CAPÍTULO IX. LA APLICACIÓN DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES A LA FILOSOFÍA NATURAL

# CAPÍTULO IX. APLICACIÓN DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES A LA FILOSOFÍA NATURAL.

Los fenómenos de la naturaleza están envuelvidos las más de las veces por circunstancias tan extrañas, y un número tan grande de causas perturbadoras mezclan su influencia, que resulta muy difícil reconocerlos.

No podemos llegar a ellos sino multiplicando las observaciones o las experiencias, de modo que los efectos extraños se destruyan finalmente de manera recíproca, y los resultados medios pongan en evidencia dichos fenómenos y sus diversos elementos.

Cuanto más numeroso es el número de observaciones y menos varían entre sí, más se aproximan sus resultados a la verdad. Cumplimos esta última condición mediante la elección de los métodos de observación, la precisión de los instrumentos y el cuidado que ponemos en observar atentamente; después determinamos por la teoría de probabilidades los resultados medios más ventajosos o aquellos que dan el menor valor del error.

Mas eso no basta; es además necesario apreciar la probabilidad de que los errores de estos resultados estén comprendidos en los límites dados; y sin esto no tenemos más que un conocimiento imperfecto del grado de exactitud obtenido.

Las fórmulas adecuadas para estos asuntos son, por tanto, verdaderos perfeccionamientos del método de las ciencias, y es en verdad importante añadirlas a este método.

El análisis que exigen es el más delicado y el más difícil de la teoría de las probabilidades; es uno de los principales objetos de la obra que he publicado sobre esta teoría, y en la cual he llegado a fórmulas de esta índole que tienen la notable ventaja de ser independientes de la ley de la probabilidad de los errores y de comprender únicamente las cantidades dadas por las observaciones mismas y sus expresiones.

Cada observación tiene por expresión analítica una función de los elementos que deseamos determinar; y si estos elementos son aproximadamente conocidos, esta función se convierte en una función lineal de sus correcciones. Al igualarla a la observación misma se forma una ecuación de condición. Si tenemos un gran número de ecuaciones similares, las combinamos de tal manera que obtengamos tantas ecuaciones finales como elementos cuyas correcciones determinamos luego resolviendo estas ecuaciones.

Pero ¿cuál es la manera más ventajosa de combinar las ecuaciones de condición para obtener ecuaciones finales? ¿Cuál es la ley de las probabilidades de los errores de los cuales los elementos aún son susceptibles y que extraemos de ellas? Esto nos lo aclara la teoría de las probabilidades.

La formación de una ecuación final por medio de las ecuaciones de condición equivale a multiplicar cada una de estas por un factor indeterminado y a unir los productos; es necesario elegir el sistema de factores que ofrezca la menor oportunidad de error.

Pero es evidente que si multiplicamos los errores posibles de un elemento por sus respectivas probabilidades, el sistema más ventajoso será aquel en el que la suma de todos estos productos, tomados positivamente, sea un mínimo; pues un error positivo o negativo debe considerarse como una pérdida.

Formando, pues, esta suma de productos, la condición del mínimo determinará el sistema de factores que es conveniente adoptar, o el sistema más ventajoso.

Hallamos así que este sistema es el de los coeficientes de los elementos en cada ecuación de condición; de modo que formamos una primera ecuación final multiplicando respectivamente cada ecuación de condición por su coeficiente del primer elemento y uniendo todas estas ecuaciones así multiplicadas.

Formamos una segunda ecuación final empleando de la misma manera los coeficientes del segundo elemento, y así sucesivamente. De este modo, los elementos y las leyes de los fenómenos obtenidos en el conjunto de un gran número de observaciones se desarrollan con la mayor evidencia.

La probabilidad de los errores que cada elemento aún deja por temer es proporcional al número cuyo logaritmo hiperbólico es la unidad elevado a una potencia igual al cuadrado del error tomado con signo negativo y multiplicado por un coeficiente constante que puede considerarse como el módulo de la probabilidad de los errores; porque, permaneciendo invariable el error, su probabilidad decrece con rapidez cuando el primero aumenta; de modo que el elemento obtenido pesa, si así puede hablarse hacia la verdad, tanto más cuanto mayor es este módulo. Llamaría por esta razón a este módulo el peso del elemento o del resultado.

Este peso es el mayor posible en el sistema de factores —el más ventajoso—; es este el que da a este sistema superioridad sobre los demás. Por una notable analogía de este peso con los de los cuerpos comparados en su centro de gravedad común, resulta que si un mismo elemento es dado por diversos sistemas, compuestos cada uno de un gran número de observaciones, el resultado más ventajoso, el resultado medio de su totalidad, es la suma de los productos de cada resultado parcial por su peso.

Además, el peso total de los resultados de los diversos sistemas es la suma de sus pesos parciales; de modo que la probabilidad de los errores del resultado medio de su totalidad es proporcional al número que tiene la unidad por logaritmo hiperbólico elevado a una potencia igual al cuadrado del error tomado como negativo y multiplicado por la suma de los pesos.

Cada peso depende en verdad de la ley de la probabilidad del error de cada sistema, y casi siempre esta ley es desconocida; pero felizmente he podido eliminar el factor que la contiene por medio de la suma de los cuadrados de las variaciones de las observaciones en este sistema respecto a su resultado medio.

Sería entonces conveniente, para completar nuestro conocimiento de los resultados obtenidos por la totalidad de un gran número de observaciones, escribir al lado de cada resultado el peso que le corresponde; el análisis proporciona para este fin métodos tan generales como sencillos.

Cuando hayamos obtenido así la exponencial que representa la ley de la probabilidad de los errores, tendremos la probabilidad de que el error del resultado esté comprendido dentro de límites dados tomando dentro de los límites la integral del producto de esta exponencial por la diferencial del error y multiplicándola por la raíz cuadrada del peso del resultado dividida por la circunferencia cuyo diámetro es la unidad.

De esto se sigue que, para una misma probabilidad, los errores de los resultados son recíprocos a las raíces cuadradas de sus pesos, lo cual sirve para comparar su precisión respectiva.

Para aplicar este método con éxito es necesario variar las circunstancias de las observaciones o de las experiencias de tal manera que se eviten las causas constantes de error.

Es necesario que las observaciones sean numerosas, y que lo sean tanto más cuanto más elementos haya que determinar; pues el peso del resultado medio aumenta como el número de observaciones dividido por el número de los elementos.

