segunda variable se ve disminuida en una unidad. Esta igualdad es una de esas ecuaciones llamadas ecuaciones de diferenciales parciales.
Podemos determinar por su uso las probabilidades de A dividiendo los números más pequeños, y observando que la probabilidad o la función que la expresa es igual a la unidad cuando al jugador A no le falta ni un solo punto, o cuando el primer índice es cero, y que esta función se anula con el segundo índice.
Suponiendo así que al jugador A le falta un solo punto, hallamos que su probabilidad es ½, ¾, 7⁄8, etc., según le falte a B un punto, dos, tres, etc. Generalmente es entonces la unidad menos la potencia de ½, igual al número de puntos que le faltan a B.
Supondremos entonces que al jugador A le faltan dos puntos y su probabilidad se encontrará igual a ¼, ½, 11⁄16, etc., según le falte a B un punto, dos puntos, tres puntos, etc. Supondremos de nuevo que al jugador A le faltan tres puntos, y así sucesivamente.
Este modo de obtener los valores sucesivos de una cantidad por medio de su ecuación de diferencias es largo y laborioso. Los geómetras han buscado métodos para obtener la función general de los índices que satisfaga esta ecuación, de modo que para cualquier caso particular solo necesitemos sustituir en esta función los valores correspondientes de los índices.
Consideremos este tema de una manera general. Con este fin concibamos una serie de términos dispuestos a lo largo de una línea horizontal de modo que cada uno de ellos se derive del precedente según una ley dada. Supongamos que esta ley se expresa mediante una ecuación entre varios términos consecutivos y su índice, o el número que indica el rango que ocupan en la serie.
A esta ecuación la llamo ecuación de diferencias finitas por un solo índice. El orden o el grado de esta ecuación es la diferencia de rango de sus dos términos extremos. Podemos mediante su uso determinar sucesivamente los términos de la serie y continuarla indefinidamente; pero para ello es necesario conocer un número de términos de la serie igual al grado de la ecuación. Estos términos son las constantes arbitrarias de la expresión del término general de la serie o de la integral de la ecuación de diferencias.
Imagínemos ahora por debajo de los términos de la serie precedente una segunda serie de términos dispuestos horizontalmente; imaginemos de nuevo por debajo de los términos de la segunda serie una tercera serie horizontal, y así hasta el infinito; y supongamos los términos de todas estas series conectados por una ecuación general entre varios términos consecutivos, tomados tanto en el sentido horizontal como en el vertical, y los números que indican su rango en ambos sentidos. Esta ecuación se denomina ecuación de diferencias finitas parciales de dos índices.
Imaginemos del mismo modo, debajo del plano de la serie precedente, un segundo plano de series similares, cuyos términos deban colocarse respectivamente debajo de los del primer plano; imaginemos nuevamente debajo de este segundo plano un tercer plano de series similares, y así hasta el infinito; supongamos todos los términos de estas series conectados por una ecuación entre varios términos consecutivos tomados en el sentido de la longitud, la anchura y la profundidad, y los tres números que indican su rango en estos tres sentidos.
A esta ecuación la llamo ecuación de diferencias finitas parciales por tres índices.