# CAPÍTULO IV. DE LA ESPERANZA.
La probabilidad de los acontecimientos sirve para determinar la esperanza o el temor de las personas interesadas en su existencia.
La palabra esperanza tiene varias acepciones; expresa generalmente la ventaja de aquel que espera un cierto beneficio en suposiciones que son únicamente probables. Esta ventaja en la teoría de las probabilidades es un producto de la suma esperada por la probabilidad de obtenerla; es la suma parcial que debe resultar cuando no queremos correr los riesgos del acontecimiento suponiendo que la división se hace proporcional a las probabilidades.
Esta división es la única equitativa cuando se eliminan todas las circunstancias extrañas; porque un grado igual de probabilidad da un derecho igual a la suma esperada. Llamaremos a esta ventaja esperanza matemática.
Octavo Principio.—Cuando la ventaja depende de varios eventos, se obtiene tomando la suma de los productos de la probabilidad de cada evento por el beneficio asociado a su ocurrencia.
Aplicamos este principio a algunos ejemplos. Supongamos que en el juego de cara o cruz, Pablo recibe dos francos si sale cara en el primer lanzamiento y cinco francos si sale solo en el segundo.
Multiplicando dos francos por la probabilidad ½ del primer caso, y cinco francos por la probabilidad ¼ del segundo caso, la suma de los productos, o dos francos y cuarto, será la ventaja de Pablo. Es la suma que debe dar por adelantado a aquel que le ha proporcionado esta ventaja; pues, para mantener la igualdad del juego, la apuesta debe ser igual a la ventaja que este le procura.
Si Pablo recibe dos francos por sacar cara en el primer lanzamiento y cinco francos por sacarla en el segundo, lo haya sacado o no en el primero, siendo la probabilidad de sacar cara en el segundo lanzamiento de ½, al multiplicar dos francos y cinco francos por ½, la suma de estos productos dará tres francos y medio para la ventaja de Pablo y, en consecuencia, para su apuesta en el juego.
Noveno principio.—En una serie de eventos probables de los cuales unos producen un beneficio y otros una pérdida, obtendremos la ventaja que de ello resulta haciendo una suma de los productos de la probabilidad de cada evento favorable por el beneficio que procura, y restando de esta suma la de los productos de la probabilidad de cada evento desfavorable por la pérdida que se le adjunta. Si la segunda suma es mayor que la primera, el beneficio se convierte en pérdida y la esperanza se cambia en temor.
Por consiguiente, debemos procurar siempre, en la conducta de la vida, que el producto del beneficio esperado, por su probabilidad, sea al menos igual al producto equivalente relativo a la pérdida.
Pero es necesario, para lograr esto, apreciar con exactitud las ventajas, las pérdidas y sus respectivas probabilidades. Para ello se requiere una gran precisión de mentalidad, un juicio delicado y una vasta experiencia en los asuntos; es menester saber cómo guardarse de los prejuicios, de las ilusiones del miedo o de la esperanza, y de las ideas erróneas, ideas de fortuna y felicidad con las que la mayoría de la gente alimenta su amor propio.
La aplicación de los principios precedentes a la cuestión siguiente ha ejercido grandemente a los geómetras.
Pablo juega a cara o cruz con la condición de recibir dos francos si saca cara en el primer lanzamiento, cuatro francos si la saca solo en el segundo lanzamiento, ocho francos si la saca solo en el tercero, y así sucesivamente. Su apuesta en el juego debería ser, según el octavo principio, igual al número de lanzamientos, de modo que si el juego continúa hasta el infinito, la apuesta debería ser infinita.
Sin embargo, ningún hombre razonable querría arriesgar en este juego ni siquiera una pequeña suma, por ejemplo, cinco francos. ¿De dónde proviene esta diferencia entre el resultado del cálculo y la indicación del sentido común? Pronto reconocemos que se reduce a esto: que la ventaja moral que un beneficio nos procura no es proporcional a este beneficio y que depende de mil circunstancias, a menudo muy difíciles de definir, pero de las cuales la más general y más importante es la de la fortuna.
En verdad es evidente que un franco tiene mucho mayor valor para quien posee solo cien que para un millonario. Debemos, por tanto, distinguir en el beneficio esperado su valor absoluto de su relativo.
Pero este último está regulado por los motivos que lo hacen deseable, mientras que el primero es independiente de ellos. No se puede dar el principio general para apreciar este valor relativo, pero aquí hay uno propuesto por Daniel Bernoulli que servirá en muchos casos.
Décimo Principio.—El valor relativo de una suma infinitamente pequeña es igual a su valor absoluto dividido por el beneficio total de la persona interesada. Esto supone que todos tienen un cierto beneficio cuyo valor nunca puede estimarse en cero. En efecto, incluso aquel que no posee nada siempre le otorga al producto de su trabajo y a sus esperanzas un valor al menos igual al que es absolutamente necesario para sustentarlo.
Si aplicamos el análisis al principio recién propuesto, obtenemos la regla siguiente:
Designemos por unidad la parte de la fortuna de un individuo, independiente de sus expectativas. Si determinamos los diferentes valores que esta fortuna puede tener en virtud de estas expectativas y sus probabilidades, el producto de estos valores elevados respectivamente a las potencias indicadas por sus probabilidades será la fortuna física que procuraría al individuo la misma ventaja moral que recibe de la parte de su fortuna tomada como unidad y de sus expectativas; restando la unidad del producto, la diferencia será el incremento de la fortuna física debido a las expectativas: a este incremento lo llamaremos esperanza moral.
Es fácil ver que coincide con la esperanza matemática cuando la fortuna tomada como unidad se vuelve infinita con referencia a las variaciones que recibe de las expectativas. Pero cuando estas variaciones son una parte apreciable de esta unidad, ambas esperanzas pueden diferir muy sustancialmente entre sí.
Esta regla conduce a resultados conformes a las indicaciones del sentido común, que por este medio pueden ser apreciados con cierta exactitud.
Así, en la cuestión precedente se encuentra que si la fortuna de Pablo es de doscientos francos, no debería razonablemente apostar más de nueve francos.
La misma regla nos lleva de nuevo a distribuir el peligro entre varias partes de un beneficio esperado en lugar de exponer el beneficio entero a dicho peligro.
De ello resulta igualmente que en el juego más equitativo la pérdida es siempre mayor que la ganancia. Supongamos, por ejemplo, que un jugador que posee una fortuna de cien francos arriesga cincuenta en el juego de caras y cruces; su fortuna tras su apuesta en el juego se verá reducida a ochenta y siete francos, es decir, esta última suma le procuraría al jugador la misma ventaja moral que el estado de su fortuna después de la apuesta.
El juego es, por tanto, desventajoso aun en el caso en que la apuesta sea igual al producto de la suma esperada por su probabilidad. Podemos juzgar por esto la inmoralidad de los juegos en los cuales la suma esperada está por debajo de este producto. Subsisten únicamente por falsos razonamientos y por la codicia que excitan y que, al llevar al pueblo a sacrificar lo necesario por esperanzas quiméricas cuya improbabilidad no está en condiciones de apreciar, son la fuente de una infinidad de males.
La desventaja de los juegos de azar, la ventaja de no exponer al mismo peligro todo el beneficio que se espera, y todos los resultados similares indicados por el sentido común, subsisten, cualquiera que pueda ser la función de la fortuna física que para cada individuo expresa su fortuna moral.
Basta con que la proporción del incremento de esta función respecto al incremento de la fortuna física disminuya a medida que esta última aumenta.