§ 1. En el capítulo anterior se investigó lo que puede llamarse, por analogía con la Lógica, Inferencias Inmediatas. Dado que nueve de cada diez hombres, de una edad determinada, llegan a los cuarenta años, ¿qué se podía inferir acerca de las perspectivas de vida de cualquier hombre en particular? Se demostró que, aunque este paso distaba mucho de ser tan simple como se supone frecuentemente, y como lo es realmente el paso correspondiente en la Lógica, existía, sin embargo, un sentido inteligible en el cual podíamos hablar de la magnitud de nuestra creencia en cualquiera de estas «proposiciones proporcionales», como se las puede denominar brevemente, y justificar dicha magnitud.
Debemos proceder ahora a la consideración de inferencias más propiamente dichas, me refiero a inferencias del tipo análogo a las que constituyen la materia principal de los tratados lógicos ordinarios. En otras palabras, habiendo determinado de qué manera se podían inferir proposiciones particulares a partir de las proposiciones generales que las incluían, debemos examinar ahora en qué casos se puede inferir una proposición general a partir de otra. Por proposición general se entiende aquí, por supuesto, una proposición general del tipo estadístico contemplado en la Probabilidad.
Como las reglas de dicha inferencia son muy pocas y sencillas, su consideración no nos detendrá mucho tiempo. A partir de los datos que ya poseemos somos capaces de deducir las reglas de probabilidad dadas en los tratados ordinarios sobre la ciencia. Sería más correcto decir que somos capaces de deducir algunas de estas reglas, pues, como se verá al examinarlas, son de dos clases muy diferentes, y se apoyan en fundamentos totalmente distintos. Podrían dividirse entre aquellas que son formales y aquellas que son más o menos experimentales. Esto se puede expresar también diciendo que, a partir del tipo de serie descrito en los primeros capítulos, algunas reglas se seguirán necesariamente por la mera aplicación de la aritmética; mientras que otras o bien dependen de hipótesis peculiares, o bien exigen para su establecimiento llamamientos continuamente renovados a la experiencia, y su extensión con la ayuda de los diversos recursos de la Inducción. Por el momento limitaremos nuestra atención principalmente a la primera clase; la segunda solo podrá comprenderse cabalmente cuando hayamos considerado la conexión de nuestra ciencia con la Inducción.
§ 2. Las reglas fundamentales de la Probabilidad propiamente dicha, es decir, las reglas formales, pueden dividirse en dos clases: las obtenidas por adición o sustracción, por un lado, correspondientes a lo que generalmente se denomina conexión de sucesos exclusivos o incompatibles;[1] y las obtenidas por multiplicación o división, por otro lado, correspondientes a lo que comúnmente se denomina sucesos dependientes. Las examinaremos en su orden.
(1) Podemos hacer inferencias mediante una simple suma. Si, por ejemplo, hay dos propiedades distintas observables en varios miembros de la serie, propiedades que no se dan en un mismo individuo; es evidente que en cualquier lote el número de los que son de un tipo o del otro será igual a la suma de los de ambos tipos por separado.
Así pues, 36,4 niños de cada 100 viven más de sesenta años, y 35,4 de cada 100 mueren antes de cumplir los diez;[2] si tomamos un número grande, digamos 10.000, habrá unos 3640 que vivirán más de sesenta años y unos 3540 que no llegarán a los diez; por tanto, el número total de los que no mueren dentro de los límites asignados será de unos 2820 en total.
Por supuesto, si estas proporciones se hubieran asignado con exactitud, la suma resultante sería igualmente exacta: pero, como el lector sabe, en Probabilidad esta proporción es meramente el límite hacia el que tienden los números a la larga, no el resultado preciso asignado en un caso particular. De ahí que solo podamos aventurarnos a decir que este es el límite hacia el que tendemos a medida que los números se hacen cada vez mayores.
Esta regla, en su forma algebraica general, se expresaría en el lenguaje de la Probabilidad de la siguiente manera:—Si las posibilidades de dos sucesos excluyentes o incompatibles son respectivamente 1/m y 1/n, la posibilidad de que suceda uno u otro de ellos será 1/m + 1/n o m + n/mn. Del mismo modo si hubiera más de dos sucesos del tipo en cuestión. Según los principios adoptados en esta obra, la regla, cuando se expresa así algebraicamente, significa exactamente lo mismo que cuando se expresa en la forma estadística. Se demostró al final del último capítulo que decir, por ejemplo, que la posibilidad de que un evento dado ocurra de cierta manera es 1/6, es tan solo otra forma de decir que, a la larga, tiende a ocurrir de esa manera una de cada seis veces.
Es evidente que se podría obtener una especie de corolario de esta regla,
de manera exactamente igual, mediante la sustracción en lugar de la adición. Expresado en términos generales, sería el siguiente:—Si la probabilidad de uno u otro de dos eventos incompatibles es 1/m y la probabilidad de uno solo es 1/n, la probabilidad del restante será 1/m − 1/n o n − m/nm.
Por ejemplo, si la probabilidad de que alguien muera en un año es de 1/10, y su probabilidad de morir a causa de alguna enfermedad en particular es de 1/100, su probabilidad de morir por cualquier otra enfermedad es de 9/100.
