Pablo juega a cara o cruz con la condición de recibir dos francos si saca cara en el primer lanzamiento, cuatro francos si la saca solo en el segundo lanzamiento, ocho francos si la saca solo en el tercero, y así sucesivamente. Su apuesta en el juego debería ser, según el octavo principio, igual al número de lanzamientos, de modo que si el juego continúa hasta el infinito, la apuesta debería ser infinita. Sin embargo, ningún hombre razonable querría arriesgar en este juego ni siquiera una pequeña suma, por ejemplo, cinco francos. ¿De dónde proviene esta diferencia entre el resultado del cálculo y la indicación del sentido común? Pronto reconocemos que se reduce a esto: que la ventaja moral que un beneficio nos procura no es proporcional a este beneficio y que depende de mil circunstancias, a menudo muy difíciles de definir, pero de las cuales la más general y más importante es la de la fortuna.
En verdad es evidente que un franco tiene mucho mayor valor para quien posee solo cien que para un millonario. Debemos, por tanto, distinguir en el beneficio esperado su valor absoluto de su relativo.
Pero este último está regulado por los motivos que lo hacen deseable, mientras que el primero es independiente de ellos. No se puede dar el principio general para apreciar este valor relativo, pero aquí hay uno propuesto por Daniel Bernoulli que servirá en muchos casos.
Décimo Principio.—El valor relativo de una suma infinitamente pequeña es igual a su valor absoluto dividido por el beneficio total de la persona interesada. Esto supone que todos tienen un cierto beneficio cuyo valor nunca puede estimarse en cero. En efecto, incluso aquel que no posee nada siempre le otorga al producto de su trabajo y a sus esperanzas un valor al menos igual al que es absolutamente necesario para sustentarlo.
Si aplicamos el análisis al principio recién propuesto, obtenemos la regla siguiente:
Designemos por unidad la parte de la fortuna de un individuo, independiente de sus expectativas. Si determinamos los diferentes valores que esta fortuna puede tener en virtud de estas expectativas y sus probabilidades, el producto de estos valores elevados respectivamente a las potencias indicadas por sus probabilidades será la fortuna física que procuraría al individuo la misma ventaja moral que recibe de la parte de su fortuna tomada como unidad y de sus expectativas; restando la unidad del producto, la diferencia será el incremento de la fortuna física debido a las expectativas: a este incremento lo llamaremos esperanza moral.
Es fácil ver que coincide con la esperanza matemática cuando la fortuna tomada como unidad se vuelve infinita con referencia a las variaciones que recibe de las expectativas. Pero cuando estas variaciones son una parte apreciable de esta unidad, ambas esperanzas pueden diferir muy sustancialmente entre sí.
Esta regla conduce a resultados conformes a las indicaciones del sentido común, que por este medio pueden ser apreciados con cierta exactitud. Así, en la cuestión precedente se encuentra que si la fortuna de Pablo es de doscientos francos, no debería razonablemente apostar más de nueve francos. La misma regla nos lleva de nuevo a distribuir el peligro entre varias partes de un beneficio esperado en lugar de exponer el beneficio entero a dicho peligro. De ello resulta igualmente que en el juego más equitativo la pérdida es siempre mayor que la ganancia. Supongamos, por ejemplo, que un jugador que posee una fortuna de cien francos arriesga cincuenta en el