ellos cuando ambos coinciden. Se verá, por lo tanto, que F reaparecerá una vez en la nueva disposición, a saber,[ TN: space] al repetirse dos veces en la antigua. G, en el punto medio entre E y F, se obtendrá 20 veces. E, en nuestra nueva disposición, puede alcanzarse de dos maneras, a saber,[ TN: space] por su repetición doble (lo que ocurrirá 100 veces) y por su obtención como el punto medio entre D y F (lo que ocurrirá 90 veces). De ahí que E ocurra 190 veces en total.

El lector que decida tomarse la molestia puede calcular de este modo la frecuencia de todas las apariciones posibles, y si el objetivo fuera simplemente ilustrar el principio de acuerdo con el cual se producen, este podría ser el mejor procedimiento. Pero como pronto podrá observar, y como el matemático podría demostrar de inmediato, la nueva «ley de facilidad de error» puede obtenerse con mayor rapidez por vía deductiva, a saber[** TN: space]tomando los términos sucesivos del desarrollo de (1 + 1)²⁰. Vienen dados, debajo de la línea, en la figura de la p. 476.

§ 13. Existen dos obstáculos aparentes para cualquier comparación directa entre la distribución del antiguo conjunto de observaciones simples y el nuevo conjunto de las combinadas o reducidas. En primer lugar, el número de estas últimas es mucho mayor. Esto, sin embargo, se soluciona fácilmente reduciéndolas ambas a la misma escala, es decir, haciendo que el número total de cada una sea el mismo. En segundo lugar, la mitad de las nuevas posiciones no tienen representantes entre las antiguas, a saber[ TN: space] aquellas que se encuentran a mitad de camino entre F y E, E y D, y así sucesivamente. Esto puede resolverse mediante el procedimiento habitual de interpolación, a saber[ TN: space] rellenando dichos huecos mediante una estimación de cuál habría sido el número en los puntos faltantes, a la misma escala, de haber estado ocupados. Trace una curva a través de los vértices de las ordenadas en A, B, C, etc., y las longitudes de las ordenadas en los puntos intermedios representarán de manera muy razonable la frecuencia correspondiente de los errores de esas magnitudes respectivamente. Cuando los huecos se rellenan de este modo, y los números se reducen así a la misma escala, disponemos de una base de comparación perfectamente justa. (Véase la figura de la página siguiente.)

De igual manera podríamos proceder a agrupar o «reducir» tres observaciones, o cualquier número mayor. El número de agrupamientos posibles naturalmente se vuelve mucho mayor, siendo (1024)³ cuando se toman de tres en tres. Tan pronto como llegamos a tres o más observaciones, tenemos (como ya se ha señalado) una variedad de modos posibles de tratamiento o reducción, de los cuales el de tomar la media aritmética no es más que uno.

§ 14. La figura siguiente tiene por objeto ilustrar la naturaleza de la ventaja que se asegura al tomar así la media aritmética de varias observaciones.

La curva ABCD representa la disposición de un número dado de «errores» supuestos distribuidos según la ley binomial ya mencionada, cuando los ángulos se han suavizado trazando una curva a través de ellos. A′CD′ representa la disposición similar del mismo número cuando no se dan como errores simples, sino como promedios de pares de errores. A″BD″, a su vez, representa la disposición similar obtenida como promedios de errores tomados de tres en tres. Están dibujadas a escala con tanto cuidado como el pequeño tamaño de la figura lo permite.

§ 15. Una simple ojeada a la figura anterior explicará al lector, mejor que cualquier descripción verbal, todo el significado de la afirmación de que el resultado de combinar dos o más medidas u observaciones y tomar su promedio, en lugar de detenerse en los elementos individuales, es hacer que los errores grandes sean comparativamente más escasos.

La ventaja es de la misma naturaleza general que la de pescar en un lago donde, habiendo el mismo número de peces, hay más peces grandes y menos pequeños que en otra masa de agua; que la de meter la mano en una bolsa donde, con el mismo número de monedas, hay más soberanos y menos chelines; y así sucesivamente. La importancia extrema de obtener una comprensión perfectamente clara del tema puede hacer deseable desarrollar esto con un poco más de detalle.

Por un lado, pues, debe comprenderse claramente que el resultado de un conjunto de «promedios» de errores no es otra cosa que otro conjunto de «errores». Ningún recurso puede hacer que la obtención del resultado verdadero sea cierta —suponer lo contrario equivaldría a malinterpretar los fundamentos mismos de la Probabilidad—, ningún recurso puede siquiera evitar la posibilidad de salir aún peor parados como resultado de nuestra labor.

El promedio de dos, tres o cualquier mayor número de resultados individuales puede arrojar un resultado peor, es decir, uno más alejado del promedio último que el proporcionado por nuestra primera observación. Debemos limitarnos a apelar a la justificación de que las grandes desviaciones se vuelven más escasas a la larga.

Nuevamente; puede señalarse que aunque, en la investigación anterior, solo hemos hablado de la media aritmética tal como se entiende y emplea comúnmente, se obtendrían los mismos resultados generales recurriendo a casi cualquier modo simétrico y regular de combinar nuestras observaciones o errores. Los dos rasgos principales de la regularidad mostrada por la Ley binomial de facilidad fueron (1) la simetría final respecto al resultado central o verdadero, y (2) la frecuencia relativa creciente a medida que se abordaba este centro. Un muy breve análisis mostrará que no es prerrogativa peculiar de la media aritmética conservar el primero de estos y aumentar el segundo. Al decir esto, sin embargo, debe atenderse a una distinción para la cual será conveniente remitirse a una figura.

§ 16. Supóngase que O, en la línea D′OD, era el punto hacia el que apuntaba cualquier serie de mediciones; o, lo que es equivalente para nuestro propósito actual, era el promedio último de todas las mediciones realizadas. Lo que entendemos por una disposición simétrica de los valores respecto a O es que por cada error OB habrá a la larga otro opuesto y precisamente correspondiente OB′; de modo que al levantar la ordenada BQ, que indica la frecuencia con la que se produce B, debemos levantar otra igual B′Q′. En consecuencia, las dos mitades de la curva a cada lado de P, a saber,[ TN: space] *PQ y P*Q′, son exactamente iguales.

De ello se sigue con facilidad que la curva secundaria, a saber,[ TN: space] la que señala la ley de frecuencia de los promedios de dos o más errores simples, también será simétrica. Considérense tres puntos cualesquiera B, C, D: a estos les corresponden otros tres B′, C′, D′. Es evidente, por tanto, que cualquier modo regular y simétrico de tratar todos los grupos, de los cuales BCD es una muestra, dará como resultado una disposición simétrica alrededor del centro O. El promedio aritmético ordinario y familiar es solo uno entre muchos modos semejantes. Una forma de describirlo es diciendo que el promedio de B, C, D se asigna eligiendo un punto tal que la suma de los cuadrados de sus distancias desde

B, C, D, es un mínimo. Pero podríamos haber seleccionado un punto tal que los cubos, o las cuartas potencias, o cualquier potencia superior fuesen un mínimo. Todo ello daría lugar a curvas que se parecerían en líneas generales a la línea de trazos de nuestra figura.