El lector observará aquí que hay dos modos aparentemente diferentes de enunciar esta regla, según hablemos de «que ocurra uno u otro de dos o más eventos», o de «que el mismo evento ocurra de una u otra de dos o más maneras».
Pero no debe surgir ninguna confusión por este motivo; cualquiera de las dos formas de hablar es legítima, siendo la diferencia meramente verbal y dependiendo (como se mostró en el primer capítulo, § 8) de si las distinciones entre las «maneras» son o no demasiado profundas y numerosas como para permitir que el evento sea considerado convencionalmente como el mismo.
Podemos también señalar aquí la justificación de la doctrina común de que la certeza está representada por la unidad, del mismo modo que cualquier grado dado de probabilidad está representado por su fracción correspondiente.
Si la afirmación de que un evento ocurre una vez en m veces se expresa de manera equivalente diciendo que su probabilidad es 1/m, se deduce que decir que ocurre m veces en m veces, o todas las veces sin excepción, equivale a decir que su probabilidad es m/m o 1.
Ahora bien, un evento que ocurre todas las veces es, por supuesto, uno de cuya ocurrencia estamos ciertos; por lo tanto, la fracción que representa la «probabilidad» de un evento que es cierto se convierte en la unidad.
Será igualmente evidente que, dado que la probabilidad de que ocurra un evento es 1/m, la probabilidad de que no ocurra es 1 − 1/m o m − 1/m.
§ 3. (2) También podemos hacer deducciones mediante la multiplicación o la división. Supongamos que dos eventos, en lugar de ser incompatibles, están conectados entre sí en el sentido de que uno depende de la ocurrencia del otro. Si se nos dice que una proporción dada de los miembros de la serie posee una cierta propiedad, y que a su vez una proporción dada de estos posee otra propiedad, entonces la proporción del total que posee ambas propiedades se hallará multiplicando las dos fracciones que representan las dos proporciones anteriores.
De los habitantes de Londres, veinticinco por mil, supongamos, morirán en el transcurso del año; supongamos también que se sabe que una de cada cinco muertes se debe a la fiebre; deduciríamos entonces que uno de cada 200 habitantes morirá de fiebre en el transcurso del año.
Por supuesto, sería igualmente sencillo, mediante la división, hacer una especie de deducción inversa. Dada la mortalidad total por ciento[ TN: space] de la población a causa de la fiebre, y la proporción de los casos de fiebre respecto al total de otros casos de mortalidad, podríamos haber deducido, dividiendo una fracción por la otra, cuál era la mortalidad total por ciento[ TN: space] por todas las causas.
La regla tal como se ha dado anteriormente se expresa de diversas maneras en el lenguaje de la probabilidad. Quizá la formulación más simple y mejor sea la de que nos da la regla de los eventos dependientes. Esto es: si la probabilidad de un evento es 1/m, y la probabilidad de que, si este ocurre, otro ocurra también es 1/n, entonces la probabilidad
de este último es 1/mn. En este caso se asume que este último depende de tal manera del primero que, aunque no ocurra siempre con él, ciertamente no ocurrirá sin él; la necesidad de esta suposición, sin embargo, puede evitarse diciendo que de lo que estamos hablando en el último caso es del evento conjunto, es decir,[ TN: space] ambos a la vez si son eventos simultáneos, o el último como consecuencia del primero, si son sucesivos.
§ 4. Las inferencias anteriores son necesarias, en el sentido en que lo son las inferencias aritméticas, y no exigen para su establecimiento ninguna hipótesis arbitraria.
No asumimos en ellas más de lo que está garantizado y, de hecho, hecho necesario por los datos que se nos dan realmente, y hacemos nuestras inferencias a partir de estos datos con la ayuda de la aritmética. En los ejemplos sencillos dados anteriormente no se requiere nada más allá de la aritmética en su forma más familiar, pero apenas es necesario añadir que en la práctica a menudo pueden presentarse ejemplos que exigirán métodos mucho más profundos que estos. Puede poner a prueba todos los recursos de esa aritmética superior y más abstracta conocida como álgebra extraer una solución.
Pero como la necesidad de recurrir a tales métodos no afecta a los principios de esta parte del tema, no necesitamos entrar en ellos aquí.
§ 5. La fórmula que vamos a tratar a continuación se halla en una situación algo diferente a las anteriores respecto a su fuerza persuasiva y a su independencia de la apelación a la experiencia o a la hipótesis. En los dos primeros casos consideramos supuestos en los que se suponía que los datos se daban bajo las condiciones de que las propiedades que distinguían los diferentes tipos de eventos cuya frecuencia se discutía se sabía, respectivamente, que estaban desconectadas o que estaban conectadas. Supongamos ahora que no se nos dan tales condiciones.
Un hombre de cada diez, digamos, tiene el pelo negro, y uno de cada doce es miope; ¿qué conclusiones podríamos extraer entonces en cuanto a la probabilidad de que un hombre dado posea uno solo de estos dos atributos, o ninguno, o ambos? Es claramente posible que las propiedades en cuestión sean incompatibles entre sí, de modo que nunca se encuentren combinadas en la misma persona; o que todos los miopes tengan el pelo negro; o que las propiedades estén distribuidas[3] en casi cualquier otra proporción imaginable. Si ignoramos por completo estos puntos, parecería que no se puede extraer ninguna inferencia en absoluto sobre las probabilidades requeridas.
