# CAPÍTULO XVI. DE LAS ILUSIONES EN LA ESTIMACIÓN DE LAS PROBABILIDADES.
La mente tiene sus ilusiones como el sentido de la vista; y del mismo modo que el tacto corrige a este último, la reflexión y el cálculo corrigen a la primera.
La probabilidad basada en una experiencia cotidiana, o exagerada por el temor y por la esperanza, nos impresiona más que una probabilidad superior, pero no es sino el simple resultado de un cálculo.
Así, no tememos exponemos, a cambio de pequeñas ventajas, a peligros mucho menos improbables que el acierto de un quinto en la lotería de Francia; y, sin embargo, nadie querría procurarse esas mismas ventajas con la certeza de perder la vida si saliera dicho quinto.
Nuestras pasiones, nuestros prejuicios y nuestras opiniones dominantes, al exagerar las probabilidades que les son favorables y al atenuar las probabilidades contrarias, son las fuentes abundantes de peligrosas ilusiones.
Los males presentes y la causa que los produjo nos afectan mucho más que el recuerdo de los males producidos por la causa contraria; nos impiden apreciar con justicia los inconvenientes de unos y de otros, y la probabilidad de los medios adecuados para guardarnos de ellos. Es esto lo que conduce alternativamente al despotismo y a la anarquía a los pueblos que son expulsados del estado de reposo al que jamás retornan sino después de largas y crueles agitaciones.
Esta vívida impresión que recibimos de la presencia de los acontecimientos, y que apenas nos permite notar los acontecimientos contrarios observados por otros, es una causa principal de error contra la cual uno no puede guardarse lo suficiente.
Es principalmente en los juegos de azar donde una multitud de ilusiones alimentan la esperanza y la sostienen frente a las probabilidades desfavorables. La mayoría de los que juegan a las loterías no saben cuántas oportunidades les son favorables y cuántas les son contrarias. Solo ven la posibilidad de ganar una suma considerable con una pequeña apuesta, y los proyectos que engendra su imaginación exageran ante sus ojos la probabilidad de obtenerla; el pobre, especialmente, excitado por el deseo de un destino mejor, arriesga en el juego lo necesario para su subsistencia aferrándose a las combinaciones más desfavorables que le prometen un gran beneficio. Todos se sorprenderían sin duda por el inmenso número de apuestas perdidas si pudieran conocerlas; pero, por el contrario, uno se encarga de dar una gran publicidad a las ganancias, lo cual se convierte en una nueva causa de emoción para este funesto juego.
Cuando un número de la lotería de Francia no ha salido sorteado durante mucho tiempo, la multitud se apresura a cubrirlo con apuestas. Juzgan que, dado que el número no ha salido en mucho tiempo, en el próximo sorteo debería salir con preferencia a los demás.
Un error tan común me parece descansar sobre una ilusión por la cual uno es llevado involuntariamente hacia el origen de los acontecimientos.
Es, por ejemplo, muy improbable que en el juego de cara o cruz se saque cara diez veces consecutivas. Esta improbabilidad, que de hecho nos llama la atención cuando ha sucedido nueve veces, nos lleva a creer que en el décimo lanzamiento saldrá cruz. Pero el pasado, al indicar en la moneda una mayor propensión a salir cara que a salir cruz, hace que el primero de los acontecimientos sea más probable que el segundo; esta probabilidad aumenta a medida que uno ha visto la probabilidad de sacar cara en el siguiente lanzamiento.
Una ilusión similar persuade a muchos de que uno ciertamente puede ganar en una lotería apostando cada vez al mismo número, hasta que sea sorteado, una cantidad cuyo producto supere la suma de todas las apuestas. Pero incluso cuando semejantes especulaciones no se vieran detenidas a menudo por la imposibilidad de sostenerlas, no disminuirían la desventaja matemática de los especuladores y aumentarían su desventaja moral, ya que en cada sorteo arriesgarían una parte muy grande de su fortuna.
He visto hombres, deseosos ardientemente de tener un hijo, que solo podían enterarse con ansiedad de los nacimientos de varones en el mes en que esperaban ser padres.
Imaginando que la proporción de estos nacimientos respecto al de las niñas debía ser la misma al final de cada mes, juzgaban que los varones ya nacidos harían más probable el nacimiento siguiente de niñas.