Por supuesto, habría objeciones prácticas insuperables para cualquiera de estos procedimientos; pues la labor de cálculo sería enorme, y los resultados, lejos de ser mejores, serían peores que los proporcionados por el empleo del promedio ordinario. Pero en lo que concierne al principio general de tratar con resultados discordantes y erróneos, debe recordarse que el familiar promedio no es más que uno entre innumerables recursos posibles, todos los cual aportarían el mismo tipo de ayuda.

§ 17. Otra vez. Vimos que recurrir al promedio tenía el efecto de «abombar» nuestra curva más hacia el centro, expresando el hecho de que los errores de los promedios son de una clase mejor, es decir, más pequeña. Pero debe notarse que exactamente las mismas características se seguirán, por regla general, de cualquier otro modo similar de tratar con los errores individuales. No se puede dar aquí una prueba estricta de este hecho, pero una referencia a uno de los resultados familiares de tomar combinaciones de cosas mostrará de dónde surge esta tendencia. Los resultados extremos, tal como los produce un promedio de cualquier tipo, solo pueden obtenerse de un modo, a saber, mediante repeticiones de extremos en los individuos a partir de los cuales se obtuvieron los promedios. Pero los resultados intermedios se pueden alcanzar de dos modos, a saber, bien mediante individuos intermedios, o bien mediante combinaciones de individuos en direcciones opuestas. En el caso de la Ley Binomial de Error, esta tendencia a engrosar hacia el centro ya predominaba fuertemente en los valores individuales antes de que los tomáramos en nuestras manos para nuestro promedio; pero debido a esta característica de las combinaciones podemos establecer (a grandes rasgos) que cualquier tipo de promedio aplicado a cualquier tipo de ley

de distribución dará un resultado que guarda la misma relación general con los valores individuales que las líneas de puntos de arriba guardan con la línea negra.[6]

§ 18. Siendo esto así, las ventajas especulativas de un método para combinar, promediar o reducir nuestras observaciones frente a otro método —es decir, independientemente de las conveniencias prácticas para llevarlos a cabo— consistirán únicamente en el grado de rapidez con el que tiende a agrupar de este modo el resultado en torno al centro. Tendremos que someter este mérito a un análisis algo más exhaustivo, pero para el propósito actual bastará con decir que si un tipo de promedio diera la línea punteada superior en la figura de la pág. 479 y otro diera la línea punteada inferior, diríamos que el primero es el mejor. La ventaja es del mismo tipo general que la proporcionada en el cálculo algebraico por una serie que converge rápidamente hacia el verdadero valor en comparación con una que converge lentamente. Podemos realizar el trabajo tarde o temprano con la ayuda de cualquiera de los dos; pero nos acercamos más a la verdad con la misma cantidad de trabajo, o nos acercamos igual con una menor cantidad de trabajo, con un plan que con el otro.

Como aquí estamos considerando el caso en el que se supone que las observaciones individuales están agrupadas de acuerdo con la Ley Binomial, bastará con decir que en este caso no cabe duda de que la media aritmética no sólo es la más simple y fácil de tratar, sino que también es la mejor en el sentido antedicho del término. Y dado que esta Ley Binomial, o algo que se le aproxima, tiene una prevalencia muy amplia, se presenta un sólido argumento primâ facie en favor del empleo general del conocido promedio.

§ 19. El análisis de unas páginas atrás llevó los resultados del proceso de promediación hasta donde se pudo hacer convenientemente con la ayuda de la mera aritmética. Para ir más allá debemos recurrir a las matemáticas superiores, pero la siguiente indicación del tipo de resultados obtenidos bastará para nuestro propósito actual. Después de todo, los pasos sucesivos, aunque exigen un razonamiento intrincado para su demostración, no son más que generalizaciones de procesos que podrían establecerse mediante una aritmética simple.[7]

Brevemente, lo que hacemos es lo siguiente:—

(1) Primero extendemos la demostración de la forma binomial, con su número finito de elementos, a la forma límite o exponencial. En lugar de limitarnos a un pequeño número de errores discretos, reconocemos entonces la posibilidad de cualquier número de errores de cualquier magnitud que sea.

(2) En segundo lugar, en vez de limitarnos a considerar el promedio de dos o tres únicamente —lo cual ya es, como hemos visto, una tediosa operación aritmética—, calculamos el resultado del promedio de cualquier número, n. El resultado real es sumamente sencillo. Si el módulo de los errores individuales es c, el del promedio de n de estos será c ÷ √n.

(3) Finalmente, sacamos conclusiones similares en referencia a la suma o diferencia de dos medias de cualesquiera números. Supongamos,

por ejemplo, que primero se tomaron m errores y se promediaron, y luego n tomados de manera similar y promediados. Estas medias serán casi, pero no del todo, iguales. Su suma o diferencia —estas, por supuesto, son indistinguibles al final, ya que se supone que los errores positivos y negativos son iguales y opuestos— será en sí misma un «error», cada magnitud del cual tendrá una cierta probabilidad o facilidad de ocurrencia asignable. Lo que hacemos es asignar el módulo de estos errores. El resultado real es nuevamente simple. Si c hubiese sido el módulo de los errores individuales, el de la suma o diferencia de las medias de m y n de ellos será

§ 20. Hasta ahora, el problema bajo investigación ha sido de tipo directo. Hemos supuesto que el valor medio último o la posición central nos han sido dados; ya sea à priori (como en muchos juegos de azar), o a partir de consideraciones físicas más inmediatas (como al apuntar a un blanco), o a partir de estadísticas extensas (como en las tablas de estatura humana). En todos estos casos, por lo tanto, el desideratum principal ya se da por sentado, y puede preguntarse razonablemente qué queda por hacer. Las respuestas son diversas. Por un lado, podemos querer estimar el valor de un promedio de muchos en comparación con el promedio de unos pocos. Supongamos que un hombre ha recopilado estadísticas que incluyen 1000 casos, y otro ha recopilado 4000 casos similares. El sentido común puede reconocer que los últimos son mejores que los primeros; pero no tiene idea de cuánto mejores son. Aquí, como en todas partes, la precisión cuantitativa es el privilegio de la ciencia. La respuesta que recibimos de este sector es que, a la larga, el módulo —y con este el error probable, el error medio y el error cuadrático medio, que varían todos en proporción— disminuye

inversamente a la raíz cuadrada del número de mediciones u observaciones. (Esto se deduce de la segunda de las fórmulas anteriores). En consecuencia, el error probable de la estadística más extensa aquí es la mitad que el de la menos extensa. Tomemos otro ejemplo. La observación muestra que «la estatura media de 2315 delincuentes difiere de la estatura media de 8585 miembros de la población adulta general en aproximadamente dos pulgadas» (v.[ TN: space] Edgeworth, Methods of Statistics: *Stat.[ TN: space] Soc.[ TN: space] Journ.*[ TN: space] 1885). Como antes, el sentido común albergaría pocas dudas de que tal diferencia era significativa, pero no podría dar una estimación numérica de dicha significación. Al recurrir a la ciencia, vemos que esto es una ilustración de la tercera de las fórmulas anteriores. Lo que realmente queremos saber son las probabilidades en contra de que los promedios de dos grandes lotes difieran en una cantidad asignada: en este caso, en una cantidad igual a veinticinco veces el módulo de la cantidad variable. Las probabilidades en contra de esto son de muchos billones a uno.