Sin embargo, las inferencias se extraen, y en la práctica, en la mayoría de los casos, se extraen con bastante justicia. Se halla una vía de escape a la aparente indeterminación del problema, tal como se ha descrito anteriormente, asumiendo que, no solo una décima parte del número total de hombres tendrá el cabello negro (pues esto se dio como uno de los datos), sino también que una décima parte tanto de aquellos que son miopes como de los que no lo son tiene el cabello negro. Tomemos un lote de 1200, como muestra del total. Ahora bien, a partir de los datos que se nos dieron originalmente, se verá fácilmente que en cada uno de dichos lotes habrá, como promedio, 120 personas que tienen el cabello negro y, por lo tanto, 1080 que no lo tienen. Y aquí, en estricto derecho, deberíamos detenernos, al menos hasta que hayamos recurrido nuevamente a la experiencia; pero no nos detenemos aquí. A partir de los datos que asumimos, pasamos a inferir que de los 120, 10 (es decir,[** TN: space] la doceava parte de 120) serán miopes, y 110 (el resto) no lo serán. De igual modo inferimos que de los 1080, 90 son miopes, y 990 no lo son. En conjunto, pues, los 1200 se dividen así:—con cabello negro y miopes, 10; miopes sin cabello negro, 90; hombres con cabello negro que no son miopes, 110; hombres que ni son miopes ni tienen el cabello negro, 990.
Esta regla, expresada en su forma más general, en el lenguaje de la Probabilidad, sería la siguiente:—Si las probabilidades de que algo sea p y q son respectivamente 1/m y 1/n, entonces la probabilidad de que sea tanto p como q es 1/mn, de que sea p y no q es n − 1/mn, de que sea q y no p es m − 1/mn, y de que no sea p ni q es (m − 1)(n − 1)/mn, donde p y q son independientes. La suma de estas probabilidades es obviamente la unidad; como debe ser, ya que una u otra de las cuatro alternativas ha de existir necesariamente.
§ 6. He subrayado a propósito la distinción entre la inferencia en este caso y la de los dos precedentes, hasta un extremo que a muchos lectores puede parecer injustificado.
Pero me parece que, cuando una ciencia utiliza —como lo hace la Probabilidad— dos fuentes de convicción tan sumamente distintas como las reglas necesarias de la aritmética y las meramente más o más bien cogentes de la Inducción, apenas es posible insistir demasiado en tal distinción. Pocos estarán dispuestos a negar que muchos escritores sobre el tema han hecho suposiciones muy arbitrarias, y ninguno negará que, en el caso de las llamadas «probabilidades inversas», a veces se hacen suposiciones que son al menos claramente discutibles.
El mejor curso, por tanto, es hacer una pausa y un examen riguroso en el punto en el que la posibilidad de tal error y dudosidad se manifiesta por primera vez. Estas observaciones se aplican a algunos de los mejores escritores sobre la materia; en el caso de los escritores inferiores, o de aquellos que recurren a la Probabilidad sin haber dominado debidamente sus principios, podemos ir más lejos.
En realidad, no sería exagerado afirmar que parecen considerarse justificados al suponer que, cuando no sabemos nada acerca de la distribución de las propiedades aludidas, debemos dar por sentado que están distribuidas del modo descrito más arriba y, por consiguiente, repartir nuestra creencia en la misma proporción. A esto se le llama «suponer que los sucesos son independientes», partiendo de la suposición de que la regla se seguirá ciertamente de dicha independencia, y de que tenemos derecho, si no sabemos nada que indique lo contrario, a suponer que los sucesos son independientes.
La validez de esta última afirmación ya ha sido discutida en el primer capítulo; no es más que otro de los intentos de construir à priori la serie que la experiencia nos presentará, y uno para el cual no puede hacerse una defensa tan sólida como para la igualdad de caras y cruces en los lanzamientos de una moneda.
Pero el significado que debe atribuirse a la «independencia» de los acontecimientos en cuestión merece un momento de consideración.
Las circunstancias del problema son estas. Hay dos cualidades diferentes por cuya presencia y ausencia respectivamente, entre los individuos de una serie, se producen dos pares distintos de clases de dichos individuos.
Para el establecimiento de la regla en discusión se halló que una suposición era a la vez necesaria y suficiente, a saber, que la división en clases causada por cada una de las distinciones anteriores debía subdividir cada una de las clases creadas por la otra distinción en la misma proporción en que subdivide el todo.
Si se concede la independencia y se la define de modo que signifique esto, la regla por supuesto se mantendrá, pero, sin que se preste una atención especial al punto, no parece que la palabra fuera entendida naturalmente de ese modo.
§ 7. Sentadas, pues, las reglas fundamentales de la inferencia en probabilidad, surge de inmediato la pregunta: ¿Cuál es su relación con el vasto conjunto de fórmulas que se emplean en los tratados sobre la ciencia y en las aplicaciones prácticas de la misma?
La respuesta sería que estas fórmulas, en la medida en que pertenecen propiamente a la ciencia, no son en realidad otra cosa que aplicaciones de las reglas fundamentales antes citadas. Tales aplicaciones pueden adoptar cualquier grado de complejidad, ya que, debido a la dificultad de los ejemplos particulares en la forma en que se presentan efectivamente, a veces es preciso recurrir a los teoremas más profundos de las matemáticas.