Así, la extracción de una bola blanca de una urna que contiene un número limitado de bolas blancas y de bolas negras aumenta la probabilidad de extraer una bola negra en la siguiente
sorteo. Pero esto deja de verificarse cuando el número de bolas en la urna es ilimitado, como hay que suponer para comparar este caso con el de los nacimientos. Si, en el transcurso de un mes, nacieran muchos más niños que niñas, se podría sospechar que hacia la época de su concepción una causa general había favorecido la concepción masculina, lo que haría más probable el nacimiento a continuación de un varón.
Los acontecimientos irregulares de la naturaleza no son exactamente comparables al sorteo de los números de una lotería en la que todos los números se mezclan en cada sorteo de tal manera que las probabilidades de que salgan sean perfectamente iguales.
La frecuencia de uno de estos acontecimientos parece indicar una causa que lo favorece ligeramente, lo cual aumenta la probabilidad de su próxima repetición, y su reiteración prolongada durante mucho tiempo, como una larga serie de días lluviosos, puede desarrollar causas desconocidas para su cambio; de modo que en cada acontecimiento previsto no nos encontramos, como en cada sorteo de una lotería, conducidos de nuevo al mismo estado de indecision con respecto a lo que debe suceder.
Pero a medida que se multiplica la observación de estos acontecimientos, la comparación de sus resultados con los de las loterías se hace más exacta.
Por una ilusión contraria a las precedentes, se buscan en los sorteos pasados de la lotería de Francia los números que salen con más frecuencia, con el fin de formar combinaciones con las cuales se cree que se puede apostar con ventaja. Pero cuando se considera la manera en que se mezclan los números en esta lotería, el pasado no debería tener ninguna influencia sobre el futuro. Las apariciones muy frecuentes de un número no son más que anomalías del azar; he sometido varias de ellas al cálculo
y he encontrado constantemente que entran dentro de los límites que la suposición de una posibilidad igual en el sorteo de todos los números nos permite admitir sin improbabilidad.
En una larga serie de acontecimientos de la misma clase, las meras oportunidades del azar deben ofrecer a veces esas singulares rachas de buena o mala suerte que la mayoría de los jugadores no dejan de atribuir a una especie de fatalidad.
Sucede a menudo en los juegos que dependen al mismo tiempo del azar y de la destreza de los jugadores, que aquel que pierde, turbado por su pérdida, busca repararla mediante tiradas arriesgadas que evitaría en otra situación; de este modo agrava su propia mala suerte y prolonga su duración.
Es entonces cuando la prudencia se vuelve necesaria y cuando importa convencerse de que la desventaja moral ligada a las probabilidades desfavorables se ve acrecentada por la mala suerte misma.
La opinión de que el hombre ha estado situado desde hace mucho tiempo en el centro del universo, considerándose el objeto especial de los cuidados de la naturaleza, lleva a cada individuo a hacerse a sí mismo el centro de una esfera más o menos extensa y a creer que el azar tiene preferencia por él.
Sostenidos por esta creencia, los jugadores arriesgan a menudo sumas considerables en juegos en los que saben que las probabilidades son desfavorables.
En la conducta de la vida, una opinión similar puede tener a veces ventajas; pero la mayoría de las veces conduce a empresas desastrosas.
Aquí, como en todas partes, las ilusiones son peligrosas y solo la verdad es generalmente útil.
Una de las grandes ventajas del cálculo de probabilidades es enseñarnos a desconfiar de las primeras opiniones. Como reconocemos que a menudo engañan cuando pueden ser sometidas a cálculo, debemos concluir que en otros asuntos solo debe otorgarse confianza tras una extrema circunspección. Demostremos esto con el ejemplo.
Una urna contiene cuatro bolas, negras y blancas, pero que no son todas del mismo color. Se ha extraído una de estas bolas, cuyo color es blanco, y se ha vuelto a poner en la urna para proceder de nuevo a extracciones similares. Se pide la probabilidad de extraer únicamente bolas negras en las cuatro extracciones siguientes.
Si las blancas y las negras estuviesen en igual número, esta probabilidad sería la cuarta potencia de la probabilidad ½ de extraer una bola negra en cada extracción; sería entonces 1⁄16.
