Coordenadas gaussianas

Según Gauss, a este modo analítico y geométrico combinado de abordar el problema se puede llegar de la siguiente manera. Imaginamos un sistema de curvas arbitrarias (véase [fig:4]Fig. 4) trazadas sobre la superficie de la mesa. A estas las denominamos curvas $u$, e indicamos cada una de ellas mediante un número. Las curvas $u=1$, $u=2$ y $u=3$ están trazadas en el diagrama. Entre las curvas $u=1$ y $u=2$ debemos imaginar que se ha trazado un número infinitamente grande, las cuales corresponden todas

2in087 a números reales comprendidos entre $1$ y $2$. Tenemos entonces un sistema de curvas-$u$, y este sistema "infinitely dense" [infinitamente denso] cubre toda la superficie de la mesa.

Estas curvas-$u$ no deben cruzarse entre sí, y por cada punto de la superficie debe pasar una y solo una curva. Por lo tanto, a cada punto de la superficie de la placa de mármol le corresponde un valor perfectamente definido de $u$.

De igual manera imaginamos un sistema de curvas-$v$ trazadas sobre la superficie. Estas satisfacen las mismas condiciones que las curvas-$u$, se les asignan números de manera correspondiente, y asimismo pueden tener una forma arbitraria.

De ello se deduce que a cada punto de la superficie de la mesa le corresponde un valor de $u$ y un valor de $v$. A estos dos números los llamamos las coordenadas de la superficie de la mesa (coordenadas gaussianas).

Por ejemplo, el punto $P$ del diagrama tiene las coordenadas gaussianas $u=3$, $v=1$. Dos puntos vecinos $P$ y $P^{\prime }$ sobre la superficie corresponden entonces a las coordenadas donde $du$ y $dv$ significan números muy pequeños. De manera similar podemos indicar la distancia (intervalo lineal)

entre $P$ y $P^{\prime }$, medidos con una pequeña varilla, mediante el número muy pequeño $ds$. Entonces, según Gauss, tenemos $d{s}^2=g_{11}d{u}^2+2g_{12}dudv+g_{22}d{v}^2,$ donde $g_{11}$, $g_{12}$, $g_{22}$ son magnitudes que dependen de un modo perfectamente determinado de $u$ y $v$. Las magnitudes $g_{11}$, $g_{12}$ y $g_{22}$ determinan el comportamiento de las varillas en relación con las $u$-curvas y $v$-curvas, y por tanto también en relación con la superficie de la mesa. Para el caso en el que los puntos de la superficie considerados formen un continuo euclidiano con referencia a las varillas de medición, pero solo en este caso, es posible trazar las $u$-curvas y $v$-curvas y asignarles números de tal manera que simplemente tengamos: $d{s}^2=d{u}^2+d{v}^2.$ Bajo estas condiciones, las $u$-curvas y $v$-curvas son líneas rectas en el sentido de la geometría euclidiana, y son perpendiculares entre sí. Aquí las coordenadas de Gauss son simplemente cartesianas. Es evidente que las coordenadas de Gauss no son más que una asociación de dos conjuntos de números con los puntos de la superficie considerada, de tal naturaleza que a los puntos "en el espacio" vecinos se les asocian valores numéricos que difieren muy poco entre sí.

Hasta ahora, estas consideraciones son válidas para un continuo de dos dimensiones. Pero el método gaussiano puede aplicarse también a un continuo de tres, cuatro o más dimensiones.