# SEGUNDA PARTE. APLICACIONES DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
# CAPÍTULO VI. JUEGOS DE AZAR.
Las combinaciones que presentan los juegos fueron el objeto de las primeras investigaciones de probabilidades. En una variedad infinita de estas combinaciones, muchas de ellas se prestan fácilmente al cálculo; otras exigen cálculos más difíciles; y aumentando las dificultades a medida que las combinaciones se vuelven más complicadas, el deseo de superarlas y la curiosidad han excitado a los geómetras a perfeccionar cada vez más este género de análisis. Ya se ha visto que los beneficios de una lotería se determinan fácilmente mediante la teoría de las combinaciones.
Pero es más difícil saber en cuántas extracciones se puede apostar uno contra uno, por ejemplo, a que todos los números saldrán extraídos, siendo n el número de números, r el de los números extraídos en cada extracción, y i el número desconocido de extracciones.
La expresión de la probabilidad de extraer todos los números depende de la n-ésima diferencia finita de la potencia i-ésima de un producto de r números consecutivos.
Cuando el número n es considerable, la búsqueda del valor de i que hace que esta probabilidad sea igual a ½ se vuelve imposible, al menos a menos que esta diferencia se convierta en una serie muy convergente. Esto se hace fácilmente por el método indicado a continuación mediante las aproximaciones de funciones de números muy grandes. Se encuentra así, dado que la lotería se compone de diez mil números, uno de los cuales se extrae en cada sorteo, que hay una desventaja en apostar uno contra uno a que todos los números serán extraídos en 95767 sorteos y una ventaja en hacer la misma apuesta para 95768 sorteos.
En la lotería de Francia esta apuesta es desventajosa para 85 sorteos y ventajosa para 86 sorteos.
Consideremos de nuevo dos jugadores, A y B, que juegan juntos a cara o cruz de tal manera que en cada lanzamiento, si sale cara, A le da una ficha a B, quien le da una a él si sale cruz; el número de fichas de B es limitado, mientras que el de A es ilimitado, y el juego solo debe terminar cuando B se quede sin fichas.
Preguntamos en cuántos lanzamientos se debería apostar uno a uno a que el juego terminará. La expresión de la probabilidad de que el juego termine en un número i de lanzamientos viene dada por una serie que comprende un gran número de términos y factores si el número de fichas de B es considerable; la búsqueda del valor de la incógnita i que hace que esta serie sea ½ sería entonces imposible si no la redujéramos a una serie muy convergente.
Al aplicarle el método del que acabamos de hablar, encontramos una expresión muy simple para la incógnita de la cual resulta que si, por ejemplo, B tiene cien fichas, es una apuesta de un poco menos de uno contra uno a que el juego terminará en 23780 lanzamientos, y una apuesta de un poco más de uno contra uno a que terminará en 23781 lanzamientos.
Estos dos ejemplos, añadidos a los que ya hemos dado, son suficientes para mostrar cómo los problemas de los juegos han contribuido al perfeccionamiento del análisis.