# CAPÍTULO III. LOS PRINCIPIOS GENERALES DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
Primer principio.—El primero de estos principios es la definición misma de probabilidad, la cual, como se ha visto, es la razón entre el número de casos favorables y el de todos los casos posibles.
Segundo Principio.—Pero eso supone que los distintos casos son igualmente posibles. Si no lo son, determinaremos primero sus respectivas posibilidades, cuya apreciación exacta es uno de los puntos más delicados de la teoría de las probabilidades. Entonces, la probabilidad será la suma de las posibilidades de cada caso favorable. Ilustremos este principio con un ejemplo.
Supongamos que lanzamos al aire una moneda grande y muy delgada cuyas dos grandes caras opuestas, que llamaremos cara y cruz, son perfectamente similares. Hallemos la probabilidad de sacar cara al menos una vez en dos tiradas. Es evidente que pueden presentarse cuatro casos igualmente posibles, a saber: cara en la primera y en la segunda tirada; cara en la primera tirada y cruz en la segunda; cruz en la primera tirada y cara en la segunda; finalmente, cruz en ambas tiradas. Los tres
primeros casos son favorables al evento cuya probabilidad se busca; en consecuencia, esta probabilidad es igual a ¾; de modo que es una apuesta de tres a uno a que saldrá cara al menos una vez en dos tiradas.
En este juego solo podemos contar tres casos diferentes, a saber: cara en el primer lanzamiento, lo cual prescinde de lanzar una segunda vez; cruz en el primer lanzamiento y cara en el segundo; finalmente, cruz en el primero y en el segundo lanzamiento. Esto reduciría la probabilidad a ⅔ si debiéramos considerar con d'Alembert estos tres casos como igualmente posibles.
Pero es evidente que la probabilidad de sacar cara en el primer lanzamiento es de ½, mientras que la de los otros dos casos es de ¼, siendo el primer caso un evento simple que corresponde a dos eventos combinados: cara en el primero y en el segundo lanzamiento, y cara en el primer lanzamiento, cruz en el segundo.
Si entonces, conforme al segundo principio, sumamos la posibilidad de ½ de cara en el primer lanzamiento a la posibilidad de ¼ de cruz en el primero y cara en el segundo, obtendremos ¾ para la probabilidad buscada, lo cual coincide con lo que se halla en la suposición cuando jugamos los dos lanzamientos. Esta suposición no cambia en absoluto la probabilidad de aquel que apuesta a este evento; simplemente sirve para reducir los diversos casos a los casos igualmente posibles.
Tercer Principio.—Uno de los puntos más importantes de la teoría de las probabilidades y el que más se presta a ilusiones es la manera en que estas probabilidades aumentan o disminuyen por su combinación mutua.
Si los acontecimientos son independientes unos de otros, la probabilidad de su existencia combinada es el producto de sus respectivas probabilidades.
Así, la probabilidad de sacar un as con un solo dado es ⅙; la de sacar dos ases al lanzar dos dados al mismo tiempo es 1⁄36.
Cada cara del uno pudiendo combinarse con las seis caras del otro, existen de hecho treinta y seis casos igualmente posibles, entre los cuales un solo caso da dos ases.
Generalmente, la probabilidad de que un suceso simple en las mismas circunstancias ocurra consecutivamente un número dado de veces es igual a la probabilidad de este suceso simple elevada a la potencia indicada por este número.
Teniendo así las potencias sucesivas de una fracción menor que la unidad disminuyendo sin cesar, un suceso que depende de una serie de probabilidades muy grandes puede volverse extremadamente improbable.
Supongamos entonces que un acontecimiento nos es transmitido por veinte testigos de tal manera que el primero lo ha transmitido al segundo, el segundo al tercero, y así sucesivamente. Supongamos de nuevo que la probabilidad de cada testimonio sea igual a la fracción 9⁄10; la del acontecimiento resultante de los testimonios será menor que ⅛. No podemos comparar mejor esta disminución de la probabilidad que con la extinción de la luz de los objetos mediante la interposición de varios trozos de vidrio.
Un número relativamente pequeño de piezas basta para ocultar la visión de un objeto que una sola pieza nos permite percibir de manera distinta.
Los historiadores no parecen haber prestado la atención suficiente a esta degradación de la probabilidad de los acontecimientos cuando se contemplan a través de un gran número de generaciones sucesivas; muchos acontecimientos históricos considerados ciertos serían al menos dudosos si se sometieran a esta prueba.
