# CAPÍTULO XVIII. NOTICIA HISTÓRICA RELATIVA AL CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES.
Hace mucho tiempo que se determinaron, en los juegos más simples, las proporciones de las suertes que son favorables o desfavorables para los jugadores; las apuestas y las pujas se regulaban según estas proporciones.
Pero nadie antes que Pascal y Fermat había dado los principios y los métodos para someter esta materia al cálculo, y nadie había resuelto las cuestiones bastante complicadas de este género.
Es, pues, a estos dos grandes geómetras a quienes debemos referir los primeros elementos de la ciencia de las probabilidades, cuyo descubrimiento puede incluirse entre las cosas notables que han hecho ilustre al siglo XVII, el siglo que ha rendido el mayor honor al espíritu humano.
El principal problema que resolvieron por diferentes métodos consiste, como hemos visto, en repartir equitativamente la apuesta entre los jugadores, a quienes se supone igualmente hábiles y que acuerdan detener el juego antes de que termine, siendo la condición del juego que, para ganarlo, uno debe alcanzar un número de puntos dado y diferente para cada uno de los jugadores.
Es evidente que el reparto debe hacerse proporcionalmente a las respectivas probabilidades de los jugadores de ganar este juego, dependiendo dichas probabilidades de los números de puntos que aún faltan.
El método de Pascal es muy ingenioso, y en el fondo no es más que la ecuación de diferencias parciales de este problema aplicada a determinar las sucesivas probabilidades de los jugadores, yendo desde los números más pequeños hasta los siguientes.
Este método se limita al caso de dos jugadores; el de Fermat, basado en las combinaciones, se aplica a cualquier número de jugadores. Pascal creyó al principio que estaba, como el suyo, restringido a dos jugadores; esto originó entre ellos una discusión, al término de la cual Pascal reconoció la generalidad del método de Fermat.
Huygens unió los diversos problemas que ya habían sido resueltos y añadió nuevos en un pequeño tratado, el primero que ha aparecido sobre este tema y que lleva por título De Ratiociniis in ludo aleæ.
Varios geómetras se han ocupado del tema desde entonces: Hudde, el gran pensionario, Witt en Holanda, y Halley en Inglaterra, aplicaron el cálculo a las probabilidades de la vida humana, y Halley publicó en este campo la primera tabla de mortalidad.
Casi al mismo tiempo, Jacques Bernoulli propuso a los geómetras varios problemas de probabilidad, cuyas soluciones dio más tarde. Finalmente compuso su bella obra titulada Ars conjectandi, que apareció siete años después de su muerte, ocurrida en 1706. La ciencia de las probabilidades se investiga con mayor profundidad en esta obra que en la de Huygens. El autor ofrece una teoría general de las combinaciones y series, y la aplica a varias cuestiones difíciles relativas a los juegos de azar.
Esta obra sigue siendo notable debido a la justeza y agudeza de visión, al empleo de la fórmula del binomio en este tipo de cuestiones, y a la demostración de este teorema, a saber, que al multiplicar indefinidamente las observaciones y las experiencias, la razón de los sucesos de diferentes naturalezas se aproxima a la de sus probabilidades respectivas en unos límites cuyo intervalo se vuelve más y más estrecho a medida que se multiplican, y se vuelve menor que cualquier cantidad asignable. Este teorema es muy útil para obtener mediante observaciones las leyes y las causas de los fenómenos. Bernoulli concede, con razón, una gran importancia a su demostración, sobre la cual se dice que meditó durante veinte años.
En el intervalo, desde la muerte de Jacques Bernoulli hasta la publicación de su obra, Montmort y Moivre produjeron dos tratados sobre el cálculo de probabilidades.
El de Montmort lleva por título Essai sur les Jeux de hasard; contiene numerosas aplicaciones de este cálculo a diversos juegos. El autor ha añadido en la segunda edición algunas cartas en las que Nicolas Bernoulli da las ingeniosas soluciones de varios problemas difíciles.
El tratado de Moivre, posterior al de Montmort, apareció primero en las Transactions philosophiques del año 1711. Después, el autor lo publicó por separado, y lo ha mejorado sucesivamente en tres ediciones. Esta obra está basada principalmente en la fórmula del binomio y los problemas que contiene tienen, al igual que sus soluciones, una gran generalidad. Pero su rasgo distintivo es la teoría de las series recurrentes y su uso en este tema. Esta teoría es la integración de ecuaciones lineales de diferencias finitas con coeficientes constantes, que Moivre realizó de un modo muy afortunado.