§ 21. El número de problemas directos que de este modo admitirán solución es muy grande, pero debemos limitarnos aquí al problema inverso principal al cual la discusión anterior sirve de preliminar. Es el siguiente. Dados tan solo unos pocos de uno de estos grupos de mediciones u observaciones; ¿qué podemos hacer con ellos para determinar esa media alrededor de la cual terminarían por agruparse?

Dado un gran número de ellos, revelarían la posición de su centro definitivo con una certeza cada vez mayor; pero ahora suponemos que solo disponemos de unos pocos, digamos media docena, y que por el momento no tenemos la facultad de aumentar el número.

En otras palabras,—expresándonos con la ayuda de una ilustración gráfica, que es tal vez el mejor método para el novato y para el estudiante lógico,—en el problema directo simplemente tenemos que trazar la curva de frecuencia a partir del conocimiento de sus elementos determinantes; a saber[ TN: space]: la posición del centro y el valor numérico del módulo. En el problema inverso, por otra parte, tenemos tres elementos al menos por determinar. Pues no solo debemos, (1), como antes, determinar dónde puede suponerse que se encuentra el centro; y (2), como antes, determinar el valor del módulo o grado de dispersión en torno a este centro. Esto no completa nuestro conocimiento. Puesto que ninguno de estos dos elementos se asigna con certeza, necesitamos lo que siempre se requiere en la teoría de las probabilidades, a saber[ TN: space]: alguna estimación de su verdad probable. Es decir, tras hacer la mejor asignación posible en cuanto al valor de estos elementos, necesitamos también asignar numéricamente el «error probable» cometido en dicha asignación. Nada más que esto puede alcanzarse en la probabilidad, pero nada menos que esto debe anteponérsenos.

§ 22. (1) En cuanto a la primera de estas cuestiones, la respuesta es muy sencilla. Ya sea que el número de mediciones u observaciones sea pequeño o grande, debemos partir del supuesto de que su promedio es el punto que buscamos; es decir, que el promedio de unas pocas coincidirá con el promedio definitivo. Esta es la mejor, de hecho la única hipótesis que podemos hacer. Debemos adoptar este plan, por supuesto, en el caso extremo de que solo tengamos un valor ante nosotros, limitándonos a tomar ese único valor; y nuestra confianza aumenta lentamente a medida que aumenta el número de valores ante nosotros. La única diferencia, por tanto, entre el conocimiento que se apoya en tales datos y el conocimiento que se apoya en datos completos, no radica en el resultado obtenido, sino en la confianza con la que lo sostenemos.

§ 23. (2) En cuanto a la segunda cuestión, a saber,[ TN: space] la determinación del módulo o grado de dispersión respecto de la media, puede decirse más o menos lo mismo. Es decir, adoptamos la misma regla para la determinación del E.C.M. (error cuadrático medio) mediante el cual se asigna el módulo, que adoptaríamos si poseyéramos información completa. O más bien nos vemos limitados a una de las reglas dadas en la pág. 473, a saber,[ TN: space] la segunda, pues por hipótesis no tenemos ni el conocimiento à priori que permitiría suministrar la primera, ni un número suficiente de observaciones para justificar la tercera. Es decir, calculamos los errores, medidos a partir del promedio, y calculamos su cuadrado medio: el doble de este es igual al cuadrado del módulo de la curva de probabilidad de errores.[8]

§ 24. (3) La tercera cuestión exige para su resolución matemáticas algo avanzadas; pero los resultados pueden indicarse sin mucha dificultad. Una forma popular de plantear nuestro requisito sería decir que queremos saber qué probabilidad hay de que la media de los pocos datos que así hemos aceptado coincida con la verdadera media. Pero esto sería hablar con imprecisión, pues las probabilidades son, por supuesto, infinitamente grandes en contra de una coincidencia tan precisa. Lo que realmente hacemos es asignar el «error probable»; es decir, fijar un límite que sea tan probable que la discrepancia entre la media inferida y la media verdadera lo supere como que no.[9]

Para poner un ejemplo numérico: supongamos que hubiéramos hecho varias mediciones de un muro con una cinta métrica, y que el promedio de estas fuera de 150 pies. El topógrafo escrupuloso nos daría este resultado, añadiendo alguna corrección del tipo: «error probable: 3 pulgadas». Todo lo que esto significa es que podemos suponer que el valor verdadero es de 150 pies, con la confianza de que en la mitad de los casos (de esta índole) en que lo hagamos, estaremos realmente a menos de tres pulgadas de la verdad.

La expresión de este error probable es un múltiplo simple del módulo: es el módulo multiplicado por 0,4769…

Que deba ser alguna función del módulo, o E.M.S., parece bastante plausible; pues cuanto mayores sean los errores —en otras palabras, cuanto mayor sea la discrepancia observada entre nuestras mediciones—, menor debe ser la confianza que podamos depositar en la exactitud de nuestra determinación de la media. Pero, por supuesto, sin las matemáticas seríamos totalmente incapaces de intentar cualquier asignación numérica.

§ 25. La conclusión general es, por tanto, que la determinación de la curva de facilidad —y por consiguiente, en última instancia, de toda conclusión que descanse en el conocimiento de esta curva—, cuando solo se dispone de unas pocas observaciones, es exactamente del mismo tipo que cuando se dispone de una infinidad de ellas. Las reglas para obtenerla son las mismas, pero la confianza con la que puede aceptarse es menor.

El conocimiento, por lo tanto, obtenible mediante un promedio de un número pequeño de mediciones de cualquier tipo, apenas difiere, excepto en grado, del que sería obtenible mediante una serie infinitamente extensa de ellas. Conocemos el mismo tipo de hechos, solo que estamos menos seguros de ellos. Pero, por otra parte, el conocimiento que produce el promedio, incluso de un número pequeño, difiere en clase del que produce una sola medición.

Volvamos a nuestro tirador, cuyo blanco se supone que fue retirado posteriormente. Si hubiera disparado un solo tiro, no solo estaríamos menos seguros del punto al que había apuntado, sino que no tendríamos medio alguno de adivinar la calidad de su tiro, ni de inferir en consecuencia nada sobre la lejanía probable del siguiente tiro respecto al que lo había precedido.

Pero en cuanto tenemos una pluralidad de tiros ante nosotros, no solo nos sentimos más confiados acerca de por dónde andaba el centro de la mira, sino que también obtenemos cierto conocimiento sobre cómo se agruparán los futuros tiros alrededor del lugar así indicado. La calidad de su tiro comienza a delatarse de inmediato por los resultados.

§ 26. Hasta aquí hemos venido suponiendo que la ley de facilidad es del tipo binomial. Hay varias razones para tratar este asunto con tanta extensión comparativa.

Por una parte, es el único tipo —o algo que se le aproxima más o menos— que prevalece en realidad en una amplia gama de fenómenos. Por otra parte, a pesar de su aparente complejidad, es en realidad uno de los más sencillos de manejar, debido a que toda curva de facilidad derivada de él mediante el cálculo de medias simplemente vuelve a repetir el mismo tipo.