Aun así, no debemos considerar estos teoremas como algo distinto de abreviaturas convenientes y necesarias de procesos aritméticos que, en la práctica, se han vuelto demasiado engorrosos para realizarse de otro modo.
Esta explicación dará cuenta de algunas de las reglas tal como se enuncian habitualmente, pero de ningún modo de todas ellas.
Dará cuenta de aquellas que son demostrables mediante las leyes ciertas de la aritmética, pero no de las que en realidad se basan únicamente en generalizaciones inductivas. Y difícilmente puede dudarse de que muchas reglas de este último tipo se han asociado con las del primer grupo, de modo que, en la estimación popular, se han fundido en un solo sistema, cuyas reglas particulares se supone que poseen un origen similar y una certeza igual.
Ya se han dado frecuentemente indicios de esta tendencia, pero el tema es de una importancia tan extrema que debe dedicarse a su consideración un capítulo separado (el dedicado a la Inducción).
§ 8. Al establecer la validez de las reglas anteriores, hemos tomado como base de nuestras investigaciones, de acuerdo con el plan general de esta obra, la frecuencia estadística de los eventos referidos; pero también se demostró que cada fórmula, una vez establecida, podría expresarse con igual propiedad en la forma más familiar de una fracción que representa la «probabilidad» de que ocurra el evento en cuestión.
Por lo tanto, puede plantearse ahora la cuestión: ¿Pueden aquellos escritores que (como se describió en el capítulo último) toman como objeto principal de la ciencia no el grado de frecuencia estadística, sino la cantidad de creencia, hacer de esto con igual consistencia la base de sus reglas y considerar así también la fracción expresiva de la probabilidad como una expresión meramente sinónima?
De Morgan sostiene que, mientras que en la lógica ordinaria suponemos que las premisas son absolutamente verdaderas, el ámbito de la Probabilidad consiste en estudiar «el efecto que la creencia parcial de las premisas produce con respecto a la conclusión». Parecería, por tanto, como si en rigor debiéramos, según este punto de vista, ser capaces de determinar esta disminución consecuente de primera mano, a partir de la introspección de la mente, es decir, de las concepciones y creencias que alberga; en lugar de recurrir a la estadística para que nos diga cuánto debemos creer en la conclusión.
Cualquier lector que haya coincidido conmigo en los resultados generales del capítulo anterior, convendrá naturalmente en la conclusión de que no se puede extraer nada digno del nombre de ciencia lógica de ningún resultado obtenido al apelar a nuestra conciencia respecto a la cantidad de creencia que abrigamos sobre esta o aquella proposición.
Supongamos, por ejemplo, que una persona de cada 100 muere en la travesía marítima hacia la India, y que una de cada 9 muere durante una residencia de 5 años allí. Comúnmente se diría que la probabilidad de que alguien que ahora parte hacia allá llegue con vida a emprender el viaje de regreso a casa dentro de 5 años es de 88/100; puesto que su probabilidad de llegar allí es de 99/100, y la de sobrevivir, si llega, de 8/9; de ahí que el resultado o evento dependiente se obtenga multiplicando estas fracciones entre sí, lo que da 88/100. Aquí la base real del razonamiento es estadística, y los procesos o resultados simplemente se traducen después a fracciones.
¿Pero podemos decir lo mismo cuando miramos el lado de la creencia en la cuestión? Admito plenamente el hecho psicológico de que poseemos grados de creencia que se corresponden más o menos con la frecuencia de los eventos a los que se refieren. En el ejemplo anterior, por ejemplo, admitiríamos sin duda, al indagar, que nuestra creencia en el regreso del hombre se vio afectada por cada uno de los riesgos en cuestión, de modo que teníamos menor expectativa de ello que si estuviera sujeto a cualquiera de los riesgos por separado; es decir, combinaríamos de algún modo los riesgos.
Pero lo que no puedo reconocer es que seamos capaces de realizar el proceso con un mínimo de aproximación a la exactitud sin recurrir a las estadísticas, o que, incluso suponiendo que pudiéramos hacerlo, tuviéramos garantía alguna de la corrección del resultado sin un recurso similar. De hecho, me parece que se puede alcanzar muy poco sentido, y ciertamente ninguna seguridad, al considerar de ese modo el proceso de inferencia.
Las probabilidades expresadas como grados de creencia, al igual que aquellas expresadas como fracciones, deben, cuando se nos exige justificación, traducirse primero a sus correspondientes hechos de frecuencia estadística de ocurrencia de los eventos, y solo entonces deben extraerse y justificarse las inferencias allí. Esta parte de la operación, como ya hemos demostrado, se lleva a cabo en su mayor parte mediante las reglas ordinarias de la aritmética. Una vez obtenida nuestra conclusión, podemos, si nos place, traducirla de nuevo a la forma subjetiva, tal como podemos y solemos hacerlo por conveniencia a la forma fraccionaria, pero no veo cómo se puede concebir que el proceso de inferencia tenga lugar en esa forma, y menos aún cómo se puede dar así prueba alguna de ello.
Si, por tanto, el proceso de inferencia se expresa de ese modo, debe considerarse como un proceso simbólico, simbólico de una inferencia sobre las cosas como la descrita anteriormente, y por ello me parece más aconsejable enunciarlo y exponerlo en esta última forma.
