CAPÍTULO XV. DE LOS BENEFICIOS DE LAS INSTITUCIONES QUE DEPENDEN DE LA PROBABILIDAD DE LOS ACONTECIMIENTOS

# CAPÍTULO XV. DE LOS BENEFICIOS DE LAS INSTITUCIONES QUE DEPENDEN DE LA PROBABILIDAD DE LOS ACONTECIMIENTOS.

Recordemos aquí lo que se ha dicho al hablar de la esperanza. Se ha visto que, para obtener la ventaja que resulta de varios acontecimientos simples, de los cuales unos producen un beneficio y otros una pérdida, es necesario sumar los productos de la probabilidad de cada acontecimiento favorable por el beneficio que procura, y restar de su suma la de los productos de la probabilidad de cada acontecimiento desfavorable por la pérdida que le va adjunta.

Pero cualquiera que sea la ventaja expresada por la diferencia de estas sumas, un solo acontecimiento compuesto de estos acontecimientos simples no garantiza contra el temor de experimentar una pérdida. Uno se imagina que este temor debe disminuir cuando se multiplica el acontecimiento compuesto. El análisis de las probabilidades conduce a este teorema general.

Por la repetición de un acontecimiento ventajoso, simple o compuesto, el beneficio real se vuelve cada vez más probable y aumenta sin cesar; se vuelve cierto en la hipótesis de un número infinito de repeticiones;

y dividiéndolo por este número, el cociente o el beneficio medio de cada acontecimiento es la esperanza matemática misma o la ventaja relativa al acontecimiento. Lo mismo ocurre con una pérdida que se vuelve cierta a la larga, por pequeña que sea la desventaja del acontecimiento.

Este teorema sobre las esperanzas y los riesgos es análogo a los que ya hemos dado sobre las razones que indican la repetición indefinida de los acontecimientos simples o compuestos; y, al igual que ellos, prueba que la regularidad termina por establecerse incluso en las cosas más subordinadas a aquello que llamamos azar.

Cuando los acontecimientos son en gran número, el análisis da otra expresión muy simple de la probabilidad de que el beneficio esté comprendido dentro de unos límites determinados.

Esta es la expresión que vuelve a entrar en la ley general de probabilidad dada anteriormente al hablar de las probabilidades que resultan de la multiplicación indefinida de los acontecimientos.

La estabilidad de las instituciones que se basan en probabilidades depende de la verdad del teorema precedente. Pero para que pueda aplicarse a ellas, es necesario que dichas instituciones multipliquen estos acontecimientos ventajosos en aras de numerosas cosas.

Sobre las probabilidades de la vida humana se han fundado diversas instituciones, tales como las rentas vitalicias y las tontinas. El método más general y más simple de calcular los beneficios y los gastos de estas instituciones consiste en reducirlos a cantidades actuales.

El interés anual de la unidad es lo que se denomina el tipo de interés. Al final de cada año, una cantidad adquiere por factor la unidad más el tipo de interés; aumenta entonces según una progresión geométrica de la cual este factor es la razón. Así, en el transcurso del tiempo, se vuelve inmensa.

Si, por ejemplo, el tipo de interés es ¹⁄₂₀ o cinco por ciento, el capital se duplica casi exactamente en catorce años, se cuadruplica en veintinueve años, y en menos de tres siglos se vuelve dos millones de veces mayor.

Un aumento tan prodigioso ha dado origen a la idea de aprovecharlo para pagar la deuda pública.

Se forma con este fin un fondo de amortización al cual se destina un fondo anual empleado para el rescate de las letras públicas y aumentado sin cesar por el interés de las letras redimidas. Es evidente que, a la larga, este fondo absorberá una gran parte de la deuda nacional.

Si, cuando las necesidades del Estado hacen necesario un empréstito, una parte de este empréstito se dedica al incremento del fondo anual de amortización, la variación de las letras públicas será menor; la confianza de los prestamistas y la probabilidad de retirarse sin pérdida del capital prestado cuando uno lo desee se verán aumentadas y harán que las condiciones del empréstito sean menos onerosas. Experiencias favorables han confirmado plenamente estas ventajas.