Pero la extracción de una bola blanca en la primera extracción indica una superioridad en el número de bolas blancas en la urna; pues si se suponen en la urna tres bolas blancas y una negra, la probabilidad de extraer una bola blanca es ¾; es 2⁄4 si se suponen dos bolas blancas y dos negras; finalmente, se reduce a ¼ si se suponen tres bolas negras y una blanca.
Siguiendo el principio de la probabilidad de las causas deducidas de los eventos, las probabilidades de estas tres suposiciones están entre sí como las cantidades ¾, 2⁄4, ¼; son consecuentemente iguales a 3⁄6, 2⁄6, ⅙.
Es así una apuesta de 5 contra 1 a que el número de bolas negras es inferior, o a lo sumo igual, al de las blancas. Parece entonces que, tras la extracción de una bola blanca en la primera extracción, la probabilidad de extraer sucesivamente cuatro bolas negras debería ser menor que en el caso de la igualdad de los colores o menor que un dieciseisavo.
Sin embargo, no lo es, y mediante un cálculo muy sencillo se encuentra que esta probabilidad es mayor que un catorceavo. En efecto, sería la cuarta potencia de ¼, de 2⁄4 y de ¾ en la primera, la segunda y la tercera de las suposiciones precedentes relativas a los colores de las bolas en la urna. Multiplicando respectivamente cada potencia por la probabilidad de la suposición correspondiente, o por 3⁄6, 2⁄6 y ⅙, la suma de los productos será la probabilidad de extraer sucesivamente cuatro bolas negras. Se tiene así para esta probabilidad 29⁄384, una fracción mayor que 1⁄14.
Este paradoxa se explica considerando que la indicación de la superioridad de las bolas blancas sobre las negras en la primera extracción no excluye en absoluto la superioridad de las bolas negras sobre las blancas, una superioridad que excluye la suposición de la igualdad de los colores. Pero esta superioridad, aunque poco probable, debe hacer que la probabilidad de extraer sucesivamente un número dado de bolas negras sea mayor que en esta suposición si el número es considerable; y se acaba de ver que esto comienza cuando el número dado es igual a cuatro.
Consideremos de nuevo una urna que contiene varias bolas blancas y negras. Supongamos al principio que solo hay una bola blanca y una negra. Es entonces una apuesta equitativa que se extraiga una bola blanca en una sola extracción.
Pero parece lógico para la equidad de la apuesta que quien apuesta a extraer la bola blanca deba tener dos extracciones si la urna contiene dos negras y una blanca, tres extracciones si contiene tres negras y una blanca, y así sucesivamente; se supone que después de cada extracción la bola extraída se vuelve a poner en la urna.
Nos convencemos fácilmente de que esta primera idea es errónea. En efecto, en el caso de dos bolas negras y una blanca, la probabilidad de extraer dos negras en dos extracciones es la segunda potencia de ⅔ o 4⁄9; pero esta
probabilidad sumada a la de extraer una bola blanca en dos extracciones es la certeza o la unidad, puesto que es seguro que se deben extraer dos bolas negras o al menos una bola blanca; la probabilidad en este último caso es entonces 5⁄9, una fracción mayor que ½. Habría aún una mayor ventaja en la apuesta de extraer una bola blanca en cinco extracciones cuando la urna contiene cinco bolas negras y una blanca; esta apuesta es incluso ventajosa en cuatro extracciones; equivale entonces a la de sacar un seis en cuatro tiradas con un solo dado.
El caballero de Méré, que provocó la invención del cálculo de probabilidades al animar a su amigo Pascal, el gran geómetra, a ocuparse de él, le dijo «que había encontrado un error en los números según esta proporción: si uno se propone sacar un seis con un solo dado, hay ventaja en intentarlo en cuatro tiradas, en razón de 671 a 625. Si uno se propone sacar dos seises con dos dados, hay desventaja en intentarlo en 24 tiradas. Al menos, 24 es a 36, el número de las caras de los dos dados, como 4 es a 6, el número de caras de un dado».
«Esto era —escribió Pascal a Fermat— su gran escándalo, lo que le hacía decir audazmente que las proporciones no eran constantes y que la aritmética estaba desquiciada... Tiene muy buen espíritu, pero no es geómetra, lo cual es, como sabéis, un gran defecto».
