§ 1. A veces no es fácil dar una definición clara de una ciencia desde el principio, de modo que se expongan su alcance y su ámbito ante el lector en pocas palabras. En el caso de aquellas ciencias que se ocupan más inmediata y directamente de lo que se denomina objetos, en lugar de lo que se denomina procesos, esta dificultad no es, en verdad, tan grave. Si el lector ya está familiarizado con los objetos, una simple referencia a estos le dará una idea bastante exacta de la dirección y la naturaleza de sus estudios. Incluso si no está familiarizado con ellos, aún así a menudo estarán en cierta medida conectados y asociados en su mente por un nombre, y la mera enunciación del nombre puede transmitir así una cantidad razonable de información preliminar. Este es más o menos el caso de muchas de las ciencias naturales; a menudo podemos decirle al lector de antemano exactamente qué es lo que va a estudiar.
Pero cuando una ciencia se ocupa no tanto de los objetos directamente, cuanto de procesos y leyes, o cuando toma como objeto de su investigación algún rasgo comparativamente oscuro extraído de fenómenos que tienen poco o nada más en común, la dificultad de ofrecer información preliminar se hace mayor.
Las clases de objetos reconocidas deben entonces ser ignoradas e incluso disueltas, y realizarse una disposición totalmente novedosa de los objetos. En tales casos es el estudio de la ciencia el que primero le otorga a la ciencia su unidad, pues hasta que se estudia, es probable que los objetos de los que se ocupa nunca hayan sido pensados en conjunto.
Aquí no se puede dar una definición desde el principio, y el proceso para obtenerla puede volverse, en comparación, algo laborioso.
La ciencia de la Probabilidad, al menos según el punto de vista que de ella se adopta en las páginas siguientes, es de esta última descripción.
El lector que por el momento no esté familiarizado con la ciencia no puede ser informado de inmediato de su alcance mediante una referencia a objetos con los que ya esté familiarizado. Habrá que tomarlo de la mano, por decirlo así, y se deberá dedicar un poco de tiempo y esfuerzo a dirigir su atención hacia nuestro tema de estudio antes de poder esperar que lo conozca. Hacer esto será nuestra primera tarea.
§ 2. Al estudiar la Naturaleza, en cualquiera de sus formas, nos encontramos continuamente obteniendo información que resumimos en proposiciones generales. Ahora bien, en una gran cantidad de casos, estas proposiciones generales no son ni más ni menos ciertas y exactas que los detalles que abarcan y de los cuales se componen.
Estamos suponiendo por el momento que la verdad de estas generalizaciones no se discute; de hecho, pueden apoyarse en pruebas débiles, o pueden ser inciertas por estar ampliamente extendidas mediante inducción; lo que se quiere decir es que, cuando las resolvemos en sus partes componentes, tenemos exactamente la misma seguridad de la verdad de los detalles que la que tenemos de la del todo.
Cuando sé, por ejemplo, que todas las vacas rumian, me siento tan seguro de que una vaca o unas vacas en particular rumian como de que lo hace toda la clase. Puedo estar en lo cierto o equivocado en mi afirmación original, y puedo haberla obtenido por cualquier modo concebible en que las verdades puedan obtenerse; pero, sea cual fuere el valor de la proposición general, el de los particulares no es ni mayor ni menor.
El proceso de inferir lo particular a partir de lo general no va acompañado de la más mínima disminución de la certeza. Si una de estas «inferencias inmediatas» se justifica en absoluto, será igualmente correcta en todos los casos.
Pero de ningún modo es necesario que esta característica deba existir en todos los casos.
Hay una clase de inferencias inmediatas, casi ignoradas en realidad por la lógica, pero trazadas constantemente en la práctica, cuya característica es que, a medida que aumentan en particularidad, disminuyen en certeza.
Permítaseme suponer que se me dice que algunas vacas rumian; no puedo inferir lógicamente de esto que alguna vaca en particular lo haga, aunque me sentiría algo alejado de la incredulidad absoluta, o incluso de la indiferencia ante el asentimiento, sobre el tema; pero si viera un hato de vacas, me sentiría más seguro de que algunas de ellas eran rumiantes que de la sola vaca, y mi seguridad aumentaría con el número del hato sobre el cual tuviera que formarme una opinión.
Aquí tenemos, pues, una clase de cosas respecto a cuyos individuos nos sentimos completamente en la incertidumbre, mientras que, a medida que abarcamos números mayores en nuestras afirmaciones, otorgamos mayor peso a nuestras inferencias.
Es con tales clases de cosas y tales inferencias que se ocupa la ciencia de la Probabilidad.
§ 3. En las observaciones precedentes, que pretenden ser puramente preliminares, no hemos podido evitar del todo cierta referencia a un elemento subjetivo, a saber[** TN: space] el grado de nuestra certeza o creencia acerca de las cosas que se supone debemos contemplar. El lector tal vez sepa que algunos autores consideran este elemento como el objeto de estudio de la ciencia. De ahí que deba ser analizado en un capítulo futuro. Como, sin embargo, no estoy de acuerdo con la opinión de los autores recién mencionados, al menos en lo que respecta
a tratar este elemento como algo de importancia primordial, no se volverá a hacer alusión a él aquí, sino que pasaremos de inmediato a una investigación más detallada de esa característica distintiva de ciertas clases de cosas que fue introducida a la atención en la sección anterior.