Es preciso además que los elementos sigan en estas observaciones un curso diferente; pues si el curso de los dos elementos fuera exactamente el mismo, lo que haría que sus coeficientes fuesen proporcionales en la ecuación de condiciones, estos elementos formarían una sola cantidad incógnita y sería imposible distinguirlos mediante estas observaciones.

Finalmente es necesario que las observaciones sean precisas; esta condición, la primera de todas, aumenta en gran medida el peso del resultado cuya expresión tiene por divisor la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto a este resultado.

Con estas precauciones podremos hacer uso del método precedente y medir el grado de confianza que merecen los resultados deducidos de un gran número de observaciones.

La regla que acabamos de dar para concluir las ecuaciones de condición, ecuaciones finales, equivale a hacer un mínimo de la suma de los cuadrados de los errores de las observaciones; pues cada ecuación de condición se vuelve exacta sustituyendo en ella la observación más su error; y si de ella sacamos la expresión de este error, es fácil ver que la condición del mínimo de la suma de los cuadrados de estas expresiones da la regla en cuestión.

Esta regla es tanto más precisa cuanto más numerosas son las observaciones; pero incluso en el caso en que su número sea pequeño parece natural emplear la misma regla, que en todos los casos ofrece un medio simple de obtener sin tanteos las correcciones que buscamos determinar.

Sirve además para comparar la precisión de las diversas tablas astronómicas de una misma estrella. Estas tablas siempre pueden suponerse reducidas a la misma forma, y entonces solo difieren por las épocas, los movimientos medios y los coeficientes de los argumentos; pues si una de ellas contiene un coeficiente que no se encuentra en las otras, es claro que esto equivale a suponer cero en ellas como coeficiente de este argumento.

Si ahora rectificamos estas tablas mediante la totalidad de las buenas observaciones, estas satisfarán la condición de que la suma de los cuadrados de los errores sea un mínimo; las tablas que, comparadas con un número considerable de observaciones, se acerquen más a esta condición merecen entonces la preferencia.

Es principalmente en la astronomía donde el método explicado anteriormente puede emplearse con ventaja.

Las tablas astronómicas deben la exactitud verdaderamente asombrosa que han alcanzado a la precisión de las observaciones y de las teorías, y al uso de ecuaciones de condición que hacen concurrir un gran número de observaciones excelentes en la corrección de un mismo elemento. Pero queda por determinar la probabilidad de los errores que esta corrección deja aún por

temidos; y el método que acabo de explicar nos permite reconocer la probabilidad de estos errores.

Para dar algunas aplicaciones interesantes de él, me he beneficiado del inmenso trabajo que el Sr. Bouvard acaba de terminar sobre los movimientos de Júpiter y Saturno, de los cuales ha formado tablas muy precisas.

Ha discutido con el mayor cuidado las oposiciones y cuadraturas de estos dos planetas observadas por Bradley y por los astrónomos que le han seguido hasta los últimos años; ha deducido las correcciones de los elementos de su movimiento y de sus masas comparadas con la del Sol tomado como unidad.

Sus cálculos le dan la masa de Saturno igual a la parte 3512 de la del Sol. Aplicando a ellos mis fórmulas de probabilidad, hallo que es una apuesta de 11.000 contra uno a que el error de este resultado no es de ¹⁄₁₀₀ de su valor, o lo que viene a ser casi lo mismo —que después de un siglo de nuevas observaciones añadidas a las precedentes, y examinadas de la misma manera, el nuevo resultado no diferirá en ¹⁄₁₀₀ del de M. Bouvard.

Este sabio astrónomo vuelve a hallar la masa de Júpiter igual a la parte 1071 del sol; y mi método de probabilidad da una apuesta de 1.000.000 contra uno de que este resultado no tiene un error de ¹⁄₁₀₀.

Este método podrá emplearse de nuevo con éxito en operaciones geodésicas. Determinamos la longitud del gran arco en la superficie de la tierra mediante triangulación, la cual depende de una base medida con exactitud.

Pero cualquiera que sea la precisión que se aporte a la medida de los ángulos, los errores inevitables pueden, al acumularse, hacer que el valor del arco deducido de un gran número de triángulos se desvíe apreciablemente de la verdad. No reconocemos este valor, por tanto, más que imperfectamente, a menos que pueda asignarse la probabilidad de que su error esté comprendido dentro de unos límites dados.

El error de un resultado geodésico es una función de los errores de los ángulos de cada triángulo. He dado en la obra citada fórmulas generales con el fin de obtener la probabilidad de los valores de una o de varias funciones lineales de un gran número de errores parciales de los cuales conocemos la ley de probabilidad; podemos entonces, por medio de estas fórmulas, determinar la probabilidad de que el error de un resultado geodésico esté comprendido dentro de los límites asignados, cualquiera que sea la ley de la probabilidad de los errores parciales. Además, es tanto más necesario hacernos independientes de la ley, cuanto que las leyes más simples son siempre infinitamente menos probables, dado el número infinito de aquellas que pueden existir en la naturaleza.

Pero la ley desconocida de los errores parciales introduce en las fórmulas una indeterminada que no permite reducirlas a números a menos que seamos capaces de eliminarla.

Hemos visto que en las cuestiones astronómicas, donde cada observación proporciona una ecuación de condición para obtener los elementos, eliminamos esta indeterminada mediante la suma de los cuadrados de los remanentes cuando se han sustituido los valores más probables de los elementos en cada ecuación.

Como las cuestiones geodésicas no ofrecen ecuaciones similares, es necesario buscar otro medio de eliminación. La cantidad en la que la suma de los ángulos de cada triángulo observado supera a dos rectos más el exceso esférico proporciona este medio.

Así, reemplazamos por la suma de los cuadrados de estas cantidades la suma de los cuadrados de los remanentes de las ecuaciones de condición; y podemos asignar en números la probabilidad de que el error del resultado final de una serie de operaciones geodésicas no exceda una cantidad dada.

Pero ¿cuál es la manera más ventajosa de repartir entre los tres ángulos de cada triángulo la suma observada de sus errores?

El análisis de probabilidades hace evidente que cada ángulo debe ser disminuido en un tercio de esta suma, siempre que el peso de un resultado geodésico sea el mayor posible, lo que hace que el mismo error sea menos probable.

Hay, por tanto, una gran ventaja en observar los tres ángulos de cada triángulo y en corregirlos tal como acabamos de decir. El mero sentido común indica esta ventaja; pero solo el cálculo de probabilidades es capaz de apreciarla y de poner de manifiesto que mediante esta corrección dicha ventaja llega a ser la mayor posible.