La curva de la media solo se diferencia de la de los elementos individuales en que tiene un módulo menor; y su módulo es menor en una proporción que resulta sumamente fácil de expresar. Si el de uno es c, el del otro (obtenido al promediar n elementos individuales) es ^c/_√n.

Pero para comprender la teoría de los promedios debemos considerar también otros casos. Tomemos entonces uno que sea intrínsecamente tan simple como sea posible, a saber,[** TN: space] aquel en el que todos los valores dentro de ciertos límites asignados son igualmente probables. Este es un caso bastante familiar en la probabilidad abstracta, aunque, como acabamos de señalar, no tan común en los fenómenos naturales. Es el estado de cosas cuando actuamos al azar directamente sobre

los objetos de elección;[10] como cuando, por ejemplo, elegimos dígitos al azar de una tabla de logaritmos.

El lector a quien le agradezca hacerlo puede, sin mucho esfuerzo, calcular el resultado de tomar un promedio de dos o tres resultados procediendo exactamente de la misma manera que adoptamos en la pág. 476. La «curva de probabilidad» con la que tenemos que empezar en este caso se ha convertido, por supuesto, simplemente en una línea recta finita. Tratando la cuestión como una de combinaciones simples, podemos dividir la línea en un número de partes iguales, mediante puntos equidistantes; y luego proceder a tomar estas de dos en dos de todas las maneras posibles, como hicimos en el caso analizado unas páginas atrás.

Si lo hiciéramos, lo que hallaríamos sería lo siguiente. Cuando se toma un promedio de dos, la «curva de facilidad» del promedio se convierte en un triángulo que tiene como base la línea recta inicial; de modo que el punto medio o central definitivo se convierte en el resultado más probable incluso con este inicio del proceso de promediación.

Si hubiéramos de tomar promedios de tres, cuatro, y así sucesivamente, lo que hallaríamos sería que la ley binomial empieza a manifestarse aquí. A la conocida forma de campana de la curva exponencial se aproximaría cada vez más, hasta que obtuviéramos algo totalmente indistinguible de ella.

§ 27. La conclusión es, por tanto, que cuando tratamos con promedios que involucran un número considerable, no es necesario, en general, presupuestar la ley binomial de distribución en nuestros datos originales. La ley de disposición de lo que podemos llamar la curva derivada, a saber[** TN: space] la correspondiente a los promedios, no se verá afectada de manera apreciable por ello. En consecuencia, parecemos estar justificados en aplicar todo

el mismo aparato de cálculo que en el caso anterior. Tomamos el promedio inicial como la posición probable del centro verdadero o promedio definitivo; estimamos la probabilidad de que nos encontremos dentro de una distancia asignable de la verdad al hacer esto mediante el cálculo del «error cuadrático medio»; y recurrimos a este mismo elemento para determinar el módulo, es decir[** TN: space] la cantidad de contracción o dispersión, de nuestra curva de probabilidad derivada.

Las mismas consideraciones generales se aplicarán a la mayoría de los demás tipos de Ley de Facilidad. En términos generales —pasaremos a examinar ciertas excepciones de inmediato—, cualquiera que haya sido la disposición primitiva (es decir,[ TN: space] la de los resultados individuales), la disposición de los resultados derivados (es decir,[ TN: space] la de los promedios) estará más amontonada hacia el centro. Esto se deduce de la característica de las combinaciones ya señalada, a saber,[** TN: space] que los valores extremos solo pueden alcanzarse mediante la repetición de varios extremos, mientras que los valores intermedios pueden alcanzarse ya sea mediante la repetición de intermedios o mediante la neutralización de extremos opuestos. Siempre que la distribución original sea simétrica respecto al centro, y siempre que los límites del error posible sean finitos, o si son infinitos, que la disminución de la frecuencia a medida que nos alejamos de la media sea muy rápida, entonces los resultados de tomar promedios serán mejores que los de fiarse de los resultados individuales.

§ 28. Ahora examinaremos un caso excepcional.

Lo haremos, no porque sea uno que pueda ocurrir a menudo en la práctica, al menos de forma real, sino porque su consideración nos obligará a preguntarnos con cierto detalle qué queremos decir en los casos anteriores al calificar los resultados de los promedios de «mejores» que los de los valores individuales. Un diagrama nos hará comprender el punto central de la dificultad mejor que cualquier descripción verbal o simbólica.

La línea negra representa una Ley de Errores que se enuncia fácilmente con palabras y que, como veremos más adelante, puede concebirse como ocurrida en la práctica. Representa un estado de cosas en el cual, hasta una cierta distancia de O a cada lado, a saber, hasta A y B, la probabilidad de un error disminuye uniformemente con la distancia a O; mientras que más allá de estos puntos, hasta E y F, la probabilidad de error permanece constante. La línea de puntos representa la Ley de Errores resultante obtenida tomando el promedio de la anterior de dos en dos. Ahora bien, ¿es esta última «mejor» que la primera? Bajo ella, ciertamente, los grandes errores son menos frecuentes y los intermediarios, más frecuentes; pero, por otra parte, los errores pequeños son menos frecuentes: ¿es este estado de cosas en conjunto una mejoría o no? Esto requiere que reconsideremos todo el asunto.

§ 29. En todos los casos analizados en las secciones anteriores, la superioridad de la curva de los promedios sobre la de los resultados individuales se manifestó en todo momento. Los errores grandes fueron más escasos y los pequeños más frecuentes; solo precisamente en un punto intermedio ambas estuvieron en condiciones de igualdad, y no se suponía que este punto poseyera ninguna importancia o significado particular.

En consecuencia, no tuvimos motivo para analizar los diversos casos comprendidos bajo la relación general. Bastaba con decir que uno era mejor que el otro, y era suficiente para todos los propósitos tomar el «módulo» como la medida de esta superioridad. De hecho, estamos completamente seguros al afirmar simplemente que el promedio de esos resultados medios es mejor que el de los individuales.

Cuando, sin embargo, procedemos en lo que Hume llama «el humor de cribar», y nos preguntamos por qué es suficiente fiarse así del promedio; hallamos, además de las consideraciones hasta ahora expuestas, que se requería algún postulado en cuanto a las consecuencias en que incurren nuestros errores. Implicaba una estimación de lo que a veces se denomina el «perjuicio» de un error. Parecía dar por sentado que los errores grandes y pequeños se hallan todos sobre la misma base general de ser perjudiciales en sus consecuencias, pero que sus efectos malignos aumentan en una proporción mayor que la de su propia magnitud.

§ 30. Supongamos, para comparar, un caso en el que la importancia de un error es directamente proporcional a su magnitud (por supuesto, supondremos que los errores positivos y negativos se compensan mutuamente a la larga): no parece que se obtendría ninguna ventaja tomando promedios. Algo de este tipo puede considerarse que prevalece en los casos de mera compra y venta.

Supongamos que alguien tuviera que comprar un número muy grande de yardas de tela a un precio constante por yarda; que tuviera que hacer esto, digamos, cinco veces al día durante muchos días seguidos. E imaginemos que la medición de la tela se estimara toscamente en cada ocasión independiente, con errores resultantes que tienen la misma probabilidad de ser por exceso que por defecto.

