# CAPÍTULO V. SOBRE LOS MÉTODOS ANALÍTICOS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
La aplicación del principio que acabamos de exponer a las diversas cuestiones de probabilidad requiere métodos cuya investigación ha dado origen a varios métodos de análisis y especialmente a la teoría de las combinaciones y al cálculo de diferencias finitas.
Si formamos el producto de los binomios, la unidad más la primera letra, la unidad más la segunda letra, la unidad más la tercera letra, y así sucesivamente hasta letras, y restamos la unidad de este producto desarrollado, el resultado será la suma de la combinación de todas estas letras tomadas de una en una, de dos en dos, de tres en tres, etc., teniendo cada combinación a la unidad por coeficiente.
Para tener el número de combinaciones de estas letras tomadas de en veces, observaremos que, si suponemos estas letras iguales entre sí, el producto precedente se convertirá en la -ésima potencia del binomio uno más la primera letra; por tanto, el número de combinaciones de letras tomadas de en veces será el coeficiente de la -ésima potencia de la primera letra en el desarrollo de este binomio, y este número se obtiene mediante la conocida fórmula del binomio.
Hay que prestar atención a las respectivas situaciones de las letras en cada combinación, observando que si una segunda letra se une a la primera, puede colocarse en la primera o en la segunda posición, lo que da dos combinaciones.
Si unimos a estas combinaciones una tercera letra, podemos darle en cada combinación el primer, el segundo y el tercer rango, lo que forma tres combinaciones relativas a cada una de las otras dos, en total seis combinaciones.
A partir de esto es fácil concluir que el número de ordenamientos de los que son susceptibles s letras es el producto de los números desde la unidad hasta s. Para tener en cuenta las posiciones respectivas de las letras, es necesario entonces multiplicar por este producto el número de combinaciones de n letras s a s, lo que equivale a eliminar el denominador del coeficiente del binomio que expresa este número.
Imagínense una lotería compuesta de n números, de los cuales r son extraídos en cada sorteo. Se pide la probabilidad de extraer s números dados en un sorteo. Para llegar a esto, formemos una fracción cuyo denominador será el número de todos los casos posibles o de las combinaciones de n letras tomadas de r en r veces, y cuyo numerador será el número de todas las combinaciones que contienen los s números dados.
Este último número es evidentemente el de las combinaciones de los otros números tomados de n menos s en n menos s veces. Esta fracción será la probabilidad requerida, y hallaremos fácilmente que puede reducirse a una fracción cuyo numerador es el número de combinaciones de r
números tomados de s en s veces, y cuyo denominador es el número de combinaciones de n números tomados igualmente de s en s veces.
Así, en la lotería de Francia, compuesta como se sabe de 90 números de los cuales cinco son extraídos en cada sorteo, la probabilidad de extraer una combinación dada es 5⁄90, o 1⁄18; la lotería debería entonces, para la igualdad del juego, dar dieciocho veces la apuesta.
El número total de combinaciones de dos en dos de los 90 números es 4005, y el de las combinaciones de dos en dos de 5 números es 10. La probabilidad de que se extraiga un par determinado es entonces 1⁄4005, y la lotería debería otorgar cuatrocientos y medio veces lo apostado; debería otorgar 11748 veces para una terna dada, 511038 veces para un cuaternario y 43949268 veces para un quinteto. La lotería dista mucho de otorgar al jugador estas ventajas.
Supóngase que en una urna hay a bolas blancas, b bolas negras, y que después de extraer una bola se vuelve a poner en la urna; se pide la probabilidad de que en un número n de extracciones se obtengan m bolas blancas y n - m bolas negras.
Es evidente que el número de casos que pueden ocurrir en cada extracción es a + b. Pudiendo combinarse cada caso de la segunda extracción con todos los casos de la primera, el número de casos posibles en dos extracciones es el cuadrado del binomio a + b. En el desarrollo de este cuadrado, el cuadrado de a expresa el número de casos en los que se extrae dos veces una bola blanca, el doble producto de a por b expresa el número de casos en los que se extrae una bola blanca y una bola negra. Por último, el cuadrado de b expresa el número de casos en los que se extraen dos bolas negras.
Continuando de este modo, vemos en general que la potencia n-ésima del binomio a + b
expresa el número de todos los casos posibles en n extracciones; y que en el desarrollo de esta potencia el término multiplicado por la potencia m-ésima de a expresa el número de casos en los cuales se pueden extraer m bolas blancas y n - m bolas negras. Dividiendo entonces este término por la potencia entera del binomio, tendremos la probabilidad de extraer m bolas blancas y n - m bolas negras.
Siendo la razón de los números a y a + b la probabilidad de extraer una bola blanca en una extracción; y la razón de los números b y a + b la probabilidad de extraer una bola negra; si llamamos a estas probabilidades p y q, la probabilidad de extraer m bolas blancas en n extracciones será el término multiplicado por la potencia m-ésima de p en el desarrollo de la potencia n-ésima del binomio p + q; podemos ver que la suma p + q es la unidad. Esta propiedad notable del binomio es muy útil en la teoría de las probabilidades.