Para asegurarse de la exactitud del valor de un gran arco que descansa sobre una base medida en uno de sus extremos, se mide una segunda base hacia el otro extremo; y se deduce a partir de una de estas bases la longitud de la otra. Si esta longitud varía muy poco respecto a la observación, hay toda razón para creer que la cadena de triángulos que une estas bases es muy cercana a la exactitud e igualmente el valor del gran arco que resulta de ella.

Se corrige, entonces, este valor modificando los ángulos de los triángulos de tal manera que la base sea calculada de acuerdo con las bases medidas. Pero esto puede hacerse de un modo infinito de maneras, entre las cuales se prefiere aquella cuyo resultado geodésico tiene el mayor peso, por cuanto el mismo error se vuelve menos probable.

El análisis de probabilidades da fórmulas para obtener directamente la corrección más ventajosa que resulta de las mediciones de las varias bases y de las leyes de probabilidad que la multiplicidad de las bases hace —leyes que se vuelven muy rápidamente decrecientes por esta multiplicidad—.

Generalmente los errores de los resultados deducidos de un gran número de observaciones son funciones lineales de los errores parciales de cada observación. Los coeficientes de estas funciones dependen de la naturaleza del problema y del proceso seguido para obtener los resultados. El proceso más ventajoso es evidentemente aquel en el que el mismo error en los resultados es menos probable que según cualquier otro proceso.

La aplicación del cálculo de probabilidades a la filosofía natural consiste, pues, en determinar analíticamente la probabilidad de los valores de estas funciones y en elegir sus coeficientes indeterminados de tal manera que la ley de esta probabilidad sea la más rápidamente decreciente. Eliminando, pues, de las fórmulas mediante los datos de la cuestión el factor que introduce la ley, casi siempre desconocida, de la probabilidad de los errores parciales, podremos evaluar numéricamente la probabilidad de que los errores de los resultados no excedan una cantidad dada. Tendremos así todo lo que pueda desearse respecto a los resultados deducidos de un gran número de observaciones.

Se pueden obtener resultados muy aproximados mediante otras consideraciones. Supóngase, por ejemplo, que se tienen mil y una observaciones de una misma cantidad; la media aritmética de todas estas observaciones es el resultado dado por el método más ventajoso. Pero se podría elegir el resultado según la condición de que la suma de las variaciones respecto a cada valor parcial, tomadas todas positivamente, sea un mínimo.

Parece en verdad natural considerar como muy aproximado el resultado que satisface esta condición. Es fácil ver que si se disponen los valores dados por las observaciones según el orden de magnitud, el valor que ocupe el centro cumplirá la condición precedente, y el cálculo hace evidente que en el caso de un número infinito de observaciones coincidiría con la verdad; pero el resultado dado por el método más ventajoso sigue siendo preferible.

Vemos por lo que precede que la teoría de las probabilidades no deja nada arbitrario en el modo de distribuir los errores de las observaciones; da para esta distribución las fórmulas más ventajosas que disminuyen tanto como sea posible los errores que han de temerse en los resultados.

La consideración de las probabilidades puede servir para distinguir las pequeñas irregularidades de los movimientos celestes envueltas en los errores de las observaciones, y para remontarse a la causa de las anomalías observadas en estos movimientos.

Al comparar todas las observaciones, fue Tycho Brahe quien reconoció la necesidad de aplicar a la luna una ecuación de tiempo diferente de la que se había aplicado al sol y a los planetas.

Fue de manera similar el conjunto de un gran número de observaciones lo que hizo reconocer a Mayer que el coeficiente de la desigualdad de la precesión debía disminuirse un poco para la luna. Pero dado que esta disminución, aunque confirmada e incluso aumentada por Mason, no parecía resultar de la gravitación universal, la mayoría de los astrónomos la descuidan en sus cálculos.

Habiendo sometido al cálculo de probabilidades un número considerable de observaciones lunares elegidas para este fin y que el Sr. Bouvard consintió en examinar a petición mía, me pareció indicado con una probabilidad tan fuerte que creí que se debía investigar la causa.

Pronto vi que no podía ser sino la elipticidad del esferoide terrestre, descuidada hasta entonces en la teoría del movimiento lunar por ser capaz de producir solo términos imperceptibles. Concluí que estos términos se volvían perceptibles mediante las integraciones sucesivas de las ecuaciones diferenciales.

Determiné entonces dichos términos mediante un análisis particular, y descubrí primero la desigualdad del movimiento lunar en latitud que es proporcional al seno de la longitud de la luna, la cual ningún astrónomo antes había sospechado. Reconocí después, por medio de esta desigualdad, que existe otra en el movimiento lunar en longitud que produce la disminución observada por Mayer en la ecuación de la precesión aplicable a la luna.

La cantidad de esta disminución y el coeficiente de la desigualdad precedente en latitud son muy apropiados para fijar el achatamiento de la tierra.

Habiendo comunicado mis investigaciones al Sr. Burg, que se ocupaba en aquel tiempo en perfeccionar las tablas de la luna mediante la comparación de todas las buenas observaciones, le rogué que determinara con un cuidado particular estas dos cantidades. Por una coincidencia muy notable, los valores que ha hallado dan a la tierra el mismo achatamiento, ¹⁄₃₀₅, que difiere poco de la media derivada de las mediciones de los grados del meridiano y del péndulo; pero aquellas consideradas desde el punto de vista de la influencia de los errores de las observaciones y de las causas perturbadoras en estas mediciones, no me parecieron exactamente determinadas por estas desigualdades lunares.

Fue de nuevo mediante la consideración de las probabilidades como reconocí la causa de la ecuación secular de la luna. Las observaciones modernas de este astro comparadas con los eclipses antiguos habían indicado a los astrónomos una aceleración en el movimiento lunar; pero los geómetras, y en particular Lagrange, tras haber buscado en vano en las perturbaciones que experimentaba este movimiento los términos de los cuales depende esta aceleración, la rechazan.

Un examen atento de las observaciones antiguas y modernas y de los eclipses intermediarios observados por los árabes me convenció de que estaba indicada con una gran probabilidad. Retomé entonces desde este punto de vista la teoría lunar, y reconocí que la ecuación secular de la luna se debe a la acción del sol sobre este satélite, combinada con la variación secular de la excentricidad de la órbita terrestre; esto me condujo al descubrimiento de las ecuaciones seculares de los movimientos de los nodos y de los apogeos de la órbita lunar, cuyas ecuaciones no habían sido ni siquiera sospechadas por los astrónomos.

