La geometría parte de ciertas concepciones tales como "plano", "punto" y "línea recta", con las cuales somos capaces de asociar ideas más o menos definidas, y de ciertas proposiciones simples (axiomas) que, en virtud de estas ideas, nos sentimos inclinados a aceptar como "verdaderas".
Luego, sobre la base de un proceso lógico cuya justificación nos sentimos obligados a admitir, se demuestra que todas las demás proposiciones se deducen de dichos axiomas, es decir, son probadas. Una proposición es entonces correcta ("verdadera") cuando ha sido derivada de la manera reconocida a partir de los axiomas.
La cuestión de la "verdad" de las proposiciones geométricas individuales se reduce así a una cuestión de la "verdad" de los axiomas. Ahora bien, desde hace tiempo se sabe que esta última pregunta no solo no puede ser respondida por los métodos de la geometría, sino que carece en absoluto de sentido en sí misma.
No podemos preguntar si es verdad que solo pasa una línea recta por dos puntos. Solo podemos decir que la geometría euclidiana se ocupa de cosas llamadas "líneas rectas", a cada una de las cuales se le atribuye la propiedad de estar unívocamente determinada por dos puntos situados en ella.
El concepto de "verdadero" no coincide con las afirmaciones de la geometría pura, porque con la palabra "verdadero" estamos habituados a designar en última instancia siempre la correspondencia con un objeto "real"; la geometría, sin embargo, no se ocupa de la relación de las ideas que en ella intervienen con los objetos de la experiencia, sino únicamente de la conexión lógica de estas ideas entre sí.
No es difícil comprender por qué, a pesar de esto, nos sentimos obligados a calificar las proposiciones de la geometría de «verdaderas».
Las ideas geométricas corresponden a objetos más o menos exactos de la naturaleza, y estos últimos son indudablemente la causa exclusiva de la génesis de dichas ideas.
La geometría debe abstenerse de tal proceder, con objeto de conferir a su estructura la mayor unidad lógica posible.
La práctica, por ejemplo, de ver en una «distancia» dos posiciones marcadas sobre un cuerpo prácticamente rígido es algo arraigado profundamente en nuestro hábito de pensamiento.
Estamos acostumbrados, además, a considerar que tres puntos están situados sobre una línea recta si sus posiciones aparentes pueden hacerse coincidir para la observación con un solo ojo, bajo una elección adecuada de nuestro lugar de observación.
Si, siguiendo nuestro hábito de pensamiento, completamos ahora las proposiciones de la geometría euclidiana con la única proposición de que dos puntos de un cuerpo prácticamente rígido corresponden siempre a la misma distancia (intervalo lineal), independientemente de cualquier cambio de posición al que podamos someter al cuerpo, las proposiciones de la geometría euclidiana se reducen entonces a proposiciones sobre la posición relativa posible de los cuerpos prácticamente rígidos. De ello se deduce que a una línea recta se le asocia también un objeto natural. Tres puntos , y de un cuerpo rígido yacen así en una línea recta cuando, dados los puntos y , se elige de tal manera que la suma de las distancias y sea lo más corta posible. Esta sugerencia incompleta bastará para nuestro propósito actual. La geometría que ha sido complementada de este modo debe ser tratada entonces como una rama de la física. Ahora podemos preguntar legítimamente acerca de la «verdad» de las proposiciones geométricas interpretadas de este modo, ya que estamos justificados