El caballero de Méré, engañado por una falsa analogía, pensaba que, en el caso de la igualdad de las apuestas, el número de tiradas debía aumentar en proporción al número de todas las suertes posibles, lo cual no es exacto, pero se acerca a la exactitud a medida que este número se hace mayor.
Se ha intentado explicar la superioridad de los nacimientos de niños sobre los de niñas mediante el deseo general de los padres de tener un hijo que perpetúe el nombre.
Así, imaginando una urna llena de una infinidad de bolas blancas y negras en igual número, y suponiendo un gran número de personas de las cuales cada una extrae una bola de esta urna y continúa con la intención de detenerse cuando haya extraído una bola blanca, se ha creído que esta intención debe hacer que el número de bolas blancas extraídas sea superior al de las negras.
En efecto, esta intención da necesariamente, después de todos los sorteos, un número de bolas blancas igual al de personas, y es posible que estos sorteos no lleguen nunca a dar una bola negra.
Pero es fácil ver que esta primera noción es solo una ilusión; pues si se concibe que en el primer sorteo todas las personas sacan al mismo tiempo una bola de la urna, es evidente que su intención no puede tener ninguna influencia sobre el color de las bolas que deben aparecer en este sorteo.
Su único efecto será excluir del segundo sorteo a las personas que hayan sacado una blanca en el primero. Es asimismo aparente que la intención de las personas que participen en el nuevo sorteo no tendrá ninguna influencia sobre el color de las bolas que se extraigan, y que lo mismo ocurrirá en los siguientes sorteos.
Esta intención no tendrá influencia alguna entonces sobre el color de las bolas extraídas en la totalidad de los sorteos; hará, sin embargo, que participen más o menos personas en cada sorteo.
La razón entre las bolas blancas extraídas y las negras diferirá así muy poco de la unidad. De ello se deduce que, suponiendo que el número de personas sea muy grande, si la observación da entre los colores extraídos una razón que difiere perceptiblemente de la unidad, es muy probable que la misma diferencia se encuentre entre la unidad y la razón de las bolas blancas a las negras contenidas en la urna.
Vuelvo a contar entre las ilusiones la aplicación que Leibniz y Daniel Bernoulli han hecho del cálculo de probabilidades a la suma de series.
Si se reduce la fracción cuyo numerador es la unidad y cuyo denominador es la unidad más una variable, a una serie prescrita por la razón a las potencias de esta variable, es fácil ver que, al suponer la variable igual a la unidad, la fracción se convierte en ½, y la serie se convierte en más uno, menos uno, más uno, menos uno, etc.
Al sumar los dos primeros términos, los dos siguientes, y así sucesivamente, la serie se transforma en otra en la que cada término es cero. Grandi, un jesuita italiano, concluyó de esto la posibilidad de la creación; debido a que, siendo la serie siempre ½, vio brotar esta fracción de una infinidad de ceros o de la nada.
Fue así como Leibniz creyó ver la imagen de la creación en su aritmética binaria, donde empleaba únicamente los dos caracteres, la unidad y el cero.
Imaginó, puesto que Dios puede ser representado por la unidad y la nada por el cero, que el Ser Supremo había sacado de la nada a todos los seres, así como la unidad con el cero expresa todos los números en este sistema de aritmética.
Esta idea le agradó tanto a Leibniz que se la comunicó al jesuita Grimaldi, presidente del tribunal de matemáticas en China, con la esperanza de que este emblema de la creación convirtiera al cristianismo al emperador de allí, quien sentía una gran afición por las ciencias.
Informo de este incidente únicamente para mostrar hasta qué punto los prejuicios de la infancia pueden engañar a los hombres más grandes.
Leibniz, siempre guiado por una metafísica singular y muy vaga, consideraba que la serie más uno, menos uno, más uno, etc., se convierte en la unidad o en cero según que uno se detenga en un número de términos impar o par; y como en el infinito no hay razón para preferir el número par al impar, uno debe, siguiendo las reglas de la probabilidad, tomar la mitad de los resultados relativos a estos dos tipos de números, que son cero y la unidad, lo que da ½ para el valor de la serie. Daniel Bernoulli ha extendido desde entonces este razonamiento a la suma de series formadas por términos periódicos.