La muy notable concordancia de esta teoría con todas las observaciones antiguas y modernas la ha elevado a un grado muy alto de evidencia.

El cálculo de las probabilidades me ha conducido de manera similar a la causa de las grandes irregularidades de Júpiter y Saturno. Comparando las observaciones modernas con las antiguas, Halley encontró una aceleración en el movimiento de Júpiter y un retardo en el de Saturno. Para

para conciliar las observaciones redujo los movimientos a dos ecuaciones seculares de signos contrarios y crecientes como los cuadrados de los tiempos transcurridos desde 1700. Euler y Lagrange sometieron al análisis las alteraciones que la atracción mutua de estos dos planetas debía producir en estos movimientos. Encontraron al hacerlo las ecuaciones seculares; pero sus resultados eran tan diferentes que uno de los dos al menos debía ser erróneo. Resolví entonces retomar este importante problema de la mecánica celeste, y reconocí la invariabilidad de los movimientos medios planetarios, lo que anulaba las ecuaciones seculares introducidas por Halley en las tablas de Júpiter y Saturno.

Así pues, para explicar la gran irregularidad de estos planetas, solo quedan las atracciones de los cometas, a las que muchos astrónomos recurrieron eficazmente, o la existencia de una irregularidad a largo plazo producida en los movimientos de los dos planetas por su acción recíproca y afectada por signos contrarios para cada uno de ellos.

Un teorema que hallé respecto a las desigualdades de este tipo hizo muy probable esta desigualdad. Según este teorema, si el movimiento de Júpiter se acelera, el de Saturno se retarda, lo cual ya concordaba con lo que Halley había notado; además, la aceleración de Júpiter resultante del mismo teorema es al retraso de Saturno muy aproximadamente en la razón de las ecuaciones seculares propuestas por Halley.

Considerando los movimientos medios de Júpiter y de Saturno, pude reconocer fácilmente que dos veces el de Júpiter difería solo en una cantidad muy pequeña de cinco veces el de Saturno. El período de una irregularidad que

tendría por argumento esta diferencia de unos nuevos siglos. En verdad su coeficiente sería del orden de los cubos de las excentricidades de las órbitas; pero sabía que en virtud de sucesivas integraciones adquiría por divisor el cuadrado del muy pequeño multiplicador del tiempo en el argumento de esta desigualdad que es capaz de darle un gran valor; la existencia de esta desigualdad me parecía entonces muy probable.

La siguiente observación aumentó entonces su probabilidad.

Suponiendo su argumento cero hacia la época de las observaciones de Tycho Brahe, vi que Halley debió de encontrar, mediante la comparación de las observaciones modernas con las antiguas, las alteraciones que había indicado; mientras que la comparación de las observaciones modernas entre sí debía ofrecer alteraciones contrarias similares a aquellas que Lambert había deducido de esta comparación.

No dudé entonces en absoluto en emprender este largo y tedioso cálculo necesario para asegurarme de esta desigualdad. Quedó enteramente confirmado por el resultado de este cálculo, el cual, por otra parte, me hizo reconocer un gran número de otras desigualdades cuya totalidad ha llevado las tablas de Júpiter y Saturno a la precisión de las mismas observaciones.

Fue de nuevo por medio del cálculo de probabilidades como reconocí la notable ley de los movimientos medios de los tres primeros satélites de Júpiter, según la cual la longitud media del primero menos tres veces la del segundo más dos veces la del tercero es rigurosamente igual a la semicircunferencia.

La aproximación con la que los movimientos medios de estos astros satisfacen esta ley desde su descubrimiento indica su existencia con una probabilidad extrema. Busqué entonces la causa en su acción mutua.

El examen minucioso de esta acción me convenció de que bastaba con que al principio las proporciones de sus movimientos medios se hubieran acercado a esta ley dentro de ciertos límites, debido a que su acción mutua la había establecido y mantenido rigurosamente.

Así pues, estos tres cuerpos se equilibrarán eternamente en el espacio según la ley precedente, a menos que causas extrañas, como los cometas, alteren repentinamente sus movimientos alrededor de Júpiter.

Por consiguiente, se ve cuán necesario es estar atento a las indicaciones de la naturaleza cuando son el resultado de un gran número de observaciones, aunque por lo demás sean inexplicables por medios conocidos.

La extrema dificultad de los problemas relativos al sistema del mundo ha obligado a los geómetras a recurrir a la aproximación, la cual siempre deja lugar al temor de que las cantidades desdeñadas puedan tener una influencia apreciable.

Cuando las observaciones les han advertido de esta influencia, han recurrido a su análisis; al rectificarlo, siempre han hallado la causa de las anomalías observadas; han determinado las leyes y a menudo se han adelantado a las observaciones al descubrir las desigualdades que estas aún no habían indicado.

Así puede decirse que la naturaleza misma ha contribuido a la perfección analítica de las teorías basadas en el principio de la gravedad universal; y esta es, a mi parecer, una de las pruebas más firmes de la verdad de este admirable principio.

En los casos que acabo de considerar, la solución analítica de la cuestión ha transformado la probabilidad de las causas en certeza. Pero, las más de las veces, esta solución es imposible y solo queda aumentar cada vez más dicha probabilidad.

En medio de las numerosas e incalculables modificaciones que la acción de las causas experimenta entonces por circunstancias extrañas, estas causas conservan siempre con los efectos observados las proporciones adecuadas para hacerlos reconocibles y verificar su existencia.

Si, al determinar estas proporciones y compararlas con un gran número de observaciones, se halla que las satisfacen constantemente, la probabilidad de las causas puede aumentar hasta el punto de igualar a la de los hechos respecto de los cuales no hay duda alguna.

La investigación de estas relaciones entre las causas y sus efectos no es menos útil en la filosofía natural que la solución directa de los problemas, ya sea para verificar la realidad de estas causas o para determinar las leyes a partir de sus efectos; puesto que puede emplearse en un gran número de cuestiones cuya solución directa no es posible, la reemplaza de la manera más ventajosa.

Voy a exponer aquí la aplicación que he hecho de ella a uno de los fenómenos más interesantes de la naturaleza, el flujo y el reflujo del mar.

Plinio ha dado de este fenómeno una descripción notable por su exactitud, y en ella se ve que los antiguos habían observado que las mareas de cada mes son mayores hacia las sicigias y menores hacia las cuadraturas; que son más altas en los perigeos que en los apogeos de la luna, y más altas en los equinoccios que en los solsticios. Concluyeron de esto que este fenómeno se debe a la acción del sol y de la luna sobre el mar.