En estas clases de cosas, que son aquellas de las que se ocupa la Probabilidad, la concepción fundamental que el lector debe fijar en su mente con la mayor claridad posible, según entiendo, es la de una serie. Pero se trata de una serie de un tipo peculiar, una de cuya descripción compendiosa no puede darse mejor que la contenida en la afirmación de que combina la irregularidad individual con la regularidad colectiva. Esta es una afirmación que probablemente necesitará cierta explicación.
Recurramos a un ejemplo del tipo ya aludido, seleccionando uno que esté de acuerdo con la experiencia.
Algunos niños no vivirán hasta los treinta años. Ahora bien, si esta proposición ha de considerarse como una proposición puramente indefinida o, como se denominaría en lógica, «particular», sin duda la noción de una serie no se presenta de manera evidente en relación con ella. Contiene una afirmación sobre una determinada proporción desconocida del todo, y eso es todo.
Pero no nos ocuparemos de estas proposiciones puramente indefinidas. Supongamos, por el contrario, que la afirmación es de carácter numérico y se refiere a una proporción dada del todo; entonces encontraremos difícil excluir la noción de una serie. Creo que nos resultará imposible hacerlo tan pronto como nos propongamos la meta de obtener inferencias precisas, o incluso moderadamente correctas.
¿Qué significa, por ejemplo, la afirmación de que dos de cada tres niños recién nacidos no logran alcanzar la edad de sesenta y tres años?
Ciertamente no declara que en un grupo determinado de, digamos, treinta, encontraremos exactamente veinte que no lo logren: cualquiera que sea el significado estricto de las palabras, esto
no es el sentido de la afirmación. Más bien contempla el examen por nuestra parte de un gran número, de una larga sucesión de casos, y afirma que en dicha sucesión encontraremos una proporción numérica, no ciertamente fija y exacta al principio, pero que tiende a la larga a llegar a serlo.
En toda clase de ejemplo que nos concierna encontraremos esta referencia a un gran número o sucesión de objetos, o, como lo denominaremos, serie de ellos.
Unos cuantos ejemplos adicionales pueden servir para dejar esto claro.
Supongamos que lanzamos una moneda al aire una gran cantidad de veces; los resultados de los lanzamientos sucesivos pueden concebirse como formando una serie. Los lanzamientos separados de esta serie parecen ocurrir en completo desorden; es este desorden el que causa nuestra incertidumbre acerca de ellos.
A veces sale cara, a veces sale cruz; a veces hay una repetición de la misma cara, a veces no. Mientras limitemos nuestra observación a unos pocos lanzamientos a la vez, la serie parece ser simplemente caótica.
Pero cuando consideramos el resultado de una larga sucesión, hallamos una marcada distinción; un tipo de orden comienza a surgir gradualmente y, por fin, adquiere un aspecto distinto y llamativo.
Hallamos en este caso que las caras y las cruces se dan en números aproximadamente iguales, que las repeticiones similares de diferentes caras también lo hacen, y así sucesivamente. En una palabra, a pesar del desorden individual, un orden agregado comienza a prevalecer.
Así pues, de nuevo, si examinamos la duración de la vida humana, las distintas vidas que caen bajo nuestra observación componen una serie que presenta los mismos rasgos.
La duración de una sola vida es familiarmente incierta, pero la duración media de un grupo de vidas se está volviendo, en un grado casi igual, familiarmente cierta. Cuanto mayor sea el número que tomemos de cualquier multitud heterogénea, más claros se harán los síntomas de orden y más se aproximará la duración media de cada clase seleccionada a ser la misma.
Estos pocos casos servirán como sencillos ejemplos de una propiedad de las cosas que puede rastrearse casi en todas partes, en mayor o menor medida, por todo el campo de nuestra experiencia.
Incendios, naufragios, cosechas, nacimientos, matrimonios, suicidios; apenas parece importar qué rasgo elijamos para su observación.[1]
La irregularidad de los casos particulares disminuye cuando tomamos un gran número, y al fin parece desaparecer para todos los efectos prácticos.
Al hablar del efecto del promedio al disminuir de este modo las irregularidades que se presentan en los detalles, debe señalarse firmemente a la atención del estudiante el hecho de que no son las irregularidades absolutas, sino las relativas, las que tienden así a disminuir sin límite. Esta idea le resultará bastante familiar al matemático, pero a otros podrá exigirles cierta reflexión para comprenderla con claridad.
Las divergencias e irregularidades absolutas, lejos de disminuir, muestran una disposición a aumentar, y esto (podría ser) sin límite, aunque su importancia relativa muestre una disposición correspondiente a disminuir sin límite.
Así, en el caso de lanzar una moneda, si realizamos unos pocos tiros, digamos diez, es decididamente improbable que haya una diferencia de seis entre el número de caras y de cruces; es decir, que haya hasta ocho caras y, por tanto, tan solo dos cruces, o viceversa. Pero tomemos mil tiros, y entonces se vuelve sumamente probable que haya una diferencia de seis o más entre los respectivos números.
