# CAPÍTULO VIII. DE LAS LEYES DE PROBABILIDAD QUE RESULTAN DE LA MULTIPLICACIÓN INDEFINIDA DE LOS ACONTECIMIENTOS.
En medio de las causas variables y desconocidas que comprendemos bajo el nombre de azar, y que hacen incierta e irregular la marcha de los acontecimientos, vemos aparecer, a medida que estos se multiplican, una regularidad sorprendente que parece obedecer a un diseño y que ha sido considerada como una prueba de la Providencia.
Pero al reflexionar sobre esto, pronto reconocemos que esta regularidad no es más que el desarrollo de las respectivas posibilidades de los acontecimientos simples, los cuales deben presentarse con mayor frecuencia cuanto más probables son.
Imaginemos, por ejemplo, una urna que contiene bolas blancas y bolas negras; y supongamos que cada vez que se extrae una bola, esta es devuelta a la urna antes de proceder a una nueva extracción. La razón entre el número de bolas blancas extraídas y el número de bolas negras extraídas será las más de las veces muy irregular en las primeras extracciones; pero las causas variables de esta irregularidad producen efectos alternativamente favorables y desfavorables para la marcha regular de los acontecimientos, los cuales se destruyen mutuamente en la totalidad de un gran número de extracciones, permitiéndonos percibir cada vez mejor la razón de las bolas blancas respecto a las bolas negras contenidas en la urna, o las respectivas posibilidades de extraer una bola blanca o una bola negra en cada extracción. De esto resulta el teorema siguiente.
La probabilidad de que la proporción del número de bolas blancas extraídas con respecto al número total de bolas extraídas no se desvíe más allá de un intervalo dado de la proporción entre el número de bolas blancas y el número total de bolas contenidas en la urna, se aproxima indefinidamente a la certeza mediante la multiplicación indefinida de los acontecimientos, por pequeño que sea este intervalo.
Este teorema indicado por el sentido común era difícil de demostrar por el análisis. En consecuencia, el ilustre geómetra Jacques Bernoulli, que se ocupó de él por primera vez, concede gran importancia a las demostraciones que ha dado.
El cálculo de las funciones discriminantes aplicado a esta materia no solo demuestra con facilidad este teorema, sino que además da la probabilidad de que la razón de los eventos observados se desvíe únicamente dentro de ciertos límites de la verdadera razón de sus respectivas posibilidades.
Del teorema precedente puede deducirse esta consecuencia, que debe considerarse como una ley general: a saber, que las razones de los actos de la naturaleza son casi exactamente constantes cuando dichos actos se consideran en gran número.
Así pues, a pesar de la variedad de los años, la suma de las producciones durante un número considerable de años es sensiblemente la misma; de modo que el hombre, mediante una previsión útil, puede prevenir la irregularidad de las estaciones distribuyendo equitativamente entre todas ellas los bienes que la naturaleza reparte de manera desigual.
No excluyo de la ley anterior los resultados debidos a causas morales. La razón entre los nacimientos anuales y la población, y la de los matrimonios respecto a los nacimientos, muestran solo pequeñas variaciones; en París, el número de nacimientos anuales es casi el mismo, y he oído decir que en la oficina de correos, en las estaciones ordinarias, el número de cartas descartadas a causa de direcciones defectuosas cambia poco cada año; esto mismo se ha observado en Londres.
Se sigue de nuevo de este teorema que en una serie de acontecimientos indefinidamente prolongada la acción de las causas regulares y constantes debe prevalecer a la larga sobre la de las causas irregulares.
Es esto lo que hace que las ganancias de las loterías sean tan ciertas como los productos de la agricultura; las probabilidades que se reservan les aseguran un beneficio en la totalidad de un gran número de tiradas.
Por consiguiente, estando las oportunidades favorables y numerosas constantemente unidas a la observación de los eternos principios de la razón, de la justicia y de la humanidad que establecen y mantienen a las sociedades, hay una gran ventaja en conformarse a dichos principios y un grave inconveniente en apartarse de ellos.
Si se consultan las historias y la propia experiencia, se verá que todos los hechos acuden en auxilio de este resultado del cálculo.
