# CAPÍTULO V. SOBRE LOS MÉTODOS ANALÍTICOS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
La aplicación del principio que acabamos de exponer a las diversas cuestiones de probabilidad requiere métodos cuya investigación ha dado origen a varios métodos de análisis y especialmente a la teoría de las combinaciones y al cálculo de diferencias finitas.
Si formamos el producto de los binomios, la unidad más la primera letra, la unidad más la segunda letra, la unidad más la tercera letra, y así sucesivamente hasta letras, y restamos la unidad de este producto desarrollado, el resultado será la suma de la combinación de todas estas letras tomadas de una en una, de dos en dos, de tres en tres, etc., teniendo cada combinación a la unidad por coeficiente.
Para tener el número de combinaciones de estas letras tomadas de en veces, observaremos que, si suponemos estas letras iguales entre sí, el producto precedente se convertirá en la -ésima potencia del binomio uno más la primera letra; por tanto, el número de combinaciones de letras tomadas de en veces será el coeficiente de la -ésima potencia de la primera letra en el desarrollo de este binomio, y este número se obtiene mediante la conocida fórmula del binomio.
Hay que prestar atención a las respectivas situaciones de las letras en cada combinación, observando que si una segunda letra se une a la primera, puede colocarse en la primera o en la segunda posición, lo que da dos combinaciones.
Si unimos a estas combinaciones una tercera letra, podemos darle en cada combinación el primer, el segundo y el tercer rango, lo que forma tres combinaciones relativas a cada una de las otras dos, en total seis combinaciones.
A partir de esto es fácil concluir que el número de ordenamientos de los que son susceptibles s letras es el producto de los números desde la unidad hasta s. Para tener en cuenta las posiciones respectivas de las letras, es necesario entonces multiplicar por este producto el número de combinaciones de n letras s a s, lo que equivale a eliminar el denominador del coeficiente del binomio que expresa este número.
Imagínense una lotería compuesta de n números, de los cuales r son extraídos en cada sorteo. Se pide la probabilidad de extraer s números dados en un sorteo. Para llegar a esto, formemos una fracción cuyo denominador será el número de todos los casos posibles o de las combinaciones de n letras tomadas de r en r veces, y cuyo numerador será el número de todas las combinaciones que contienen los s números dados.
Este último número es evidentemente el de las combinaciones de los otros números tomados de n menos s en n menos s veces. Esta fracción será la probabilidad requerida, y hallaremos fácilmente que puede reducirse a una fracción cuyo numerador es el número de combinaciones de r