En las ciencias puramente matemáticas, las consecuencias más lejanas participan de la certeza del principio del cual se derivan. En las aplicaciones del análisis a la física, los resultados tienen toda la certeza de los hechos o las experiencias. Pero en las ciencias morales, donde cada inferencia se deduce de la que le precede de un modo meramente probable, por probables que sean estas deducciones, la posibilidad de error aumenta con su número y termina por superar a la posibilidad de verdad en las consecuencias muy alejadas del principio.
Cuarto principio.—Cuando dos eventos dependen el uno del otro, la probabilidad del evento compuesto es el producto de la probabilidad del primer evento y la probabilidad de que, habiendo ocurrido este, ocurra el segundo. Así, en el caso precedente de las tres urnas A, B, C, de las cuales dos contienen solo bolas blancas y una contiene solo bolas negras, la probabilidad de extraer una bola blanca de la urna C es ⅔, puesto que de las tres urnas solo dos contienen bolas de ese color. Pero cuando se ha extraído una bola blanca de la urna C, la indecisión relativa a aquella de las urnas que contiene solo bolas negras se extiende únicamente a las urnas A y B; la probabilidad de extraer una bola blanca de la urna B es ½; el producto de ⅔ por ½, o ⅓, es entonces la probabilidad de extraer dos bolas blancas a la vez de las urnas B y C.
Vemos por este ejemplo la influencia de los acontecimientos pasados en la probabilidad de los acontecimientos futuros. Pues la probabilidad de extraer una bola blanca de la urna B, que primariamente es ⅔, pasa a ser ½ cuando se ha extraído una bola blanca de la urna C; se cambiaría en certeza si se hubiese extraído una bola negra de la misma urna. Determinaremos esta influencia mediante el principio siguiente, que es un corolario del anterior.
Quinto Principio.—Si calculamos a priori la probabilidad del evento ocurrido y la probabilidad de un evento compuesto por ese y un segundo que se espera, la segunda probabilidad dividida entre la primera será la probabilidad del evento esperado, deducida del evento observado.
Aquí se presenta la cuestión planteada por algunos filósofos tocante a la influencia del pasado sobre la probabilidad del futuro.
Supongamos que en el juego de caras y cruces la cara ha salido más a menudo que la cruz. Solo por esto seremos conducidos a creer que en la constitución de la moneda hay una causa secreta que la favorece.
Así, en la conducta de la vida, la felicidad constante es una prueba de competencia que debería inducirnos a emplear preferentemente a las personas felices.
Pero si por la inconstancia de las circunstancias somos devueltos constantemente a un estado de absoluta indecisión, si, por ejemplo, cambiamos la moneda en cada tirada en el juego de caras y cruces, el pasado no puede arrojar ninguna luz sobre el futuro y sería absurdo tenerlo en cuenta.
Sexto principio.—Cada una de las causas a las que se puede atribuir un acontecimiento observado está indicada con tanta mayor verosimilitud cuanta sea la probabilidad de que el acontecimiento tenga lugar, suponiendo que este sea constante.
La probabilidad de la existencia de cualquiera de estas causas es entonces una fracción cuyo numerador es la probabilidad del acontecimiento resultante de dicha causa y cuyo denominador es la suma de las probabilidades similares relativas a todas las causas; si estas diversas causas, consideradas a priori, son desigualmente probables, es necesario, en lugar de la probabilidad del acontecimiento resultante de cada causa, emplear el producto de esta probabilidad por la posibilidad de la causa misma.
Este es el principio fundamental de esta rama del análisis de las probabilidades que consiste en pasar de los acontecimientos a las causas.
Este principio da la razón por la cual atribuimos los acontecimientos regulares a una causa particular. Algunos filósofos han pensado que estos acontecimientos son menos posibles que otros y que, en el juego de caras y cruces, por ejemplo, la combinación en la que sale cara veinte veces sucesivas es menos fácil en su naturaleza que aquellas en las que caras y cruces se mezclan de manera irregular.
Pero esta opinión supone que los acontecimientos pasados tienen una influencia en la posibilidad de los acontecimientos futuros, lo cual no es en absoluto admisible. Las combinaciones regulares ocurren más raramente solo porque son menos numerosas. Si buscamos una causa siempre que percibimos simetría, no es que consideremos un acontecimiento simétrico como menos posible que los otros, sino que, dado que este acontecimiento debe ser el efecto de una causa regular o el del azar, la primera de estas suposiciones es más probable que la segunda.
Sobre una mesa vemos letras dispuestas en este orden, Constantinopla, y juzgamos que esta disposición no es el resultado del azar, no porque sea menos posible que las otras —pues si esta palabra no se empleara en ningún idioma no sospecharíamos que provino de una causa particular—, sino porque, estando esta palabra en uso entre nosotros, es incomparablemente más probable que alguna persona haya dispuesto así las letras mencionadas a que esta disposición se deba al azar.
