104. Supóngase que se requiere dividir 49 yardas en cinco partes iguales, o, como se suele decir, hallar la quinta parte de 49 yardas. Si dividimos 49 por 5, el cociente es 9, y el resto es 4; es decir (72), 49 se compone de 5 veces 9 y 4. Sea la línea a b la que representa 49 yardas:

Tómense 5 líneas, c, d, e, f y g, cada una de 9 yardas de longitud, y la línea h, de 4 yardas de longitud. Luego, dado que 49 son 5 nueves y 4, c, d, e, f, g y h son juntas iguales a a b.

Divídase h, que tiene 4 yardas, en cinco partes iguales, i, k, l, m y n, y colóquese una de estas partes frente a cada una de las líneas, c, d, e, f y g. De ello se deduce que las diez líneas, c, d, e, f, g, i, k, l, m, n, son juntas iguales a a b, o 49 yardas.

Ahora bien, d y k juntas son de la misma longitud que c y i juntas, al igual que e y l, f y m, y g y n. Por lo tanto, c y i juntas, repetidas 5 veces, serán 49 yardas; es decir, c y i juntas componen la quinta parte de 49 yardas.

105. c es un cierto número de yardas, a saber, 9; pero i es una nueva clase de cantidad, a la cual nunca hasta ahora habíamos llegado. No es un número exacto de yardas, pues surge de dividir 4 yardas en 5 partes y tomar una de esas partes. Es la quinta parte de 4 yardas, y se llama una fracción de yarda. Se escribe así, ⁴/₅(23), y es lo que debemos añadir a 9 yardas para completar la quinta parte de 49 yardas.

El mismo razonamiento se aplicaría a la división de 49 fanegas de maíz, o 49 acres de tierra, en 5 partes iguales. Encontraríamos para la quinta parte de la primera, 9 fanegas y la quinta parte de 4 fanegas; y para la segunda, 9 acres y la quinta parte de 4 acres.

Decimos, pues, de una vez por todas, que la quinta parte de 49 es 9 y ⁴/₅, o 9 + ⁴/₅; lo que suele escribirse (9⁴/₅), o si empleamos signos, 49/5 = (9⁴/₅).

EJERCICIOS.

¿Cuál es la decimoséptima parte de 1237?—Respuesta, (72-¹³/₁₇).

106. By the term fraction is understood a part of any number, or the sum of any of the equal parts into which a number is divided. Thus, ⁴⁹/₅, ⁴/₅, ²⁰/₇, are fractions. The term fraction even includes whole numbers:¹

for example, 17 is ¹⁷/₁, ³⁴/₂, ⁵¹/₃, &c.

El número superior se llama numerador, el número inferior se llama denominador, y ambos se denominan términos de la fracción.

Siempre que el numerador sea menor que el denominador, la fracción es menor que la unidad; así, ⁶/₁₇ es menor que la unidad; pues 6 dividido en 6 partes da 1 para cada parte, y debe dar menos al ser dividido en 17 partes.

De igual modo, la fracción es igual a la unidad cuando el numerador y el denominador son iguales, y mayor que la unidad cuando el numerador es mayor que el denominador.

107. Por ⅔ se entiende la tercera parte de 2. Esto es lo mismo que dos veces la tercera parte de 1.

Para demostrar esto, sean a b dos yardas, y divídase cada una de las yardas a c y c b en tres partes iguales.

Luego, puesto que $ae$, $ef$ y $fb$ son todos iguales entre sí, $ae$ es la tercera parte de $2$. Por lo tanto, es $\frac{2}{3}$. Pero $ae$ es dos veces $ad$, y $ad$ es la tercera parte de una yarda, o sea $\frac{1}{3}$; por consiguiente, $\frac{2}{3}$ es dos veces $\frac{1}{3}$; es decir, para obtener la longitud $\frac{2}{3}$, da lo mismo dividir dos yardas a la vez en tres partes y tomar una de ellas, o dividir una yarda en tres partes y tomar dos de ellas.

Siguiendo el mismo razonamiento, $\frac{5}{8}$ puede hallarse ya sea dividiendo $5$ en $8$ partes y tomando una de ellas, o dividiendo $1$ en $8$ partes y tomando cinco de ellas. En el futuro, de estos dos significados usaré el que sea más conveniente en cada momento, puesto que se ha demostrado que son la misma cosa.

Este principio es el mismo que el siguiente: La tercera parte de cualquier número puede obtenerse sumando los tercios de todas las unidades de las que consta. Así, la tercera parte de $2$, o de dos unidades, se obtiene tomando un tercio de cada una de las unidades, es decir,

⅔ = ⅓ × 2.