# Sobre la probabilidad inversa y las reglas requeridas para ella.
§ 9. Ya se ha dicho que las únicas reglas fundamentales de inferencia en Probabilidad son las dos descritas en los §§ 2, 3, pero existen por supuesto gran cantidad de reglas derivadas, cuya naturaleza y uso se aprenden mejor mediante el estudio de cualquier manual sobre la materia. Una clase de estas reglas derivadas, sin embargo, es lo suficientemente distinta respecto a las cuestiones a las que puede dar lugar como para merecer un examen especial. Implica la distinción comúnmente reconocida como aquella entre Probabilidad Directa e Inversa. Es introducida de este modo por De Morgan:—
“En el capítulo precedente hemos calculado las probabilidades de un acontecimiento, conociendo las circunstancias bajo las cuales ha de suceder o fallar. Ahora debemos colocarnos en una posición inversa: conocemos el acontecimiento y preguntamos cuál es la probabilidad que resulta de este a favor de cualquier conjunto de circunstancias bajo las cuales el mismo podría haber sucedido”.[4]
La distinción podría describirse, por tanto, de manera resumida, como aquella entre hallar un efecto cuando se nos dan las causas, y hallar una causa cuando se nos dan los efectos.
Sobre los principios de la ciencia implicada en la definición que se discutió y adoptó en los primeros capítulos de esta obra, el lector deducirá fácilmente que ninguna distinción de este tipo puede considerarse fundamental.
Se rastreó un rasgo común en todos los objetos que debían remitirse a la Probabilidad, y a partir de este rasgo pueden derivarse inmediatamente las reglas posibles de inferencia. Todas las demás distinciones son meramente de disposición o manejo.
Pero aunque la distinción no sea en absoluto fundamental, no es menos cierto que el tratamiento práctico de problemas como los que ocurren principalmente en la Probabilidad Inversa sí se corresponde con una fuente muy seria de ambigüedad y perplejidad.
Las suposiciones arbitrarias que aparecen en la Probabilidad Directa no son en absoluto graves, pero aquellas que nos invaden en una gran proporción de los problemas que plantea la Probabilidad Inversa son tanto graves como inevitables.
§ 10. Esto se verá mejor mediante el examen de ejemplos especiales; como cualquiera, por simple que sea, servirá a nuestro propósito, tomemos los dos siguientes:—
(1) Se extrae una bola de una bolsa que contiene nueve bolas negras y una blanca: ¿cuál es la probabilidad de que sea la bola blanca?
(2) Se extrae una bola de una bolsa que contiene diez bolas, y resulta ser blanca; ¿cuál es la probabilidad de que hubiere una sola bola blanca en la bolsa?
La clase de la cual el primer ejemplo es un caso sencillo ya ha sido abundantemente discutida. La interpretación de la misma es la siguiente: si se sacan bolas continuamente y se vuelven a colocar, la proporción de las blancas con respecto al número total extraído tenderá hacia la fracción 1/10.
La acción contemplada es única, pero la consideramos como una de la serie anterior; al menos, nuestra opinión se forma sobre esa suposición. Concluimos que vamos a tomar uno de una serie de acontecimientos que pueden parecer individualmente fortuitos, pero en los cuales, a la larga, los de un tipo determinado constituyen una décima parte del total; este tipo (blancas) se aísla entonces por anticipación.
Al afirmar que su probabilidad es 1/10, simplemente pretendemos aseverar este hecho físico, junto con cualesquiera otros hechos mentales, emociones, inferencias, etc., que puedan asociarse adecuadamente con él.
§ 11. ¿Tenemos que interpretar el segundo ejemplo de un modo diferente? Aquí también tenemos un solo caso, pero la naturaleza de la pregunta parecería decidir que la única serie a la que puede remitirse propiamente es la siguiente:—Se extraen continuamente bolas de diferentes bolsas, cada una de las cuales contiene diez, y siempre se encuentra que son blancas; ¿cuál es en última instancia la proporción de casos en los que se descubrirá que han sido tomadas de bolsas con una sola bola blanca en ellas? Ahora bien, puede demostrarse fácilmente[5] que el tiempo no tiene nada que ver con la cuestión; omitiendo por tanto la consideración de este elemento, tenemos para las dos series a partir de las cuales han de formarse nuestras opiniones en estos dos ejemplos respectivamente:—(1) bolas de diferentes colores que se nos presentan en una proporción última dada; (2) bolsas con diferentes contenidos presentadas de manera similar. A partir de estos datos respectivamente hemos de asignar su debido peso a nuestras anticipaciones de (1) una bola blanca; (2) una bolsa que contiene una sola bola blanca. Así planteados, los problemas parecerían ser formalmente idénticos.
Cuando, sin embargo, comenzamos la labor práctica de resolverlos, percibimos una distinción sumamente importante. En el primer ejemplo no hay mucho que sea arbitrario; en tales circunstancias, las bolas saldrían realmente de manera más o menos exacta en la proporción esperada. Además, en caso de que se objetara que es difícil demostrar que lo harán, no parece una exigencia injusta decir que las bolas deben estar «bien mezcladas» o «distribuidas equitativamente», o introducir cualquiera de las otras condiciones mediante las cuales, bajo la apariencia de juzgar à priori, nos ocupamos de asegurar nuestra perspectiva de una serie del tipo deseado. Pero no podemos decir lo mismo en el caso del segundo ejemplo.