- Considerad los felices efectos de las instituciones fundadas sobre la razón y los derechos naturales del hombre entre los pueblos que han sabido establecerlas y preservarlas.
- Considerad también las ventajas que la buena fe ha procurado a los gobiernos que han hecho de ella la base de su conducta y cómo han sido indemnizados por los sacrificios que les ha costado una escrupulosa exactitud en cumplir sus compromisos.
¡Qué inmenso crédito en el interior! ¡Qué preponderancia en el exterior!
Por el contrario, considerad en qué abismo de desgracias han sido precipitadas a menudo las naciones por la ambición y la perfidia de sus jefes.
Cada vez que una gran potencia, embriagada por el amor a la conquista, aspira a la dominación universal, el sentimiento de independencia produce entre las naciones amenazadas una coalición de la cual se convierte casi siempre en víctima.
Del mismo modo, en medio de las causas variables que extienden o restringen los diversos Estados, los límites naturales, al actuar como causas constantes, deben terminar por prevalecer. Es importante, pues, tanto para la estabilidad como para la felicidad de los imperios, no extenderlos más allá de aquellos límites hacia los cuales son conducidos de nuevo sin cesar por la acción de dichas causas; al igual que las aguas de los mares, levantadas por violentas tempestades, vuelven a caer en sus cuencas por la fuerza de la gravedad. Es una vez más el resultado del cálculo de probabilidades, confirmado por numerosas y melancólicas experiencias.
La historia tratada desde el punto de vista de la influencia de las causas constantes uniría al interés de la curiosidad el de ofrecer al hombre las más útiles lecciones.
A veces atribuimos los resultados inevitables de estas causas a las circunstancias accidentales que han producido su acción. Es, por ejemplo, contrario a la naturaleza de las cosas que un pueblo sea jamás gobernado por otro cuando un mar vasto o una gran distancia los separa.
Puede afirmarse que, a la larga, esta causa constante, uniéndose sin cesar a las causas variables que obran del mismo modo y que el curso del tiempo desarrolla, terminará por hallarlas suficientemente fuertes como para devolver a un pueblo subyugado su independencia natural o para unirlo a un estado poderoso que le sea contiguo.
En un gran número de casos, y estos son los más importantes del análisis de riesgos, las probabilidades de los sucesos simples son desconocidas y nos vemos forzados a buscar en los acontecimientos pasados los indicios que puedan guiarnos en nuestras conjeturas sobre las causas de las cuales dependen.
Al aplicar el análisis de funciones discriminantes al principio elucidado anteriormente sobre la probabilidad de las causas deducidas de los eventos observados, somos conducidos al siguiente teorema.
Cuando un acontecimiento simple, o uno compuesto de varios acontecimientos simples, como, por ejemplo, en un juego, se ha repetido un gran número de veces, las posibilidades de los acontecimientos simples que hacen que sea más probable lo que se ha observado son aquellas que la observación indica con la mayor probabilidad; en la medida en que el evento observado se repite, esta probabilidad aumenta y acabaría equivaliendo a la certeza si el número de repeticiones llegase a ser infinito.
Hay dos clases de aproximaciones: la una es relativa a los límites tomados por todos lados de las posibilidades que dan al pasado la mayor probabilidad; la otra aproximación está relacionada con la probabilidad de que estas posibilidades caigan dentro de estos límites.
La repetición del evento compuesto aumenta cada vez más esta probabilidad, permaneciendo iguales los límites; reduce cada vez más el intervalo de estos límites, permaneciendo igual la probabilidad; en el infinito este intervalo se vuelve cero y la probabilidad se convierte en certeza.
Si aplicamos este teorema a la razón entre los nacimientos de niños y los de niñas observada en los diferentes países de Europa, hallamos que esta razón, que es en todas partes poco más o menos igual a la de 22 a 21, indica con una probabilidad extrema una mayor facilidad en el nacimiento de varones.
Considerando además que es la misma en Nápoles y en San Petersburgo, veremos que a este respecto la influencia del clima carece de efecto. Podríamos sospechar entonces, en contra de la creencia común, que este predominio de los nacimientos masculinos existe incluso en el Oriente.
