# CAPÍTULO IV. DE LA ESPERANZA.
La probabilidad de los acontecimientos sirve para determinar la esperanza o el temor de las personas interesadas en su existencia.
La palabra esperanza tiene varias acepciones; expresa generalmente la ventaja de aquel que espera un cierto beneficio en suposiciones que son únicamente probables. Esta ventaja en la teoría de las probabilidades es un producto de la suma esperada por la probabilidad de obtenerla; es la suma parcial que debe resultar cuando no queremos correr los riesgos del acontecimiento suponiendo que la división se hace proporcional a las probabilidades.
Esta división es la única equitativa cuando se eliminan todas las circunstancias extrañas; porque un grado igual de probabilidad da un derecho igual a la suma esperada. Llamaremos a esta ventaja esperanza matemática.
Octavo Principio.—Cuando la ventaja depende de varios eventos, se obtiene tomando la suma de los productos de la probabilidad de cada evento por el beneficio asociado a su ocurrencia.
Aplicamos este principio a algunos ejemplos. Supongamos que en el juego de cara o cruz, Pablo recibe dos francos si sale cara en el primer lanzamiento y cinco francos si sale solo en el segundo.
Multiplicando dos francos por la probabilidad ½ del primer caso, y cinco francos por la probabilidad ¼ del segundo caso, la suma de los productos, o dos francos y cuarto, será la ventaja de Pablo. Es la suma que debe dar por adelantado a aquel que le ha proporcionado esta ventaja; pues, para mantener la igualdad del juego, la apuesta debe ser igual a la ventaja que este le procura.
Si Pablo recibe dos francos por sacar cara en el primer lanzamiento y cinco francos por sacarla en el segundo, lo haya sacado o no en el primero, siendo la probabilidad de sacar cara en el segundo lanzamiento de ½, al multiplicar dos francos y cinco francos por ½, la suma de estos productos dará tres francos y medio para la ventaja de Pablo y, en consecuencia, para su apuesta en el juego.
Noveno principio.—En una serie de eventos probables de los cuales unos producen un beneficio y otros una pérdida, obtendremos la ventaja que de ello resulta haciendo una suma de los productos de la probabilidad de cada evento favorable por el beneficio que procura, y restando de esta suma la de los productos de la probabilidad de cada evento desfavorable por la pérdida que se le adjunta. Si la segunda suma es mayor que la primera, el beneficio se convierte en pérdida y la esperanza se cambia en temor.
Por consiguiente, debemos procurar siempre, en la conducta de la vida, que el producto del beneficio esperado, por su probabilidad, sea al menos igual al producto equivalente relativo a la pérdida.
Pero es necesario, para lograr esto, apreciar con exactitud las ventajas, las pérdidas y sus respectivas probabilidades. Para ello se requiere una gran precisión de mentalidad, un juicio delicado y una vasta experiencia en los asuntos; es menester saber cómo guardarse de los prejuicios, de las ilusiones del miedo o de la esperanza, y de las ideas erróneas, ideas de fortuna y felicidad con las que la mayoría de la gente alimenta su amor propio.
La aplicación de los principios precedentes a la cuestión siguiente ha ejercido grandemente a los geómetras.