Pero el método más general y directo para resolver las cuestiones de probabilidad consiste en hacerlas depender de ecuaciones de diferencias.
Comparando los sucesivos estados de la función que expresa la probabilidad cuando aumentamos las variables en sus respectivas diferencias, la cuestión propuesta proporciona a menudo una proporción muy simple entre dichos estados.
Esta proporción es lo que se denomina ecuación de diferencias ordinarias o parciales; ordinarias cuando hay una sola variable, y parciales cuando son varias.
Consideremos algunos ejemplos de esto.
Tres jugadores de supuesta habilidad igual juegan bajo las siguientes condiciones: que uno de los dos primeros jugadores que venza a su adversario juegue contra el tercero, y si lo vence, el juego termina. Si es vencido, el vencedor juega contra el segundo hasta que uno de los jugadores haya derrotado consecutivamente a los otros dos, lo cual finaliza el juego.
Se pide la probabilidad de que el juego termine en un número determinado n de jugadas. Hallemos la probabilidad de que termine precisamente en la n-ésima jugada.
Para eso, el jugador que gana debe entrar en el juego en la jugada n - 1 y ganarla así en la jugada siguiente. Pero si en lugar de ganar la jugada n - 1 fuera vencido por su adversario, que acababa de vencer al otro jugador, el juego terminaría en esta jugada. Por lo tanto, la probabilidad de que uno de los jugadores entre en el juego en la jugada n - 1 y la gane es igual a la probabilidad de que el juego termine precisamente con esta jugada; y como este jugador debe ganar la jugada siguiente para que el juego termine en la n-ésima jugada, la probabilidad de este último caso será solo la mitad de la precedente.
Esta probabilidad es evidentemente una función del número n; esta función es entonces igual a la mitad de la misma función cuando n se reduce en una unidad. Esta igualdad forma una de esas ecuaciones llamadas ecuaciones diferenciales finitas ordinarias.
Podemos determinar fácilmente por su uso la probabilidad de que el juego termine precisamente en una jugada determinada. Es evidente que el juego no puede terminar antes de la segunda jugada; y para ello es necesario que aquel de los dos primeros jugadores que ha vencido a su adversario venza en la segunda jugada al tercer jugador; la probabilidad de que el juego termine en esta jugada es ½. De ahí que, en virtud de la ecuación precedente, concluyamos que las probabilidades sucesivas de que termine el juego son ¼ para la tercera jugada, ⅛ para la cuarta jugada, y así sucesivamente; y en general ½ elevado a la potencia n - 1 para la n-ésima jugada. La suma de todas estas potencias de ½ es la unidad menos la última de estas potencias; es la probabilidad de que el juego termine a más tardar en n jugadas.
Consideremos de nuevo el primer problema, más difícil, que puede resolverse mediante probabilidades y que Pascal propuso resolver a Fermat. Dos jugadores, A y B, de igual destreza, juegan bajo la condición de que el primero que venza al otro un número dado de veces ganará el juego y se llevará la suma de las apuestas; tras algunas tiradas, los jugadores acuerdan retirarse sin haber terminado el juego: nos preguntamos de qué manera debe dividirse la suma entre ellos.
Es evidente que las partes deben ser proporcionales a las respectivas probabilidades de ganar el juego. La cuestión se reduce entonces a la determinación de estas probabilidades.
Dependen evidentemente del número de puntos que le faltan a cada jugador para haber alcanzado el número dado. De ahí que la probabilidad de A sea una función de los dos números que llamaremos índices.
Si los dos jugadores acordaran jugar una tirada más (un acuerdo que no altera su condición, siempre que después de esta nueva tirada la división se haga siempre proporcionalmente a las nuevas probabilidades de ganar el juego), entonces o bien A ganaría esta tirada y en ese caso el número de puntos que le faltan se vería disminuido en una unidad, o bien el jugador B la ganaría y en ese caso el número de puntos que le faltan a este último jugador sería menor en una unidad.
Pero la probabilidad de cada uno de estos casos es ½; la función buscada es entonces igual a la mitad de esta función en la que disminuimos en una unidad el primer índice más la mitad de la misma función en la que la segunda variable se ve disminuida en una unidad. Esta igualdad es una de esas ecuaciones llamadas ecuaciones de diferenciales parciales.
Podemos determinar por su uso las probabilidades de A dividiendo los números más pequeños, y observando que la probabilidad o la función que la expresa es igual a la unidad cuando al jugador A no le falta ni un solo punto, o cuando el primer índice es cero, y que esta función se anula con el segundo índice.
Suponiendo así que al jugador A le falta un solo punto, hallamos que su probabilidad es ½, ¾, 7⁄8, etc., según le falte a B un punto, dos, tres, etc. Generalmente es entonces la unidad menos la potencia de ½, igual al número de puntos que le faltan a B.
Supondremos entonces que al jugador A le faltan dos puntos y su probabilidad se encontrará igual a ¼, ½, 11⁄16, etc., según le falte a B un punto, dos puntos, tres puntos, etc. Supondremos de nuevo que al jugador A le faltan tres puntos, y así sucesivamente.
