XI. La transformación de Lorentz

respecto al segundo entramado. Sin cometer ningún error fundamental, podemos prescindir del hecho de que en realidad estos entramados interferirían continuamente el uno con el otro, debido a la impenetrabilidad de los cuerpos sólidos.

En cada uno de estos marcos imaginamos tres superficies perpendiculares entre sí delimitadas, y designadas como «planos coordenados» («sistema de coordenadas»).

A un sistema de coordenadas $K$ le corresponde entonces el terraplén, y a un sistema de coordenadas $K^{\prime }$ el tren.

Un suceso, dondequiera que haya tenido lugar, quedaría determinado en el espacio con respecto a $K$ mediante las tres perpendiculares $x$, $y$, $z$ a los planos coordenados, y con respecto al tiempo mediante un valor temporal $t$.

En relación con $K^{\prime }$, el mismo suceso quedaría determinado en cuanto al espacio y al tiempo mediante los valores correspondientes $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$, $t^{\prime }$, los cuales, por supuesto, no son idénticos a $x$, $y$, $z$, $t$.

Ya se ha expuesto en detalle cómo deben considerarse estas magnitudes como resultados de mediciones físicas.

Evidently nuestro problema puede formularse exactamente de la siguiente manera. ¿Cuáles son los valores $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$, $t^{\prime }$, de un evento con respecto a $K^{\prime }$, cuando se dan las magnitudes $x$, $y$, $z$, $t$, del mismo evento con respecto a $K$?

Las relaciones deben elegirse de tal manera que la ley de la transmisión de la luz en el vacío se satisfaga para uno y el mismo rayo de luz (y por supuesto para cada rayo) con respecto a $K$ y a $K^{\prime }$.

Para la orientación relativa en el espacio de los sistemas de coordenadas indicados en el diagrama ([fig:2]Fig. 2), este problema se resuelve mediante las ecuaciones:

$x^{\prime }\&=\frac{x-vt}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}},\mathrm{\backslash displaybreak}[1]$

$$\begin{gathered} y^{\prime }\&=y, \\ {z}^{\prime }\&=z, \\ {t}^{\prime }\&=\frac{t-{\displaystyle \frac{v}{c^2}}·x}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}. \end{gathered}$$

Este sistema de ecuaciones se conoce como la «transformación de Lorentz». En el [appendix:I]Apéndice I se ofrece una sencilla deducción de la transformación de Lorentz.

Si en lugar de la ley de propagación de la luz hubiéramos tomado como base las hipótesis tácitas de la mecánica clásica en cuanto al carácter absoluto de los tiempos y las longitudes, entonces, en lugar de las anteriores, habríamos obtenido las siguientes ecuaciones:

Este sistema de ecuaciones se denomina a menudo «transformación de Galileo».

La transformación de Galileo se puede obtener a partir de la transformación de Lorentz sustituyendo un valor infinitamente grande para la velocidad de la luz $c$ en esta última.