# CAPÍTULO XIV. SOBRE LAS TABLAS DE MORTALIDAD Y LAS DURACIONES MEDIAS DE LA VIDA, DE LOS MATRIMONIOS Y DE LAS ASOCIACIONES.

La manera de preparar las tablas de mortalidad es muy simple. Se toman de los registros civiles un gran número de individuos cuyos nacimientos y muertes están indicados.

Se determina cuántos de estos individuos han muerto en el primer año de su edad, cuántos en el segundo año, y así sucesivamente. De esto se deduce el número de individuos vivos al comienzo de cada año, y este número se escribe en la tabla al lado del que indica el año.

Así, se escribe al lado de cero el número de nacimientos; al lado del año 1 el número de infantes que han cumplido un año; al lado del año 2 el número de infantes que han cumplido dos años, y así sucesivamente para el resto.

Pero dado que en los primeros dos años de vida la mortalidad es muy grande, es necesario, para mayor exactitud, indicar en esta primera edad el número de supervivientes al cabo de cada medio año.

Si dividimos la suma de los años de la vida de todos los individuos inscritos en una tabla de mortalidad por el número de estos individuos, obtendremos la duración media de la vida que corresponde a esta tabla.

Para esto, multiplicaremos por medio año el número de defunciones en el primer año, un número igual a la diferencia de los números de individuos inscritos al margen de los años 0 y 1. Estando su mortalidad distribuida a lo largo de todo el año, la duración media de su vida es de solo medio año.

Multiplicaremos por año y medio el número de defunciones en el segundo año; por dos años y medio el número de defunciones en el tercer año; y así sucesivamente.

La suma de estos productos dividida por el número de nacimientos será la duración media de la vida.

Es fácil concluir de esto que obtendremos esta duración haciendo la suma de los números inscritos en la tabla al lado de cada año, dividiéndola por el número de nacimientos y restando una mitad del cociente, tomando el año como unidad.

La duración media de la vida que queda por vivir, a partir de cualquier edad, se determina de la misma manera, operando sobre el número de individuos que han llegado a esta edad, tal como se acaba de hacer con el número de nacimientos.

Pero no es en el momento del nacimiento cuando la duración media de la vida es mayor; es cuando uno ha escapado de los peligros de la infancia, y es entonces de unos cuarenta y tres años.

La probabilidad de llegar a una determinada edad, partiendo de una edad dada, es igual al cociente de los dos números de individuos indicados en la tabla a estas dos edades.

La precisión de estos resultados exige que para la formación de las tablas empleemos un número muy grande de nacimientos.

El análisis da entonces fórmulas muy sencillas para apreciar la probabilidad de que los números indicados en estas tablas varíen respecto de la verdad solo dentro de estrechos límites.

Vemos por estas fórmulas que el intervalo de los límites disminuye y que la probabilidad aumenta a medida que tomamos en consideración más nacimientos; de modo que las tablas representarían exactamente la verdadera ley de mortalidad si el número de nacimientos empleado fuese infinito.

Una tabla de mortalidad es, por tanto, una tabla de la probabilidad de la vida humana. La proporción entre los individuos inscritos al lado de cada año y el número de nacimientos es la probabilidad de que un nuevo nacido alcance este año.

Así como estimamos el valor de la esperanza haciendo una suma de los productos de cada beneficio esperado por la probabilidad de obtenerlo, del mismo modo podemos evaluar la duración media de la vida sumando los productos de cada año por la mitad de la suma de las probabilidades de alcanzar su comienzo y su fin, lo que conduce al resultado hallado anteriormente.

Pero esta manera de considerar la duración media de la vida tiene la ventaja de mostrar que en una población estacionaria, es decir, tal que el número de nacimientos es igual al de defunciones, la duración media de la vida es la proporción misma de la población con respecto a los nacimientos anuales; pues, suponiéndose que la población es estacionaria, el número de individuos de una edad comprendida entre dos años consecutivos de la tabla es igual al número de nacimientos anuales, multiplicado por la mitad de la suma de las probabilidades de alcanzar dichos años; la suma de todos estos productos será entonces la población entera.

Ahora bien, es fácil ver que esta suma, dividida por el número de nacimientos anuales, coincide con la duración media de la vida tal como acabamos de definirla.