Este significado parece ambiguo cuando el numerador es mayor que el denominador: así, ¹⁵/₇ significaría que 1 debe dividirse en 7 partes, y deben tomarse 15 de ellas. Debemos permitir aquí que tantas unidades sean divididas cada una en 7 partes como sea necesario para obtener más de 15 de esas partes, y tomar 15 de ellas.

108. El valor de una fracción no se altera si se multiplican el numerador y el denominador por la misma cantidad. Tomemos la fracción ¾, multipliquemos su numerador y su denominador por 5, y se convierte en ¹⁵/₂₀, que es lo mismo que ¾; es decir, la vigésima parte de 15 yardas es lo mismo que la cuarta parte de 3 yardas: o bien, si se usa nuestro segundo significado de la palabra fracción, se obtiene la misma longitud dividiendo una yarda en 20 partes y tomando 15 de ellas, que la que se obtiene dividiéndola en 4 partes y tomando 3 de ellas. Para demostrar esto,

sea a b una yarda; divídase en 4 partes iguales, a c, c d, d e y e b, y divídase cada una de estas partes en 5 partes iguales.

Entonces a e es ¾.

Pero la segunda división corta la línea en 20 partes iguales, de las cuales a e contiene 15. Por lo tanto, es ¹⁵/₂₀. En consecuencia, ¹⁵/₂₀ y ¾ son la misma cosa.

Nuevamente, dado que ¾ se obtiene a partir de ¹⁵/₂₀ dividiendo tanto el numerador como el denominador por 5, el valor de una fracción no se altera al dividir tanto su numerador como su denominador por la misma cantidad.

Este principio, que es de tanta importancia en todas las partes de la aritmética, se utiliza a menudo en el lenguaje común, como cuando decimos que 14 de cada 21 son 2 de cada 3, etc.

109. Aunque las dos fracciones ¾ y ¹⁵/₂₀ tienen el mismo valor, y cualquiera de ellas puede usarse en lugar de la otra sin error, la primera es más conveniente que la segunda, no solo porque se tiene una idea más clara de la cuarta parte de tres yardas que de la vigésima parte de quince yardas, sino porque los números de la primera, al ser más pequeños, son más convenientes para la multiplicación y la división.

Por consiguiente, resulta útil, cuando se da una fracción, averiguar si su numerador y su denominador tienen algún divisor común o medida común. En (98) se dio una regla para hallar la mayor medida común de dos números cualesquiera; y se demostró que cuando los dos números se dividen por su mayor medida común, los cocientes no tienen otra medida común que 1. Halle la mayor medida común de los términos de la fracción y divídalos por ese número. Se dice entonces que la fracción está reducida a sus términos mínimos, y se encuentra en el estado en el que se puede formar la mejor noción de su magnitud.

EJERCICIOS.

Con cada fracción se escribe la misma reducida a su mínima expresión.

110. Cuando los términos de la fracción dada ya están en factores,² cualquiera de los factores del numerador puede dividirse por un número, siempre que algún factor del denominador se divida por el mismo. Esto se deduce de (88) y (108). En los siguientes ejemplos, las cifras alteradas por la división llevan un acento.

111. Como podemos, según el (108), multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por cualquier número, sin alterar su valor, podemos reducir fácilmente ahora dos fracciones a otras dos, que tengan el mismo valor que las dos primeras, y que tengan el mismo denominador. Tomemos, por ejemplo, ⅔ y ⁴/₇; multiplíquense ambos términos de ⅔ por 7, y ambos términos de ⁴/₇ por 3. Resulta entonces que

He aquí pues dos fracciones ¹⁴/₂₁ y ¹²/₂₁, iguales a ⅔ y ⁴/₇, y que tienen el mismo denominador, 21; en este caso, se dice que ⅔ y ⁴/₇ están reducidas a un denominador común.

Se requiere reducir ⅒, ⅚ y ⁷/₉ a un denominador común.

Multiplíquese ambos términos del primero por el producto de 6 y 9; los del segundo por el producto de 10 y 9; y los del tercero por el producto de 10 y 6. Entonces resulta (108) que

Al observar estas últimas fracciones, vemos que todos los numeradores y el denominador común son divisibles por 6, y (108) esta división no alterará sus valores. Al dividir los numeradores y denominadores de ⁵⁴/₅₄₀, ⁴⁵⁰/₅₄₀ y ⁴²⁰/₅₄₀ entre 6, las fracciones resultantes son ⁹/₉₀, ⁷⁵/₉₀ y ⁷⁰/₉₀. Estas son fracciones con un denominador común, y que son las mismas que ⅒, ⅚ y ⁷/₉; y por lo tanto estas son una respuesta más simple a la pregunta que las primeras fracciones.