§ 12. La línea de demostración con la que generalmente se intenta resolver el segundo ejemplo es de esta clase:—Se demuestra que, habiendo con certeza una bola blanca en la bolsa, los únicos antecedentes posibles son de diez clases, a saber,[ TN: space] bolsas, cada una de las cuales contiene diez bolas, pero en las cuales las bolas blancas varían respectivamente de uno a diez en número. Esto por supuesto impone límites a la clase de términos que han de encontrarse en nuestra serie. Pero necesitamos más que tales limitaciones; debemos conocer las proporciones en las que estos términos terminan por ordenarse en la serie. Ahora bien, esto requiere una experiencia acerca de las bolsas que puede no sintonizar, y de hecho en una gran proporción de casos similares no puede, sernos dada. Si por tanto hemos de resolver la cuestión de algún modo, debemos hacer una suposición; hagamos la siguiente:—que cada una de las bolsas descritas antes se presenta con igual frecuencia,—y veamos lo que resulta. Al extraerse de las bolsas con igual frecuencia, no se sigue que cada una de ellas vaya a rendir números iguales de bolas blancas. Por el contrario, lo harán, como en el último ejemplo, en proporción directa al número de tales bolas que contienen. La bolsa con una bola blanca y nueve negras arrojará una bola blanca una de cada diez veces; la de dos blancas, dos; y así sucesivamente. El resultado de esto, como se verá fácilmente, es que en 100 extracciones se obtendrán como promedio 55 bolas blancas y 45 negras. Ahora bien, con aquellas extracciones que no arrojan bolas blancas no tenemos, según el enunciado, nada que ver, pues dicho enunciado postulaba la extracción de una bola blanca como un hecho consumado. La serie que queremos está compuesta por lo tanto por aquellas que sí arrojan blancas. Ahora bien, ¿cuál es el atributo adicional que se encuentra en algunos miembros, y solo en algunos miembros, de esta serie, y que anticipamos mentalmente? Claramente es el atributo de haber sido extraída de una bolsa que solo contenía una de estas bolas blancas. De estas hay, de las 55 extracciones, tan solo una. En consecuencia, la probabilidad requerida es 1/55. Es decir, la bola blanca habrá sido extraída de la bolsa que contiene únicamente esa única blanca, una de cada 55 veces.
§ 13. Ahora bien, con la excepción del pasaje en cursiva, el proceso aquí es exactamente el mismo que en el otro ejemplo; es algo más largo únicamente porque no podemos apelar inmediatamente a la experiencia, sino que nos vemos obligados a intentar deducir cuál será el resultado, aunque la validez de esta deducción misma descanse, por supuesto, en última instancia, sobre la experiencia.
Pero el pasaje anterior es muy importante. Apenas es necesario señalar cuán arbitrario es.
Pues es la suposición de que los diferentes tipos especificados de bolsas son igualmente probables, ¿la suposición más razonable bajo las circunstancias en cuestión? Un hombre puede pensar que sí, otro puede adoptar un punto de vista contrario. De hecho, en un excelente manual[6] sobre el tema se hace una suposición totalmente diferente, al menos en un ejemplo; en ese caso se da por sentado, no que cada número posible de bolas negras y blancas respectivamente sea igualmente probable, sino que cada forma posible de obtener cada número es igualmente probable, de donde se deduce que las bolsas con un número intermedio de bolas negras y blancas son mucho más probables que aquellas con un número extremo de cualquiera de los dos colores.
Bajo esta suposición, al poder obtenerse cinco negras y cinco blancas de 252 maneras frente a las diez maneras de obtener una blanca y nueve negras, se sigue que la probabilidad de que hayamos extraído de una bolsa de la última descripción es mucho menor que bajo la hipótesis formulada en primer lugar. La probabilidad, de hecho, pasa a ser ahora 1/512 en lugar de 1/55.
En el primer caso se considera que cada resultado distinto es igualmente probable, en el segundo, cada forma distinta de obtener cada resultado.
§ 14. Incertidumbres de este tipo son singularmente proclives a surgir en estas probabilidades inversas, porque cuando simplemente se nos da un efecto y se nos pide que busquemos la probabilidad de alguna causa asignada, a menudo no se nos da ninguna pista sobre la prevalencia relativa de estas causas, sino que se nos deja que las determinemos según principios generales. Dennos su prevalencia real en estadísticas, o las condiciones mediante las cuales dicha prevalencia es generada, y sabremos qué hacer; pero sin la ayuda de tales datos nos vemos reducidos a adivinar. En el ejemplo anterior, si se nos hubiera dicho cómo se había llenado originalmente la bolsa, es decir, por qué proceso o bajo qué circunstancias, habríamos sabido qué hacer. Si se hubiera llenado al azar a partir de una caja que contuviera igual número de bolas negras y blancas, la suposición en el ejemplo del Sr. Whitworth es la más razonable; pero a falta de cualquier información de este tipo, estamos completamente a oscuras, y la suposición hecha en el § 12 no es ni más ni menos fidedigna y razonable que muchas otras, aunque sin duda posee el mérito de una simplicidad superior.[7] Si el lector recurre al cap. V[** TN: space] §§ 4, 5, encontrará esta dificultad en particular plenamente explicada. Todo el mundo admite en la práctica que hay que introducir una disposición o distribución característica determinada en alguna etapa previa; y que, tan pronto como se ha seleccionado esta etapa, no quedan más dificultades teóricas por afrontar. Pero cuando llegamos a decidir, en ejemplos de la clase en cuestión, en qué etapa es más razonable hacer nuestro postulado, a menudo nos quedamos sin ninguna guía muy definida o racional.