Este modo de obtener los valores sucesivos de una cantidad por medio de su ecuación de diferencias es largo y laborioso. Los geómetras han buscado métodos para obtener la función general de los índices que satisfaga esta ecuación, de modo que para cualquier caso particular solo necesitemos sustituir en esta función los valores correspondientes de los índices.
Consideremos este tema de una manera general. Con este fin concibamos una serie de términos dispuestos a lo largo de una línea horizontal de modo que cada uno de ellos se derive del precedente según una ley dada. Supongamos que esta ley se expresa mediante una ecuación entre varios términos consecutivos y su índice, o el número que indica el rango que ocupan en la serie.
A esta ecuación la llamo ecuación de diferencias finitas por un solo índice. El orden o el grado de esta ecuación es la diferencia de rango de sus dos términos extremos. Podemos mediante su uso determinar sucesivamente los términos de la serie y continuarla indefinidamente; pero para ello es necesario conocer un número de términos de la serie igual al grado de la ecuación. Estos términos son las constantes arbitrarias de la expresión del término general de la serie o de la integral de la ecuación de diferencias.
Imagínemos ahora por debajo de los términos de la serie precedente una segunda serie de términos dispuestos horizontalmente; imaginemos de nuevo por debajo de los términos de la segunda serie una tercera serie horizontal, y así hasta el infinito; y supongamos los términos de todas estas series conectados por una ecuación general entre varios términos consecutivos, tomados tanto en el sentido horizontal como en el vertical, y los números que indican su rango en ambos sentidos. Esta ecuación se denomina ecuación de diferencias finitas parciales de dos índices.
Imaginemos del mismo modo, debajo del plano de la serie precedente, un segundo plano de series similares, cuyos términos deban colocarse respectivamente debajo de los del primer plano; imaginemos nuevamente debajo de este segundo plano un tercer plano de series similares, y así hasta el infinito; supongamos todos los términos de estas series conectados por una ecuación entre varios términos consecutivos tomados en el sentido de la longitud, la anchura y la profundidad, y los tres números que indican su rango en estos tres sentidos.
A esta ecuación la llamo ecuación de diferencias finitas parciales por tres índices.
Finalmente, considerando la cuestión de un modo abstracto e independientemente de las dimensiones del espacio, imaginemos en general un sistema de magnitudes que sean funciones de un cierto número de índices, y supongamos entre estas magnitudes, sus diferencias relativas respecto a estos índices y los índices mismos, tantas ecuaciones como magnitudes hay; estas ecuaciones serán diferencias finitas parciales respecto a un cierto número de índices.
Somos capaces por su uso de determinar sucesivamente estas magnitudes.
Pero del mismo modo que la ecuación con un solo índice requiere para ello que conozcamos un cierto número de términos de la serie, así la ecuación con dos índices requiere que conozcamos una o varias líneas de series cuyos términos generales deban ser expresados cada uno por una función arbitraria de uno de los índices.
De manera similar, la ecuación con tres índices requiere que conozcamos uno o varios planos de series, cuyos términos generales deban ser expresados cada uno por una función arbitraria de dos índices, y así sucesivamente.
En todos estos casos podremos, mediante eliminaciones sucesivas, determinar un cierto término de la serie.
Pero como todas las ecuaciones entre las cuales eliminamos están comprendidas en el mismo sistema de ecuaciones, todas las expresiones de los términos sucesivos que obtenemos mediante estas eliminaciones deben estar comprendidas en una expresión general, una función de los índices que determinan el rango del término.
Esta expresión es la integral de la ecuación de diferencias propuesta, y su búsqueda es el objeto del cálculo integral.
Taylor es el primero que en su obra titulada Metodus incrementorum ha considerado las ecuaciones lineales de diferencias finitas. Da el modo de integrar aquellas de primer orden con un coeficiente y un último término, funciones del índice. En verdad, las relaciones de los términos de las progresiones aritméticas y geométricas que siempre se han tenido en consideración son los casos más sencillos de las ecuaciones lineales de diferencias; pero no habían sido consideradas desde este punto de vista. Era uno de esos [casos] que, vinculándose a teorías generales, conducen a estas teorías y son, por consiguiente, verdaderos descubrimientos.
Por la misma época, Moivre consideraba, bajo el nombre de series recurrentes, las ecuaciones de diferencias finitas de cierto orden que tienen un coeficiente constante.
Logró integrarlas de un modo muy ingenioso. Como siempre es interesante seguir los progresos de los inventores, expondré el método de Moivre aplicándolo a una serie recurrente cuya relación entre tres términos consecutivos es dada.
Primero considera la relación entre los términos consecutivos de una progresión geométrica o la ecuación de dos términos que la expresa. Refiriéndola a términos menores que la unidad, la multiplica en este estado por un factor constante y resta el producto de la primera ecuación. Obtiene así una ecuación entre tres términos consecutivos de la progresión geométrica.
Moivre considera a continuación una segunda progresión cuya razón de términos es el mismo factor que acaba de utilizar. Disminuye de manera similar en la unidad el índice de los términos de la ecuación de esta nueva progresión. En esta condición la multiplica por la razón de los términos de la primera progresión, y resta el producto de la ecuación de la segunda progresión, lo que le da entre tres términos consecutivos de esta progresión una relación enteramente similar a la que ha encontrado para la primera progresión.