Observad también que 540 es un múltiplo común de 10, 6 y 9, a saber, 10 × 6 × 9, pero que 90 es el mínimo múltiplo común de 10, 6 y 9 (103).

Por consiguiente, el siguiente procedimiento es mejor. Para reducir las fracciones ⅒, ⅚ y ⁷/₉ a otras que tengan el mismo valor y un denominador común, comenzad por hallar el mínimo común múltiplo de 10, 6 y 9, según la regla de (103), que es 90. Observad que 10, 6 y 9 están contenidos en 90 9, 15 y 10 veces. Multiplicad ambos términos de la primera por 9, de la segunda por 15 y de la tercera por 10, y las fracciones así producidas son ⁹/₉₀, ⁷⁵/₉₀ y ⁷⁰/₉₀, las mismas que antes.

Si uno de los números fuere un número entero, podrá reducirse a una fracción que tenga el denominador común de los demás, por (106).

EJERCICIOS.

112. Reduciendo dos fracciones a un denominador común, podemos compararlas; es decir, decir cuál de las dos es la mayor y cuál la menor. Por ejemplo, tomemos ½ y ⁷/₁₅. Estas fracciones reducidas, sin alteración de su valor, a un denominador común, son ¹⁵/₃₀ y ¹⁴/₃₁. De estas, la primera debe ser la mayor, porque (107) puede obtenerse dividiendo 1 en 30 partes iguales y tomando 15 de ellas, pero la segunda se hace tomando 14 de esas partes.

Es evidente que de dos fracciones que tienen el mismo denominador, la mayor tiene el mayor numerador; y también que de dos fracciones que tienen el mismo numerador, la mayor tiene el menor denominador.

Así, ⁸/₇ es mayor que ⁸/⁹, ya que la primera es una séptima parte, y la última tan solo una novena parte de 8. Asimismo, cualquier numerador puede hacerse perteneciente a una fracción tan pequeña como queramos, aumentando suficientemente el denominador. Así, ¹⁰/₁₀₀ es ¹/₁₀, ¹⁰/₁₀₀₀ es ¹/₁₀₀, y ¹⁰/₁₀₀₀₀₀₀ es ¹/₁₀₀₀₀₀₀ (108).

Ahora también podemos aumentar y disminuir la primera fracción por medio de la segunda.

Pues la primera fracción se compone de 15 de las 30 partes iguales en que se divide 1. La segunda fracción es de 14 de esas partes. La suma de ambas, por lo tanto, debe ser 15 + 14, o 29 de esas partes; es decir, ½ + ⁷/₁₅ es ²⁹/₃₀. La diferencia de ambas debe ser 15-14, o 1 de esas partes; es decir, ½-⁷/₁₅ = ¹/₃₀.

113. De los dos últimos artículos se deducen las siguientes reglas:

I. Para comparar, sumar o restar fracciones, redúzcanse primero a un denominador común. Hecho esto, es mayor aquella fracción que tiene el numerador mayor.

Su suma tiene la suma de los numeradores por numerador, y el denominador común por denominador.

Su diferencia tiene la diferencia de los numeradores por numerador, y el denominador común por denominador.

EJERCICIOS.

114. Supóngase que se requiere sumar un número entero a una fracción, por ejemplo, 6 a ⁴/₉. Según (106) 6 es ⁵⁴/₉, y ⁵⁴/₉ + ⁴/₉ es ⁵⁸/⁹; es decir, 6 + ⁴/₉, o como se escribe usualmente, (6⁴/₉), es ⁵⁸/⁹.

La regla en este caso es: Multiplíquese el número entero por el denominador de la fracción, y al producto súmese el numerador de la fracción; la suma será el numerador del resultado, y el denominador de la fracción será su denominador.

Así, (3¼) = ¹³/₄, (22⁵/₉) = ²⁰³/₉, (74²/₅₅) = ⁴⁰⁷²/₅₅.

Esta regla es la opuesta a la de (105).