Por otra parte, la proporción de caras y cruces en el caso de los mil tiros estará muchísimo más cerca de la unidad, en la mayoría de los casos, que cuando solo tomamos diez. En otras palabras, cuanto más dura un juego de azar, mayores son las rachas y las secuencias de buena suerte en sí mismas, pero menor es su proporción relativa en relación con el total de las cantidades involucradas.
§ 4. Al hablar como queda dicho de acontecimientos o cosas sobre cuyos detalles sabemos poco o nada, no se da a entender por supuesto que nuestra ignorancia respecto a ellos sea completa y universal, o, lo que viene a ser lo mismo, que se pueda observar irregularidad en todas sus cualidades. Todo lo que se quiere decir es que hay algunas cualidades o marcas en ellos, cuya existencia no podemos predicar con certeza en los individuos. Con respecto a todas sus demás cualidades puede haber la máxima uniformidad y, por consiguiente, la más completa certeza. La irregularidad en la duración de la vida humana es notoria, pero nadie duda de la existencia de órganos tales como el corazón y el cerebro en cualquier persona con la que se tropiece. Y aun en las cualidades en las que se observa la irregularidad, hay a menudo, de hecho generalmente, límites positivos dentro de los cuales se hallará que está confinada. Nadie, por ejemplo, puede calcular cuál pueda ser la duración de una vida particular, pero nos sentimos plenamente seguros de que no se extenderá hasta los 150 años. La irregularidad de los casos individuales solo se muestra en ciertos aspectos, como p. ej.[** TN: space] la duración de la vida, y aun en estos aspectos tiene sus límites. La misma observación se aplicará a la mayoría de los demás ejemplos de los que nos ocuparemos. El desorden de hecho no es universal e ilimitado, solo prevalece en ciertas direcciones y hasta ciertos puntos.
§ 5. Al hablar como queda dicho de una serie, apenas será necesario señalar que no queremos dar a entender que los objetos mismos que componen la serie deban sucederse en el tiempo; la serie puede formarse simplemente porque ellos se presentan sucesivamente a nuestra observación, lo cual, de hecho, puede ocurrir en cualquier orden imaginable.
Un registro de mortalidad, por ejemplo, puede estar compuesto de muertes que ocurrieron de forma simultánea o sucesiva; o bien podríamos, si quisiéramos, ordenar las defunciones en un orden completamente distinto a cualquiera de estos dos. Esto es del todo indiferente; en todos estos casos la serie, para cualquier fin que debamos tener en cuenta, puede considerarse de exactamente la misma naturaleza.
Los objetos, recuérdese, nos son dados en la naturaleza; el orden bajo el cual los contemplamos es nuestra propia disposición particular. Esto se menciona aquí meramente a modo de precaución; el significado de esta afirmación se hará más evidente más adelante.
Soy consciente de que la palabra «series», en la aplicación que aquí se le da, puede dar lugar a cierta confusión, pero no encuentro ninguna palabra mejor, ni en realidad ninguna tan adecuada en todos los aspectos. Como se ha señalado más arriba, no es estrictamente necesario que los acontecimientos hayan ocurrido en una secuencia temporal regular, aunque a menudo sea así.
En muchos casos (por ejemplo, los lanzamientos de una moneda o de un dado) ocurren realmente en sucesión; en otros casos (por ejemplo, las estaturas de los hombres o la duración de sus vidas), sea cual fuere el orden de su ocurrencia real, se nos presentan comúnmente de forma sucesiva al ser dispuestos en tablas estadísticas.
En todos los casos por igual, nuestros procesos de inferencia entrañan la necesidad de examinar uno tras otro los miembros que componen el grupo, o al menos de estar preparados para hacerlo, si hemos de hallarnos en condiciones de justificar nuestras inferencias.
La fuerza de estas consideraciones se pondrá de manifiesto en el curso de la investigación del capítulo VI.
El difunto Leslie Ellis[2] ha expresado lo que me parece ser una opinión sustancialmente similar en términos de género y especie, en lugar de hablar de una serie. Dice así:
«Cuando se consideran los casos individuales, no tenemos la convicción de que las proporciones de la frecuencia de aparición dependan de las circunstancias comunes a todas las pruebas. Por el contrario, reconocemos en las circunstancias determinantes de su aparición un elemento extraño, es decir, un elemento extraño a la idea del género y de la especie. La contingencia y la limitación surgen (por decirlo así) juntas; y ambas desaparecen por igual cuando consideramos el género en su totalidad, o (lo que es lo mismo) en lo que puede llamarse una realización ideal y prácticamente imposible de todo lo que este contiene en potencia. Si se concede esto, parece deducirse que el principio fundamental de la Teoría de las Probabilidades puede considerarse incluido en la siguiente afirmación:—La concepción de un género implica la de las relaciones numéricas entre las especies subordinadas a él».
Como se ha señalado más arriba, esta parece ser una doctrina sustancialmente similar a la explicada en este capítulo, pero no creo que los términos género y especie sean en absoluto tan aptos para resaltar la concepción de una tendencia o límite como cuando hablamos de una serie, por lo que prefiero con mucho esta última expresión.
§ 6. El lector tendrá ahora en su mente la concepción de una serie o grupo de cosas o acontecimientos, acerca de cuyos individuos sabemos muy poco, al menos en ciertos aspectos, mientras que hallamos una uniformidad continuamente creciente a medida que tomamos en consideración números mayores. Esto es lo bastante preciso como para señalar con razonable claridad el tipo de cosas de las que hemos de ocuparnos, pero no lo es suficientemente para los propósitos del pensamiento exacto. Debemos, por tanto, intentar un análisis algo más riguroso.
