XXXII. La estructura del espacio según la teoría general de la relatividad

El mismo valor $v$ puede obtenerse de la ecuación eqn:(5), si calculamos la velocidad de otro punto de $K^{\prime }$ respecto a $K$, o la velocidad (dirigida hacia el eje $x$ negativo) de un punto de $K$ con respecto a $K^{\prime }$. En resumen, podemos designar a $v$ como la velocidad relativa de los dos sistemas.

Además, el principio de relatividad nos enseña que, a juzgar desde $K$, la longitud de una varilla de medida patrón que está en reposo con respecto a $K^{\prime }$ debe ser exactamente la misma que la longitud, a juzgar desde $K^{\prime }$, de una varilla de medida patrón que está en reposo en relación con $K$.

Para ver cómo aparecen los puntos del eje $x^{\prime }$ vistos desde $K$, solo necesitamos tomar una «instantánea» de $K^{\prime }$

de $K$; esto significa que tenemos que insertar un valor particular de $t$ (tiempo de $K$), por ejemplo $t=0$. Para este valor de $t$ obtenemos entonces de la primera de las ecuaciones eqn:(5)

$x^{\prime }=ax.$

Dos puntos del eje $x^{\prime }$ que están separados por la distancia $\Delta x^{\prime }=1$ cuando se miden en el sistema $K^{\prime }$ están, por tanto, separados en nuestra fotografía instantánea por la distancia $\Delta x=\frac{1}{a}.(7)$

Pero si la instantánea se toma desde $K^{\prime }$ ($t^{\prime }=0$), y si eliminamos $t$ de las ecuaciones eqn:(5), teniendo en cuenta la expresión eqn:(6), obtenemos

$x^{\prime }=a(1-\frac{v^2}{c^2})x.$

De esto concluimos que dos puntos situados sobre el eje $x$ y separados por la distancia $1$ (relativa a $K$) estarán representados en nuestra instantánea por la distancia $\Delta x^{\prime }=a(1-\frac{v^2}{c^2}).(7a)$

Pero por lo que se ha dicho, las dos instantáneas deben ser idénticas; por tanto, $\Delta x$ en la eqn:(7) debe ser igual a $\Delta x^{\prime }$ en la eqn:(7a), de modo que obtenemos $a^2=\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}.(7b)$

Las ecuaciones eqn:(6) y eqn:(7b) determinan las constantes $a$ y $b$. Sustituyendo los valores de estas constantes en eqn:(5), obtenemos la primera y la cuarta de las ecuaciones dadas en [chapter:XI]la Sección XI. $\left.

$$\begin{gathered} x^{\prime }\&=\frac{x-vt}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}, \\ {t}^{\prime }\&=\frac{t-{\displaystyle \frac{v}{c^2}}x}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}. \end{gathered}$$

\right} (8)$

Así hemos obtenido la transformación de Lorentz para los eventos en el eje $x$. Satisface la condición $x^{\prime 2}-c^2{t}^{\prime 2}=x^2-c^2{t}^2.(8a)$

La extensión de este resultado, para incluir eventos que tienen lugar fuera del eje $x$, se obtiene conservando las ecuaciones eqn:(8) y complementándolas con las relaciones

$\left.

\right} (9)$