Pero la fidelidad en los compromisos y la estabilidad, tan necesarias para el éxito de tales instituciones, sólo pueden ser garantizadas por un gobierno en el cual el poder legislativo esté dividido entre varios poderes independientes. La confianza que inspira la necesaria cooperación de estos poderes duplica la fuerza del Estado, y el soberano mismo gana entonces en poder legal más de lo que pierde en poder arbitrario.

Resulta de lo que precede que el capital actual equivalente a una suma que ha de pagarse solo después de un cierto número de años es igual a esta suma multiplicada por la probabilidad de que sea pagada en ese tiempo y dividida por la unidad aumentada por la tasa de interés y elevada a una potencia expresada por el número de estos años.

Es fácil aplicar este principio a las rentas vitalicias sobre una o varias personas, a las cajas de ahorros y a las sociedades de seguros de cualquier naturaleza.

Supongamos que uno se propone formar una tabla de rentas vitalicias según una tabla de mortalidad dada. Una renta vitalicia pagadera al cabo de cinco años, por ejemplo, y reducida a un importe actual es, según este principio, igual al producto de las dos cantidades siguientes, a saber: la renta dividida por la quinta potencia de la unidad aumentada por la tipo de interés, y la probabilidad de pagarla.

Esta probabilidad es la razón inversa entre el número de individuos inscritos en la tabla correspondientes a la edad de aquel que constituye la renta y el número inscrito correspondiente a dicha edad aumentada en cinco años.

Formando, pues, una serie de fracciones cuyos denominadores son los productos del número de personas indicadas en la tabla de mortalidad como vivientes a la edad de aquel que constituye la renta, por las potencias sucesivas de la unidad aumentada por el tipo de interés, y cuyos numeradores son los productos de la renta por el número de personas vivas a la misma edad aumentada sucesivamente en un año, dos años, etc., la suma de estas fracciones será el importe requerido para la renta vitalicia a esa edad.

Supongamos que una persona desea asegurar a sus herederos mediante una renta vitalicia una cantidad pagadera al final del año de su muerte.

Para determinar el valor de esta renta, puede imaginarse que la persona toma prestado de por vida en un banco este capital y que lo coloca a interés perpetuo en el mismo banco.

Es evidente que este mismo capital será adeudado por el banco a sus herederos al final del año de su muerte; pero él habrá pagado cada año únicamente el exceso del interés vitalicio sobre el interés perpetuo.

La tabla de rentas vitalicias mostrará entonces lo que la persona debe pagar anualmente al banco con el fin de asegurar este capital después de su muerte.

El seguro marítimo, el contra incendios y tempestades, y en general todas las instituciones de este género, se calculan sobre los mismos principios.

Un comerciante que tiene buques en el mar desea asegurar su valor y el de sus cargamentos contra los peligros que puedan correr; para ello, entrega una suma a una compañía que se hace responsable ante él del valor estimado de sus cargamentos y de sus buques.

La razón de este valor respecto a la suma que debe entregarse por el precio del seguro depende de los peligros a los que están expuestos los buques y solo puede apreciarse mediante numerosas observaciones sobre la suerte de los barcos que han zarpado del puerto con el mismo destino.

Si las personas aseguradas diesen a la compañía de seguros únicamente la suma indicada por el cálculo de probabilidades, esta compañía no podría sufragar los gastos de su institución; es necesario, pues, que paguen una suma muy superior al coste de dicho seguro. ¿Cuál es entonces su ventaja?

Aquí es donde se hace necesaria la consideración de la desventaja moral vinculada a una incertidumbre.