Hay ciertas expresiones tan comúnmente adoptadas que han pasado a formar parte del vocabulario técnico del tema, tales como un «acontecimiento» y la «manera en que puede suceder».
- Así, el acto de lanzar una moneda se denominaría un acontecimiento, y el hecho de que salga cara o cruz se llamaría la manera en que sucedió el acontecimiento.
- Si estuviéramos discutiendo tablas de mortalidad, el primer término denotaría el mero hecho de la muerte, y el segundo, la edad a la que ocurrió, o la manera en que fue provocada, u otra circunstancia particular de la misma que pudiera ser objeto de discusión.
Esta fraseología es muy conveniente y se utilizará a menudo en esta obra, pero sin explicación puede dar lugar a confusión. Pues en muchos casos la manera en que sucede el acontecimiento es de una importancia relativa tan grande que, según suceda de una u otra manera, el acontecimiento tendría un nombre diferente; en otras palabras, en ambos casos no sería nominalmente el mismo acontecimiento.
Por lo tanto, la expresión tendrá que estirarse considerablemente antes de que pueda abarcar convenientemente todos los casos a los que podamos tener que aplicarla.
Si, por ejemplo, estuviéramos contemplando una serie de seres humanos, hombres y mujeres, sonaría extraño llamar a su humanidad un acontecimiento, y a su sexo la manera en que sucedió el acontecimiento.
Si recurrimos, sin embargo, a cualquiera de las clases de objetos ya mencionadas, podremos ver nuestro camino hacia la obtención de una concepción más precisa de lo que buscamos. Se verá fácilmente que en cada una de ellas hay una mezcla de semejanza y desemejanza; hay una serie de acontecimientos que tienen un cierto número de rasgos o atributos en común —sin esto no serían clasificados juntos—.
Pero también existe una distinción entre ellos; se puede encontrar cierto número de otros atributos en algunos y no en otros. En otras palabras, los individuos que forman la serie son compuestos, estando cada uno formado por una colección de cosas o atributos; algunas de estas cosas existen en todos los miembros de la serie, otras se encuentran solo en algunos.
Hasta aquí no hay nada peculiar en la ciencia de la Probabilidad; aquello en lo que consiste la característica distintiva es esto: que los atributos ocasionales, a diferencia de los permanentes, se encuentra, tras un examen prolongado, que tienden a existir en una proporción cierta y definida del número total de casos. No podemos saber en un caso dado si se encontrarán o no, pero a medida que seguimos examinando más casos encontramos una uniformidad creciente. Hallamos que la proporción entre los casos en los que se encuentran y los casos en los que faltan está sujeta gradualmente a una variación comparativa cada vez menor, y se aproxima continuamente hacia algún valor aparentemente fijo.
Lo anterior es la forma de descripción más exhaustiva; en realidad, los grupos adoptarán en muchos casos una forma mucho más simple; pueden aparecer, p. ej.[** TN: space] simplemente como una sucesión de cosas del mismo tipo, digamos seres humanos, con o sin un atributo ocasional, digamos el de ser zurdos. Estamos usando la palabra atributo, por supuesto, en su sentido más amplio, con la intención de que incluya todo rasgo distintivo que pueda observarse en una cosa, desde las cualidades esenciales hasta los más simples accidentes de tiempo y lugar.
§ 7. Al examinar nuestra serie, por lo tanto, descubriremos que puede concebirse mejor, no necesariamente como una sucesión de acontecimientos que ocurren de distintas maneras, sino como una sucesión de grupos de cosas. Estos grupos, al ser analizados, se descubre en cada caso que pueden resolverse en colecciones de sustancias y atributos.
Lo que confiere su unidad a la sucesión de grupos es el hecho de que algunas de estas sustancias o atributos son comunes a toda la sucesión; lo que confiere su distinción a los grupos de la sucesión es el hecho de que algunos de ellos contienen solo una porción de estas sustancias y atributos, estando la otra o las otras porciones ausentes ocasionalmente.
Así entendido, nuestro lenguaje puede hacerse abarcador de toda clase de cosas de las que la Probabilidad pueda dar cuenta.
§ 8. Se verá fácilmente que la expresión ordinaria (a saber,[ TN: espacio] el «acontecimiento» y la «manera en que ocurre») puede incluirse en lo anterior. Cuando los atributos ocasionales no son importantes, los permanentes bastan para fijar y apropiarse del nombre, y la presencia o ausencia de los demás se denota simplemente mediante alguna modificación del nombre o la adición de algún predicado. Por lo tanto, en todos estos casos podemos hablar del conjunto de atributos como «el acontecimiento» —es decir, esencialmente el mismo acontecimiento—, limitándonos a decir que este (para preservar su identidad nominal) ocurre de diferentes maneras en los distintos casos. Sin embargo, cuando los atributos ocasionales son importantes, o constituyen la mayoría, esta forma de hablar resulta menos apropiada; el lenguaje se fuerza algo al dar a entender que dos conjuntos extremadamente diferentes son en realidad el mismo acontecimiento, con una diferencia únicamente en su modo de ocurrir. No obstante, la frase es muy conveniente y, con esta advertencia para evitar que sea malinterpretada, se empleará frecuentemente aquí.