En su obra, Moivre ha retomado la teoría de Jacques Bernoulli en lo que respecta a la probabilidad de los resultados determinados por un gran número de observaciones.
No se contenta con demostrar, como lo hace Bernoulli, que la razón de los acontecimientos que deben ocurrir se aproxima sin cesar a la de sus probabilidades respectivas; sino que da, además, una expresión elegante y simple de la probabilidad de que la diferencia de estas dos razones esté contenida dentro de unos límites dados.
Para este fin determina la razón entre el término mayor del desarrollo de una potencia muy alta del binomio y la suma de todos sus términos, y el logaritmo hiperbólico del exceso de este término sobre los términos adyacentes a él.
Siendo entonces el mayor término el producto de un número considerable de factores, su cálculo numérico resulta impracticable. Para obtenerlo mediante una aproximación convergente, Moivre se sirve de un teorema de Stirling relativo al término medio del binomio elevado a una alta potencia, un teorema notable, sobre todo por esto, en cuanto que introduce la raíz cuadrada de la razón entre la circunferencia y el radio en una expresión que A primera vista parecería ajena a este trascendente.
Además, Moivre quedó muy impresionado por este resultado, que Stirling había deducido a partir de la expresión de la circunferencia en productos infinitos; Wallis había llegado a esta expresión mediante un análisis singular que contiene el germen de la muy curiosa y útil teoría de las integrales definidas.
Muchos eruditos, entre los cuales cabe nombrar a Deparcieux, Kersseboom, Wargentin, Dupré de Saint-Maure, Simpson, Süssmilch, Messance, Moheau, Price, Bailey y Duvillard, han reunido una gran cantidad de datos precisos sobre población, nacimientos, matrimonios y mortalidad. Han proporcionado fórmulas y tablas relativas a rentas vitalicias, tontinas, seguros, etcétera.
Pero en esta breve nota solo puedo indicar estas obras útiles para atenerme a las ideas originales. De este número merece especial mención las esperanzas matemáticas y morales, y el ingenioso principio que Daniel Bernoulli ha dado para someter estas últimas al análisis. Tal es también la feliz aplicación que ha hecho del cálculo de probabilidades a la inoculación.
Uno debe incluir especialmente, en el número de estas ideas originales, la consideración directa de la posibilidad de los acontecimientos deducidos de los acontecimientos observados. Jacques Bernoulli y De Moivre supusieron conocidas estas posibilidades, y buscaron la probabilidad de que el resultado de experiencias futuras las represente cada vez más de cerca.
Bayes, en las Transactions philosophiques del año 1763, buscó directamente la probabilidad de que las posibilidades indicadas por experiencias pasadas estén comprendidas dentro de límites dados; y ha llegado a esto de un modo refinado y muy ingenioso, aunque un tanto enrevesado. Este tema está conectado con la teoría de la probabilidad de las causas y de los acontecimientos futuros, deducidos a partir de los acontecimientos observados.
Algunos años más tarde expuse los principios de esta teoría con una observación acerca de la influencia de las desigualdades que pueden existir entre las suertes que se suponen iguales. Aunque no se sabe a cuál de los acontecimientos simples favorecen estas desigualdades, no obstante, esta misma ignorancia a menudo aumenta la probabilidad de los acontecimientos compuestos.
Al generalizar el análisis y los problemas relativos a las probabilidades, fui conducido al cálculo de las diferencias finitas parciales, que Lagrange ha tratado desde entonces mediante un método muy sencillo, cuyas elegantes aplicaciones ha utilizado en este tipo de problemas.
La teoría de las funciones generatrices que publiqué por la misma época incluye estos temas entre los que abarca, y se adapta por sí misma y con la mayor generalidad a las cuestiones más difíciles de la probabilidad.
Determina de nuevo, mediante aproximaciones muy convergentes, los valores de las funciones compuestas de un gran número de términos y factores; y al mostrar que la raíz cuadrada de la relación entre la circunferencia y el radio entra con mayor frecuencia en estos valores, demuestra que se puede introducir una infinidad de otros trascendentes.
Testimonios, votos y decisiones de las asambleas electorales y deliberativas, así como los juicios de los tribunales, se han sometido asimismo al cálculo de probabilidades.
Tantas pasiones, diversos intereses y circunstancias complican las cuestiones relativas a estos temas, que casi siempre resultan insolubles.
Pero la solución de problemas muy sencillos que guardan una gran analogía con ellos, suele arrojar sobre cuestiones difíciles e importantes una gran luz, cuya certeza conferida por el cálculo la hace siempre preferible a los razonamientos más especiosos.
Una de las aplicaciones más interesantes del cálculo de probabilidades se refiere a los valores medios que deben elegirse entre los resultados de las observaciones.