Se comprende que el juego más equitativo se vuelve, como ya se ha visto, desventajoso, porque el jugador cambia una apuesta cierta por un beneficio incierto; el seguro, mediante el cual se cambia lo incierto por lo cierto, debe ser ventajoso. Es esto precisamente lo que resulta de la regla que hemos dado más arriba para determinar la esperanza moral, y mediante la cual se ve, además, hasta dónde puede extenderse el sacrificio que debe hacerse a la compañía de seguros reservándose siempre una ventaja moral.

Esta compañía puede entonces, al procurar ella misma esta ventaja, obtener un gran beneficio si el número de personas aseguradas es muy grande, condición necesaria para su existencia continua. Entonces sus beneficios se vuelven ciertos y las esperanzas matemática y moral coinciden; pues el análisis conduce a este teorema general, a saber, que si las expectativas son muy numerosas, las dos esperanzas se acercan sin cesar y terminan por coincidir en el caso de un número infinito.

Hemos dicho al hablar de las esperanzas matemáticas y morales que hay una ventaja moral en distribuir los riesgos de un beneficio que se espera entre varias de sus partes. Así, para enviar una suma de dinero a un lugar lejano, es mucho mejor enviarla en varios barcos que exponerla en uno solo. Esto se hace mediante seguros mutuos.

Si dos personas, teniendo cada una la misma suma en dos barcos diferentes que han zarpado del mismo puerto hacia el mismo destino, acuerdan dividir por igual todo el dinero que pueda llegar, es evidente que mediante este acuerdo cada una de ellas divide por igual entre los dos barcos la suma que espera.

En efecto, este tipo de seguro siempre deja incertidumbre en cuanto a la pérdida que se pueda temer. Pero esta incertidumbre disminuye a medida que aumenta el número de asegurados; la ventaja moral aumenta cada vez más y termina por coincidir con la ventaja matemática, su límite natural.

Esto hace que la asociación de seguros mutuos, cuando es muy numerosa, sea más ventajosa para los asegurados que las compañías de seguros que, en proporción al beneficio que otorgan, ofrecen una ventaja moral siempre inferior a la ventaja matemática. Pero la vigilancia de su administración puede equilibrar la ventaja de los seguros mutuos.

Todos estos resultados son, como ya se ha visto, independientes de la ley que expresa la ventaja moral.

Se puede considerar a un pueblo libre como una gran asociación cuyos miembros aseguran mutuamente sus propiedades al sufragar proporcionalmente los gastos de esta garantía.

La confederación de varios pueblos les brindaría ventajas análogas a aquellas de las que cada individuo goza en la sociedad.

Un congreso de sus representantes discutiría objetos de utilidad común para todos y sin duda el sistema de pesos, medidas y monedas propuesto por los científicos franceses sería adoptado en este congreso como una de las cosas más útiles para las relaciones comerciales.

Entre las instituciones fundadas sobre las probabilidades de la vida humana, las mejores son aquellas en las cuales, mediante un ligero sacrificio de su renta, uno asegura su existencia y la de su familia para un tiempo en que se debe temer no poder satisfacer sus necesidades.

En la medida en que los juegos son inmorales, en esa misma medida estas instituciones son ventajosas para las costumbres al favorecer las inclinaciones más fuertes de nuestra naturaleza. El gobierno debe entonces alentarlas y respetarlas en las vicisitudes de la fortuna pública; dado que las esperanzas que presentan miran hacia un futuro lejano, solo pueden prosperar cuando están resguardadas de toda inquietud durante su existencia.

Es una ventaja que la institución de un gobierno representativo les asegura.

Digamos una palabra sobre los préstamos. Es evidente que para tomar prestado perpetuamente es necesario pagar cada año el producto del capital por la tasa de interés.

Pero se puede desear cancelar este principal en pagos iguales hechos durante un número determinado de años, pagos que se denominan anualidades y cuyo valor se obtiene de esta manera. Cada anualidad, para ser reducida al momento actual, debe ser dividida por una potencia de la unidad incrementada por la tasa de interés igual al número de años después de los cuales esta anualidad debe ser pagada.

