XXXII. La estructura del espacio según la teoría general de la relatividad

De este modo satisfacemos el postulado de la constancia de la velocidad de la luz en el vacío para rayos de luz de dirección arbitraria, tanto para el sistema $K$ como para el sistema $K^{\prime }$. Esto puede demostrarse de la siguiente manera.

Suponemos una señal luminosa emitida desde el origen de $K$ en el tiempo $t=0$. Esta se propagará de acuerdo con la ecuación $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=ct,$

o, si elevamos esta ecuación al cuadrado, según la ecuación $x^2+y^2+z^2-c^2{t}^2=0.(10)$

La ley de la propagación de la luz exige, en conjunción con el postulado de la relatividad, que la transmisión de la señal en cuestión tenga lugar —a juzgar desde $K^{\prime }$— de acuerdo con la fórmula correspondiente $r^{\prime }=c{t}^{\prime }$, o bien $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2{t}^{\prime 2}=0.(10a)$ Para que la ecuación eqn:(10a) pueda ser consecuencia de la ecuación eqn:(10), debemos tener $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2{t}^{\prime 2}=\sigma (x^2+y^2+z^2-c^2{t}^2).(11)$

Puesto que la ecuación eqn:(8a) debe cumplirse para los puntos del eje $x$, tenemos por tanto que $\sigma =1$. Se ve fácilmente que la transformación de Lorentz satisface verdaderamente la ecuación eqn:(11)

para $\sigma =1$; para eqn:(11) es una consecuencia de eqn:(8a) y eqn:(9), y por tanto también de eqn:(8) y eqn:(9). Hemos deducido así la transformación de Lorentz.

La transformación de Lorentz representada por eqn:(8) y eqn:(9) todavía necesita ser generalizada.

Evidentemente, es indiferente que los ejes de $K^{\prime }$ se escojan de modo que sean espacialmente paralelos a los de $K$. Tampoco es esencial que la velocidad de traslación de $K^{\prime }$ con respecto a $K$ sea en la dirección del eje $x$.

Una simple consideración muestra que somos capaces de construir la transformación de Lorentz en este sentido general a partir de dos tipos de transformaciones, a saber, de transformaciones de Lorentz en el sentido especial y de transformaciones puramente espaciales, las cuales corresponden al reemplazo del sistema de coordenadas rectangulares por un nuevo sistema con sus ejes apuntando en otras direcciones.

Matemáticamente, podemos caracterizar la transformación de Lorentz generalizada de la siguiente manera:

Expresa $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$, $t^{\prime }$ en función de funciones lineales homogéneas de $x$, $y$, $z$, $t$, de tal manera que la relación $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2{t}^{\prime 2}=x^2+y^2+z^2-c^2{t}^2(11a)$ se satisface idénticamente. Es decir: si sustituimos sus expresiones en $x$, $y$, $z$, $t$, en lugar de $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$, $t^{\prime }$, en el miembro izquierdo, entonces el miembro izquierdo de eqn:(11a) coincide con el miembro derecho.

El espacio tetradimensional de Minkowski («Mundo») [Suplementario a la [chapter:XVII]sección XVII]

Podemos caracterizar la transformación de Lorentz de un modo aún más sencillo si introducimos el imaginario $\sqrt{-1}·ct$ en lugar de $t$ como variable temporal. Si, de acuerdo con esto, insertamos

$$\begin{gathered} x_1\&=x, \\ {x}_2\&=y, \\ {x}_3\&=z, \\ {x}_4\&=\sqrt{-1}·ct, \end{gathered}$$

y de manera similar para el sistema con tilde $K^{\prime }$, entonces la condición que se satisface idénticamente mediante la transformación puede expresarse así:

${x_1^{\prime }}^2+{x_2^{\prime }}^2+{x_3^{\prime }}^2+{x_4^{\prime }}^2={x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2.(12)$