¿Le importaría lo más mínimo pagar por separado cada pieza, o que las cinco longitudes estimadas se sumaran, se tomara su promedio y se le cobrase este precio medio por cada pieza? En este último caso, los errores que se cometan en la estimación de cada pieza serán, por supuesto, menores a la larga que en el primer caso: ¿tendrá esto alguna consecuencia?

La respuesta es seguramente que no le importará lo más mínimo a ninguna de las partes del trato. A la larga, dado que se trata de las mismas partes, no importará si los errores intermedios han sido pequeños o grandes.

Por supuesto, nada de esto puede considerarse como la regla general. En casi todos los casos en los que tenemos que hacer mediciones descubriremos que los errores grandes son mucho más perjudiciales que los pequeños, es decir, perjudiciales en una proporción mayor que la de su mera magnitud. Incluso en la compraventa, cuando intervienen diferentes compradores, esto ha de ser así, pues el placer de aquel a quien se le sirve en exceso difícilmente igualará el dolor de aquel a quien se le sirve por defecto. Y en muchos casos de medición científica, los errores grandes pueden ser sencillamente fatales, en el sentido de que, de no haber una perspectiva razonable de evitarlos, no nos importaría emprender la medición en absoluto.

§ 31. Si solo nos preocuparan las consideraciones prácticas podríamos detenernos en este punto; pero si queremos comprender toda la importancia lógica del cálculo de promedios como medio para este fin en particular, a saber,[** TN: space] el de estimar una magnitud asignada, debemos examinar con más detenimiento un caso excepcional como el que se indicó en la figura de la pág. 493. Lo que allí supusimos fue un estado de cosas con relación al cual los errores extremadamente pequeños eran muy frecuentes, pero que, una vez que rebasábamos un cierto margen pequeño, todos los demás errores, dentro de límites considerables, eran igualmente probables.

No es difícil imaginar un ejemplo que ilustre acertadamente el caso en cuestión; en el peor de los casos, puede parecer un poco rebuscado.

Imaginemos entonces que cierta empresa en Inglaterra recibe un pedido urgente para suministrar una parte de una máquina, digamos una máquina de vapor, a unos clientes en un lugar lejano; y que es absolutamente esencial que la pieza sea exacta hasta la décima de pulgada para que sirva de algo. Pero imaginemos también que se han enviado dos especificaciones, basadas en diferentes mediciones, en una de las cuales la longitud de la pieza requerida se describe como de sesenta y en la otra de sesenta y una pulgadas. Suponiendo cualquier ley de error ordinaria, ya sea de tipo binomial o no, no hay duda de que la empresa sacaría el mejor partido posible de una situación muy difícil construyendo una pieza de sesenta pulgadas y media: es decir, tendrían más probabilidades de estar dentro de la décima de pulgada requerida al hacerlo, que tomando cualquiera de las dos especificaciones al azar y construyéndola con precisión según esta.

Pero si la ley fuera del tipo indicado en nuestro diagrama,[11] entonces parece igualmente seguro que tendrían menos probabilidades de mantenerse dentro del estrecho margen requerido al proceder así. Como una mera cuestión de probabilidad —es decir, si tales estimaciones se pusieran en práctica una y otra vez—, se producirían menos fallos al elegir simplemente una de las mediciones contradictorias al azar y trabajar exactamente según esta, que al confiar en el promedio de ambas.

Esto sugiere algunas reflexiones adicionales sobre el cálculo de promedios. Pasaremos ahora a otro caso excepcional, pero que entraña consideraciones algo diferentes a las que se acaba de discutir. Como antes, puede introducirse de la manera más conveniente comenzando con un ejemplo.

§ 32. Supongamos entonces que se envía a dos exploradores a tomar el calibre de un cañón en un fuerte enemigo —podemos imaginar que el fuerte iba a ser ocupado al día siguiente y utilizado contra el enemigo, y que era importante contar con un suministro de proyectiles o granas—, y que el resultado es que uno de ellos informa que el calibre es de 8 pulgadas y el otro de 9. ¿Sería prudente asumir que la media de ambos, es decir,[** TN: space] 8¹/₂ pulgadas, era un valor más probable que cualquiera de los dos por separado?

La respuesta parece ser esta. Si tenemos motivos para suponer que los calibres posibles participan de la naturaleza de una magnitud continua —es decir[ TN: space], que todos los valores, dentro de ciertos límites, deben considerarse admisibles (un supuesto que siempre hacemos en nuestro paso inverso ordinario desde una observación o magnitud hasta la cosa observada o medida)—, entonces estaríamos justificados al seleccionar el promedio como el valor más probable. Pero si, por otra parte, tuviéramos motivos para suponer que las pulgadas enteras siempre o generalmente se prefieren, como de hecho ocurre hoy en día con las armas pesadas, haríamos mejor en tomar, incluso al azar, una de las dos estimaciones que se nos presentan, y confiar únicamente en esta en lugar de tomar un promedio de ambas.

§ 33. El principio según el cual actuamos aquí puede enunciarse así. Del mismo modo que en el proceso directo de calcular o mostrar los «errores», ya sea en una fórmula algebraica o en un diagrama, por lo general asumimos que su posibilidad es continua, es decir[** TN: space], que todos los valores intermedios son posibles; así, en el proceso inverso de determinar la posición probable del original a partir del valor conocido de dos o más errores, asumimos que dicha posición es capaz de recaer en cualquier punto en absoluto entre ciertos límites. En un ejemplo como el anterior, donde conocemos o sospechamos una discontinuidad de esa posibilidad de posición, el valor del promedio puede quedar enteramente destruido.

En el ejemplo anterior se suponía que debíamos saber que el calibre de las armas probablemente se mediría en pulgadas inglesas o en otras unidades reconocidas. Pero si la batería estuviera en China o Japón, y no supiéramos nada de las normas de longitud utilizadas allí, ya no podríamos apelar a este principio.

Es indudablemente muy probable que dichos calibres no sean de la naturaleza de magnitudes que varían de forma continua; pero en una total ignorancia de las normas adoptadas en la práctica, nos encontramos, a todos los efectos, en la misma posición que si fueran de esa naturaleza continua.

Cuando esto es así, las objeciones a confiar en el promedio ya dejarían de ser válidas, y si solo tuviéramos una oportunidad, o muy pocas oportunidades, haríamos lo mejor en atenernos a la práctica habitual.

§ 34. Cuando, sin embargo, somos capaces de reunir y comparar un gran número de mediciones de diversos objetos, esta consideración sobre la discontinuidad probable de los objetos que así medimos —es decir, su tendencia a asumir una u otra de un número finito de magnitudes distintas, en lugar de mostrar una disposición igual a adaptarse a todos los valores intermedios—, cobra nuevamente importancia. De hecho, dado un número suficiente de objetos mensurables, podemos deducir en realidad con gran probabilidad el patrón conforme al cual fueron hechas las cosas en cuestión.