§ 9. Una serie del género susodicho es, según entiendo, la base última sobre la cual deben fundamentarse todas las reglas de la Probabilidad. Es esencial para una clara comprensión del tema haber llevado nuestro análisis hasta este punto, pero no se requiere ningún intento de análisis posterior sobre la naturaleza íntima de los eventos que componen la serie.
Es totalmente innecesario, por ejemplo, formarse opinión alguna sobre las cuestiones debatidas en la metafísica en cuanto a la existencia independiente de las sustancias. Hemos descubierto, al examinar, una serie compuesta por grupos de sustancias y atributos, o únicamente de atributos. En dicha serie nos detenemos, y a partir de ahí investigamos nuestras reglas de inferencia; no es asunto nuestro indagar aquí en qué se analizarían en última instancia estas sustancias o atributos si fueran tomados por el psicólogo o el metafísico.
§ 10. La etapa a la que hemos llegado ahora es la de haber descubierto una cantidad de cosas (que al ser analizadas resultan ser grupos de cosas) que son capaces de ser clasificadas juntas, y que se consideran de la mejor manera como constituyentes de una serie. La peculiaridad distintiva de esta serie es que hallamos en ella un orden, que emerge gradualmente del desorden, y que muestra con el tiempo una marcada e inequívoca uniformidad.
La impresión que posiblemente pueda derivarse de la descripción de una serie semejante, y que el lector probablemente ya albergará si ha estudiado antes la Probabilidad, es que la evolución gradual de este orden es indefinida, y su aproximación a la perfección, por tanto, ilimitada. Y muchos de los ejemplos comúnmente seleccionados tienden ciertamente a confirmar tal impresión. Pero en lo que respecta a la teoría del asunto, estoy convencido de que es un error, y uno propenso a conducir a mucha confusión.
Las líneas que han sido antepuestas como lema a esta obra: «Tan cuidadosa parece de la especie, tan descuidada de la vida individual», son corregidas poco después por la afirmación de que la especie misma, si la observamos durante un tiempo prolongado, cambia, para luego desvanecerse y ser sucedida por otras.
Así ocurre en la Probabilidad; esa uniformidad que se halla a la larga, y que presenta un contraste tan grande con el desorden individual, aunque duradera, no es eterna. Si se sigue observando el tiempo suficiente, se descubrirá casi indefectiblemente que fluctúa y, con el tiempo, puede llegar a demostrar ser tan absolutamente irreductible a una regla —y, por tanto, tan incapaz de predicción— como los casos individuales mismos.
El alcance completo de este hecho sobre la teoría del tema, y sobre ciertos modos comunes de cálculo relacionados con él, se expondrá con mayor detalle en algunos de los capítulos siguientes; por ahora nos limitaremos a establecerlo e ilustrarlo de manera muy breve.
Tomemos, por ejemplo, la duración media de la vida.
Esta, siempre que nuestros datos sean suficientemente amplios, se sabe que es razonablemente regular y uniforme. Este hecho ya se ha indicado en las secciones precedentes, y es, en verdad, una verdad de la que la mente popular tiene una comprensión bastante clara hoy en día.
Pero un muy pequeño análisis mostrará que puede haber un límite superior así como un límite inferior en la medida dentro de la cual se puede observar esta uniformidad; en otras palabras, si bien podemos incurrir en error al tomar muy pocos casos, también podemos fracasar en nuestro propósito, aunque de un modo muy diferente y por motivos completamente distintos, al tomar demasiados.
En la actualidad, la duración media de la vida en Inglaterra puede ser, digamos, de cuarenta años; pero hace un siglo era decididamente menor; hace varios siglos presumiblemente era mucho menor; mientras que, si poseyéramos estadísticas referidas a una población todavía más antigua del país, probablemente hallaríamos que desde entonces ha habido una mejora aún más pronunciada.
Cuál pueda ser la tendencia futura, nadie puede decirlo con certeza. Puede ser, y esperamos que así sea, que debido a mejoras sanitarias y de otro tipo, la duración de la vida siga aumentando de forma constante; es al menos concebible, aunque sin duda increíble, que lo haga sin límite. Por otra parte, y con mucha más probabilidad, esta duración podría tender gradualmente hacia un límite fijo
length. O bien, otra vez, es perfectamente posible que las generaciones futuras prefieran una vida corta y alegre y, por tanto, reduzcan su longevidad media. La duración de la vida no puede dejar de depender en cierta medida de los gustos generales, los hábitos y las ocupaciones del pueblo, es decir, del ideal que este se proponga consciente o inconscientemente, y sería un insensato quien se atreviera a predecir cuál será este ideal de aquí a unos siglos.
Todo lo que aquí es necesario indicar, sin embargo, es que esta particular uniformidad (como hasta ahora la hemos llamado, para señalar su carácter relativo) ha variado y, bajo la influencia de futuros remolinos en la opinión y en la práctica, puede variar aún más; y esto en cualquier medida, y con cualquier grado de irregularidad.
Para tomar prestado un término de la Astronomía, hallamos que nuestra uniformidad está sujeta a lo que podría llamarse una variación secular irregular.