Luego observa que si se suman término a término las dos progresiones, existe la misma razón entre cualesquiera tres de estos términos consecutivos. Compara los coeficientes de esta razón con los de la relación de los términos de la serie recurrente propuesta, y encuentra para determinar las razones de las dos progresiones geométricas una ecuación de segundo grado, cuyas raíces son estas razones.
Así descompone Moivre la serie recurrente en dos progresiones geométricas, cada una multiplicada por una constante arbitraria que determina mediante los dos primeros términos de la serie recurrente.
Este ingenioso procedimiento es de hecho el que d'Alembert ha empleado desde entonces para la integración de ecuaciones lineales de diferencias infinitamente pequeñas con coeficientes constantes, y que Lagrange ha transformado en ecuaciones similares de diferencias finitas.
Finalmente, he considerado las ecuaciones lineales de diferencias parciales, primero bajo el nombre de series recurro-recurrentes y después con su propio nombre.
La manera más general y más simple de integrar todas estas ecuaciones me parece ser aquella en la que me he basado, fundamentada en la consideración de las funciones discriminantes, cuya idea aquí se expone.
Si concebimos una función V de una variable t desarrollada según las potencias de esta variable, el coeficiente de cualquiera de estas potencias será una función del exponente o índice de esta potencia, cuyo índice llamaré x. V es lo que denomino la función discriminante de este coeficiente o de la función del índice.
Ahora bien, si multiplicamos la serie del desarrollo de V por una función de la misma variable, tal, por ejemplo, como la unidad más dos veces esta variable, el producto será una nueva función discriminante en la cual el coeficiente de la potencia x de la variable t será igual al coeficiente de la misma potencia en V más dos veces el coeficiente de la potencia menos la unidad.
Así, la función del índice x en el producto será igual a la función del índice x en V más dos veces la misma función en la cual el índice se ve disminuido por la unidad. Esta función del índice x es de este modo una derivada de la función del mismo índice en el desarrollo de V, una función a la que llamaré la función primitiva del índice.
Designemos la función derivada por la letra que d'Alembert antepuso a la función primitiva. La derivación indicada por esta letra dependerá del multiplicador de V, al que llamaremos T y que supondremos desarrollado como V según la razón respecto a las potencias de la variable t.
Si volvemos a multiplicar por T el producto de V por T, lo que equivale a multiplicar V por T², formaremos una tercera función discriminante, en la cual el coeficiente de la potencia x-ésima de t será una derivada similar al coeficiente correspondiente del producto precedente; se podrá expresar mediante el mismo carácter δ colocado delante de la derivada precedente, y entonces este carácter se escribirá dos veces ante la función primitiva de x. Pero en lugar de escribirlo así dos veces, le ponemos un 2 como exponente.
Continuando así, vemos en general que si multiplicamos V por la n-ésima potencia de T, tendremos el coeficiente de la potencia x-ésima de t en el producto de V por la n-ésima potencia de T colocando ante la función primitiva el carácter δ con n como exponente.
Supongamos, por ejemplo, que T sea la unidad dividida por t; entonces, en el producto de V por T, el coeficiente de la potencia x-ésima de t será el coeficiente de la potencia mayor en una unidad en V; este coeficiente en el producto de V por la potencia n-ésima de T será entonces la función primitiva en la cual x está aumentada en n unidades.
Consideremos ahora una nueva función Z de t, desarrollada como V y T según las potencias de t; designemos por el carácter Δ colocado ante la función primitiva el coeficiente de la potencia x-ésima de t en el producto de V por Z; este coeficiente en el producto de V por la potencia n-ésima de Z se expresará por el carácter Δ afectado por el exponente n y colocado ante la función primitiva de x.
Si, por ejemplo, Z es igual a la unidad dividida por t menos uno, el coeficiente de la potencia x-ésima de t en el producto de V por Z será el coeficiente de la potencia x + 1 de t en V menos el coeficiente de la potencia x-ésima. Será entonces la diferencia finita de la función primitiva del índice x. Entonces el carácter Δ indica una diferencia finita de la función primitiva en el caso en que el índice varía en una unidad; y la potencia n-ésima de este carácter colocada delante de la función primitiva indicará la diferencia finita n-ésima de esta función.
Si suponemos que T sea la unidad dividida por t, tendremos T igual al binomio Z + 1. El producto de V por la potencia n-ésima de T será entonces igual al producto de V por la potencia n-ésima del binomio Z + 1. Desarrollando esta potencia en la razón de las potencias de Z, el producto de V por los diversos términos de este desarrollo serán las funciones discriminantes de estos mismos términos en las cuales sustituimos en lugar de las potencias de Z las diferencias finitas correspondientes de la función primitiva del índice.
