Comportamiento de los relojes y las varillas de medición en un cuerpo de referencia en rotación

Hasta ahora me he abstenido deliberadamente de hablar de la interpretación física de los datos de espacio y tiempo en el caso de la teoría de la relatividad general. Como consecuencia, soy culpable de cierta negligencia en el tratamiento, la cual, como sabemos por la teoría de la relatividad especial, dista mucho de ser poco importante y perdonable. Ya es hora de que remediemos este defecto; pero mencionaré desde el principio que este asunto impone no pocas exigencias a la paciencia y a la capacidad de abstracción del lector.

Partimos de nuevo de casos muy especiales que ya hemos empleado con frecuencia. Consideremos un dominio espacio-temporal en el que no existe ningún campo gravitatorio con respecto a un cuerpo de referencia $K$ cuyo estado de movimiento se haya elegido de manera adecuada. $K$ es entonces un cuerpo de referencia galileano en lo que respecta al dominio considerado, y los resultados de la teoría especial de la relatividad son válidos respecto a $K$. Supongamos que el mismo dominio se refiere a un segundo cuerpo de referencia $K^{\prime }$, que gira uniformemente con respecto a $K$. Para fijar ideas, imaginaremos que $K^{\prime }$ tiene la forma de un disco circular plano que gira uniformemente en su propio plano alrededor de su centro. Un observador que se encuentre sentado de forma excéntrica en el disco $K^{\prime }$ percibe una fuerza que actúa hacia el exterior en dirección radial, y que sería interpretada como un efecto de inercia (fuerza centrífuga) por un observador que estuviera en reposo respecto al cuerpo de referencia original $K$. Pero el observador situado sobre el disco puede considerar su disco como un cuerpo de referencia «en reposo»; sobre la base del principio general de la relatividad, está justificado para hacer esto. La fuerza que actúa sobre él mismo, y de hecho sobre todos los demás cuerpos que están en reposo respecto al disco, la considera como el efecto de un campo gravitatorio. Sin embargo, la distribución espacial de este campo gravitatorio es de un tipo que no sería posible según la teoría de la gravitación de Newton. El campo desaparece en el centro del disco y aumenta proporcionalmente a la distancia desde el centro a medida que nos desplazamos hacia el exterior. Pero como el observador cree en la teoría general de la relatividad, esto no le perturba; tiene toda la razón al creer que se puede formular una ley general de gravitación, una ley que no solo explica correctamente el movimiento de las estrellas, sino también el campo de fuerza que él mismo experimenta.

El observador realiza experimentos en su disco circular con relojes y varillas de medir. Al hacerlo, su intención es llegar a definiciones exactas para el significado de los datos de tiempo y espacio con referencia al disco circular $K^{\prime }$, estando estas definiciones basadas en sus observaciones. ¿Cuál será su experiencia en esta empresa?

Para empezar, coloca uno de los dos relojes de idéntica construcción en el centro del disco circular, y el otro en el borde del disco, de modo que estén en reposo con respecto a él.

Ahora nos preguntamos si ambos relojes marchan al mismo ritmo desde el punto de vista del cuerpo de referencia galileano no rotatorio $K$. A juzgar desde este cuerpo, el reloj situado en el centro del disco no tiene velocidad, mientras que el reloj situado en el borde del disco se encuentra en movimiento con respecto a $K$ como consecuencia de la rotación.

De acuerdo con un resultado obtenido en la [chapter:XII]Sección XII, se deduce que este último reloj marcha a un ritmo permanentemente más lento que el del reloj situado en el centro del disco circular, es decir, según se observa desde $K$.

Es obvio que el mismo efecto sería advertido por un observador que imaginaremos sentado junto a su reloj en el centro del disco circular.

Así pues, en nuestro disco circular —o, para hacer el caso más general, en todo campo gravitatorio—, un reloj marchará más rápida o más lentamente según la posición en la que esté situado (en reposo). Por esta razón no es posible obtener una definición razonable del tiempo con la ayuda de relojes dispuestos en reposo respecto al cuerpo de referencia.

Una dificultad similar se presenta cuando intentamos aplicar nuestra definición anterior de simultaneidad en un caso así, pero no deseo profundizar más en esta cuestión.

Además, en esta etapa la definición de las coordenadas espaciales presenta también dificultades insuperables. Si el observador aplica su varilla de medir patrón (una varilla que es corta en comparación con el radio del disco) tangencialmente al borde del disco, entonces, a juzgar desde el sistema galileano, la longitud de esta varilla será menor que $1$, puesto que, según [chapter:XII]la sección XII, los cuerpos en movimiento sufren un acortamiento en la dirección del movimiento. Por otra parte, la varilla de medir no experimentará un acortamiento de su longitud, a juzgar desde $K$, si se aplica al disco en la dirección del radio. Si, pues, el observador mide primero la circunferencia del disco con su varilla de medir y luego el diámetro del disco, al dividir lo uno por lo otro, no obtendrá como cociente el conocido número $\pi =3,14\dots$, sino un número mayor,A lo largo de esta consideración tenemos que utilizar el sistema galileano (no rotatorio) $K$ como cuerpo de referencia, ya que solo podemos suponer la validez de los resultados de la teoría especial de la relatividad en relación con $K$ (en relación con $K^{\prime }$ impera un campo gravitatorio). mientras que, por supuesto, para un disco que está en reposo respecto a $K$, esta operación arrojaría $\pi$

exactamente. Esto prueba que las proposiciones de la geometría euclidiana no pueden cumplirse exactamente en el disco giratorio, ni en general en un campo gravitatorio, al menos si atribuimos la longitud $1$ a la varilla en todas las posiciones y en cualquier orientación. Por consiguiente, la idea de línea recta también pierde su significado.

Por lo tanto, no estamos en condiciones de definir exactamente las coordenadas $x$, $y$, $z$ relativas al disco mediante el método utilizado al discutir la teoría especial, y mientras las coordenadas y los tiempos de los acontecimientos no hayan sido definidos, no podemos asignar un significado exacto a las leyes naturales en las que estos intervienen.

Así pues, todas nuestras conclusiones anteriores basadas en la relatividad general parecerían quedar en entredicho.

En realidad, debemos dar un rodeo sutil para poder aplicar exactamente el postulado de la relatividad general. Prepararé al lector para ello en los párrafos siguientes.