En el prefacio de su obra De Stella Martis Kepler admite una tendencia de las aguas del mar hacia la luna; pero, ignorante de la ley de esta tendencia, solo pudo dar sobre este tema una idea probable.

Newton convirtió en certeza la probabilidad de esta idea al vincularla con su gran principio de la gravedad universal. Dio la expresión exacta de las fuerzas atractivas que producían el flujo y el reflujo del mar; y para determinar los efectos supuso que el mar toma en cada instante la posición de equilibrio que conviene a estas fuerzas.

Explicó de este modo los principales fenómenos de las mareas; pero de esta teoría se seguía que en nuestros puertos las dos mareas del mismo día serían muy desiguales si el sol y la luna tuvieran una gran declinación. En Brest, por ejemplo, la marea vespertina sería en las sicigias de los solsticios unas ocho veces mayor que la marea matutina, lo cual ciertamente es contrario a las observaciones que prueban que estas dos mareas son muy aproximadamente iguales.

Este resultado de la teoría newtoniana podría ajustarse a la suposición de que el mar se encuentra en cada instante en una posición de equilibrio, una suposición que no es en absoluto admisible.

Pero la investigación de la verdadera figura del mar presenta grandes dificultades. Ayudado por los descubrimientos que los geómetras acababan de hacer en la teoría del movimiento de los fluidos y en el cálculo de las diferencias parciales, emprendí esta investigación y di las ecuaciones diferenciales del movimiento del mar suponiendo que este cubre la tierra entera.

Acercándome así a la naturaleza, tuve la satisfacción de ver que mis resultados se aproximaban a las observaciones, especialmente en lo que respecta a la pequeña diferencia que existe en nuestros puertos entre las dos mareas de las sicigias solsticiales de un mismo día. Encontré que serían iguales si el mar tuviera en todas partes la misma profundidad; encontré además que, dando a esta profundidad valores convenientes, era posible aumentar la altura de las mareas en un puerto de conformidad con las observaciones.

Pero estas investigaciones, a pesar de su generalidad, no satisficieron en absoluto las grandes diferencias que incluso los puertos adyacentes presentan a este respecto y que prueban la influencia de las circunstancias locales. La imposibilidad de conocer estas circunstancias y la irregularidad de la cuenca de los mares y de integrar las ecuaciones de diferencias parciales que son relativas me ha obligado a suplir esta deficiencia mediante el método que he indicado más arriba.

Me propuse entonces determinar las mayores razones posibles entre las fuerzas que afectan a todas las moléculas del mar y sus efectos observables en nuestros puertos. Para ello hice uso del siguiente principio, que puede aplicarse a muchos otros fenómenos.

"El estado del sistema de un cuerpo en el que las condiciones primitivas del movimiento han desaparecido por las resistencias que este movimiento encuentra es periódico como las fuerzas que lo animan."

Combinando este principio con el de la coexistencia de las oscilaciones muy pequeñas, he hallado una expresión de la altura de las mareas cuyas constantes arbitrarias contienen el efecto de las circunstancias locales de cada puerto y se reducen al menor número posible; solo es necesario compararla con un gran número de observaciones.

A invitación de la Academia de Ciencias, se hicieron a principios del siglo pasado observaciones en Brest sobre las mareas, las cuales continuaron

durante seis años consecutivos. La situación de este puerto es muy favorable para esta clase de observaciones; se comunica con el mar por un canal que desemboca en una vasta rada en cuyo fondo se ha construido el puerto.

Las irregularidades del mar se extienden así solo en pequeño grado en el puerto, del mismo modo que las oscilaciones que el movimiento irregular de un buque produce en un barómetro se ven disminuidas por un estrangulamiento hecho en el tubo de este instrumento.

Además, siendo considerables las mareas en Brest, las variaciones accidentales causadas por los vientos son solo débiles; asimismo se advierte en las observaciones de estas mareas, por poco que se multipliquen, una gran regularidad que me indujo a proponer al gobierno que ordenara en este puerto una nueva serie de observaciones de las mareas, continuadas durante un período del movimiento de los nodos de la órbita lunar.

Esto se ha llevado a cabo. Las observaciones comenzaron el 1 de junio de 1806; y desde este momento se han realizado todos los días sin interrupción.

Estoy en deuda con el celo indefatigable del Sr. Bouvard por todo lo que concierne a la astronomía, [y por] los inmensos cálculos que la comparación de mi análisis con las observaciones ha requerido.

Se han empleado cerca de seis mil observaciones, hechas durante el año 1807 y los quince años siguientes.

Resulta de esta comparación que mis fórmulas representan con una precisión notable todas las variedades de las mareas relativas a la digresión de la luna respecto al sol, a la declinación de estos astros, a sus distancias de la tierra y a las leyes de variación en el máximo y en el mínimo de cada uno de estos elementos.

Resulta de este acuerdo una probabilidad de que el flujo y el reflujo

del mar se debe a la atracción del sol y de la luna, tan próxima a la certeza que no debería dejar lugar para ninguna duda razonable. Se convierte en certeza cuando consideramos que esta atracción se deriva de la ley de la gravedad universal demostrada por todos los fenómenos celestes.

La acción de la luna sobre el mar es más del doble que la del sol. Newton y sus sucesores en el desarrollo de esta acción solo han prestado atención a los términos divididos por el cubo de la distancia de la luna a la tierra, juzgando que los efectos debidos a los términos siguientes debían ser inapreciables.

Pero el cálculo de probabilidades nos deja claro que los efectos más pequeños de las causas regulares pueden manifestarse en los resultados de un gran número de observaciones dispuestas en el orden más adecuado para indicarlos. Este cálculo determina de nuevo su probabilidad y hasta qué punto es necesario multiplicar las observaciones para hacerla muy grande.

Aplicándolo a las numerosas observaciones discutidas por el Sr. Bouvard, reconocí que en Brest la acción de la luna sobre el mar es mayor en las lunas llenas que en las lunas nuevas, y mayor cuando la luna es austral que cuando es boreal; fenómenos que solo pueden resultar de los términos de la acción lunar divididos por la cuarta potencia de la distancia de la luna a la tierra.

Para llegar al océano, la acción del sol y de la luna atraviesa la atmósfera, la cual debería por consiguiente sentir su influencia y estar sujeta a movimientos similares a los del mar.