Ahora bien, el producto de V por la n-ésima potencia de T es la función primitiva en la que el índice x está aumentado en n unidades; volviendo a pasar de las funciones discriminantes a sus coeficientes, tendremos esta función primitiva así aumentada igual al desarrollo de la n-ésima potencia del binomio Z + 1, con la condición de que en este desarrollo sustituyamos en lugar de las potencias de Z las diferencias correspondientes de la función primitiva y que multipliquemos el término independiente de estas potencias por la función primitiva. Obtendremos así la función primitiva cuyo índice está aumentado en cualquier número n por medio de sus diferencias.
Suponiendo que T y Z tienen siempre los valores precedentes, tendremos Z igual al binomio T - 1; el producto de V por la potencia n-ésima de Z será entonces igual al producto de V por el desarrollo de la potencia n-ésima del binomio T - 1.
Repasando de las funciones discriminantes a sus coeficientes como acaba de hacerse, tendremos la diferencia n-ésima de la función primitiva expresada por el desarrollo de la potencia n-ésima del binomio T - 1, en el cual sustituimos las potencias de T por esta misma función cuyo índice está aumentado por el exponente de la potencia, y el término independiente de t, que es la unidad, por la función primitiva, lo que da esta diferencia por medio de los términos consecutivos de dicha función.
Colocando δ antes de la función primitiva que expresa la derivada de esta función, que multiplica la potencia x de t en el producto de V por T, y Δ expresando la misma derivada en el producto de V por Z, somos conducidos
por lo que precede a este resultado general: cualquiera que sea la función de la variable t representada por T y Z, podemos, en el desarrollo de todas las ecuaciones idénticas susceptibles de ser formadas entre estas funciones, sustituir los caracteres δ y Δ en lugar de T y Z, con la condición de que escribamos la función primitiva del índice en serie con las potencias y con los productos de las potencias de los caracteres, y de que multipliquemos por esta función los términos independientes de estos caracteres.
Por medio de este resultado general podemos transformar cualquier potencia determinada de una diferencia de la función primitiva del índice x, en la cual x varía de uno en uno, en una serie de diferencias de la misma función en la cual x varía en un cierto número de unidades, y recíprocamente.
Supongamos que T sea la i-ésima potencia de la unidad dividida por t - 1, y que Z sea siempre la unidad dividida por t - 1; entonces el coeficiente de la x-ésima potencia de t en el producto de V por T será el coeficiente de la potencia x + i de t en V menos el coeficiente de la x-ésima potencia de t; será entonces la diferencia finita de la función primitiva del índice x en la cual variamos este índice en el número i.
Es fácil ver que T es igual a la diferencia entre la i-ésima potencia del binomio Z + 1 y la unidad. La n-ésima potencia de T es igual a la n-ésima potencia de esta diferencia. Si en esta igualdad sustituimos en lugar de T y Z los caracteres δ y Δ, y tras el desarrollo colocamos al final de cada término la función primitiva del índice x, obtendremos la n-ésima diferencia de esta función en la cual x varía en i unidades expresada mediante una serie de diferencias de la misma función en la cual x varía de uno en uno.
Esta serie no es sino una transformación de la diferencia que expresa y que es idéntica a ella; pero en transformaciones semejantes radica el poder del análisis.
La generalidad del análisis nos permite suponer en esta expresión que n es negativo. Entonces las potencias negativas de δ y Δ indican las integrales.
En efecto, siendo la diferencia n-ésima de la función primitiva que tiene por función discriminante el producto de V por la potencia n-ésima del binomio dividido por t menos la unidad, la función primitiva que es la integral n-ésima de esta diferencia tiene por función discriminante la de la misma diferencia multiplicada por la potencia n-ésima tomada negativamente del binomio dividido por t menos uno, potencia a la cual corresponde la misma potencia del carácter Δ; esta potencia indica entonces una integral del mismo orden, variando el índice x en una unidad; e igualmente las potencias negativas de δ indican las integrales variando x en i unidades.
Vemos, pues, de la manera más clara y sencilla la racionalidad del análisis observado entre las potencias positivas y las diferencias, y entre las potencias negativas y las integrales.
Si la función indicada por δ colocada antes de la función primitiva es cero, tendremos una ecuación de diferencias finitas, y V será la función discriminante de su integral.
Para obtener esta función discriminante observaremos que en el producto de V por T todas las potencias de t deben desaparecer, excepto las potencias inferiores al orden de la ecuación de diferencias; V es entonces igual a una fracción cuyo denominador es T y cuyo numerador es un polinomio en el cual la potencia más alta de t es menor en una unidad que el orden de la
ecuación de diferencias. Los coeficientes arbitrarios de las diversas potencias de t en este polinomio, incluida la potencia cero, estarán determinados por otros tantos valores de la función primitiva del índice cuando hacemos sucesivamente que x sea igual a cero, a uno, a dos, etc.
Cuando la ecuación en diferencias es dada, determinamos T poniendo todos sus términos en el primer miembro y cero en el segundo; sustituyendo en el primer miembro la unidad en lugar de la función que tiene el índice más grande; la primera potencia de t en lugar de la función primitiva en la cual este índice está disminuido en una unidad; la segunda potencia de t para la función primitiva donde este índice está disminuido en dos unidades, y así sucesivamente. El coeficiente de la potencia x-ésima de t en el desarrollo de la expresión precedente de V será la función primitiva de x o la integral de la ecuación de diferencias finitas.