He invitado en consecuencia a los sabios franceses enviados a Egipto a que se ocupen de esta interesante cuestión; pero la dificultad para obtener información exacta sobre los nacimientos no les ha permitido resolverla.
Felizmente, el Sr. de Humboldt no ha descuidado este asunto entre las innumerables cosas nuevas que ha observado y recogido en América con tanta sagacidad, constancia y valor. Él ha hallado en los trópicos la misma razón de los nacimientos que observamos en París; esto debe hacernos considerar el mayor número de nacimientos masculinos como una ley general del género humano.
Las leyes que las diferentes especies de animales siguen a este respecto me parecen dignas de la atención de los naturalistas.
El hecho de que la razón entre los nacimientos de niños y los de niñas difiera muy poco de la unidad, incluso en el gran número de nacimientos observados en un lugar, ofrecería a este respecto un resultado contrario a la ley general, sin la cual tendríamos razón para concluir que esta ley no existía. Para llegar a este resultado es necesario emplear grandes números y estar seguros de que está indicado por una gran probabilidad. Buffon cita, por ejemplo, en su Aritmética política varias comunidades de Borgoña donde los nacimientos de niñas han superado a los de niños. Entre estas comunidades, la de Carcelle-le-Grignon presenta, en 2009 nacimientos durante cinco años, 1026 niñas y 983 niños. Aunque estos números son considerables, indican, sin embargo, solo una mayor posibilidad en los nacimientos de niñas con una probabilidad de 9⁄10, y esta probabilidad, menor que la de no sacar cara cuatro veces seguidas en el juego de caras y cruces, no es suficiente para investigar la causa de esta anomalía, la cual, según toda probabilidad, desaparecería si se siguieran durante un siglo los nacimientos en esta comunidad.
Los registros de nacimientos, que se llevan con cuidado con el fin de asegurar la condición de los ciudadanos, pueden servir para determinar la población de un gran imperio sin recurrir a la enumeración de sus habitantes —una operación laboriosa y difícil de realizar con exactitud—. Pero para ello es necesario conocer la proporción entre la población y los nacimientos anuales. El medio más preciso de obtenerla consiste, primero, en elegir en el imperio distritos distribuidos de un modo casi igual por toda su superficie, de modo que el resultado general sea independiente de las circunstancias locales; segundo, en enumerar con cuidado para una época dada los habitantes de varias comunidades en cada uno de estos distritos; tercero, en determinar a partir de la relación de los nacimientos durante varios años anteriores y posteriores a esta época el número medio correspondiente a los nacimientos anuales. Este número, dividido por el de los habitantes, dará la proporción entre los nacimientos anuales y la población de un modo cada vez más exacto a medida que la enumeración sea más considerable.
El gobierno, convencido de la utilidad de una enumeración semejante, ha decidido a petición mía ordenar su ejecución.
En treinta distritos repartidos equitativamente por toda Francia, se han elegido comunidades que pudiesen proporcionar la información más exacta. Sus enumeraciones han dado 2037615 individuos como el número total de sus habitantes el 23 de septiembre de 1802.
La relación de los nacimientos en estas comunidades durante los años 1800, 1801 y 1802 ha dado:
| Nacimientos | Matrimonios | Muertes | ||
|---|---|---|---|---|
| 110312 | chicos | 46037 | 103659 | hombres |
| 105287 | chicas | 99443 | mujeres |
La razón de la población a los nacimientos anuales es entonces de 28352845⁄1000000; es mayor de lo que se había estimado hasta este momento. Multiplicando el número de nacimientos anuales en Francia por esta razón, obtendremos la población de este reino.
Pero ¿cuál es la probabilidad de que la población así determinada no se desvíe de la verdadera población más allá de un límite dado?
Resolviendo este problema y aplicando a su solución los datos precedentes, he hallado que, suponiendo que el número de nacimientos anuales en Francia sea de 1000000, lo que eleva la población a 28352845 habitantes, hay una apuesta de casi 300000 contra 1 de que el error de este resultado no es de medio millón.