Es fácil por medio de una tabla de mortalidad formar la tabla correspondiente de la población que se supone estacionaria. Para esto tomamos las medias aritméticas de los números de la tabla de mortalidad correspondientes a las edades de cero y un año, uno y dos años, dos y tres años, etc.

La suma de todas estas medias es la población entera; se escribe al lado de la edad cero.
Se resta de esta suma la primera media y el resto es el número de individuos de un año en adelante; se escribe al lado del año 1.
Se resta de este primer resto la segunda media; este segundo resto es el número de individuos de dos años en adelante; se escribe al lado del año 2, y así sucesivamente.

Tantas causas variables influyen en la mortalidad que las tablas que la representan deberían modificarse según el lugar y el tiempo. Los diversos estados de vida ofrecen a este respecto diferencias apreciables relativas a las fatigas y a los peligros inseparables de cada estado y de los cuales es indispensable dar cuenta en los cálculos basados en la duración de la vida.

Pero estas diferencias no han sido suficientemente observadas. Algún día lo serán y entonces se sabrá qué sacrificio de vida demanda cada profesión y se aprovechará este conocimiento para disminuir los peligros.

La mayor o menor salubridad del suelo, su elevación, su temperatura, las costumbres de los habitantes y las acciones de los gobiernos tienen una influencia considerable en la mortalidad.

Pero siempre es necesario preceder la investigación de la causa de las diferencias observadas por la de la probabilidad con la que esta causa se encuentra indicada.

Así, la proporción de la población respecto a los nacimientos anuales, que se ha visto elevada en Francia a veintiocho y un tercio, no es igual a veinticinco en el antiguo ducado de Milán. Estas proporciones, ambas establecidas sobre un gran número de nacimientos, no permiten poner en duda la existencia entre los milaneses de una causa especial de mortalidad, que importa al gobierno de nuestro país investigar y eliminar.

La proporción de la población respecto a los nacimientos aumentaría de nuevo si pudiéramos disminuir y eliminar ciertas enfermedades peligrosas y muy extendidas. Esto se ha logrado felizmente con respecto a la viruela, al principio mediante la inoculación de esta enfermedad, y luego de una manera mucho más ventajosa, mediante la inoculación de la vacuna, el inestimable descubrimiento de Jenner, quien se ha convertido así en uno de größten bienhechores de la humanidad.

La viruela tiene esto en particular, a saber, que un mismo individuo no la padece dos veces, o al menos tales casos son tan raros que pueden prescindirse en el cálculo. Esta enfermedad, de la que pocos escapaban antes del descubrimiento de la vacuna, es a menudo mortal y causa la muerte de una séptima parte de aquellos a los que ataca.

A veces es benigna, y la experiencia ha enseñado que se le puede dar este último carácter inoculándola en personas sanas, preparadas para ello mediante una dieta adecuada y en una estación favorable. Entonces la proporción de individuos que mueren respecto a los inoculados no es de uno entre trescientos.

Esta gran ventaja de la inoculación, unida a la de no alterar la apariencia y a la de librar de las graves consecuencias que la viruela natural suele acarrear, hizo que fuera adoptada por un gran número de personas. La práctica era muy recomendada, pero fue

combatida enérgicamente, como casi siempre sucede en las cosas sujetas a inconvenientes. En medio de esta disputa, Daniel Bernoulli propuso someter al cálculo de probabilidades la influencia de la inoculación en la duración media de la vida. Como faltaban datos precisos sobre la mortalidad producida por la viruela en las diversas edades de la vida, supuso que el peligro de contraer esta enfermedad y el de morir a causa de ella son los mismos a cualquier edad.

Por medio de estas suposiciones logró, mediante un análisis delicado, convertir una tabla de mortalidad ordinaria en aquella que se utilizaría si la viruela no existiera, o si esta causara la muerte de un número muy pequeño de los afectados, y concluye de ello que la inoculación aumentaría en tres años al menos la duración media de la vida, lo que le parecía fuera de toda duda la ventaja de esta operación.

D'Alembert atacó el análisis de Bernoulli: primero respecto a la incertidumbre de sus dos hipótesis, luego respecto a su insuficiencia en cuanto a que no se hacía ninguna comparación del peligro inmediato, aunque muy pequeño, de morir por la inoculación, con el peligro muy grande pero muy remoto de sucumbir ante la viruela natural.