El análisis proporciona para este desarrollo diversos medios, entre los cuales podemos elegir aquel que sea más adecuado para la cuestión propuesta; esta es una ventaja de este método de integración.
Concebimos ahora que V sea una función de las dos variables t y t´ desarrollada según las potencias y los productos de estas variables; el coeficiente de cualquier producto de las potencias x y x´ de t y t´ será una función de los exponentes o índices x y x´ de estas potencias; a esta función la llamaré función primitiva de la cual V es la función discriminante.
Multipliquemos V por una función T de las dos variables t y t´ desarrollada como V en razón de las potencias y de los productos de estas variables; el producto será la función discriminante de una derivada de la función primitiva; si T, por ejemplo, es igual a la variable t más la variable t´ menos dos, esta derivada será la función primitiva de la cual disminuimos en la unidad el índice x más esta misma función primitiva de la cual disminuimos en la unidad el índice x´ menos dos veces la función primitiva.
Designando lo que sea que T pueda ser por el carácter δ colocado delante de la función primitiva, esta derivada, el producto de V por la enésima potencia de T, será la función discriminante de la derivada de la función primitiva delante de la cual se coloca la enésima potencia del carácter δ.
De aquí resultan los teoremas análogos a aquellos que son relativos a funciones de una sola variable.
Supongamos que la función indicada por el carácter δ sea cero; se tendrá una ecuación de diferencias parciales.
Si, por ejemplo, hacemos como antes que T sea igual a la variable t más la variable t´ - 2, tenemos cero igual a la función primitiva de la cual disminuimos en la unidad el índice x más la misma función de la cual disminuimos en la unidad el índice x´ menos dos veces la función primitiva. La función discriminante V de la función primitiva o de la integral de esta ecuación debe ser entonces tal que su producto por T no incluya en absoluto los productos de t por t´; pero V puede incluir por separado las potencias de t y las de t´, es decir, una función arbitraria de t y una función arbitraria de t´; V es entonces una fracción cuyo numerador es la suma de estas dos funciones arbitrarias y cuyo denominador es T. El coeficiente del producto de la potencia x-ésima de t por la potencia x´-ésima de t´ en el desarrollo de esta fracción será entonces la integral de la ecuación precedente de diferencias parciales. Este método de integrar esta clase de ecuaciones me parece el más simple y el más fácil mediante el empleo de los diversos procesos analíticos para el desarrollo de fracciones racionales.
Los detalles más amplios sobre este asunto apenas se entenderían sin la ayuda del cálculo.
Considerando las ecuaciones de diferencias parciales infinitamente pequeñas como ecuaciones de diferencias parciales finitas en las que nada se desprecia, podemos arrojar luz sobre los puntos oscuros de su cálculo, los cuales han sido objeto de grandes discusiones entre los geómetras.
Es así como he demostrado la posibilidad de introducir funciones discontinuas en sus integrales, siempre que la discontinuidad tenga lugar únicamente para los diferenciales del orden de estas ecuaciones o de un orden superior.
Los resultados trascendentes del cálculo son, como todas las abstracciones del entendimiento, signos generales cuyo verdadero significado solo puede determinarse volviendo por medio del análisis metafísico a las ideas elementales que a ellos han conducido; esto presenta a menudo grandes dificultades, pues la mente humana se esfuerza aún menos en transportarse hacia el futuro que en replegarse sobre sí misma.
La comparación de las diferencias infinitamente pequeñas con las diferencias finitas es capaz de arrojar asimismo gran luz sobre la metafísica del cálculo infinitesimal.
Es fácil demostrar que, siendo la diferencia finita n-ésima de una función en la que el incremento de la variable es E dividida por la potencia n-ésima de E, el cociente reducido en serie por razón de las potencias del incremento E está formado por un primer término independiente de E. En la medida en que E disminuye, la serie se aproxima cada vez más a este primer término del cual solo puede diferir en cantidades menores que cualquier magnitud asignable.
Este término es entonces el límite de la serie y expresa en el cálculo diferencial la diferencia n-ésima infinitamente pequeña de la función dividida por la potencia n-ésima del incremento infinitamente pequeño.
Considerando desde este punto de vista las diferencias infinitamente pequeñas, vemos que las diversas operaciones del cálculo diferencial se reducen a comparar por separado, en el desarrollo de expresiones idénticas, los términos finitos o aquellos independientes de los incrementos de las variables que se consideran como infinitamente pequeños; esto es rigurosamente exacto, siendo dichos incrementos indeterminados.
Así, el cálculo diferencial tiene toda la exactitud de las demás operaciones algebraicas.
La misma exactitud se encuentra en las aplicaciones del cálculo diferencial a la geometría y a la mecánica. Si imaginamos una curva cortada por una secante en dos puntos adyacentes, llamando E al intervalo de las ordenadas de estos dos puntos, E será el incremento de la abscisa desde la primera hasta la segunda ordenada.
Es fácil ver que el incremento correspondiente de la ordenada será el producto de E por la primera ordenada dividida por su subsecante; aumentando entonces en esta ecuación de la curva la primera ordenada por este incremento, tendremos la ecuación relativa a la segunda ordenada.