Muchos geómetras han estudiado el tema, y Lagrange ha publicado en las Mémoires de Turin un hermoso método para determinar estos valores medios cuando se conoce la ley de los errores de las observaciones. Yo he dado para el mismo fin un método basado en un artificio singular que puede emplearse con ventaja en otras cuestiones de análisis; y este, al permitir la extensión indefinida en todo el curso de un largo cálculo de las funciones que debieran estar limitadas por la naturaleza del problema, indica las modificaciones que cada término del resultado final debe recibir en virtud de estas limitaciones.
Ya se ha visto que cada observación suministra una ecuación de condición de primer grado, la cual siempre puede disponerse de tal manera que todos sus términos estén en el primer miembro, siendo cero el segundo. El uso de estas ecuaciones es una de las principales causas de la gran precisión de nuestras tablas astronómicas, porque un número inmenso de excelentes observaciones ha concurrido así a determinar sus elementos.
Cuando hay un solo elemento que determinar, Côtes prescribió que las ecuaciones de condición se prepararan de tal manera que el coeficiente del elemento desconocido fuera positivo en cada una de ellas; y que todas estas ecuaciones se sumaran para formar una ecuación final, de donde se deriva el valor de este elemento. La regla de Côtes fue seguida por todos los calculadores, pero como él omitió determinar varios elementos, no había una regla fija para combinar las ecuaciones de condición de manera que se obtuvieran las ecuaciones finales necesarias; sino que se elegían para cada elemento las observaciones más adecuadas para determinarlo.
Fue para obviar estas vacilaciones que Legendre y Gauss concluyeron por sumar los cuadrados de los primeros miembros de las ecuaciones de condición, y hacer que la suma fuera un mínimo, variando cada elemento desconocido; por este medio se obtienen directamente tantas ecuaciones finalidades como elementos hay.
Pero ¿merecen los valores determinados por estas ecuaciones la preferencia sobre todos los que pueden obtenerse por otros medios? A esta pregunta, el cálculo de probabilidades era el único capaz de responder. Lo apliqué, pues, a este asunto, y obtuve mediante un análisis delicado una regla que incluye el método precedente y que añade a la ventaja de dar, mediante un proceso regular, los elementos deseados, la de obtenerlos con la mayor apariencia de evidencia a partir del conjunto de las observaciones, y de determinar los valores que solo dejan temer los menores errores posibles.
Sin embargo, solo tenemos un conocimiento imperfecto de los resultados obtenidos, en tanto que se desconoce la ley de los errores de los que son susceptibles; debemos ser capaces de asignar la probabilidad de que estos errores estén contenidos dentro de unos límites dados, lo que equivale a determinar lo que he llamado el peso de un resultado.
El análisis conduce a fórmulas generales y simples para este propósito. He aplicado este análisis a los resultados de las observaciones geodésicas. El problema general consiste en determinar las probabilidades de que los valores de una o de varias funciones lineales de los errores de un número muy grande de observaciones estén contenidos dentro de unos límites cualesquiera.
La ley de la posibilidad de los errores de las observaciones introduce en las expresiones de estas probabilidades una constante, cuyo valor parece requerir el conocimiento de esta ley, el cual es casi siempre desconocido. Afortunadamente, esta constante puede determinarse a partir de las observaciones.
En la investigación de los elementos astronómicos, esta viene dada por la suma de los cuadrados de las diferencias entre cada observación y la calculada.
Siendo los errores igualmente probables proporcionales a la raíz cuadrada de esta suma, se puede, mediante la comparación de estos cuadrados, apreciar la exactitud relativa de las diferentes tablas de una misma estrella.
En las operaciones geodésicas, estos cuadrados son reemplazados por los cuadrados de los errores de las sumas observadas de los tres ángulos de cada triángulo. La comparación de los cuadrados de estos errores nos permitirá juzgar la precisión relativa de los instrumentos con los que se han medido los ángulos. Mediante esta comparación se observa la ventaja del círculo repetidor sobre los instrumentos que ha reemplazado en la geodesia.
Existe a menudo en las observaciones muchas fuentes de errores: así, estando determinadas las posiciones de las estrellas por medio del anteojo meridiano y del círculo, ambos susceptibles de errores cuya ley de probabilidad no debe suponerse la misma, los elementos que se deducen de estas posiciones resultan afectados por estos errores.
Las ecuaciones de condición, que se forman para obtener estos elementos, contienen los errores de cada instrumento y tienen diversos coeficientes. El sistema más ventajoso de factores por el cual estas ecuaciones deben ser multiplicadas respectivamente, para obtener, mediante la unión de los productos, tantas ecuaciones finales como elementos hay que determinar, ya no es el de los coeficientes de los elementos en cada ecuación de condición.