Esta consideración, que desaparece cuando se considera a un gran número de individuos, carece por esta razón de importancia para los gobiernos y las ventajas de la inoculación para ellos siguen vigentes; pero tiene un gran peso para el padre de familia que debe temer, al hacer inocular a sus hijos, ver perecer a aquel a quien más ama y ser la causa de ello. Muchos padres se vieron frenados por este temor, que el descubrimiento de la vacuna ha disipado felizmente.

Por uno de esos misterios que la naturaleza nos ofrece con tanta frecuencia, la vacuna es un preventivo de la viruela tan seguro como el virus varioloso, y no entraña ningún peligro; no expone a ninguna enfermedad y exige tan solo muy pocos cuidados.

Por consiguiente, su práctica se ha extendido rápidamente; y para hacerla universal solo queda vencer la inercia natural de las gentes, contra la cual es necesario luchar continuamente, aun cuando se trate de sus intereses más caros.

El medio más simple de calcular la ventaja que produciría la extinción de una enfermedad consiste en determinar por observación el número de individuos de una edad dada que mueren de ella cada año y restar este número del número de defunciones a la misma edad.

La relación entre la diferencia y el número total de individuos de la edad dada sería la probabilidad de morir en el año a esta edad si la enfermedad no existiera.

Haciendo, pues, una suma de estas probabilidades desde el nacimiento hasta cualquier edad dada, y restando esta suma de la unidad, el resto será la probabilidad de llegar a esa edad correspondiente a la extinción de la enfermedad.

La serie de estas probabilidades será la tabla de mortalidad relativa a esta hipótesis, y podremos concluir de ella, por lo que precede, la duración media de la vida.

Es así como Duvilard ha hallado que el aumento de la duración media de la vida, debido a la inoculación de la vacuna, es de tres años al menos. Un aumento tan considerable produciría un incremento muy grande en la población si esta última, por otras razones, no se viera frenada por la disminución relativa de las subsistencias.

Principalmente por la falta de subsistencias se detiene la marcha progresiva de la población. En

toda clase de animales y vegetales, la naturaleza tiende sin cesar a aumentar el número de individuos hasta que se hallan al nivel de los medios de subsistencia.

En la raza humana las causas morales ejercen una gran influencia sobre la población. Si los despejes fáciles del bosque pueden proporcionar un alimento abundante para las nuevas generaciones, la certeza de poder mantener a una familia numerosa fomenta los matrimonios y los hace más prolíficos.

Sobre un mismo suelo, la población y los nacimientos deben aumentar a la vez simultáneamente en progresión geométrica.

Pero cuando los claros se hacen más difíciles y más raros, el aumento de la población disminuye; se aproxima continuamente al estado variable de las subsistencias, oscilando en torno a él exactamente igual que un péndulo cuya periodicidad se retarda al cambiar el punto de suspensión, y oscila alrededor de dicho punto en virtud de su propio peso.

Es difícil evaluar el aumento máximo de la población; parece, según las observaciones, que en circunstancias favorables la población del género humano se duplicaría cada quince años. Estimamos que en América del Norte el período de este doblez es de veintidós años. En este estado de cosas, la población, los nacimientos, los matrimonios, la mortalidad, todo aumenta según la misma progresión geométrica de la cual tenemos la razón constante de los términos consecutivos mediante la observación de los nacimientos anuales en dos épocas.

Mediante una tabla de mortalidad que represente las probabilidades de la vida humana, podemos determinar la duración de los matrimonios. Suponiendo, para simplificar el asunto, que la mortalidad es la misma para ambos sexos, obtendremos la probabilidad de que el matrimonio subsista un año, o dos, o tres, etc., formando una serie de fracciones cuyo denominador común es el producto de los dos números de la tabla correspondientes a las edades de los cónyuges, y cuyos numeradores son los productos sucesivos de los números correspondientes a estas edades aumentadas en uno, en dos, en tres, etc., años.

La suma de estas fracciones aumentada en una mitad será la duración media del matrimonio, tomándose el año como unidad. Es fácil hacer extensiva la misma regla a la duración media de una asociación formada por tres o por un mayor número de individuos.