§ 15. Sin embargo, cuando tomamos lo que puede llamarse, en comparación con los ejemplos puramente artificiales anteriores, casos presentados por la naturaleza, gran parte de esta incertidumbre desaparecerá, y entonces toda distinción real entre la probabilidad directa y la inversa a menudo se desvanecerá.
En tales casos, las causas están determinadas en su mayor parte por reglas bastante definidas, en lugar de ser un mero país de nubes de conjeturas caprichosas. Podemos hallar su frecuencia relativa de aparición recurriendo a tablas, o bien ser capaces de inferirla mediante el examen de las circunstancias bajo las cuales se producen.
Casi cualquier ejemplo sencillo serviría entonces para ilustrar el hecho de que, bajo tales circunstancias, la distinción entre la probabilidad directa y la inversa desaparece por completo, o simplemente se reduce a una cuestión de tiempo, la cual, como se mostrará con más detalle en un capítulo futuro, es completamente ajena a nuestro tema.
No se pretende por supuesto dar a entender que dificultades similares a las mencionadas arriba no nos invadan ocasionalmente aquí también.
Como ya se ha dicho, estas son, si no inherentes al tema, al menos casi inevitables en comparación con el procedimiento más simple y directo de determinar qué es probable que se siga de condiciones asignadas.
Lo que se quiere decir es que, mientras nos limitemos al campo comparativamente regular y uniforme de las secuencias y coexistencias naturales, las estadísticas de las causas pueden estar tan fácilmente disponibles como las de los efectos.
No habrá mucho más de arbitrario en las unas que en las otras. Pero, por supuesto, esta seguridad se pierde cuando, como se notará casi de inmediato, se introducen en la investigación causas que pueden llamarse metafísicas más que naturales.
Por ejemplo, se sabe que en Londres mueren unas 20 personas por cada mil cada año. Supóngase también que se sabe que de cada 100 muertes unas 4 son atribuibles a la bronquitis. Por tanto, la probabilidad en contra de que una persona cualquiera muera de bronquitis en un año dado es de 1249 a 1.
Se dispone exactamente de las mismas estadísticas para resolver el problema inverso: —Un hombre ha muerto, ¿qué probabilidad hay de que haya muerto de bronquitis? Aquí, dado que la muerte del hombre se da por sentada, no necesitamos conocer la mortalidad media general. Todo lo que necesitamos es la mortalidad proporcional por la enfermedad en cuestión tal como se ha indicado más arriba.
Si la probabilidad tratara únicamente de inferencias fundadas de este modo en estadísticas reales, y estas razonablemente extensas, es poco probable que se hubiera llegado a trazar jamás una distinción como esta entre problemas directos e inversos.
§ 16. Considerata, por tanto, como una contribución a la teoría del tema, la distinción entre Probabilidad Directa e Inversa debe ser abandonada. Cuando se dispone de las estadísticas apropiadas, las dos clases de problemas se vuelven idénticas en su método de tratamiento, y cuando no, no tenemos más derecho a extraer una solución en un caso que en el otro.
La discusión, sin embargo, puede servir para dirigir una renovada atención hacia otra distinción mucho más importante. Nos recordará que hay una clase de ejemplos a los que el cálculo de Probabilidades se aplica legítimamente, porque los datos estadísticos son todo lo que tenemos para juzgar; mientras que hay otros ejemplos respecto de los cuales, si insistimos en hacer uso de estas reglas, podemos estar renunciando deliberadamente a la oportunidad de obtener información mucho más fidedigna por otros medios, o podemos estar obteniendo soluciones sobre asuntos acerca de los cuales el intelecto humano no tiene derecho a ninguna opinión cuantitativa definitiva.
§ 17. La aproximación más cercana a cualquier justificación práctica de tales juicios que recuerdo haber visto la proporcionan los casos de los cuales el siguiente ejemplo es una muestra:—
“De 10 casos tratados con el método de Lister, 7 evolucionaron favorablemente y 3 sufrieron envenenamiento de la sangre; de 14 tratados con curas ordinarias, 9 evolucionaron favorablemente y 5 tuvieron envenenamiento de la sangre; ¿cuáles son las probabilidades de que el éxito del método de Lister se debiera al azar?”.[8]
O, para decirlo con otras palabras, una breve experiencia ha mostrado una superioridad real de un método sobre el otro: ¿cuáles son las probabilidades de que una experiencia indefinidamente larga, en condiciones similares, confirme esta superioridad?
El autor de la propuesta trató esto como un problema de «bolsas y bolas», análogo al siguiente: 10 bolas de una bolsa dieron 7 blancas y 3 negras, 14 de otra bolsa dieron 9 blancas y 5 negras: ¿qué probabilidad hay de que la proporción real de bolas blancas respecto a las negras fuera mayor en la primera que en la segunda?, considerándose por supuesto esta proporción real como un verdadero indicio de cuáles serían las proporciones definitivas de las extracciones blancas y negras. Esto me parece la única manera razonable de tratar el problema, si es que se ha de considerar capaz de una solución numérica en absoluto.
