La posibilidad de un universo «finito» y a la vez «sin límites»

Pero las especulaciones sobre la estructura del universo también marchan en una dirección completamente distinta. El desarrollo de la geometría no euclidiana condujo al reconocimiento del hecho de que podemos poner en duda la infinitud de nuestro espacio sin entrar en conflicto con las leyes del pensamiento o con la experiencia (Riemann,

Helmholtz). Estas cuestiones ya han sido tratadas en detalle y con insuperable lucidez por Helmholtz y Poincaré, mientras que aquí yo solo puedo tocarlas brevemente.

En primer lugar, nos imaginamos una existencia en un espacio bidimensional. Seres planos con útiles planos, y en particular varillas de medir planas y rígidas, tienen libertad de movimiento en un plano. Para ellos no existe nada fuera de este plano: aquello que observan que les sucede a ellos mismos y a sus "cosas" planas es la realidad que lo abarca todo de su plano.

En particular, las construcciones de la geometría euclídea plana pueden llevarse a cabo por medio de las varillas, por ejemplo, la construcción en retícula, considerada en [chapter:XXIV]la Sección XXIV.

En contraste con el nuestro, el universo de estos seres es bidimensional; pero, al igual que el nuestro, se extiende hasta el infinito. En su universo hay espacio para un número infinito de cuadrados idénticos formados por varillas, es decir, su volumen (superficie) es infinito. Si estos seres dicen que su universo es "plano", la afirmación tiene sentido, porque quieren decir que pueden realizar las construcciones de la geometría euclídea plana con sus varillas.

A este respecto, las varillas individuales representan siempre la misma distancia, con independencia de su posición.

Consideremos ahora una segunda existencia bidimensional, pero esta vez sobre una superficie esférica en lugar de sobre un plano. Los seres planos con sus varas de medir y otros objetos encajan exactamente en esta superficie y son incapaces de abandonarla. Todo su universo de observación se extiende exclusivamente sobre la superficie de la esfera. ¿Son capaces estos seres de considerar la geometría de su universo como geometría plana y sus varas, al mismo tiempo, como la realización de la "distancia"? No pueden hacer esto. Pues si intentan realizar una línea recta, obtendrán una curva, que nosotros, los "seres tridimensionales", denominamos círculo máximo, es decir, una línea cerrada de longitud finita definida, que puede medirse por medio de una vara de medir.