Estos movimientos producen en el barómetro oscilaciones periódicas. El análisis me ha dejado claro que son inapreciables en nuestros climas. Pero como las circunstancias locales aumentan considerablemente las mareas en nuestros puertos, he vuelto a investigar si circunstancias similares han hecho apreciables estas oscilaciones del barómetro.

Para esto me he servido de las observaciones meteorológicas que se hacen todos los días desde hace muchos años en el observatorio real. Las alturas del barómetro y del termómetro se observan allí a las nueve de la mañana, al mediodía, a las tres de la tarde y a las once de la noche.

M. Bouvard ha querido en efecto retomar la consideración de las observaciones de los ocho años transcurridos desde el 1 de octubre de 1815 hasta el 1 de octubre de 1823 en los registros.

Al disponer las observaciones de la manera más adecuada para indicar la marea atmosférica lunar en París, encuentro solo un dieciochoavo de milímetro para la amplitud de la oscilación correspondiente del barómetro.

Es esto especialmente lo que nos ha hecho sentir la necesidad de un método para determinar la probabilidad de un resultado, y sin este método uno se ve obligado a presentar como leyes de la naturaleza los resultados de causas irregulares, lo que a menudo ha sucedido en meteorología.

Este método aplicado al resultado precedente muestra la incertidumbre del mismo a pesar del gran número de observaciones empleadas, que sería necesario multiplicar por diez para obtener un resultado suficientemente probable.

El principio que sirve de base para mi teoría de las mareas puede hacerse extensivo a todos los efectos del azar a los que se unen causas variables según leyes regulares. La acción de estas causas produce en la media

resultados de una gran cantidad de variedades de efectos que siguen las mismas leyes y que uno puede reconocer mediante el análisis de las probabilidades. En la medida en que estos efectos se multiplican, esas variedades se manifiestan con una probabilidad cada vez mayor, la cual se aproximaría a la certeza si el número de los efectos de los resultados llegara a ser infinito.

Este teorema es análogo al que ya he desarrollado sobre la acción de las causas constantes. Cada vez, pues, que una causa cuyo progreso es regular puede influir en un género de acontecimientos, podemos procurar descubrir su influencia multiplicando las observaciones y disponiéndolas en el orden más adecuado para indicarla.

Cuando esta influencia parece manifestarse, el análisis de las probabilidades determina la probabilidad de su existencia y la de su intensidad; así, la variación de la temperatura del día a la noche modificando la presión de la atmósfera y, en consecuencia, la altura del barómetro, es natural pensar que las observaciones multiplicadas de estas alturas deben mostrar la influencia del calor solar.

En efecto, se reconoce desde hace tiempo en el ecuador, donde esta influencia parece ser mayor, una pequeña variación diurna en la altura del barómetro cuyo máximo se presenta hacia las nueve de la mañana y el mínimo hacia las tres de la tarde.

Un segundo máximo se presenta hacia las once de la noche y un segundo mínimo hacia las cuatro de la mañana.

Las oscilaciones de la noche son menores que las del día, cuya amplitud es de unos dos milímetros.

La inconstancia de nuestro clima no ha quitado esta variación a nuestros observadores, aunque sea menos apreciable que en los trópicos. M. Ramond la ha reconocido y determinado en Clermont, la capital del distrito de Puy-de-Dôme, mediante una serie de observaciones precisas realizadas durante varios años; incluso ha descubierto que es menor en los meses de invierno que en los demás meses.

Las numerosas observaciones que he analizado para estimar la influencia de las atracciones del sol y de la luna sobre las alturas barométricas en París me han servido para determinar su variación diurna.

Comparando las alturas a las nueve de la mañana con las de los mismos días a las tres de la tarde, esta variación se manifiesta con tanta evidencia que su valor medio cada mes ha sido constantemente positivo para cada uno de los setenta y dos meses transcurridos desde el 1.º de enero de 1817 hasta el 1.º de enero de 1823; su valor medio en estos setenta y dos meses ha sido de casi 0,8 milímetros, un poco menor que en Clermont y mucho menor que en el ecuador.

He reconocido que el resultado medio de las variaciones diurnas del barómetro, desde las 9 de la mañana hasta las 3 de la tarde, ha sido de solo 0,5428 milímetros en los tres meses de noviembre, diciembre y enero, y que ha ascendido a 1,0563 milímetros en los tres meses siguientes, lo cual coincide con las observaciones del Sr. Ramond. Los demás meses no ofrecen nada semejante.

Para aplicar el cálculo de estas probabilidades a estos fenómenos, comencé por determinar la ley de la probabilidad de las anomalías de la variación diurna debidas al azar. Aplicándola luego a las observaciones de este fenómeno, hallé que había una apuesta de más de 300.000 contra uno de que una causa regular lo producía. No busco determinar esta causa; me contento con afirmar su existencia.

El período de la variación diurna regulado por el día solar indica evidentemente que esta variación se debe a la acción del sol. La extrema pequeñez de la acción atractiva del sol sobre la atmósfera está probada por la pequeñez de los efectos debidos a las atracciones unidas del sol y de la luna. Es entonces por la acción de su calor que el sol produce la variación diurna del barómetro; pero es imposible someter al cálculo los efectos de su acción sobre la altura del barómetro y sobre los vientos.

La variación diurna de la aguja imantada es ciertamente un resultado de la acción del sol. ¿Pero obra este astro aquí como en la variación diurna del barómetro por su calor o por su influencia sobre la electricidad y sobre el magnetismo, o finalmente por la unión de estas influencias? Una larga serie de observaciones hechas en diferentes países nos permitirá comprender esto.

Uno de los fenómenos más notables del sistema del mundo es el de todos los movimientos de rotación y de revolución de los planetas y de los satélites en el sentido de la rotación del sol y casi en el mismo plano de su ecuador. Un fenómeno tan notable no es el efecto del azar: indica una causa general que ha determinado todos sus movimientos.

Para obtener la probabilidad con la que esta causa se indica, observaremos que el sistema planetario, tal como lo conocemos hoy, se compone de once planetas y de dieciocho satélites al menos, si atribuimos con Herschel seis satélites al planeta Urano. Se han reconocido los movimientos de rotación del sol, de seis planetas, de la luna, de los satélites de Júpiter, del anillo de Saturno y de uno de sus satélites.

Estos movimientos forman, con los de revolución, una totalidad de cuarenta y tres movimientos dirigidos en el mismo sentido; mas se halla por el análisis de las probabilidades que es una apuesta de más de 4000000000000 contra uno a que esta disposición no es el resultado del azar; esto forma una probabilidad en verdad superior a la de los acontecimientos históricos respecto de los cuales no existe duda alguna. Debemos entonces creer al menos con igual confianza que una causa primitiva ha dirigido los movimientos planetarios, especialmente si consideramos que la inclinación del mayor número de estos movimientos respecto al ecuador solar es muy pequeña.

