Generalmente, la probabilidad de que un suceso simple en las mismas circunstancias ocurra consecutivamente un número dado de veces es igual a la probabilidad de este suceso simple elevada a la potencia indicada por este número. Teniendo así las potencias sucesivas de una fracción menor que la unidad disminuyendo sin cesar, un suceso que depende de una serie de probabilidades muy grandes puede volverse extremadamente improbable.
Supongamos entonces que un acontecimiento nos es transmitido por veinte testigos de tal manera que el primero lo ha transmitido al segundo, el segundo al tercero, y así sucesivamente. Supongamos de nuevo que la probabilidad de cada testimonio sea igual a la fracción 9⁄10; la del acontecimiento resultante de los testimonios será menor que ⅛. No podemos comparar mejor esta disminución de la probabilidad que con la extinción de la luz de los objetos mediante la interposición de varios trozos de vidrio.
Un número relativamente pequeño de piezas basta para ocultar la visión de un objeto que una sola pieza nos permite percibir de manera distinta.
Los historiadores no parecen haber prestado la atención suficiente a esta degradación de la probabilidad de los acontecimientos cuando se contemplan a través de un gran número de generaciones sucesivas; muchos acontecimientos históricos considerados ciertos serían al menos dudosos si se sometieran a esta prueba.
En las ciencias puramente matemáticas, las consecuencias más lejanas participan de la certeza del principio del cual se derivan. En las aplicaciones del análisis a la física, los resultados tienen toda la certeza de los hechos o las experiencias. Pero en las ciencias morales, donde cada inferencia se deduce de la que le precede de un modo meramente probable, por probables que sean estas deducciones, la posibilidad de error aumenta con su número y termina por superar a la posibilidad de verdad en las consecuencias muy alejadas del principio.
Cuarto principio.—Cuando dos eventos dependen el uno del otro, la probabilidad del evento compuesto es el producto de la probabilidad del primer evento y la probabilidad de que, habiendo ocurrido este, ocurra el segundo. Así, en el caso precedente de las tres urnas A, B, C, de las cuales dos contienen solo bolas blancas y una contiene solo bolas negras, la probabilidad de extraer una bola blanca de la urna C es ⅔, puesto que de las tres urnas solo dos contienen bolas de ese color. Pero cuando se ha extraído una bola blanca de la urna C, la indecisión relativa a aquella de las urnas que contiene solo bolas negras se extiende únicamente a las urnas A y B; la probabilidad de extraer una bola blanca de la urna B es ½; el producto de ⅔ por ½, o ⅓, es entonces la probabilidad de extraer dos bolas blancas a la vez de las urnas B y C.
Vemos por este ejemplo la influencia de los acontecimientos pasados en la probabilidad de los acontecimientos futuros. Pues la probabilidad de extraer una bola blanca de la urna B, que primariamente es ⅔, pasa a ser ½ cuando se ha extraído una bola blanca de la urna C; se cambiaría en certeza si se hubiese extraído una bola negra de la misma urna. Determinaremos esta influencia mediante el principio siguiente, que es un corolario del anterior.
Quinto Principio.—Si calculamos a priori la probabilidad del evento ocurrido y la probabilidad de un evento compuesto por ese y un segundo que se espera, la segunda probabilidad dividida entre la primera será la probabilidad del evento esperado, deducida del evento observado.
Aquí se presenta la cuestión planteada por algunos filósofos tocante a la influencia del pasado sobre la probabilidad del futuro.