Pero todas estas series no tienen valores propiamente hablando; solo los obtienen en el caso en que sus términos se multiplican por las potencias sucesivas de una variable menor que la unidad.
Entonces estas series son siempre convergentes, por muy pequeña que se suponga la diferencia de la variable respecto a la unidad; y es fácil demostrar que los valores asignados por Bernoulli, en virtud de la regla de las probabilidades, son los mismos valores de la fracción generatriz de la serie, cuando se supone en estas fracciones que la variable es igual a la unidad.
Estos valores son, de nuevo, los límites a los que la serie se aproxima cada vez más, a medida que la variable se acerca a la unidad. Pero cuando la variable es exactamente igual a la unidad, las series dejan de ser convergentes; solo tienen valores en la medida en que se las detiene.
La notable relación de esta aplicación del cálculo de probabilidades con los límites de los valores de las series periódicas supone que los términos de estas series se multiplican por todas las potencias consecutivas de la variable.
Pero esta serie puede resultar del desarrollo de una infinidad de fracciones diferentes en las cuales esto no ocurría.
Así, la serie más uno, menos uno, más uno, etc., puede surgir del desarrollo de una fracción cuyo numerador es la unidad más la variable, y cuyo denominador es este numerador aumentado por el cuadrado de la variable. Suponiendo la variable igual a la unidad, este desarrollo se convierte, en la serie propuesta, y la fracción generatriz pasa a ser igual a ⅔; las reglas de las probabilidades darían entonces un resultado falso, lo que prueba cuán peligroso sería emplear un razonamiento semejante, especialmente en las ciencias matemáticas, las cuales deben distinguirse de manera muy especial por el rigor de sus operaciones.
Se nos lleva naturalmente a creer que el orden según el cual vemos las cosas renovarse sobre la tierra ha existido desde siempre y continuará haciéndolo por siempre.
En efecto, si el estado actual del universo fuera exactamente similar al estado anterior que lo ha producido, daría nacimiento a su vez a un estado semejante; la sucesión de estos estados sería entonces eterna.
He encontrado mediante la aplicación del análisis a la ley de la gravedad universal que el movimiento de rotación y de revolución de los planetas y satélites, así como la posición de las órbitas y de sus ecuadores, están sujetos únicamente a desigualdades periódicas.
Al comparar con los eclipses antiguos la teoría de la ecuación secular de la luna, he hallado que desde Hiparco la duración del día no ha variado ni en la centésima parte de un segundo, y que la temperatura media de la tierra no ha disminuido ni una centésima de grado.
Así, la estabilidad del orden actual parece establecida al mismo tiempo por la teoría y por las observaciones. Pero este orden es efectuado por diversas causas que un examen atento revela, y que es imposible someter al cálculo.
Las acciones del océano, de la atmósfera y de los meteoros, de los terremotos y de las erupciones de los volcanes agitan continuamente la superficie de la tierra y deben provocar a la larga grandes cambios.
La temperatura de los climas, el volumen de la atmósfera y la proporción de los gases que la constituyen pueden variar de manera imperceptible. Como los instrumentos y los medios adecuados para determinar estas variaciones son nuevos, la observación no ha podido enseñarnos nada al respecto hasta el momento.
Pero es poco probable que las causas que absorben y renuevan los gases que componen el aire mantengan exactamente sus proporciones respectivas. Una larga serie de siglos mostrará las alteraciones que experimentan todos estos elementos tan esenciales para la conservación de los seres organizados.
Aunque los monumentos históricos no se remontan a una antigüedad muy lejana, nos ofrecen sin embargo cambios suficientemente grandes que se han producido por la acción lenta y continuada de los agentes naturales.
Buscando en las entrañas de la tierra se descubren numerosos despojos de una naturaleza anterior, enteramente diferente de la actual.
Además, si la tierra entera estuvo en un principio fluida, como todo parece indicarlo, uno se imagina que al pasar de ese estado al que tiene ahora, su superficie debió haber experimentado cambios prodigiosos.