Otro fenómeno igualmente notable del sistema solar es el pequeño grado de excentricidad de las órbitas de los planetas y los satélites, mientras que las de los cometas son muy alargadas, no ofreciendo las órbitas del sistema ningún matiz intermedio entre una excentricidad grande y una pequeña.

Nos vemos obligados nuevamente a reconocer aquí el efecto de una causa regular; el azar ciertamente no ha dado una forma casi circular a las órbitas de todos los planetas y sus satélites; es entonces que la causa que ha determinado los movimientos de estos cuerpos los ha vuelto casi circulares.

Es necesario, asimismo, que las grandes excentricidades de las órbitas de los cometas resulten de la existencia de esta causa sin que ella haya influido en la dirección de sus movimientos; pues se encuentra que hay casi tantos cometas retrógrados como directos, y que la inclinación media de todas sus órbitas respecto a la eclíptica se aproxima mucho a medio ángulo recto, como debe ser si los cuerpos hubiesen sido lanzados al azar.

Sea cual fuere la naturaleza de la causa en cuestión, puesto que ha producido o dirigido el movimiento de los planetas, es necesario que haya abarcado todos los cuerpos y considerado todas las distancia que los separan; solo pudo haber sido un fluido de una extensión inmensa.

Por consiguiente, para haberles impreso en el mismo sentido un movimiento casi circular alrededor del sol, es necesario que este fluido haya rodeado a esta estrella a modo de atmósfera.

La consideración de los movimientos planetarios nos conduce entonces a pensar que, en virtud de un calor excesivo, la atmósfera del sol se extendió originalmente más allá de las órbitas de todos los planetas, y que se ha contraído gradualmente hasta sus límites actuales.

En el estado primitivo en el que nos imaginamos el sol, se parecía a las nebulosas que el telescopio nos muestra compuestas de un núcleo más o menos brillante rodeado por una nebulosa que, condensándose en la superficie, debía transformarlo algún día en estrella.

Si uno concibe por analogía todas las estrellas formadas de este modo, puede imaginar su estado anterior de nebulosidad precedido a su vez por otras estrellas en las que la materia nebulosa era cada vez más difusa, siendo el núcleo cada vez menos luminoso y denso.

Remontándose, pues, lo más lejos posible, se llegaría a una nebulosidad tan difusa que apenas se podría sospechar su existencia.

Tal es en efecto el primer estado de las nebulosas que Herschel observó con particular cuidado mediante sus potentes telescopios, y en el cual ha seguido el progreso de la condensación, no en una sola, pues estas etapas no llegan a ser apreciables para nosotros sino al cabo de siglos, sino en su totalidad, más o menos como se puede en un vasto bosque seguir el crecimiento de los árboles a través de los individuos de diversas edades que el bosque contiene.

Ha observado desde el principio materia nebulosa extendida en diversas masas en las distintas partes de los cielos, de los cuales ocupa una gran extensión. Ha visto en algunas de estas masas esta materia ligeramente condensada alrededor de una o varias nebulosas débilmente luminosas.

En las demás nebulosas estos núcleos brillan, por lo demás, en proporción a la nebulosidad que los rodea.

Al separarse las atmósferas de cada núcleo por una condensación ulterior, resultan las nebulosas múltiples formadas de núcleos brillantes muy contiguos y rodeados cada uno por una atmósfera; a veces la materia nebulosa, al condensarse de un modo uniforme, ha producido las nebulosas que se llaman planetarias.

Finalmente, un mayor grado de condensación transforma todas estas nebulosas en estrellas. Las nebulosas clasificadas según este punto de vista filosófico indican con extrema probabilidad su futura transformación en estrellas y el estado anterior de nebulosidad de las estrellas existentes. Las siguientes consideraciones vienen en auxilio de las pruebas extraídas de estas analogías.

Durante mucho tiempo la disposición particular de ciertas estrellas visibles a simple vista ha llamado la atención de los observadores filosóficos. Mitchel ya ha comentado cuán improbable es que las estrellas de las Pléyades, por ejemplo, hayan quedado confinadas en el estrecho espacio que las contiene por las solas probabilidades del azar, y ha concluido a partir de esto que este grupo de estrellas y los grupos similares que el cielo nos presenta son los resultados de una causa primitiva

o de una ley general de la naturaleza. Estos grupos son un resultado necesario de la condensación de las nebulosas en varios núcleos; es evidente que, siendo atraída continuamente la materia nebulosa por los diversos núcleos, estos deben formar con el tiempo un grupo de estrellas igual al de las Pléyades.

La condensación de las nebulosas en dos núcleos forma de manera semejante estrellas muy adyacentes, que giran la una en torno a la otra, iguales a aquellas cuyos movimientos respectivos Herschel ya ha considerado. Tales son, además, la 61 del Cisne y su siguiente, en las cuales Bessel acaba de reconocer movimientos particulares tan considerables y tan poco diferentes que la proximidad de estas estrellas entre sí y su movimiento en torno al centro de gravedad común no deben dejar ninguna duda.

Así se desciende por grados desde la condensación de la materia nebulosa hasta la consideración del sol rodeado antiguamente por una vasta atmósfera, consideración a la cual se vuelve, como se ha visto, mediante el examen de los fenómenos del sistema solar. Un caso tan tan notable confiere a la existencia de este estado anterior del sol una probabilidad que se aproxima fuertemente a la certeza.

¿Pero cómo ha determinado la atmósfera solar los movimientos de rotación y de revolución de los planetas y de los satélites? Si estos cuerpos hubiesen penetrado profundamente en la atmósfera, su resistencia les habría hecho caer sobre el sol; se es conducido entonces a creer con mucha probabilidad que los planetas se han formado en los límites sucesivos de la atmósfera solar que, contrayéndose por el frío, debió abandonar en el plano de su ecuador zonas de vapores que la atracción mutua de sus moléculas ha transformado en diversos esferoides.

Los satélites se han formado de manera similar por las atmósferas de sus respectivos planetas.

He desarrollado largamente en mi Exposición del sistema del mundo esta hipótesis, que me parece satisfecha por todos los fenómenos que este sistema nos presenta.

