# CAPÍTULO VII. SOBRE LAS DESIGUALDADES DESCONOCIDAS QUE PUEDEN EXISTIR ENTRE LAS PROBABILIDADES QUE SE SUPONEN IGUALES.
Desigualdades de este género ejercen sobre los resultados del cálculo de las probabilidades una influencia sensible que merece particular atención.
Tomemos el juego de cara y cruz, y supongamos que es igualmente fácil sacar uno u otro lado de la moneda. Entonces la probabilidad de sacar cara en el primer lanzamiento es ½ y la de sacarla dos veces sucesivas es ¼.
Pero si existe en la moneda una desigualdad que hace que una de las caras aparezca antes que la otra sin saber qué lado es favorecido por esta desigualdad, la probabilidad de sacar cara en el primer lanzamiento será siempre ½; a causa de nuestra ignorancia de qué cara es favorecida por la desigualdad, en la misma medida en que la probabilidad del evento simple se incrementa si esta desigualdad le es favorable, disminuye si la desigualdad le es contraria.
Pero en esta misma ignorancia, la probabilidad de sacar cara dos veces consecutivas aumenta. En efecto, esta probabilidad es la de sacar cara en el primer lanzamiento multiplicada por la probabilidad de que, habiéndola sacado en el primer lanzamiento, se vuelva a sacar en el segundo; pero el hecho de que ocurra en el primer lanzamiento constituye una razón para creer que la irregularidad de la moneda la favorece; la irregularidad desconocida aumenta, pues, la probabilidad de sacar cara en el segundo lanzamiento; en consecuencia, aumenta el producto de estas dos probabilidades.
Para someter este asunto al cálculo, supongamos que esta desigualdad aumenta en una veinteava parte la probabilidad del suceso simple que favorece.
Si este suceso es cara, su probabilidad será de ½ más 1⁄20, es decir, 11⁄20, y la probabilidad de obtenerla dos veces seguidas será el cuadrado de 11⁄20, o sea, 121⁄400.
Si el suceso favorecido es cruz, la probabilidad de cara será de ½ menos 1⁄20, es decir, 9⁄20, y la probabilidad de obtenerla dos veces seguidas será de 81⁄400.
Como al principio no tenemos ninguna razón para creer que la desigualdad favorece a uno de estos eventos más que al otro, es evidente que para obtener la probabilidad del evento compuesto cara cara es necesario sumar las dos probabilidades precedentes y tomar la mitad de su suma, lo que da 101⁄400 para esta probabilidad, la cual excede a ¼ en 1⁄400 o en el cuadrado de la ventaja 1⁄20 que la desigualdad añade a las posibilidades del evento al que favorece.
La probabilidad de sacar cruz cruz es de manera similar 101⁄400, pero la probabilidad de sacar cara cruz o cruz cara es en cada caso de 99⁄400; pues la suma de estas cuatro probabilidades debe ser igual a la certeza o a la unidad.
Encontramos así de manera general que las causas constantes y desconocidas que favorecen a los eventos simples que se juzgan igualmente posibles siempre aumentan la probabilidad de la repetición del mismo evento simple.
En un número par de lanzamientos, cara y cruz deben salir ambas un número par de veces o un número impar de veces. La probabilidad de cada uno de estos casos es ½ si las posibilidades de las dos caras son iguales; pero si existe entre ellas una desigualdad desconocida, esta desigualdad es siempre favorable al primer caso.
Dos jugadores cuya habilidad se supone igual juegan bajo la condición de que en cada tirada el que pierde da un tanto a su adversario, y que el juego continúa hasta que uno de los jugadores no tenga más tantos.
El cálculo de las probabilidades nos muestra que, para la igualdad del juego, las tiradas de los jugadores deben estar en razón inversa a sus tantos. Pero si hay entre los jugadores una pequeña desigualdad desconocida, esta favorece a aquel de los jugadores que tiene el menor número de tantos.
Su probabilidad de ganar el juego aumenta si los jugadores acuerdan duplicar o triplicar sus tantos; y será de ½ o la misma que la del otro jugador en el caso en que el número de sus tantos llegara a ser infinito, conservando siempre la misma proporción.
Uno puede corregir la influencia de estas desigualdades desconocidas sometiéndolas ellas mismas a las reglas del azar.
Así, en el juego de caras y cruces, si se tiene una segunda moneda que es lanzada cada vez con la primera y se acuerda nombrar constantemente cara la faz mostrada por la segunda moneda, la probabilidad de sacar cara dos veces sucesivas con la primera moneda se aproximará mucho más a ¼ que en el caso de una sola moneda.
En este último caso, la diferencia es el cuadrado del pequeño incremento de posibilidad que la desigualdad desconocida otorga a la faz de la primera moneda que favorece; en el otro caso, esta diferencia es el producto cuádruple de este cuadrado por el cuadrado correspondiente relativo a la segunda moneda.
Sea echado en una urna un centenar de números del 1 al 100 en el orden de numeración, y después de haber agitado la urna para mezclar los números, se extrae uno; es evidente que si la mezcla se ha hecho bien, las probabilidades de la extracción de los números serán las mismas.
Pero si tememos que haya entre ellos pequeñas diferencias dependientes del orden según el cual los números han sido echados en la urna, disminuiremos considerablemente estas diferencias echando en una segunda urna los números según el orden de su extracción de la primera urna, y agitando entonces esta segunda urna para mezclar los números.
Una tercera urna, una cuarta urna, etc., disminuirían más y más estas diferencias ya inapreciables en la segunda urna.