La proporción de los nacimientos de niños a la de niñas que ofrece la afirmación precedente es de 22 a 21; y los matrimonios son a los nacimientos como 3 es a 4.
En París los bautismos de niños de ambos sexos varían un poco respecto a la proporción de 22 a 21. Desde 1745, época en la que se ha comenzado a distinguir los sexos en los registros de nacimiento, hasta finales de 1784, han sido bautizados en esta capital 393386 niños y 377555 niñas. La proporción de ambos números es casi la de 25 a 24; parece entonces en París que una causa particular aproxima a la igualdad los bautismos de los dos sexos.
Si aplicamos a este asunto el cálculo de probabilidades, encontramos que es una apuesta de 238 a 1 a favor de la existencia de esta causa, lo cual es suficiente para autorizar la investigación. Tras una reflexión me ha parecido que la diferencia observada se debe a que los padres en el campo y en las provincias, encontrando cierta ventaja en conservar a los varones en casa, han enviado al Hospital de Niños Expósitos de París a un número menor de ellos en relación con el número de niñas según la proporción de nacimientos de ambos sexos.
Esto queda probado por la relación de los registros de este hospital. Desde principios de 1745 hasta finales de 1809 fueron ingresados 163499 niños y 159405 niñas. El primero de estos números supera solo en 1⁄38 al segundo, el cual debería haberlo superado al menos en 1⁄24.
Esto confirma la existencia de la causa asignada, a saber, que la proporción de nacimientos de niños respecto a los de las niñas es en París la de 22 a 21, no habiéndose prestado atención a los niños expósitos.
Los resultados precedentes suponen que podemos comparar los nacimientos con las extracciones de bolas de una urna que contiene un número infinito de bolas blancas y negras, tan mezcladas que en cada extracción las probabilidades de extraer una u otra deben ser las mismas para cada bola; pero es posible que las variaciones de unas mismas estaciones en diferentes años puedan influir en la proporción anual de nacimientos de niños respecto a los de niñas.
El Despacho de Longitudes de Francia publica cada año en su anuario las tablas del movimiento anual de la población del reino. Las tablas ya publicadas comienzan en 1817; en ese año y en los cinco siguientes nacieron 2962361 niños y 2781997 niñas, lo que da aproximadamente 16⁄15 para la razón entre los nacimientos de niños y los de niñas.
Las razones de cada año varían poco de este resultado medio; la razón más pequeña es la de 1822, en la que fue de solo 17⁄16; la mayor es la del año 1817, cuando fue de 15⁄14.
Estas razones difieren sensiblemente de la razón de 22⁄21 hallada anteriormente. Si aplicamos a esta desviación el análisis de probabilidades bajo la hipótesis de la comparación de los nacimientos con las extracciones de bolas de una urna, encontramos que apenas sería probable. Parece indicar, por tanto, que esta hipótesis, aunque muy aproximada, no es rigurosamente exacta.
En el número de nacimientos que acabamos de exponer hay, de hijos naturales, 200494 niños y 190698 niñas.
La razón de los nacimientos masculinos y femeninos era pues a este respecto de 20⁄19, menor que la razón media de 16⁄15.
Este resultado va en el mismo sentido que el de los nacimientos de expósitos; y parece probar que en la clase de hijos naturales los nacimientos de ambos sexo se aproximan más a la igualdad que en la clase de hijos legítimos.
La diferencia de los climas del norte al sur de Francia no parece influir apreciablemente en la proporción de los nacimientos de niños y niñas.
Los treinta distritos más meridionales han dado 16⁄15 para esta proporción, la misma que la de toda Francia.
La constancia de la superioridad de los nacimientos de varones sobre los de niñas en París y en Londres desde que se observan ha parecido a algunos eruditos una prueba de la Providencia, sin la cual habrían pensado que las causas irregulares que perturban sin cesar el curso de los acontecimientos debían haber hecho varias veces que los nacimientos anuales de niñas superaran a los de los varones.
Pero esta prueba es un nuevo ejemplo del abuso que se ha hecho tan a menudo de las causas finales, las cuales desaparecen siempre tras un examen minucioso de las cuestiones cuando se tienen los datos necesarios para resolverlas.