Me contentaré aquí con considerar que, siendo la velocidad angular de rotación del sol y de los planetas acelerada por la condensación sucesiva de sus atmósferas en sus superficies, aquella debe superar la velocidad angular de revolución de los cuerpos más cercanos que giran en torno a ellos.

La observación lo ha confirmado en efecto con respecto a los planetas y satélites, e incluso en relación con el anillo de Saturno, cuya duración de revolución es de 0,438 días, mientras que la duración de la rotación de Saturno es de 0,427 días.

En esta hipótesis los cometas son ajenos al sistema planetario. Al atribuir su formación a la de las nebulosas, pueden ser considerados como pequeñas nebulosas en los núcleos, errantes de sistemas en sistemas solares, y formadas por la condensación de la materia nebulosa extendida en tan gran profusión en el universo.

Los cometas serían así, en relación con nuestro sistema, como los aerolitos en relación con la Tierra, a la cual parecerían extraños. Cuando estos astros se vuelven visibles para nosotros, ofrecen un parecido tan perfecto con las nebulosas que a menudo se confunden con ellas; y es solo mediante su movimiento, o mediante el conocimiento de todas las nebulosas confinadas a esa parte del cielo donde aparecen, como logramos distinguirlos.

Esta suposición explica de manera afortunada la gran extensión que las cabezas y las colas de los cometas adquieren a medida que se aproximan al sol, y la extrema rareza de estas colas que, a pesar de su inmensidad, no debilitan de modo apreciable la luz de las estrellas que observamos a través de ellas.

Cuando las pequeñas nebulosas llegan a esa parte del espacio donde la atracción del sol es predominante, y que llamaremos la esfera de actividad de este astro, este las obliga a describir órbitas elípticas o hiperbólicas.

Pero al ser su velocidad igualmente posible en todas las direcciones, deben moverse indiferentemente en todos los sentidos y bajo todas las inclinaciones de la elíptica, lo cual es conforme a lo que se ha observado.

La gran excentricidad de las órbitas cometarias resulta asimismo de la hipótesis precedente. En efecto, si estas órbitas son elípticas, son muy alargadas, ya que sus ejes mayores son al menos iguales al radio de la esfera de actividad del sol. Pero estas órbitas pueden ser hiperbólicas; y si los ejes de estas hipérbolas no son muy grandes en proporción a la distancia media del sol a la tierra, el movimiento de los cometas que las describen parecerá sensiblemente hiperbólico.

Sin embargo, de los cien cometas de los que ya tenemos los elementos, ni uno solo ha aparecido con certeza moverse en una hipérbola; es necesario, pues, que las probabilidades que dan una hipérbola apreciable sean extremadamente raras en proporción a las probabilidades contrarias.

Los cometas son tan pequeños que, para llegar a ser visibles, su distancia perihelica debería ser insignificante. Hasta el presente esta distancia solo ha superado dos veces el diámetro de la órbita terrestre, y las más de las veces ha estado por debajo del radio de esta órbita.

Se comprende que, para aproximarse tanto al sol, su velocidad en el momento de su entrada en su esfera de actividad debería tener una magnitud y una dirección confinadas dentro de estrechos límites. Al determinar por el análisis de probabilidades la proporción de las posibilidades que, en estos límites, dan una hipérbola apreciable, respecto a las posibilidades que dan una órbita que puede confundirse con una parábola, he hallado que hay una apuesta de al menos 6000 contra uno de que una nebulosa que penetra en la actividad del sol de tal manera que pueda ser observada describirá ya sea una elipse muy alargada o una hipérbola.

Por la magnitud de su eje, esta última se confundirá apreciablemente con una parábola en la parte que es observada; no es de extrañar entonces que, hasta el momento, los movimientos hiperbólicos no hayan sido reconocidos.

La atracción de los planetas y, tal vez aún más, la resistencia de los centros etéreos, debieron de haber cambiado muchas órbitas cometarias en las elipses cuyo gran eje es menor que el radio de la esfera de actividad del sol, lo cual aumenta las probabilidades de las órbitas elípticas.

Podemos creer que este cambio ha tenido lugar con el cometa de 1759, y con el cometa cuya duración es de tan solo mil doscientos días, y que reaparecerá sin cesar en este breve intervalo, a menos que la evaporación que encuentra en cada uno de sus retornos al perihelio termine por volverlo invisible.

Somos capaces además, mediante el análisis de probabilidades, de verificar la existencia o la influencia de ciertas causas cuya acción se cree que existe sobre los seres organizados.

De todos los instrumentos que podemos emplear para reconocer los agentes imperceptibles de la naturaleza, los más sensibles son los nervios, especialmente cuando causas particulares aumentan su sensibilidad. Es mediante su auxilio como se ha descubierto la débil electricidad que desarrolla el contacto de dos metales heterogéneos; esto ha abierto un vasto campo a las investigaciones de los físicos y los químicos.

Los singulares fenómenos que resultan de la extrema sensibilidad de los nervios en ciertos individuos han dado origen a diversas opiniones sobre la existencia de un nuevo agente al que se ha denominado magnetismo animal, sobre la acción del magnetismo ordinario y sobre la influencia del sol y de la luna en ciertas afecciones nerviosas y, por último, sobre las impresiones que la proximidad de los metales o del agua corriente hace sentir.

Es natural pensar que la acción de estas causas es muy débil y que puede ser fácilmente perturbada por circunstancias accidentales; por lo tanto, debido a que en algunos casos no se manifiesta en absoluto, no debe negarse su existencia.

Estamos tan lejos de reconocer todos los agentes de la naturaleza y sus diversos modos de acción que sería poco filosófico negar los fenómenos únicamente porque son inexplicables en el estado actual de nuestros conocimientos.

Pero debemos examinarlos con una atención tanto más escrupulosa cuanto más difícil parece admitirlos; y es aquí donde el cálculo de probabilidades se vuelve indispensable para determinar hasta qué punto es necesario multiplicar las observaciones o las experiencias con el fin de obtener, en favor de los agentes que indican, una probabilidad superior a las razones que se pueden obtener por otra parte para no admitirlos.

El cálculo de probabilidades puede hacer apreciables las ventajas y los inconvenientes de los métodos empleados en las ciencias especulativas.

Así, para reconocer el mejor de los tratamientos en uso para la curación de una enfermedad, basta con probar cada uno de ellos en un número igual de pacientes, haciendo que todas las condiciones sean exactamente similares; la superioridad del tratamiento más ventajoso se manifestará más y más a medida que aumente el número; y el cálculo hará evidente la probabilidad correspondiente de su ventaja y la proporción según la cual es superior a los demás.