La diferencia de estas dos ecuaciones será una tercera ecuación que, desarrollada según la razón de las potencias de E y dividida por E, tendrá su primer término independiente de E, el cual será el límite de este desarrollo. Este término, igual a cero, dará entonces el límite de las subsecantes, un límite que es evidentemente la subtangente.
Este método singularmente feliz para obtener la subtangente se debe a Fermat, quien lo ha extendido a las curvas trascendentes.
Este gran geómetra expresa mediante el carácter E el incremento de la abscisa; y considerando únicamente la primera potencia de este incremento, determina exactamente como nosotros mediante el cálculo diferencial las subtangentes de las curvas, sus puntos de inflexión, los máximos y mínimos de sus ordenadas, y en general los de las funciones racionales.
Vemos asimismo por su bella solución del problema de la refracción de la luz insertada en la Colección de las cartas de Descartes que sabe cómo extender sus métodos a las funciones irracionales liberándolas de las irracionalidades mediante la elevación de las raíces a potencias.
Fermat debe ser considerado, por tanto, como el verdadero descubridor del cálculo diferencial.
Newton ha hecho desde entonces este cálculo más analítico en su Método de las fluxiones, y ha simplificado y generalizado los procedimientos mediante su bello teorema del binomio.
Finalmente, alrededor de la misma época, Leibnitz ha enriquecido el cálculo diferencial con una notación que, al indicar el paso de lo finito a lo infinitamente pequeño, añade a la ventaja de expresar los resultados generales del cálculo la de dar los primeros valores aproximados de las diferencias y de las sumas de las cantidades; esta notación se adapta por sí misma al cálculo de las diferenciales parciales.
A menudo somos conducidos a expresiones que contienen tantos términos y factores que las sustituciones numéricas son impracticables. Esto ocurre en cuestiones de probabilidad cuando consideramos un gran número de eventos.
Mientras tanto, es necesario tener el valor numérico de las fórmulas para saber con qué probabilidad se indican los resultados que los eventos desarrollan por multiplicación. Es necesario especialmente tener el
ley según la cual esta probabilidad se acerca continuamente a la certeza, que finalmente alcanzaría si el número de acontecimientos fuera infinito. Para obtener esta ley consideré que las integrales definidas de los diferenciales multiplicados por los factores elevados a grandes potencias darían por integración fórmulas compuestas por un gran número de términos y factores.
Esta observación me condujo a la idea de transformar en integrales similares las expresiones complicadas del análisis y las integrales de la ecuación de diferencias. Cumplí esta condición mediante un método que da al mismo tiempo la función comprendida bajo el signo de la integral y los límites de la integración.
Ofrece esta cosa notable, que la función es la misma función discriminante de las expresiones y de las ecuaciones propuestas; esto adscribe este método a la teoría de las funciones discriminantes de la cual es así el complemento.
Además, solo se trataría de reducir la integral definida a una serie convergente. Esto lo he obtenido mediante un proceso que hace converger la serie con tanta más rapidez cuanto más complicada es la fórmula que representa, de modo que es más exacta cuanto más necesaria se vuelve.
Frecuentemente la serie tiene por factor la raíz cuadrada de la razón de la circunferencia al diámetro; a veces depende de otros trascendentes cuyo número es infinito.
Una observación importante que concierne a la gran generalidad del análisis, y que nos permite extender este método a las fórmulas y a las ecuaciones de diferencias que la teoría de la probabilidad presenta con mayor frecuencia, es que las series a las que se llega al suponer que los límites de las integrales definidas son reales y positivos tienen lugar igualmente en el caso en que la ecuación que determina estos límites solo tiene raíces negativas o imaginarias.
Estas transiciones de lo positivo a lo negativo y de lo real a lo imaginario, de las que fui el primero en hacer uso, me han conducido además a los valores de muchas integrales definidas singulares, que en consecuencia he demostrado directamente.
Podemos considerar entonces estas transiciones como un medio de descubrimiento paralelo a la inducción y a la analogía, empleados durante mucho tiempo por los geómetras, al principio con extrema reserva, después con entera confianza, ya que un gran número de ejemplos ha justificado su uso. Entre tanto, siempre es necesario confirmar mediante demostraciones directas los resultados obtenidos por estos diversos medios.
He denominado al conjunto de los métodos precedentes Cálculo de las Funciones Discriminantes; este cálculo sirve de base para el trabajo que he publicado bajo el título de Teoría Analítica de las Probabilidades.
Está conectado con la idea simple de indicar las multiplicaciones repetidas de una cantidad por sí misma, o sus potencias enteras y positivas, escribiendo hacia la parte superior de la letra que la expresa los números que señalan los grados de estas potencias.
Esta notación, empleada por Descartes en su Geometría y adoptada por lo general desde la publicación de esta importante obra, es una pequeña cosa, especialmente si se la compara con la teoría de las curvas y de las funciones variables mediante la cual este gran geómetra ha establecido los fundamentos del cálculo moderno.
