XXXII. La estructura del espacio según la teoría general de la relatividad

Pero será necesariamente finita. De hecho, la teoría nos proporciona una simple conexiónPara el "radio" $R$ del universo obtenemos la ecuación $R^2=\frac{2}{\kappa \rho }.$ El uso del sistema C.G.S. en esta ecuación da ${\displaystyle \frac{2}{\kappa }}=1.08\times {10}^{27}$; es la densidad media de la materia. entre la expansión espacial del universo y la densidad media de la materia en él.

Deducción simple de la Transformación de LorentzA [Suplemento a la [chapter:XI]Sección XI]

Para la orientación relativa de los sistemas de coordenadas indicada en [fig:2]Fig. 2, los ejes $x$ de ambos sistemas coinciden permanentemente.

En el presente caso podemos dividir el problema en partes considerando primero únicamente los eventos que están localizados sobre el eje $x$. Cualquiera de tales eventos se representa con respecto al sistema de coordenadas $K$ mediante la abscisa $x$ y el tiempo $t$, y con respecto al sistema $K^{\prime }$ mediante la abscisa $x^{\prime }$ y el tiempo $t^{\prime }$. Requerimos hallar $x^{\prime }$ y $t^{\prime }$ cuando se dan $x$ y $t$.

Una señal luminosa, que avanza a lo largo del eje positivo de $x$, se transmite de acuerdo con la ecuación $x=ct$ o $x-ct=0.(1)$ Puesto que la misma señal luminosa ha de transmitirse respecto a $K^{\prime }$ con la velocidad $c$, la propagación relativa al sistema $K^{\prime }$ vendrá representada por la fórmula análoga $x^{\prime }-c{t}^{\prime }=0.(2)$ Aquellos puntos espacio-temporales (eventos) que satisfacen eqn:(1) deben satisfacer también eqn:(2). Obviamente este será el caso cuando se cumpla en general la relación $(x^{\prime }-c{t}^{\prime })=\lambda (x-ct)(3)$, donde $\lambda$ denota una constante; pues, según eqn:(3), la anulación de $(x-ct)$ implica la anulación de $(x^{\prime }-c{t}^{\prime })$.

Si aplicamos consideraciones bastante similares a los rayos de luz que se transmiten a lo largo del eje $x$ negativo, obtenemos la condición

$(x^{\prime }+c{t}^{\prime })=\mu (x+ct).(4)$

Sumando (o restando) las ecuaciones eqn:(3) y eqn:(4), e introduciendo por conveniencia las constantes $a$ y $b$ en lugar de las constantes $\lambda$ y $\mu$, donde

$a\&=\frac{\lambda +\mu }{2}\mathrm{\backslash intertext}yb\&=\frac{\lambda -\mu }{2},$

obtenemos las ecuaciones $\left.

x' &= ax - bct, \ ct' &= act - bx.

\right} (5)$

Tendríamos así la solución de nuestro problema, si las constantes $a$ y $b$ fuesen conocidas. Estas se deducen de la siguiente discusión.

Para el origen de $K^{\prime }$ tenemos permanentemente $x^{\prime }=0$, y por tanto, según la primera de las ecuaciones eqn:(5), $x=\frac{bc}{a}t.$

Si llamamos $v$ a la velocidad con la que se mueve el origen de $K^{\prime }$ en relación con $K$, tenemos entonces que $v=\frac{bc}{a}.(6)$