Continuo Euclidiano y No Euclidiano

La superficie de una mesa de mármol se extiende ante mí. Puedo ir de cualquier punto de esta mesa a cualquier otro pasando de forma continua de un punto a uno «vecino», y repitiendo este proceso un número (grande) de veces, o, en otras palabras, yendo de punto en punto sin realizar «saltos».

Estoy seguro de que el lector comprenderá con suficiente claridad lo que quiero decir aquí con «vecino» y con «saltos» (si no es demasiado pedante). Expresamos esta propiedad de la superficie describiéndola como un continuo.

Imaginemos ahora que se ha fabricado un gran número de varillas pequeñas de igual longitud, siendo esta pequeña en comparación con las dimensiones de la losa de mármol. Cuando digo que son de igual longitud, quiero decir que se puede colocar una sobre cualquier otra sin que los extremos sobresalgan.

A continuación, colocamos cuatro de estas varillas pequeñas sobre la losa de mármol de modo que constituyan una figura cuadrilátera (un cuadrado), cuyas diagonales son de igual longitud. Para asegurar la igualdad de las diagonales, nos servimos de una pequeña varilla de prueba.

A este cuadrado le añadimos otros similares, cada uno de los cuales tiene una varilla en común con el primero. Procedemos de igual manera con cada uno de estos cuadrados hasta que finalmente toda la losa de mármol queda cubierta de cuadrados. La disposición es tal que cada lado de un cuadrado pertenece a dos cuadrados y cada esquina a cuatro cuadrados.

Es una verdadera maravilla que podamos llevar a cabo este asunto sin meternos en las mayores dificultades. Solo necesitamos pensar en lo siguiente. Si en cualquier momento tres cuadrados se encuentran en una esquina, entonces dos lados del cuarto cuadrado ya están colocados y, como consecuencia, la disposición de los dos lados restantes del cuadrado ya está completamente determinada. Pero ahora ya no soy capaz de ajustar el cuadrilátero para que sus diagonales puedan ser iguales. Si son iguales por sí mismas, entonces esto es un favor especial de la losa de mármol y de las varillas, por lo cual solo puedo sentir una agradecida sorpresa. Debemos experimentar muchas sorpresas de este tipo si la construcción ha de tener éxito.

Si todo ha marchado realmente sobre ruedas, entonces afirmo que los puntos de la losa de mármol constituyen un continuo euclidiano con respecto a la varilla pequeña que se ha utilizado como «distancia» (intervalo lineal).

Eligiendo una esquina de un cuadrado como «origen», puedo caracterizar cualquier otra esquina de un cuadrado con referencia a este origen mediante dos números. Solo necesito indicar cuántas varillas debo recorrer cuando, partiendo del origen, avanzo hacia la «derecha» y luego hacia «arriba», para llegar a la esquina del cuadrado en cuestión.

Estos dos números son entonces las «coordenadas cartesianas» de esta esquina con referencia al «sistema de coordenadas cartesianas» que está determinado por la disposición de las varillas pequeñas.