Este es el lugar para definir la palabra extraordinario.
Ordenamos en nuestro pensamiento todos los eventos posibles en varias clases; y consideramos como extraordinarias aquellas clases que incluyen un número muy pequeño.
- Así, en el juego de caras y cruces, la aparición de cara cien veces sucesivas nos parece extraordinaria debido al número casi infinito de combinaciones que pueden ocurrir en cien tiradas; y si dividimos las combinaciones en series regulares que contienen un orden fácil de comprender, y en series irregulares, estas últimas son incomparablemente más numerosas.
- La extracción de una bola blanca de una urna que entre un millón de bolas contiene solo una de este color, siendo las demás negras, nos parecería asimismo extraordinaria, porque formamos solo dos clases de eventos relativos a los dos colores.
- Pero la extracción del número 475813, por ejemplo, de una urna que contiene un millón de números nos parece un evento ordinario; porque, comparando individualmente los números entre sí sin dividirlos en clases, no tenemos razón para creer que uno de ellos aparecerá antes que los otros.
De lo que precede, debemos concluir en general que cuanto más extraordinario es el acontecimiento, mayor es la necesidad de que esté respaldado por pruebas sólidas. Puesto que quienes lo atestiguan pueden engañar o haber sido engañados, estas dos causas son tanto más probables cuanto menor es la realidad del acontecimiento. Veremos esto en particular cuando pasemos a hablar de la probabilidad del testimonio.
Séptimo principio.—La probabilidad de un acontecimiento futuro es la suma de los productos de la probabilidad de cada causa, deducida del acontecimiento observado, por la probabilidad de que, existiendo dicha causa, ocurra el acontecimiento futuro. El ejemplo siguiente ilustrará este principio.
Imaginen una urna que contiene solo dos bolas, cada una de las cuales puede ser blanca o negra. Se extrae una de estas bolas y se vuelve a poner en la urna antes de proceder a una nueva extracción. Supóngase que en las dos primeras extracciones se han extraído bolas blancas; se requiere la probabilidad de extraer de nuevo una bola blanca en la tercera extracción.
Solo pueden hacerse aquí dos hipótesis: o una de las bolas es blanca y la otra negra, o ambas son blancas. En la primera hipótesis la probabilidad del evento observado es ¼; es la unidad o certeza en la segunda. Así pues, considerando estas hipótesis como otras tantas causas, tendremos para el sexto principio ⅕ y ⅘ para sus respectivas probabilidades. Pero si la primera hipótesis se verifica, la probabilidad de extraer una bola blanca en la tercera extracción es ½; es igual a la certeza en la segunda hipótesis; multiplicando entonces las últimas probabilidades por las de las hipótesis correspondientes, la suma de los productos, o 9⁄10, será la probabilidad de extraer una bola blanca en la tercera extracción.
Cuando la probabilidad de un suceso único es desconocida, podemos suponer que es igual a cualquier valor desde cero hasta la unidad. La probabilidad de cada una de estas hipótesis, extraída del suceso observado, es, según el sexto principio, una fracción cuyo numerador es la probabilidad del suceso en esta hipótesis y cuyo denominador es la suma de las probabilidades similares relativas a todas las hipótesis. Así, la probabilidad de que la posibilidad del suceso esté comprendida dentro de unos límites dados es la suma de las fracciones comprendidas dentro de estos límites. Ahora bien, si
multiplicamos cada fracción por la probabilidad del suceso futuro, determinada en la hipótesis correspondiente; la suma de los productos relativos a todas las hipótesis será, según el séptimo principio, la probabilidad del suceso futuro deducida del suceso observado.
Así hallamos que, habiendo ocurrido un suceso sucesivamente un número cualquiera de veces, la probabilidad de que vuelva a suceder la vez siguiente es igual a este número incrementado en la unidad, dividido por el mismo número incrementado en dos unidades.
Situando la época más antigua de la historia hace cinco mil años, o en 1826213 días, y habiendo salido el sol constantemente en el intervalo en cada revolución de veinticuatro horas, hay una apuesta de 1826214 contra uno a que volverá a salir mañana.
Pero este número es incomparablemente mayor para aquel que, reconociendo en la totalidad de los fenómenos el regulador principal de los días y las estaciones, ve que nada en el momento presente puede detener su curso.
Buffón en su Aritmética política calcula de otro modo la probabilidad precedente. Supone que difiere de la unidad solo en una fracción cuyo numerador es la unidad y cuyo denominador es el número 2 elevado a una potencia igual al número de días transcurridos desde la época. Pero el verdadero modo de relacionar los acontecimientos pasados con la probabilidad de las causas y de los acontecimientos futuros era desconocido para este ilustre escritor.