El cielo mismo, a pesar del orden de sus movimientos, no es inmutable. La resistencia de la luz y de otros fluidos etéreos, y la atracción de los astros deben, después de un gran número de siglos, alterar considerablemente los movimientos planetarios.
Las variaciones ya observadas en las estrellas y en la forma de las nebulosas nos dan un presentimiento de aquellas que el tiempo desarrollará en el sistema de estos grandes cuerpos.
Se puede representar los estados sucesivos del universo por una curva, de la cual el tiempo sería la abscisa y cuyas ordenadas son los diversos estados.
Apenas conociendo un elemento de esta curva, estamos lejos de poder remontarnos a su origen; y si para satisfacer la imaginación, siempre inquieta por nuestra ignorancia de la causa de los fenómenos que le interesan, uno se aventura a hacer algunas conjeturas, es prudente presentarlas solo con extrema reserva.
Existe en la estimación de las probabilidades una especie de ilusiones que, dependiendo especialmente de las leyes de la organización intelectual, exige, para ponerse a salvo de ellas, un examen profundo de estas leyes.
El deseo de penetrar en el futuro y en las razones de algunos acontecimientos notables, las predicciones de los astrólogos, de los adivinos y agoreros, los presentimientos y los sueños, los números y los días reputados afortunados o desafortunados, han dado origen a una multitud de prejuicios todavía muy extendidos.
Uno no reflexiona sobre el gran número de no coincidencias que no han causado impresión o que son desconocidas. Sin embargo, es necesario estar familiarizado con ellas para apreciar la probabilidad de las causas a las que se atribuyen las coincidencias. Este conocimiento confirmaría sin duda lo que la razón nos dice respecto a estos prejuicios.
Así aquel filósofo de la antigüedad a quien se muestran en un templo, para exaltar el poder del dios que allí se adora, los exvoto de todos aquellos que tras haberlo invocado se salvaron del naufragio, presenta un incidente consonante con el cálculo de probabilidades, al observar que no ve inscritos los nombres de aquellos que, a pesar de dicha invocación, perecieron.
Cicerón ha refutado todos estos prejuicios con mucha razón y elocuencia en su Tratado sobre la adivinación, que termina con un pasaje que voy a citar; pues a uno le encanta encontrar de nuevo entre los antiguos los rayos de la razón, que, tras haber disipado todos los prejuicios con su luz, se convertirán en el único fundamento de las instituciones humanas.
«Es necesario», dice el orador romano, «rechazar la adivinación por los sueños y todos los prejuicios similares. La superstición generalizada ha sojuzgado a la mayoría de las mentes y se ha apoderado de la debilidad de los hombres. Esto es lo que hemos expuesto en nuestros libros sobre la naturaleza de los dioses y especialmente en esta obra, persuadidos de que prestaremos un servicio a los demás y a nosotros mismos si logramos destruir la superstición».
Sin embargo (y deseo especialmente que en este punto mi pensamiento sea bien comprendido), al destruir la superstición estoy muy lejos de querer turbar la religión.
La sabiduría nos ordena mantener las instituciones y las ceremonias de nuestros antepasados en lo que atañe al culto de los dioses. Además, la belleza del universo y el orden de las cosas celestiales nos obligan a reconocer alguna naturaleza superior que debe ser observada y admirada por el género humano.
Pero en la medida en que es adecuado propagar la religión, la cual está unida al conocimiento de la naturaleza, en esa misma medida es necesario trabajar para la extirpación de la superstición, pues esta atormenta, importuna y persigue a uno continuamente y en todas partes.
Si uno consulta a un adivino o a un arúspice, si uno inmola una víctima, si contempla el vuelo de un ave, si se encuentra con un caldeo o un arúspice, si relampaguea, si truena, si cae el rayo, en fin, si nace o se manifiesta algún tipo de prodigio, cosas de las quales una de las cuales suele suceder a menudo, entonces la superstición domina y no deja ningún reposo. El sueño mismo, este refugio de los mortales en sus penas y sus fatigas, se convierte por ella en una nueva fuente de inquietud y temor."
Todos estos prejuicios y los terrores que inspiran están relacionados con causas fisiológicas que continúan a veces obrando con fuerza después de que la razón nos ha desengañado de ellos. Pero la repetición de actos contrarios a estos prejuicios puede destruirlos siempre.