De manera similar, este universo tiene un área finita que puede compararse con el área de un cuadrado construido con varas. El gran encanto que resulta de esta consideración radica en el reconocimiento del hecho de que el universo de estos seres es finito y, sin embargo, no tiene límites.
Pero los seres de superficie esférica no necesitan hacer un viaje alrededor del mundo para percibir que no viven en un universo euclidiano. Pueden convencerse de esto en cualquier parte de su «mundo», siempre que no utilicen una porción demasiado pequeña de él. Partiendo de un punto, trazan «líneas rectas» (arcos de círculos a juzgar en el espacio tridimensional) de igual longitud en todas las direcciones. Llamarán «círculo» a la línea que une los extremos libres de estas líneas. Para una superficie plana, la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, midiéndose ambas longitudes con la misma vara, es, según la geometría euclidiana del plano, igual a un valor constante , que es independiente del diámetro del círculo. Sobre su superficie esférica, nuestros seres planos hallarían para esta razón el valor es decir, un valor menor que , siendo la diferencia tanto más considerable cuanto mayor es el radio del círculo en comparación con el radio de la «esfera-mundo».
Por medio de esta relación, los seres esféricos pueden determinar el radio de su universo («mundo»), incluso cuando solo dispongan de una parte relativamente pequeña de su esfera-mundo para sus mediciones. Pero si esta parte es en verdad muy pequeña, ya no podrán demostrar que se encuentran en un «mundo» esférico y no en un plano euclidiano, pues una pequeña parte de una superficie esférica difiere muy poco de un trozo de plano del mismo tamaño.
Así, si los seres de superficie esférica viven en un planeta de cuyo sistema solar solo ocupa una parte despreciablemente pequeña del universo esférico, no tienen medios para determinar si viven en un universo finito o infinito, porque el «trozo de universo» al que tienen acceso es en ambos casos prácticamente plano, o euclidiano.
Se sigue directamente de esta discusión que, para nuestros seres esféricos, la circunferencia de un círculo primero aumenta con el radio hasta que se alcanza la «circunferencia del universo», y que a partir de ahí disminuye gradualmente hasta cero para valores aún mayores del radio. Durante este proceso, el área del círculo sigue aumentando cada vez más, hasta que finalmente se vuelve igual al área total de la «esfera del mundo» entera.
Quizás el lector se pregunte por qué hemos colocado nuestros «seres» sobre una esfera en lugar de sobre otra superficie cerrada.
Pero esta elección tiene su justificación en el hecho de que, de todas las superficies cerradas, la esfera es la única que posee la propiedad de que todos sus puntos son equivalentes. Admito que la razón entre la circunferencia de un círculo y su radio depende de , pero para un valor dado de es la misma para todos los puntos de la «esfera-mundo»; en otras palabras, la «esfera-mundo» es una «superficie de curvatura constante».
A esta esfera-universo bidimensional le corresponde una analogía tridimensional, a saber, el espacio esférico tridimensional que fue descubierto por Riemann. Sus puntos son asimismo todos equivalentes. Posee un volumen finito, el cual está determinado por su «radio» ( 2 π 2 R 3 ).