§ 11. El ejemplo anterior es un caso típico representativo. Si hubiésemos tomado un rasgo menos simple que la duración de la vida, o uno menos estrechamente conectado con lo que puede llamarse, por comparación, las grandes uniformidades permanentes de la naturaleza, habríamos hallado la peculiaridad objeto de nuestro análisis manifestada en un grado mucho más llamativo.
Las muertes por viruela, por ejemplo, o los casos de duelos o las acusaciones de brujería, si se examinan durante unas pocas décadas sucesivas, podrían haber mostrado un grado muy aceptable de uniformidad. Pero estas uniformidades han surgido posiblemente desde cero; tras diversas y muy grandes fluctuaciones parecen tender hacia cero de nuevo, al menos en este siglo; y pueden, por lo que sabemos, experimentar fluctuaciones aún más rápidas en el futuro.
Ahora bien, estos ejemplos deben considerarse como meros casos extremos, y no de los más extremos, de lo que constituye la regla casi universal en la naturaleza.
Me esforzaré por demostrar que incluso las pocas excepciones aparentes, tales como las proporciones entre los nacimientos de machos y hembras, etc., pueden no ser, y probablemente en realidad no son, estrictamente hablando, excepciones.
Un tipo, es decir, uno que sea en el más pleno sentido de la palabra persistente e invariable, difícilmente se encuentra en la naturaleza.
El pleno significado de esta conclusión se verá en los capítulos futuros. Aquí solo se dirige la atención hacia la importante deducción de que, aunque es bien sabido que las estadísticas no tienen valor a menos que sean en número suficiente, de ello no se sigue necesariamente que en ciertos casos podamos tener demasiadas. Si se hacen demasiado extensas, pueden volver a quedarse cortos, al menos para cualquier tiempo o lugar determinados, de su mayor precisión alcanzable.
§ 12. Estas uniformidades naturales resultan ser, por fin, susceptibles de fluctuación. Contrástese ahora con ellas cualquiera de las uniformidades que ofrecen los juegos de azar; estas últimas parecen no mostrar rastro alguno de fluctuación secular, por mucho que prolonguemos nuestro examen de ellas. En el transcurso de los capítulos siguientes se ofrecerán críticas a algunos de los intentos comunes de demostrar à priori que debe existir esta fijeza en la uniformidad en cuestión, pero de su existencia apenas puede caber gran duda. Las monedas dan caras y cruces con la misma frecuencia aproximada ahora que cuando fueron lanzadas por primera vez, y como creemos que seguirán haciéndolo mientras continúe el actual orden de cosas. La fijeza de estas uniformidades quizá no sea tan absoluta como comúnmente se supone, pero ninguna cantidad de experiencia que debamos tener en cuenta es probable que interfiera con ellas en un grado apreciable. De ahí el evidente contraste de que, mientras que las uniformidades naturales a la larga fluctúan, las que ofrecen los juegos de azar parecen fijas para siempre.
§ 13. He aquí, pues, series aparentemente de dos tipos diferentes. Son semejantes en su irregularidad inicial, semejantes en su regularidad posterior; es en lo que podemos denominar su forma última donde empiezan a divergir la una de la otra. La una tiende sin ninguna variación irregular hacia una proporción numérica fija en su uniformidad; en la otra se descubre por fin que la uniformidad fluctúa, y puede hacerlo de un modo totalmente irreductible a toda regla.
Como este capítulo pretende ser poco más que explicativo e ilustrativo de los fundamentos de la ciencia, cabe señalar aquí (para lo cual se ofrecerá una justificación posterior) que es únicamente en el caso de las series del primer tipo donde somos capaces de hacer algo que pueda interpretarse como inferencias científicas estrictas.
Podremos ver, sin embargo, de manera general, la clase y el grado de error que se cometería si, en cualquier ejemplo, sustituyéramos una serie imaginaria del primer tipo por cualquier serie real del segundo tipo que la experiencia pueda presentarnos.
Las dos series deben ser, por supuesto, lo más parecidas posible en todos los aspectos, excepto en que la uniformidad variable ha sido reemplazada por una fija. La diferencia entre ambas no se manifestaría entonces en la etapa inicial, pues en esa etapa los rasgos distintivos de la serie de Probabilidad no son patentes; allí todo es irregularidad, y sería tan imposible demostrar que son iguales como que son distintas; solo podemos decir en general que cada una muestra el mismo tipo de irregularidad.
Tampoco se manifestaría en la etapa inmediatamente posterior, pues la variabilidad real de la uniformidad no da margen durante algún tiempo para hacerse notar. Solo en lo que hemos llamado la etapa última, cuando suponemos que la serie se extiende durante mucho tiempo, la diferencia empezaría a hacerse sentir.[3]
La proporción de personas, por ejemplo, que mueren cada año a la edad de seis meses es, cuando los números examinados son de pequeña escala, totalmente irregular; sin embargo, se vuelve regular cuando los números examinados son de mayor escala; pero si continuáramos nuestra observación durante un tiempo muy largo, o sobre una extensión muy grande de país, hallaríamos que esta regularidad misma cambia de un modo irregular.
La sustitución que acabamos de mencionar equivale realmente a decir: Supongamos que la regularidad es fija y permanente. Es formular una hipótesis que quizá no sea del todo coherente con la realidad, pero que se nos impone con el propósito de garantizar la precisión en la exposición y en la definición.