El análisis de que me he servido conduce fácilmente, cualquiera que sea el número de las fuentes de error, al sistema de factores que da los resultados más ventajosos, o aquellos en los cuales el mismo error es menos probable que en cualquier otro sistema.
El mismo análisis determina las leyes de probabilidad de los errores de estos resultados. Estas fórmulas contienen tantas constantes desconocidas como fuentes de error hay, y dependen de las leyes de probabilidad de estos errores.
- Se ha visto que, en el caso de una sola fuente, esta constante puede determinarse formando la suma de los cuadrados de los residuos de cada ecuación de condición, cuando se han sustituido los valores hallados para estos elementos.
- Un proceso similar da generalmente los valores de estas constantes, cualquiera que sea su número, lo cual completa la aplicación del cálculo de probabilidades a los resultados de las observaciones.
Debo hacer aquí una observación importante. La pequeña incertidumbre que las observaciones, cuando no son numerosas, dejan respecto a los valores de las constantes de las que acabo de hablar, vuelve un poco inciertas las probabilidades determinadas por el análisis.
Pero casi siempre basta con saber si la probabilidad de que los errores de los resultados obtenidos estén comprendidos dentro de límites estrechos se aproxima mucho a la unidad; y cuando no es así, basta con saber hasta qué punto deben multiplicarse las observaciones para obtener una probabilidad tal que no quede ninguna duda razonable respecto a la exactitud de los resultados.
Las fórmulas analíticas de probabilidades satisfacen perfectamente esta exigencia; y en este sentido pueden considerarse como el complemento necesario de las ciencias basadas en un conjunto de observaciones susceptibles de error. Asimismo, son indispensables para resolver un gran número de problemas en las ciencias naturales y morales.
Las causas regulares de los fenómenos son con mayor frecuencia o desconocidas o demasiado complicadas para someterse al cálculo; además, su acción se ve a menudo perturbada por causas accidentales e irregulares; pero su impronta permanece siempre en los acontecimientos producidos por todas estas causas y conduce a modificaciones que solo una larga serie de observaciones puede determinar. El análisis de probabilidades desarrolla estas modificaciones; asigna la probabilidad de sus causas e indica los medios para aumentar continuamente esta probabilidad.
Así, en medio de las causas irregulares que perturban la atmósfera, los cambios periódicos del calor solar, del día a la noche y del invierno al verano, producen en la presión de esta gran masa fluida y en la altura correspondiente del barómetro las oscilaciones diurnas y anuales; y numerosas observaciones barométricas han revelado las primeras con una probabilidad al menos igual a la de los hechos que consideramos ciertos.
Así es también como la serie de acontecimientos históricos nos muestra la acción constante de los grandes principios de la ética en medio de las pasiones y de los diversos intereses que perturban a las sociedades de todas las maneras. Es notable que una ciencia que comenzó con la consideración de los juegos de azar haya sido elevada al rango de los temas más importantes del conocimiento humano.
He reunido todos estos métodos en mi Théorie analytique des Probabilités, en la que me he propuesto exponer de la manera más general los principios y el análisis del cálculo de probabilidades, así como las soluciones a los problemas más interesantes y más difíciles que el cálculo presenta.
Se ve en este ensayo que la teoría de las probabilidades es en el fondo solo el sentido común reducido al cálculo; nos hace apreciar con exactitud aquello que las mentes exactas sienten por una especie de instinto sin poder muchas veces dar una razón de ello.
No deja arbitrariedad alguna en la elección de las opiniones y de los partidos que deban tomarse; y mediante su uso siempre puede determinarse la elección más ventajosa. Con ello suple de la manera más feliz la ignorancia y la debilidad de la mente humana.
Si consideramos los métodos analíticos a los que esta teoría ha dado nacimiento; la verdad de los principios que sirven de base; la lógica fina y delicada que su empleo en la solución de problemas requiere; los establecimientos de utilidad pública que se apoyan en ella; la extensión que ha recibido y que aún puede recibir por su aplicación a las cuestiones más importantes de la filosofía natural y de la ciencia moral; si consideramos además que, aun en las cosas que no pueden someterse al cálculo, da los indicios más seguros que pueden guiarnos en nuestros juicios, y que nos enseña a evitar las ilusiones que muchas veces nos confunden, veremos entonces que no hay ciencia más digna de nuestras meditaciones, y que ninguna otra más útil podría ser incorporada en el sistema de instrucción pública.