Tres jugadores de supuesta habilidad igual juegan bajo las siguientes condiciones: que uno de los dos primeros jugadores que venza a su adversario juegue contra el tercero, y si lo vence, el juego termina. Si es vencido, el vencedor juega contra el segundo hasta que uno de los jugadores haya derrotado consecutivamente a los otros dos, lo cual finaliza el juego.
Se pide la probabilidad de que el juego termine en un número determinado n de jugadas. Hallemos la probabilidad de que termine precisamente en la n-ésima jugada.
Para eso, el jugador que gana debe entrar en el juego en la jugada n - 1 y ganarla así en la jugada siguiente. Pero si en lugar de ganar la jugada n - 1 fuera vencido por su adversario, que acababa de vencer al otro jugador, el juego terminaría en esta jugada. Por lo tanto, la probabilidad de que uno de los jugadores entre en el juego en la jugada n - 1 y la gane es igual a la probabilidad de que el juego termine precisamente con esta jugada; y como este jugador debe ganar la jugada siguiente para que el juego termine en la n-ésima jugada, la probabilidad de este último caso será solo la mitad de la precedente.
Esta probabilidad es evidentemente una función del número n; esta función es entonces igual a la mitad de la misma función cuando n se reduce en una unidad. Esta igualdad forma una de esas ecuaciones llamadas ecuaciones diferenciales finitas ordinarias.
Podemos determinar fácilmente por su uso la probabilidad de que el juego termine precisamente en una jugada determinada. Es evidente que el juego no puede terminar antes de la segunda jugada; y para ello es necesario que aquel de los dos primeros jugadores que ha vencido a su adversario venza en la segunda jugada al tercer jugador; la probabilidad de que el juego termine en esta jugada es ½. De ahí que, en virtud de la ecuación precedente, concluyamos que las probabilidades sucesivas de que termine el juego son ¼ para la tercera jugada, ⅛ para la cuarta jugada, y así sucesivamente; y en general ½ elevado a la potencia n - 1 para la n-ésima jugada. La suma de todas estas potencias de ½ es la unidad menos la última de estas potencias; es la probabilidad de que el juego termine a más tardar en n jugadas.
Consideremos de nuevo el primer problema, más difícil, que puede resolverse mediante probabilidades y que Pascal propuso resolver a Fermat. Dos jugadores, A y B, de igual destreza, juegan bajo la condición de que el primero que venza al otro un número dado de veces ganará el juego y se llevará la suma de las apuestas; tras algunas tiradas, los jugadores acuerdan retirarse sin haber terminado el juego: nos preguntamos de qué manera debe dividirse la suma entre ellos.
Es evidente que las partes deben ser proporcionales a las respectivas probabilidades de ganar el juego. La cuestión se reduce entonces a la determinación de estas probabilidades.
Dependen evidentemente del número de puntos que le faltan a cada jugador para haber alcanzado el número dado. De ahí que la probabilidad de A sea una función de los dos números que llamaremos índices.
Si los dos jugadores acordaran jugar una tirada más (un acuerdo que no altera su condición, siempre que después de esta nueva tirada la división se haga siempre proporcionalmente a las nuevas probabilidades de ganar el juego), entonces o bien A ganaría esta tirada y en ese caso el número de puntos que le faltan se vería disminuido en una unidad, o bien el jugador B la ganaría y en ese caso el número de puntos que le faltan a este último jugador sería menor en una unidad.
Pero la probabilidad de cada uno de estos casos es ½; la función buscada es entonces igual a la mitad de esta función en la que disminuimos en una unidad el primer índice más la mitad de la misma función en la que la