Formando entonces una progresión geométrica cuyo primer término es la anualidad dividida por la unidad incrementada por la tasa de interés, y cuyo último término es esta anualidad dividida por la misma cantidad elevada a una potencia igual al número de años durante los cuales se debió haber hecho el pago, la suma de esta progresión será equivalente al capital tomado en préstamo, lo que determinará el valor de la anualidad.

Un fondo de amortización no es en el fondo más que un medio de convertir en anualidades una renta perpetua con la única diferencia de que, en el caso de un préstamo por anualidades, el interés se supone constante, mientras que el interés de los fondos adquiridos por el fondo de amortización es variable. Si fuera el mismo en ambos casos, la anualidad correspondiente a los fondos adquiridos estaría formada por estos fondos y por esta anualidad el Estado contribuye anualmente al fondo de amortización.

Si se desea hacer un préstamo vitalicio se observará que las tablas de rentas vitalicias dan el capital requerido para constituir una renta vitalicia a cualquier edad, una simple proporción dará la renta que se debe pagar al individuo de quien se toma prestado el capital.

A partir de estos principios se pueden calcular todos los tipos posibles de préstamos.

Los principios que acabamos de exponer acerca de las ventajas y de las pérdidas de las instituciones pueden servir para determinar el resultado medio de cualquier número de observaciones ya hechas, cuando se desea considerar las desviaciones de los resultados correspondientes a diversas observaciones.

Designemos por x la corrección del menor resultado y por x aumentado sucesivamente en q, q´, q´´, etc., las correcciones de los siguientes resultados. Llamemos e, e´, e´´, etc., a los errores de las observaciones cuya ley de probabilidad supondremos conocida.

Siendo cada observación una función del resultado, es fácil ver que, al suponer que la corrección x de este resultado es muy pequeña, el error e de la primera observación será igual al producto de x por un coeficiente determinado. Del mismo modo, el error e´ de la segunda observación será el producto de la suma q más x, por un coeficiente determinado, y así sucesivamente.

Estando dada la probabilidad del error e por una función conocida, se expresará mediante la misma función del primero de los productos precedentes. La probabilidad de e´ se expresará mediante la misma función del segundo de estos productos, y así sucesivamente con los demás.

La probabilidad de la existencia simultánea de los errores e, e´, e´´, etc., será entonces proporcional al producto de estas diversas funciones, producto que será una función de x. Esto concedido, si se concibe una curva cuya abscisa sea x, y cuya ordenada correspondiente sea este producto, esta curva representará la probabilidad de los diversos valores de x, cuyos límites serán determinados por los límites de los errores e, e´, e´´, etc.

Ahora designemos por X la abscisa que es necesario elegir; X disminuida en x será el error que se cometería si la abscisa x fuera la corrección verdadera. Este error, multiplicado por la probabilidad de x o por la ordenada correspondiente de la curva, será el producto de la pérdida por su probabilidad, considerando, como se debe, este error como una pérdida asociada a la elección X.

Multiplicando este producto por el diferencial de x, la integral tomada desde el primer extremo de la curva hasta X será la desventaja de X resultante de los valores de x inferiores a X.

Para los valores de x superiores a X, x menos X sería el error de X si x fuera la corrección verdadera; la integral del producto de x por la ordenada correspondiente de la curva y por el diferencial de x será entonces la desventaja de X resultante de los valores x superiores a x, siendo tomada esta integral desde x igual a X hasta el último extremo de la curva.

Sumando esta desventaja a la precedente, la suma será la desventaja asociada a la elección de X.

Esta elección debe estar determinada por la condición de que esta desventaja sea un mínimo; y un cálculo muy sencillo muestra que para ello X debe ser la abscisa cuya ordenada divide la curva en dos partes iguales, de modo que es así probable que el verdadero valor de x no caiga ni de un lado ni del otro de X.

Celebrados geómetras han elegido para X el valor más probable de x y en consecuencia el que corresponde a la ordenada más grande de la curva; pero el valor precedente me parece evidentemente el que indica la teoría de la probabilidad.