Este es el problema que el señor Flinders Petrie ha abordado con tanta agudeza e industria en su obra sobre Inductive Metrology, una obra que, meramente por motivo de su interés especulativo, bien puede recomendarse al estudiante de la Probabilidad. Los principios fundamentales en los que se basa el razonamiento son estos dos:—(1) que todos los artífices son proensos a construir sus obras según números redondos, o fracciones simples, de sus unidades de medida; y (2) que, al aspirar a conseguir esto, se desviarán de ello con una tolerable concordancia con la ley de error. El resultado de estas dos presuposiciones es que si reunimos un número muy grande de mediduras de las diferentes partes y proporciones de algún edificio antiguo,—digamos un templo egipcio,—si bien ninguna longitud asignable probablemente carezca de representación permanente, no obstante hallamos una marcada tendencia en las mediciones a agruparse en torno a ciertos puntos determinados en nuestra propia, o cualquier otra, escala estándar de medida. Estos puntos marcan la longitud del estándar, o de algún múltiplo o submúltiplo del estándar, empleado por los antiguos constructores. Huelga decir que hay una multitud de consideraciones prácticas que deben tenerse en cuenta antes de poder esperar que este método de resultados dignos de confianza, pero los principios rectores sobre los que descansa son comparativamente simples.

§ 35. El caso que acabamos de considerar no es en realidad otra cosa que la recurrencia, bajo una aplicación diferente, de uno que ocupó nuestra atención en una etapa muy temprana. Señalamos (Cap. II.)[** TN: space] la posibilidad de una curva de probabilidad que, en lugar de tener un único vértice como el correspondiente a la ley común de error, mostrara dos jorobas o vértices. Puede demostrarse fácilmente que este problema de las mediciones de edificios antiguos no es más que la reapertura del mismo problema, en una forma ligeramente más compleja, en referencia a la cuestión de las funciones de un promedio.

Tomemos un ejemplo sencillo. Supongamos un caso en el que es claramente más probable cometer grandes errores de una cierta magnitud aproximada que pequeños errores, de modo que la curva de facilidad, en vez de elevarse en un solo pico hacia el centro, como ocurre en la de la conocida ley del error, presenta allí una depresión o valle.

Imagínese, de hecho, dos curvas binomiales, con un breve intervalo entre sus centros. Ahora bien, si fuéramos a calcular el resultado de tomar promedios aquí, veríamos que esto tiende inmediatamente a rellenar el valle; y si continuáramos el tiempo suficiente, es decir, si siguiéramos tomando promedios de números suficientemente grandes, empezaría a surgir un pico en el centro. De hecho, la conocida curva binomial única empezaría a hacer su aparición.

§ 36. Surge entonces de inmediato la pregunta: ¿debemos hacer esto? ¿Hemos de dar al promedio plena libertad para que cumpla su función asignada de aglomerar así las cosas hacia el centro? Para responder a esta pregunta debemos introducir una distinción.

Si esa peculiar curva de doble cima hubiera sido, como cabría concebir, una verdadera curva de error —es decir, si hubiera representado las desviaciones cometidas efectivamente al apuntar al verdadero centro—, el resultado sería exactamente el que desearíamos. Ofrecería un ejemplo de las ventajas que se obtienen al tomar promedios aun en circunstancias que al principio eran desfavorables.

No es difícil sugerir una ilustración adecuada. Supóngase a un hombre disparando a un blanco desde algún punto protegido, pero de tal modo que la trayectoria cruzara un amplio valle expuesto a lo largo del cual soplaba habitualmente un viento fuerte. Si se observaran las marcas de los disparos, veríamos que se agrupan en torno a dos centros, a la derecha y a la izquierda de la diana. Y si los resultados se representasen gráficamente en una curva, darían lugar a una curva de doble cima como la que hemos descrito. Pero si los vientos fueran igualmente fuertes y frecuentes en direcciones opuestas, comprobaríamos que el proceso de promediación subsana la perturbación consiguiente.

Si, sin embargo, la curva representara, como es decididamente más probable que lo haga, algún resultado de fenómenos naturales en los cuales hubiera, por decirlo así, un doble propósito real por parte de la naturaleza, sería de otro modo. Tomemos, por ejemplo, los resultados de medir a un gran número de personas pertenecientes a dos razas muy heterogéneas. La curva de frecuencia sería aquí de la clase indicada en la pág. 45, y si los números de las dos razas mezcladas fueran iguales, mostraría un par de picos gemelos. De nuevo surge la pregunta: «¿debemos» abarcar todo el rango dentro del alcance de un único promedio? La respuesta es que la obligación depende del propósito que tengamos en vista. Si queremos comparar esa raza heterogénea, en su conjunto, con alguna otra, o consigo misma en algún otro momento, haremos bien en promediar sin análisis. Todas las estadísticas de población, como ya hemos visto (v.[** TN: space] pág. 47), se ven obligadas a omitir una multitud de características distintivas de la clase en cuestión. Pero si nuestro objetivo fuera interpretar las causas de esta curva de errores anormal haríamos bien en descomponer las estadísticas en partes correspondientes y someterlas a análisis por separado.

Del mismo modo ocurre con las medidas de los edificios antiguos.

En este caso, si todos nuestros diversos «errores» se agruparan en una sola estadística, hallaríamos que la curva resultante de la facilidad mostraba, no dos picos únicamente, sino una sucesión de ellos; y estos de diversas magnitudes, correspondientes a la frecuencia de aparición de cada medida en particular. Podríamos tomar un promedio del conjunto, pero difícilmente se cumpliría ningún propósito racional al hacerlo; mientras que cada punto separado de máxima frecuencia de aparición tiene algo significativo que enseñarnos.

§ 37. Puede señalarse un último caso peculiar a modo de conclusión.

Supóngase una curva de facilidad claramente asimétrica, o desequilibrada, tal como esta:—

Las leyes del error, de las cuales esta es una representación gráfica, son, a mi entender, muy poco infrecuentes. La curva en cuestión no es, de hecho, sino una leve exageración de la de las alturas barométricas a las que se hizo referencia en el capítulo anterior; cuando se explicó que en tales casos la media, la mediana y la ordenada máxima mostrarían una divergencia mutua.

La duda aquí no es, como en los casos precedentes, si se debe o no tomar un promedio único, sino más bien qué tipo de promedio debe seleccionarse. Al igual que antes, la respuesta debe depender del propósito especial que tengamos en vista.

Para todos los propósitos ordinarios de comparación entre un tiempo o lugar y otro, cualquier promedio servirá, por lo que naturalmente deberíamos tomar el aritmético, por ser el más familiar, o la mediana, por ser la más sencilla.

§ 38. Podrían surgir, sin embargo, casos en los que otros tipos de promedio se justificarían por sí mismos, con cuya mención momentánea podemos concluir ahora. Supongamos, por ejemplo, que la cuestión aquí implicada fuera una de conveniencia climática. La media ordinaria, al depender de forma tan considerable del número y la magnitud de los valores extremos, podría considerarse muy razonablemente como una prueba menos apropiada que la de juzgar simplemente por el valor relativamente más frecuente: en otras palabras, por la ordenada máxima. Y se pueden sugerir varios otros puntos de vista respecto de los cuales este valor particular sería el más adecuado y significativo.