§ 14. El significado y alcance plenos de semejante sustitución solo se harán patentes en algunos de los capítulos subsiguientes, pero puede señalarse desde ya que es únicamente de este modo como podemos introducir con absoluta rigurosidad la noción de «límite» en nuestra exposición del asunto, al menos en lo que respecta a muchas de las aplicaciones de la materia a investigaciones puramente estadísticas. Decimos que cierta proporción empieza a prevalecer entre los acontecimientos a la larga; pero luego, al examinar los hechos más de cerca, descubrimos que hemos de expresarnos hipotéticamente, y decir que, si las circunstancias actuales se mantienen tal como están, la larga usanza mostrará sus características sin alteración.
Cuando, como ocurre a menudo, no sabemos nada con precisión acerca de las circunstancias que provocan la sucesión de acontecimientos, pero tenemos fundadas razones para sospechar que dichas circunstancias van a experimentar algún cambio, en realidad no hay otra cosa que hacer. Solo podemos introducir la concepción de un límite, hacia el cual tienden los números, suponiendo que tales circunstancias no cambian; en otras palabras, sustituyendo la serie real de uniformidad variable por una serie de uniformidad fija.[4]
§ 15. Si el lector estudia el siguiente ejemplo, bien conocido por los matemáticos bajo el nombre del problema de San Petersburgo[5], hallará que sirve para ilustrar varias de las consideraciones mencionadas en este capítulo. Sirve especialmente para poner de manifiesto los hechos de que las series que nos ocupan deben considerarse indefinidamente extensas en cuanto al número o la duración; y de que, cuando se consideran así, ciertas series, pero solo ciertas series (siendo la en cuestión un caso claro), se aprovechan del rango indefinido para seguir produciendo en él individuos cuya desviación respecto al promedio anterior no tiene ningún límite finito en absoluto. Bien visto, es un problema muy sencillo, pero ha dado lugar, en un momento u otro, a no poca confusión y perplejidad.
El problema puede plantearse así:—se lanza una moneda al aire; si sale cara, recibo una libra; si sale cara dos veces seguidas, dos libras; si sale cara tres veces seguidas, cuatro libras, y así sucesivamente; la cantidad a recibir se duplica cada vez que sale una nueva cara.
Es decir, he de continuar mientras siga saliendo una sucesión de caras, considerar esta sucesión como un «turno» o serie, y luego tomar otro turno, y así sucesivamente; y por cada uno de dichos turnos he de recibir un pago; entendiéndose que la aparición de cruz no produce nada, de hecho, siendo omitida de nuestra consideración.
Por muchas veces que salga cara de forma consecutiva, el número de libras que puedo reclamar se halla elevando dos a una potencia menor en una unidad que ese número de veces.
He aquí, pues, una serie formada por una sucesión de tiradas. Suponemos —lo que muchos consideran susceptible de demostración, y lo que la experiencia ciertamente confirma dentro de límites considerables— que la rareza de estas «rachas» de una misma cara guarda proporción directa con la cantidad que recibo por ellas cuando efectivamente ocurren. En otras palabras, si consideramos únicamente las ocasiones en las que recibo pagos, hallaremos que una de cada dos veces recibo una libra, una de cada cuatro veces dos libras, una de cada ocho veces cuatro libras, y así sucesivamente sin fin.
Se formula entonces la pregunta: ¿cuánto debo pagar por este privilegio? A riesgo de anticipar ligeramente los resultados de un capítulo posterior, podemos suponer que esto equivale a preguntar: ¿qué cantidad pagada cada vez me dejaría, en promedio, sin ganar ni perder?
En otras palabras, ¿cuál es la cantidad promedio que debería recibir bajo las condiciones anteriores?
La teoría dictamina que debería dar una suma infinita; es decir, ninguna suma finita, por grande que sea, sería un equivalente adecuado. Y esto resulta bastante comprensible.
Tengo ante mí una serie de longitud indefinida, y cuanto más tiempo continúe trabajándola, más cuantiosas serán mis ganancias, y esto sin límite alguno. Es verdad que las capturas muy abundantes son extremadamente raras, pero aun así ocurren, y cuando ocurren lo compensan con su mayor riqueza.
En cada ocasión en que las personas se han entregado a la búsqueda en cuestión, conocieron, por supuesto, tan solo una porción limitada de esta serie; pero la serie en la que basamos nuestro cálculo es ilimitada; y las deducciones que se suelen extraer en cuanto a la suma que a la larga debe pagarse por el privilegio en cuestión están en perfecta consonancia con este supuesto.
La forma común de objeción se presenta en la réplica de que, lejos de pagar una suma infinita, ningún hombre sensato daría nada que se acerque a 50 libras por semejante oportunidad.
Probablemente no, porque ningún hombre vería lo suficiente de la serie como para que le valga la pena. En lo que la mayoría de las personas basan su opinión práctica es en aquellas pequeñas porciones de la serie que realmente han visto o pueden esperar razonablemente.
Ahora bien, en cualquier porción de este tipo, digamos una que abarque 100 tiradas, la sucesión más larga de caras no ascendería en promedio a más de siete u ocho. Esto se observa, pero se olvida que la fórmula que las produjo, si tuviera mayor alcance, seguiría produciendo otras cada vez mejores sin límite alguno.