Naturalmente, hay que partir aquí de la suposición inevitable de la igual prevalencia de las diferentes clases posibles de bolsas —o, como dirían los defensores de la justeza del cálculo, de la obligación de asumir la igual probabilidad à priori de cada clase—, pero creo que en este ejemplo en particular la arbitrariedad de la suposición es menor de lo habitual. Esto se debe a que el problema analiza simplemente un equilibrio entre dos casos sumamente similares, y existe una cierta compensación mutua entre las suposiciones objetables de ambos lados.
Si se hubiera propuesto un único conjunto de experimentos, y se nos hubiera pedido evaluar la probabilidad de que su continua repetición confirmara su veredicto, habría sentido todos los escrúpulos que ya he mencionado. Pero aquí tenemos dos conjuntos de experimentos llevados a cabo en circunstancias casi exactamente similares, y por lo tanto hay una menor arbitrariedad al suponer que sus condiciones desconocidas tienen una prevalencia bastante equitativa.
§ 18. Los ejemplos de la descripción comúnmente introducida parecen bastante objetables, pero si deseamos darnos cuenta en toda su extensión de la vaguedad de algunos de los problemas sometidos a esta Probabilidad Inversa, no tenemos que buscar muy lejos. Tanto en los ejemplos naturales como en los artificiales, donde las estadísticas son inalcanzables, la investigación se vuelve totalmente desesperada, y todos los intentos de establecer reglas para el cálculo deben abandonarse.
Tómese, por ejemplo, la cuestión que ha dado lugar a cierta discusión,[9] de si tales o cuales grupos de estrellas deben o no considerarse como el resultado de una distribución accidental; o la cuestión, aún más amplia y vaga, de si tales o cuales cosas, o digamos el mundo mismo, han sido producidos por azar.
En casos de esta índole la dificultad insuperable consiste en determinar qué sentido exacto debe atribuirse a las palabras «accidental» y «aleatorio» que intervienen en la discusión.
En el cuarto capítulo se dio cierta explicación de su significado científico y convencional en la probabilidad. Parecen existir las mismas objeciones a generalizarlas fuera de dicha relación que las que hay en metafísica para hablar de lo Infinito o lo Absoluto. Una magnitud infinita, o un poder infinito, uno puede comprenderlos hasta cierto punto, o al menos puede entender de qué se está hablando, pero «lo infinito» me parece un término carente de sentido.
Ocurre lo mismo con cualquier cosa que se suponga producida aleatoriamente: dígasenos la naturaleza de la agencia, los límites de su aleatoriedad y así sucesivamente, y podremos aventurarnos con el problema, pero sin tales datos no sabemos qué hacer. El análisis posterior de un problema semejante podría, a mi juicio, sin arrogancia relegarse al capítulo sobre las falacias. En consecuencia, cualquier otra observación que tenga que hacer sobre el tema se encontrará allí, y al final del capítulo sobre la Causalidad y el Diseño.
1
Tal vez sería más exacto hablar de «hipótesis incompatibles con respecto a cualquier caso individual» o de «clases de eventos mutuamente excluyentes».
2
Los ejemplos de este tipo, referentes a la mortalidad humana, están tomados de las tablas de Carlisle. Estas difieren considerablemente, como es bien sabido, de otras tablas, pero contamos con la alta autoridad de De Morgan para considerarlas como el mejor representante de la mortalidad media de las clases medias inglesas en la actualidad.
3
Digo que casi cualquier proporción, porque, como puede verse fácilmente, la aritmética impone ciertas restricciones a las suposiciones que pueden hacerse. No podríamos suponer, por ejemplo, que todos los hombres de pelo negro son miopes, pues en cualquier grupo dado de hombres los primeros son más numerosos. Pero el alcance de estas restricciones es limitado, y su existencia no es importante en la discusión anterior.
4
Essay on Probabilities, p. 53. Se me ha recordado que en su artículo sobre la probabilidad en la Encyclopædia Metropolitana ha afirmado que tales reglas no implican ningún principio nuevo.
5 Este punto se discutirá ampliamente en un capítulo futuro, después de que el punto de vista general de un sistema objetivo de lógica haya sido explicado e ilustrado.
6
Whitworth's Choice and Chance, Ed. II., p. 123. See also Boole's Laws of Thought, p. 370.
7
Las opiniones difieren sobre la defensa de tales suposiciones, al igual que sobre su naturaleza. Algunos escritores, admitiendo que la suposición anterior es dudosa, la llaman la hipótesis más imparcial. Otros la consideran una especie de hipótesis intermedia.
8 Educational Times; Reprint, Vol.[ TN: space] xxxvii. p. 40. The question was proposed by Dr.[ TN: space] Macalister and gave rise to considerable controversy. As usual with problems of this inverse kind hardly any two of the writers were in agreement as to the assumptions to be made, or therefore as to the numerical estimate of the odds.
9 Véase la History de Todhunter, págs. 333, 4.
Hay una interesante discusión sobre esta cuestión por parte del difunto J. D. Forbes en un artículo del Philosophical Magazine de dic.[ TN: space] de 1850. Fue rebatido en un número posterior por el prof.[ TN: space] Donkin.