Pero como el lenguaje del análisis, el más perfecto de todos, es en sí mismo un poderoso instrumento de descubrimientos, sus notaciones, en especial cuando son necesarias y felizmente concebidas, son otros tantos gérmenes de nuevos cálculos. Esto se hace perceptible mediante este ejemplo.
Wallis, que en su obra titulada Arithmetica Infinitorum, una de las que más han contribuido al progreso del análisis, se ha interesado especialmente en seguir el hilo de la inducción y la analogía, consideró que si se divide el exponente de una letra por dos, tres, etc., el cociente será, según la notación cartesiana, y cuando la división es posible, el exponente de la raíz cuadrada, cúbica, etc., de la cantidad que representa la letra elevada al exponente del dividendo. Extendiendo por analogía este resultado al caso en que la división es imposible, consideró una cantidad elevada a un exponente fraccionario como la raíz del grado indicado por el denominador de esta fracción —a saber, de la cantidad elevada a una potencia indicada por el numerador—.
Observó entonces que, según la notación cartesiana, la multiplicación de dos potencias de una misma letra equivale a sumar sus exponentes, y que su división equivale a restar el exponente de la potencia del divisor del de la potencia del dividendo, cuando el segundo de estos exponentes es mayor que el primero.
Wallis extendió este resultado al caso en que el primer exponente es igual o mayor que el segundo, lo que hace que la diferencia sea cero o negativa. Supuso entonces que un exponente negativo indica la unidad dividida por la cantidad elevada al mismo exponente tomado positivamente.
Estas observaciones lo llevaron a integrar de manera general los diferenciales monómicos, de donde infirió las integrales definidas de un tipo particular de diferenciales binómicos cuyo exponente es un número entero positivo.
La observación pues de la ley de los números que expresan estas integrales, una serie de interpolaciones y felices inducciones donde se percibe el germen del cálculo de integrales definidas que tanto ha ejercitado a los geómetras y que es uno de los fundamentos de mi nueva Teoría de las Probabilidades, le dio la razón del área del círculo al cuadrado de su diámetro expresada por un producto infinito, el cual, al detenerlo, confina esta razón a límites cada vez más convergentes; este es uno de los resultados más singulares en el análisis.
Pero es notable que Wallis, que había considerado tan bien los exponentes fraccionarios de las potencias radicales, hubiera seguido anotando estas potencias como se había hecho antes que él. Newton en sus Cartas a Oldembourg, si no me equivoco, fue el primero en emplear la notación de estas potencias mediante exponentes fraccionarios.
Comparando por la vía de la inducción, de la cual Wallis había hecho un uso tan bello, los exponentes de las potencias del binomio con los coeficientes de los términos de su desarrollo en el caso en que este exponente es entero y positivo, determinó la ley de estos coeficientes y la extendió por analogía a las potencias fraccionarias y negativas.
Estos diversos resultados, basados en la notación de Descartes, muestran su influencia en el progreso del análisis. Este todavía tiene la ventaja de dar la idea más simple y justa de los logaritmos, que en realidad no son más que los exponentes de una magnitud cuyas sucesivas potencias, crecientes en grados infinitamente pequeños, pueden representar todos los números.
Pero la extensión más importante que ha recibido esta notación es la de los exponentes variables, que constituye el cálculo exponencial, una de las ramas más fructíferas del análisis moderno.
Leibniz fue el primero en indicar las trascendentes mediante exponentes variables, completando con ello el sistema de elementos de los que puede componerse una función finita; pues toda función finita explícita de una variable puede reducirse, en última instancia, a magnitudes simples, combinadas por el método de adición, sustracción, multiplicación y división, y elevadas a potencias constantes o variables.
Las raíces de las ecuaciones formadas a partir de estos elementos son las funciones implícitas de la variable. Es así como una variable tiene por logaritmo el exponente de la potencia que le es igual en la serie de las potencias del número cuyo logaritmo hiperbólico es la unidad, y el logaritmo de una variable de esta es una función implícita.
Leibnitz pensó en dar a su carácter diferencial los mismos exponentes que a las magnitudes; pero entonces, en lugar de indicar las multiplicaciones repetidas de una misma magnitud, estos exponentes indican las diferenciaciones repetidas de una misma función. Esta nueva extensión de la notación cartesiana condujo a Leibnitz a la analogía de las potencias positivas con los diferenciales, y de las potencias negativas con las integrales.
Lagrange ha seguido esta singular analogía en todos sus desarrollos; y mediante una serie de inducciones que pueden considerarse como una de las más bellas aplicaciones que jamás se hayan hecho del método de inducción, ha llegado a fórmulas generales tan curiosas como útiles sobre las transformaciones de las diferencias y de las integrales unas en otras cuando las variables tienen diversos incrementos finitos y cuando estos incrementos son infinitamente pequeños.
Pero no ha dado las demostraciones de ello, que le parecen difíciles. La teoría de las funciones discriminantes extiende las notaciones cartesianas a algunos de sus caracteres; muestra con pruebas la analogía de las potencias y operaciones indicadas por estos caracteres; de modo que aún puede considerarse como el cálculo exponencial de los caracteres. Todo lo concerniente a las series y a la integración de ecuaciones de diferencias surge de ella con extrema facilidad.