De ahí surge que algunas personas se sientan perplejas, porque la conducta que adoptarían respecto a la porción acortada de la serie con la que es probable que se encuentren en la práctica, no encuentra su justificación en inferencias que se basan necesariamente en la serie en la plenitud de su infinitud.
§ 16. Esto se verá con mayor claridad si consideramos las diversas posibilidades, y el margen requerido para agotarlas, cuando nos limitamos a un número limitado de tiradas. Comencemos con tres. Esto produce ocho posibilidades igualmente probables. En cuatro de estos casos, el lanzador comienza con cruz y por lo tanto pierde: en dos gana un solo punto (es decir, 1 £); en uno gana dos puntos, y en uno gana cuatro puntos. Por lo tanto, siendo su ganancia total de ocho libras lograda en cuatro contingencias diferentes, su ganancia media sería de dos libras.
Ahora supóngase que se le permite llegar hasta n tiradas, de modo que tenemos que contemplar 2n posibilidades. Todas ellas han de ser tenidas en cuenta si deseamos considerar lo que sucede por término medio. Se verá fácilmente que, una vez que se hayan contabilizado todos los casos posibles, su ganancia total será (calculada en libras),
Al estar esto repartido en 2n−1 ocasiones diferentes de ganancia, su ganancia media será 1/2(n + 1).
Ahora bien, cuando nos referimos a promedios debe recordarse que el número mínimo de ocurrencias diferentes necesario para justificar el promedio es aquel que permite que cada una de ellas se presente una vez. Un hombre se propone detenerse tras una sucesión de diez caras. Bien y bueno. Le decimos que su ganancia promedio será de £5.[ TN: space] 10s.[ TN: space] 0d.: pero también le recalcamos que para justificar esta afirmación debe empezar a lanzar al menos 1024 veces, pues en ningún número menor pueden exhibirse y equilibrarse todas las contingencias de ganancia y pérdida. Si se propone alcanzar una ganancia promedio de £20, necesitará estar preparado para llegar hasta 39 lanzamientos. Para justificar este pago debe empezar a lanzar 239 veces, %[ TN: British million] es decir,[ TN: space] cerca de un billón de veces. Solo después de haber logrado esto estará en condiciones de demostrar a cualquier escéptico que este es el verdadero valor promedio de un «turno» que abarque 39 lanzamientos sucesivos.
Por supuesto, si decide lanzar la moneda por toda la eternidad, debemos adoptar la línea de explicación que es la única posible cuando se trata de cuestiones de infinito respecto al número y a la magnitud. No podemos decirle que pague «una suma infinita», ya que esto no tiene un sentido estricto. Pero le decimos que, por mucho que consienta en pagar cada vez que salgan rachas de caras, alcanzará por fin una etapa en la oficina en la que habrá recuperado sus pagos totales con sus cobros totales. Por muy grande que sea n, si persiste en intentarlo 2n veces, puede llegar a tener un cobro medio real de 1/2 (n + 1) libras, y si continúa avanzando el tiempo suficiente, lo tendrá.
El problema volverá a considerarse en un capítulo futuro.
1
Las siguientes estadísticas darán una idea justa del amplio margen de experiencia en el que se comprueba la existencia de dicha regularidad:
“Como ilustraciones de montos iguales de fluctuación a partir de causas totalmente disímiles, tómense las muertes en el distrito oeste de Londres en siete años (fluctuación 13,66) y los delitos contra las personas (fluctuación 13,61); o las muertes por apoplejía (fluctuación 5,54) y los delitos contra la propiedad sin violencia (fluctuación 5,48); o los estudiantes matriculados en el Colegio de Cirujanos (fluctuation 1,85) y el número de libras de tabaco manufacturado destinadas al consumo interno (fluctuación 1,89); o los mendigos asistidos fuera de los asilos (fluctuación 3,45) y el tonelaje de los buques británicos ingresados en lastre (fluctuación 3,43), etc.”
[Extraído de un artículo en el Journal of the Statistical Society, por el Sr. Guy, marzo de 1858; la «fluctuación» aquí indicada es una medida de la magnitud de la irregularidad, es decir, de la desviación respecto al promedio, estimada de un modo que se describirá más adelante.]
2 Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. IX.[** TN: space] p. 605. Reprinted in the collected edition of his writings, p. 50.
3
Podríamos expresarlo así:—unos pocos casos no bastan en absoluto para mostrar una ley; un número considerable bastará para mostrarla; pero se requiere un número muy grande para establecer que está ocurriendo un cambio en la ley.
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El matemático puede ilustrar la naturaleza de esta sustitución mediante las analogías del «círculo de curvatura» en geometría, y la «elipse instantánea» en astronomía. En los casos en que se hace uso de estas concepciones, tenemos un fenómeno que varía continuamente y que también cambia su ritmo de variación. Lo tomamos en un momento dado, suponemos que su ritmo en ese momento es fijo y luego completamos su trayectoria bajo esa suposición.
5
Así llamado por haber aparecido su primer tratamiento matemático en los Commentarii de la Academia de San Petersburgo; se pueden encontrar diversas referencias al mismo en la History of the Theory of Probability del Sr. Todhunter.