En el caso anterior, a saber,[ TN: space] el de la curva meteorológica, no se buscaba ningún valor objetivo o «verdadero». Pero una curva muy parecida a esta sería representativa de esa clase particular de estimaciones señaladas por el Sr. Galton, y para las cuales, como él ha señalado, la media geométrica se convierte en la única apropiada. En este caso, la curva de probabilidad termina abruptamente en O: se asemeja a una modificación muy escorzada de la forma exponencial común. Sus características han sido analizadas en el artículo del Dr. Macalister ya mencionado, pero cualquier intento de examinar sus propiedades aquí nos llevaría a detalles demasiado intrincados.

§ 39. La conclusión general de todo esto parece muy acorde con la naturaleza y las funciones de un promedio, tal como se señaló en el capítulo anterior.

Todo promedio, se insistió, no es más que un único valor intermedio representativo que se sustituye por una pluralidad de valores reales. En consecuencia, debe dejar escapar la mayor parte de la información contenida en estos últimos.

Ocasionalmente, como en la mayoría de las mediciones ordinarias, lo único que representa es evidentemente lo que necesitamos; y entonces la única cuestión posible es qué media concordará mejor con el valor «verdadero» que buscamos.

Pero cuando, como puede ocurrir en la mayoría de las aplicaciones comunes de la estadística, no hay en realidad ningún «valor verdadero» de tipo objetivo detrás de los fenómenos, el problema puede ramificarse en varias direcciones. Es posible que tengamos una variedad de propósitos que cumplir, y estos pueden exigir cierto discernimiento en cuanto al promedio más apropiado para ellos.

Siempre que tengamos, por tanto, alguna duda sobre si el familiar promedio aritmético es adecuado para el propósito que nos ocupa, debemos decidir primero con precisión cuál es ese propósito.

1 El Sr. Mansfield Merriman publicó en 1877 (Trans.[ TN: space] of the Connecticut Acad.)[** TN: space] una lista de 408 escritos sobre el tema de los mínimos cuadrados.

2

En otras palabras, debemos tomar el «centro de gravedad» de las marcas de los disparos, considerándolas todas de igual peso. Esto es, en realidad, el «promedio» de todas las marcas, como mostrará la construcción geométrica elemental para obtener el centro de gravedad de un sistema de puntos; pero no se le suele considerar así familiarmente. Por supuesto, cuando tratamos con casos como los que ocurren en la Mensura, en los que tenemos que combinar o conciliar tres o más ecuaciones incompatibles, alguna regla como la de los Mínimos Cuadrados se vuelve imperativa. Ningún cálculo de un promedio nos sacará del apuro.

3

La única razón para suponer esta forma excepcional es asegurar la simplicidad.

El blanco ordinario, al permitir errores en dos dimensiones, produciría resultados ligeramente más complicados.

4 When first referred to, the general form of this equation was given (v.[ TN: space] p. 29). The special form here assigned, in which ^h/_√π is substituted for A, is commonly employed in Probability, because the integral of y dx, between +∞ and −∞, becomes equal to unity. That is, the sum of all the mutually exclusive possibilities is represented, as usual, by unity. In this form of expression h is a quantity of the order x⁻¹; for *hx* is to be a numerical quantity, standing as it does as an index. The modulus, being the reciprocal of this, is of the same order of quantities as the errors themselves. In fact, if we multiply it by 0.4769… we have the so-called ‘probable error.’

5

Véase, para la explicación de esto, y del método gráfico para ilustrarlo, la nota de la p. 29.

6 De manera general, podemos decir que las observaciones anteriores son aplicables a cualquier ley de frecuencia de error en la que existan límites reales, por amplios que sean, para la magnitud posible de un error. Si no hay límites para los errores posibles, esta característica de un promedio de acumular sus resultados hacia el centro dependerá de las circunstancias. Cuando, como en la curva exponencial, la aproximación a la base, como asíntota, es sumamente rápida —es decir, cuando los errores extremos son relativamente muy pocos—, sigue siendo aplicable. Pero si tomáramos como nuestra ley de probabilidad una ecuación como y = ^π/_1 + x² (como sugirió De Morgan y señaló el Sr. Edgeworth: Camb.[ TN: space] Phil.[ TN: space] Trans.[ TN: space] vol. X,[ TN: space] p. 184, y vol. XIV,[ TN: space] p. 160), no es aplicable. El resultado de promediar es disminuir la tendencia a agruparse hacia el centro.

7

El lector encontrará las demostraciones de estas y otras fórmulas similares en la obra de Galloway sobre la Probabilidad (on Probability), y en la de Airy sobre los Errores (on Errors).

8

La fórmula comúnmente utilizada para el E.M.S. en este caso es ^∑e2/_n − 1 y no ^∑e2/_n. La diferencia es insignificante, a menos que n sea pequeño; se ha ofrecido como justificación de ella que, dado que la suma de los cuadrados medidos desde el verdadero centro es un mínimo (siendo ese centro la media aritmética última), la suma de los cuadrados medidos desde el centro asignado de forma algo incorrecta será algo mayor.

9 Me parece que, con estricta propiedad lógica, deberíamos desear conocer el error probable cometido en ambas determinaciones de las dos secciones precedentes. Pero los profundos matemáticos que han discutido esta cuestión, y que son los únicos competentes para tratarla, han escrito mayormente con las necesidades prácticas de la Astronomía en vista; y para este propósito es suficiente tener en cuenta el único gran objetivo, a saber:[** TN: space] los valores verdaderos buscados. En consecuencia, las únicas reglas que se dan comúnmente se refieren al error probable de la media.

10 i.e.[** TN: space] a diferencia de actuar sobre ellos indirectamente. Este último procedimiento, como se explica en el capítulo sobre la aleatoriedad, puede dar lugar a una distribución no uniforme.

11

No hay dificultad en concebir circunstancias bajo las cuales una ley muy parecida a esta prevalecería. Supongamos, p. ej., que una de las dos mediciones hubiera sido hecha por un mecánico cuidadoso y experto, y la otra por un hombre que, para evitarse molestias, hubiera puesto la estimación al azar (dentro de ciertos límites) —la empresa teniendo conocimiento de este hecho pero siendo por supuesto incapaz de atribuir las dos a sus autores—, obtendríamos una Ley de Error muy parecida a la que se supone arriba.

# ÍNDICE.

• Accidentes 342
• Airy, G. B. 447, 484
• Anticipaciones, tácito 287
• Arbuthnott 258
• Aristóteles 205, 307
• Promedio aritmético 437 geométrico 439 mediana 442 consecuencias de 482 resultados necesarios de 457 usos de 439, 489

• Babbage 343
• Bags and balls 180, 411
• Creencia corrección de 125, 131, 178 gradaciones de 139 crecimiento de 199 lenguaje de 143 medición de 119, 125, 146 cantidad de 133 prueba de 140, 149, 294 indebida 129 vaguedad de 127
• Bentham 319, 323
• Bernoulli 91, 117, 389
• Bertillon 435
• Nacimientos, varones y mujeres 90, 258, 263
• Regata de botes, Oxford y Cambridge 339
• Boole 183
• Hebilla 237
• Buffon 153, 205, 352, 389
• Burgersdyck 311
• Butler 209, 281, 333, 366

