combinaciones en series regulares que contienen un orden fácil de comprender, y en series irregulares, estas últimas son incomparablemente más numerosas. * La extracción de una bola blanca de una urna que entre un millón de bolas contiene solo una de este color, siendo las demás negras, nos parecería asimismo extraordinaria, porque formamos solo dos clases de eventos relativos a los dos colores. * Pero la extracción del número 475813, por ejemplo, de una urna que contiene un millón de números nos parece un evento ordinario; porque, comparando individualmente los números entre sí sin dividirlos en clases, no tenemos razón para creer que uno de ellos aparecerá antes que
De lo que precede, debemos concluir en general que cuanto más extraordinario es el acontecimiento, mayor es la necesidad de que esté respaldado por pruebas sólidas. Puesto que quienes lo atestiguan pueden engañar o haber sido engañados, estas dos causas son tanto más probables cuanto menor es la realidad del acontecimiento. Veremos esto en particular cuando pasemos a hablar de la probabilidad del testimonio.
Séptimo principio.—La probabilidad de un acontecimiento futuro es la suma de los productos de la probabilidad de cada causa, deducida del acontecimiento observado, por la probabilidad de que, existiendo dicha causa, ocurra el acontecimiento futuro. El ejemplo siguiente ilustrará este principio.
Imaginen una urna que contiene solo dos bolas, cada una de las cuales puede ser blanca o negra. Se extrae una de estas bolas y se vuelve a poner en la urna antes de proceder a una nueva extracción. Supóngase que en las dos primeras extracciones se han extraído bolas blancas; se requiere la probabilidad de extraer de nuevo una bola blanca en la tercera extracción.
Solo pueden hacerse aquí dos hipótesis: o una de las bolas es blanca y la otra negra, o ambas son blancas. En la primera hipótesis la probabilidad del evento observado es ¼; es la unidad o certeza en la segunda. Así pues, considerando estas hipótesis como otras tantas causas, tendremos para el sexto principio ⅕ y ⅘ para sus respectivas probabilidades. Pero si la primera hipótesis se verifica, la probabilidad de extraer una bola blanca en la tercera extracción es ½; es igual a la certeza en la segunda hipótesis; multiplicando entonces las últimas probabilidades por las de las hipótesis correspondientes, la suma de los productos, o 9⁄10, será la probabilidad de extraer una bola blanca en la tercera extracción.
Cuando la probabilidad de un suceso único es desconocida, podemos suponer que es igual a cualquier valor desde cero hasta la unidad. La probabilidad de cada una de estas hipótesis, extraída del suceso observado, es, según el sexto principio, una fracción cuyo numerador es la probabilidad del suceso en esta hipótesis y cuyo denominador es la suma de las probabilidades similares relativas a todas las hipótesis. Así, la probabilidad de que la posibilidad del suceso esté comprendida dentro de unos límites dados es la suma de las fracciones comprendidas dentro de estos límites. Ahora bien, si
multiplicamos cada fracción por la probabilidad del suceso futuro, determinada en la hipótesis correspondiente; la suma de los productos relativos a todas las hipótesis será, según el séptimo principio, la probabilidad del suceso futuro deducida del suceso observado.
Así hallamos que, habiendo ocurrido un suceso sucesivamente un número cualquiera de veces, la probabilidad de que vuelva a suceder la vez siguiente es igual a este número incrementado en la unidad, dividido por el mismo número incrementado en dos unidades.