La constancia de que se trata es el resultado de causas regulares que dan la superioridad a los nacimientos de niños y que la extienden a las anomalías debidas al azar cuando el número de nacimientos anuales es considerable.
La investigación de la probabilidad de que esta constancia se mantenga durante mucho tiempo pertenece a esa rama del análisis de los azares que pasa de los acontecimientos pasados a la probabilidad de los acontecimientos futuros; y tomando como base los nacimientos observados de 1745 a 1784, hay una apuesta de casi 4 contra 1 de que en París los nacimientos anuales de niños superarán constantemente durante un siglo a los nacimientos de niñas; no hay motivo, por tanto, para sorprenderse de que esto haya ocurrido durante medio siglo.
Tomemos otro ejemplo del desarrollo de razones constantes que los acontecimientos presentan a medida que se multiplican. Imaginemos una serie de urnas dispuestas en círculo, y cada una de ellas con un número muy grande de bolas blancas y bolas negras; siendo la razón de las bolas blancas a las negras en las urnas originalmente muy diferente y tal, por ejemplo, que una de estas urnas solo contenga bolas blancas, mientras que otra solo contenga bolas negras.
Si se extrae una bola de la primera urna para ponerla en la segunda, y, después de haber agitado la segunda urna para mezclar bien la nueva bola con las demás, se extrae una bola para ponerla en la tercera urna, y así sucesivamente hasta la última urna, de la que se extrae una bola para ponerla en la primera, y si esta serie se recommienza continuamente, el análisis de probabilidad nos muestra que las razones entre las bolas blancas y las negras en estas urnas terminarán siendo las mismas e iguales a la razón entre la suma de todas las bolas blancas y la suma de todas las bolas negras contenidas en las urnas.
Así, mediante este modo regular de cambio, la irregularidad primitiva de estas razones desaparece con el tiempo para dar lugar al orden más simple.
Ahora bien, si entre estas urnas se intercalan nuevas urnas en las cuales la razón de la suma de las bolas blancas a la suma de las bolas negras que contienen difiere de la precedente, continuando indefinidamente en la totalidad de las urnas las extracciones que acabamos de indicar, el orden simple establecido en las urnas antiguas se verá al principio perturbado, y las razones de las bolas blancas a las bolas negras se volverán irregulares; pero poco a poco esta irregularidad desaparecerá para dar lugar a un nuevo orden, que será finalmente el de la igualdad de las razones de las bolas blancas a las bolas negras contenidas en las urnas.
Podemos aplicar estos resultados a todas las combinaciones de la naturaleza en las que las fuerzas constantes por las que sus elementos están animados establecen modos regulares de acción, adecuados para producir en el seno mismo del caos sistemas regidos por leyes admirables.
Los fenómenos que parecen depender más del azar presentan, pues, al ser multiplicados, una tendencia a aproximarse sin cesar a razones fijas, de tal manera que, si concebimos a ambos lados de cada una de estas razones un intervalo tan pequeño como se desee, la probabilidad de que el resultado medio de las observaciones caiga dentro de este intervalo terminará por diferir de la certeza tan solo en una cantidad menor que una magnitud asignable.
Así, mediante el cálculo de probabilidades aplicado a un gran número de observaciones, podemos reconocer la existencia de estas proporciones. Pero antes de buscar las causas es necesario, para no vernos arrastrados a vanas especulaciones, asegurarnos de que están indicadas por una probabilidad que no nos permita considerarlas como anomalías debidas al azar.
La teoría de las funciones discriminantes da una expresión muy simple para esta probabilidad, la cual se obtiene integrando el producto del diferencial de la cantidad en que el resultado deducido de un gran número de observaciones difiere de la verdad por una constante menor que la unidad, dependiente de la naturaleza del problema, y elevada a una potencia cuyo exponente es la razón del cuadrado de esta variación al número de observaciones.
La integral tomada entre los límites dados y dividida por la misma integral, aplicada a un infinito positivo y negativo, expresará la probabilidad de que la variación respecto a la verdad esté comprendida entre estos límites. Tal es la ley general de la probabilidad de los resultados indicados por un gran número de observaciones.