XXV. Coordenadas gaussianas

Si, por ejemplo, se supone disponible un continuo de cuatro dimensiones, podemos representarlo de la siguiente manera. A cada punto del continuo le asociamos arbitrariamente cuatro números, x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , que se conocen como "coordenadas". Los puntos adyacentes corresponden a valores adyacentes de las coordenadas. Si se asocia una distancia d s a los puntos adyacentes

$P$ y $P^{\prime }$, siendo esta distancia medible y bien definida desde un punto de vista físico, se cumple entonces la siguiente fórmula: $d{s}^2=g_{11}{d{x}_1}^2+2g_{12}d{x}_{1}d{x}_2+\dots +g_{44}{d{x}_4}^2,$ donde las magnitudes $g_{11}$, etc., tienen valores que varían con la posición en el continuo. Solo cuando el continuo es euclidiano es posible asociar las coordenadas $x_1$, $\dots$, $x_4$ con los puntos del continuo de modo que tengamos simplemente $d{s}^2={d{x}_1}^2+{d{x}_2}^2+{d{x}_3}^2+{d{x}_4}^2.$ En este caso se cumplen en el continuo tetradimensional relaciones análogas a las que se cumplen en nuestras mediciones tridimensionales.

Sin embargo, el tratamiento de Gauss para $d{s}^2$ que hemos dado más arriba no siempre es posible. Solo es posible cuando regiones suficientemente pequeñas del continuo en consideración pueden considerarse como continuos euclídeos.

Por ejemplo, esto es obviamente válido en el caso de la losa de mármol de la mesa y la variación local de temperatura. La temperatura es prácticamente constante para una pequeña parte de la losa y, por tanto, el comportamiento geométrico de las varillas es casi como debe ser según las reglas de la geometría euclidiana. De ahí que las imperfecciones en la construcción de cuadrados de la sección anterior no se manifiesten claramente hasta que dicha construcción se extiende sobre una porción considerable de la superficie de la mesa.

Podemos resumir esto del siguiente modo:

Gauss inventó un método para el tratamiento matemático de medios continuos en general, en el que se definen "relaciones de tamaño" ("distancias" entre puntos vecinos). A cada punto de un continuo se le asignan tantos números (coordenadas gausianas) como dimensiones tenga el continuo. Esto se hace de tal manera que a la asignación solo se le pueda atribuir un único significado, y que los números (coordenadas gausianas)

que difieren en una cantidad infinitamente pequeña se asignan a puntos adyacentes.

El sistema de coordenadas gaussiano es una generalización lógica del sistema de coordenadas cartesiano. También es aplicable a los continuos no euclidianos, pero solo cuando, con respecto al "tamaño" o la "distancia" definidos, las partes pequeñas del continuo en consideración se comportan más semejantemente a un sistema euclidiano cuanto más pequeña sea la parte del continuo bajo nuestra consideración.