Finalmente, considerando la cuestión de un modo abstracto e independientemente de las dimensiones del espacio, imaginemos en general un sistema de magnitudes que sean funciones de un cierto número de índices, y supongamos entre estas magnitudes, sus diferencias relativas respecto a estos índices y los índices mismos, tantas ecuaciones como magnitudes hay; estas ecuaciones serán diferencias finitas parciales respecto a un cierto número de índices.
Somos capaces por su uso de determinar sucesivamente estas magnitudes.
Pero del mismo modo que la ecuación con un solo índice requiere para ello que conozcamos un cierto número de términos de la serie, así la ecuación con dos índices requiere que conozcamos una o varias líneas de series cuyos términos generales deban ser expresados cada uno por una función arbitraria de uno de los índices.
De manera similar, la ecuación con tres índices requiere que conozcamos uno o varios planos de series, cuyos términos generales deban ser expresados cada uno por una función arbitraria de dos índices, y así sucesivamente.
En todos estos casos podremos, mediante eliminaciones sucesivas, determinar un cierto término de la serie.
Pero como todas las ecuaciones entre las cuales eliminamos están comprendidas en el mismo sistema de ecuaciones, todas las expresiones de los términos sucesivos que obtenemos mediante estas eliminaciones deben estar comprendidas en una expresión general, una función de los índices que determinan el rango del término.
Esta expresión es la integral de la ecuación de diferencias propuesta, y su búsqueda es el objeto del cálculo integral.
Taylor es el primero que en su obra titulada Metodus incrementorum ha considerado las ecuaciones lineales de diferencias finitas. Da el modo de integrar aquellas de primer orden con un coeficiente y un último término, funciones del índice. En verdad, las relaciones de los términos de las progresiones aritméticas y geométricas que siempre se han tenido en consideración son los casos más sencillos de las ecuaciones lineales de diferencias; pero no habían sido consideradas desde este punto de vista. Era uno de esos [casos] que, vinculándose a teorías generales, conducen a estas teorías y son, por consiguiente, verdaderos descubrimientos.
Por la misma época, Moivre consideraba, bajo el nombre de series recurrentes, las ecuaciones de diferencias finitas de cierto orden que tienen un coeficiente constante.
Logró integrarlas de un modo muy ingenioso. Como siempre es interesante seguir los progresos de los inventores, expondré el método de Moivre aplicándolo a una serie recurrente cuya relación entre tres términos consecutivos es dada.
Primero considera la relación entre los términos consecutivos de una progresión geométrica o la ecuación de dos términos que la expresa. Refiriéndola a términos menores que la unidad, la multiplica en este estado por un factor constante y resta el producto de la primera ecuación. Obtiene así una ecuación entre tres términos consecutivos de la progresión geométrica.