• Tablas Carlisle 169
• Casual, meaning of 245
• Necesidad de causalidad de 237 prueba de 244
• Centro de gravedad 467
• Certeza, en la Ley 324 razonable 327 hipotética 210
• Casualidad y Causalidad 244**** Creación 258 Diseño 256 Genio 353 descuido de lo pequeño 363 selecciones 338
• Chauvenet 352
• Clasificación, esquema numérico de 48
• Coincidencias 245
• Combinaciones y permutaciones 87
• Comunismo 375, 392
• Conceptualismo 275
• Conflicto de probabilidades 418
• Consumidos, seguro de 227
• Cournot 245, 255, 338
• Crackanthorpe 312, 320
• Craig, J. 192
• Crofton, M. W. 61, 101, 104

• Dante 285
• Causas de desviación de 57 respecto al objetivo 38
• De Morgan 83, 106, 119, 122, 135, 177, 179, 197, 236, 247, 296, 308, 350, 379, 382, 483
• Juicio de De Ros 255
• Dígitos, aleatorio 111, 114
• Discontinuidad 116
• Distribución, aleatorio 106
• Diagramas 29, 45, 118, 443, 476, 481, 493, 501
• Dialéctica 302, 320
• Donkin 123, 188, 283
• Duración de la vida 15, 441
• Düsing 259

• Ebbinghaus 199
• Edgeworth, F. Y. 34, 119, 256, 339, 393, 435, 483
• Ellis, L. 9
• Epidemias 62
• Error, ley de 29 asimétrica 34, 441, 443 binomial 37, 457, 469, 480 geométrica 34, 502 heterogénea 45 producción de 36
• Error mean 446 probable 446, 472, 488 of mean square 447, 488
• Escapes, narrow 341
• Expectativa, moral 388
• Experiencia y probabilidad 74
• Curva exponencial 29
• Extraordinary sense of 159, 423 stories 407, 421

• Falacias de lógica y probabilidad 367
• Fatalismo 243
• Fechner 34, 389, 435, 441
• Fluctuación 448 ilimitado 73
• Forbes, J. D. 188, 262
• Lógica formal 123
• Tratamiento formal y material 86
• Libre albedrío 240

• Galloway 248, 448, 484
• Galton, F. 33, 50, 70, 318, 442, 451, 473, 502
• Juegos de azar y seguros 370 desventaja de 384 resultados finales de 385, 391
• Godfray, H. 99
• Grote, G. 307
• Tipo 6

• Hamilton, W. 266, 297
• Felicidad, humana 382
• Cara o cruz 77
• Heredity 50, 357
• Herschel 30, 466
• Houdin 361
• Hume 236, 419, 433
• Hipótesis 268

• Inmediatas inferencias 121
• Eventos independientes 175, 246
• Inducción y Probabilidad 194, 201, 208, 233, 358 dificultad de 213 puro 200
• Desigualdad de la riqueza 382
• Inferencia, reglas de 167
• Inoculación 374
• Justificación del seguro de 149 dificultades de 221 vida 151 caso peculiar de 224 teoría de 372 variedades de 374

• Probabilidad inversa 179, 196, 249
• Irregularidad, absoluta y relativa 6

• Jacobs, J. 199
• Jackson, J. G. 253
• Jevons 37, 83, 136, 198, 201, 209, 247

• Kant 310, 317
• Keckermann 298, 316
• Tipos, natural 55
• Krug 324

• Lambert 309
• Language of Chance 159
• Laplace 89, 120, 197, 237, 424
• Ausencia de ley 101 empírica 160 de causalidad 206
• Mínimos cuadrados 41, 467
• Leibnitz 309, 320
• Cartas perdidas 162, 368 extraviadas 67, 237, 241
• Lexis, W. 263, 441
• Probablemente, igual 77, 183
• Límite de concepción de 18, 109, 164 de fluctuación posible 32
• Líneas, al azar 113
• El método de Lister 187
• Loterías 128
• Lunn, J. R. 248

• McAlister, D. 34, 187, 502
• Mansel, H. L. 299, 301, 320
• Martingala 343
• Lógica material y formal 265
• Ordenada máxima 441, 455
• Medición de la Creencia 119 Memoria 192
• Cualidades mentales, medición de 49
• Merriman, M. 352, 448, 460, 465
• Mill, J. S. 131, 207, 266, 282, 402
• Milton, producción aleatoria de 353
• Miracles 428
• Michell, J. 260
• Modalidad 295 divisiones de 307 falso 297 formal 298 en Derecho 319
• Módulo 464, 472, 484
• Monro, C. J. 325, 416

• Nombres, referencia del 270
• Naciones, comparación de 51
• Natural Kinds 55, 63, 71
• Materia necesaria e imposible 310

• Objetos y agencias 53
• Occam 314

• Paley 433
• Moneda, lanzamientos de 144
• Petrie, F. 498
• Problema de Petersburgo 19, 154
• Pez 405
• Prantl 311
• Presunción, jurídica 329
• Prevost 348
• Definición de probabilidad de 165 relativo 290 integral 463
• Hechos probables 269 valor 441 error 446, 472
• Problema, Tres punto 104
• Proctor, R. A. 262, 378
• Profecías, suicidas 226
• Providence 89, 431
• Proposiciones, proporcional 2
• Investigación psíquica 256
• Pirámide, la gran 251
• π, dígitos en 111, 247

• Cuartiles 446
• Quetelet 23, 30, 43, 91, 259, 330, 348, 454

• Etimología de la aleatoriedad de 96 en el disparo 98 prueba de 107
• Acontecimientos raros 349
• Realismo 92
• Razón suficiente 82
• Residuos 460
• Roberts, C. 25
• Varilla rota al azar 98 lanzada al azar 103
• Reglas Inductivas y Deductivas 176 de Sucesión 191 conflicto de 222 pluralidad de 217

• Series de proporciones definidas en 11 fijas y variables 16 ideales 95 peculiares 12
• Shanks 248
• Skeat, W. W. 96
• Smiglecius 306, 316
• Smyth, p. 251
• Socialismo 392
• Spiritualism 365
• Estrellas, disposición aleatoria de 108, 260
• Estadísticas por Intercomparatividad 473 recurso inconsciente a 400
• Statistical Journal 6
• Estatura humana 25, 471 francés e inglés 44
• Stephen, J. F. 282, 323, 326
• Stewart, D. 209, 237
• Términos subjetivos y objetivos 160
• Sucesión largo 360 Regla de 190, 362
• Suffield, G. 248
• Suicidios 67, 237
• Apellidos, extinción de 387
• Sorpresa, emoción de 157
• Silogismos, puros y modales 316

• Taylor 329
• Testimonio sencillo 411 combinado 426 dos clases de 409 sin valor 416
• Thomson, W. 153, 314, 419
• Influencia temporal del 191 en Probabilidad 279
• Todhunter 415
• Tontines 380
• Triangle, random 103
• Tucker, A. 127
• Tipos de existencia de 42, 60, 453 fijas y fluctuantes 64, 93

• Ueberweg 311
• Incertidumbre en la vida 370
• Uniformidad 240
• Unidades de cálculo 464

• Agencia voluntaria 65, 68, 85

• Watford 374
• Wallis, J. 312
• Watson, H. W. 387
• Whately 297, 307
• Whist 401
• Whitworth, W. A. 87, 183, 384
• Wilson, J. M. 104
• Testigos, independiente 405
• Lobo 309
• Woolhouse 101