números tomados de s en s veces, y cuyo denominador es el número de combinaciones de n números tomados igualmente de s en s veces.
Así, en la lotería de Francia, compuesta como se sabe de 90 números de los cuales cinco son extraídos en cada sorteo, la probabilidad de extraer una combinación dada es 5⁄90, o 1⁄18; la lotería debería entonces, para la igualdad del juego, dar dieciocho veces la apuesta.
El número total de combinaciones de dos en dos de los 90 números es 4005, y el de las combinaciones de dos en dos de 5 números es 10. La probabilidad de que se extraiga un par determinado es entonces 1⁄4005, y la lotería debería otorgar cuatrocientos y medio veces lo apostado; debería otorgar 11748 veces para una terna dada, 511038 veces para un cuaternario y 43949268 veces para un quinteto. La lotería dista mucho de otorgar al jugador estas ventajas.
Supóngase que en una urna hay a bolas blancas, b bolas negras, y que después de extraer una bola se vuelve a poner en la urna; se pide la probabilidad de que en un número n de extracciones se obtengan m bolas blancas y n - m bolas negras.
Es evidente que el número de casos que pueden ocurrir en cada extracción es a + b. Pudiendo combinarse cada caso de la segunda extracción con todos los casos de la primera, el número de casos posibles en dos extracciones es el cuadrado del binomio a + b. En el desarrollo de este cuadrado, el cuadrado de a expresa el número de casos en los que se extrae dos veces una bola blanca, el doble producto de a por b expresa el número de casos en los que se extrae una bola blanca y una bola negra. Por último, el cuadrado de b expresa el número de casos en los que se extraen dos bolas negras.
Continuando de este modo, vemos en general que la potencia n-ésima del binomio a + b
expresa el número de todos los casos posibles en n extracciones; y que en el desarrollo de esta potencia el término multiplicado por la potencia m-ésima de a expresa el número de casos en los cuales se pueden extraer m bolas blancas y n - m bolas negras. Dividiendo entonces este término por la potencia entera del binomio, tendremos la probabilidad de extraer m bolas blancas y n - m bolas negras.
Siendo la razón de los números a y a + b la probabilidad de extraer una bola blanca en una extracción; y la razón de los números b y a + b la probabilidad de extraer una bola negra; si llamamos a estas probabilidades p y q, la probabilidad de extraer m bolas blancas en n extracciones será el término multiplicado por la potencia m-ésima de p en el desarrollo de la potencia n-ésima del binomio p + q; podemos ver que la suma p + q es la unidad. Esta propiedad notable del binomio es muy útil en la teoría de las probabilidades.
Pero el método más general y directo para resolver las cuestiones de probabilidad consiste en hacerlas depender de ecuaciones de diferencias.
Comparando los sucesivos estados de la función que expresa la probabilidad cuando aumentamos las variables en sus respectivas diferencias, la cuestión propuesta proporciona a menudo una proporción muy simple entre dichos estados.
Esta proporción es lo que se denomina ecuación de diferencias ordinarias o parciales; ordinarias cuando hay una sola variable, y parciales cuando son varias.
Consideremos algunos ejemplos de esto.