115. De la última regla se desprende que

Por consiguiente, cuando hay que sumar un número entero a una fracción cuyo denominador es un 1 seguido de ceros, cuya cantidad no es menor que el número de cifras del numerador, la regla es la siguiente:

Escríbase primero el número entero y luego el numerador de la fracción, poniendo entre ambos tantos ceros como exceda el número de ceros del denominador al número de cifras del numerador. Este es el numerador del resultado, y el denominador de la fracción es su denominador. Si el número de ceros del denominador es igual al número de cifras del numerador, no se escriba ningún cero entre el número entero y el numerador.

EJERCICIOS.

Reduzca las siguientes cantidades mixtas a fracciones:

116. Supóngase que se requiere multiplicar ⅔ por 4. Esto según (48) es tomar ⅔ cuatro veces; esto es, hallar ⅔ + ⅔ + ⅔ + ⅔. Esto según (112) es ⁸/₃; de modo que, para multiplicar una fracción por un número entero, la regla es: Multiplicar el numerador por el número entero, y dejar el denominador.

117. Si el denominador de la fracción es divisible por el número entero, la regla puede enunciarse así: divídase el denominador de la fracción por el número entero, y déjese el numerador como está. Por ejemplo, multiplíquese ⁷/₃₆ por 6. Esto (116) es ⁴²/₃₆, lo cual, puesto que el numerador y el denominador son ahora divisibles por 6, equivale (108) a ⁷/₆.

Es evidente que ⁷/₆ se obtiene a partir de ⁷/₃₆ de la manera indicada en la regla.

118. La multiplicación ha sido definida como la acción de tomar un número tantas veces como unidades hay en otro. Así, multiplicar 12 por 7 consiste en tomar tantos doces como unidades hay en 7, o en tomar 12 tantas veces como es necesario tomar el 1 para formar el 7. De este modo, lo que se hace con el 1 para formar el 7, se hace con el 12 para formar 7 veces 12. Por ejemplo,

Cuando se hace lo mismo con dos fracciones, el resultado sigue llamándose su producto, y el proceso sigue llamándose multiplicación.

Existe esta diferencia: mientras que un número entero se forma sumando el 1 a sí mismo un cierto número de veces, una fracción se forma dividiendo el 1 en un número de partes iguales, y sumando una de estas partes a sí misma un cierto número de veces.

Siendo este el significado de la palabra multiplicación, aplicada a las fracciones, ¿cuánto es ¾ multiplicado por ⅞?

Todo lo que se le haga al 1 para obtener ⅞ debe hacérsele ahora a ¾; pero para obtener ⅞, el 1 se divide en 8 partes y se toman 7 de ellas. Por lo tanto, para obtener ¾ × ⅞, ¾ debe dividirse en 8 partes y deben tomarse 7 de ellas.

Ahora bien, según (108), ¾ es lo mismo que ²⁴/₃₂. Puesto que ²⁴/₃₂ se forma dividiendo el 1 en 32 partes y tomando 24 de ellas, o, lo que es lo mismo, tomando 3 de ellas 8 veces, si se divide ²⁴/₃₂ en 8 partes iguales, cada una de ellas es ³/₃₂; y si se toman 7 de estas partes, el resultado es ²¹/₃₂ (116): por lo tanto, ¾ multiplicado por ⅞ es ²¹/₃₂; y el mismo razonamiento puede aplicarse a cualesquiera otras fracciones.

Pero ²¹/₃₂ se obtiene a partir de ¾ y ⅞ multiplicando los dos numeradores entre sí para el numerador, y los dos denominadores para el denominador; lo cual proporciona una regla para la multiplicación de fracciones.

119. Si este producto ²¹/₃₂ ha de multiplicarse por una tercera fracción, por ejemplo, por ⁵/₉, el resultado es, por la misma regla, ¹⁰⁵/₂₈₈; y así sucesivamente.

La regla general para multiplicar cualquier cantidad de fracciones entre sí es, por tanto:

Multiplica todos los numeradores entre sí para obtener el numerador del producto, y todos los denominadores entre sí para obtener su denominador.

120. Supóngase que se requiere multiplicar entre sí ¹⁵/₁₆ y ⁸/₁₀. El producto puede escribirse así:

que reducida a su mínima expresión (109) es ¾. Este resultado podría haberse obtenido directamente, observando que 15 y 10 son ambos divisibles por 5, y 8 y 16 son ambos divisibles por 8, y que la fracción puede escribirse así:

• 3 × 5 × 8
• 2 × 8 × 2 × 5.

Divide tanto su numerador como su denominador por 5 × 8 (108) y (87), y el resultado es inmediatamente ¾; por lo tanto, antes de proceder a multiplicar cualquier cantidad de fracciones juntas, si hay algún numerador y algún denominador, ya sea que pertenezcan a la misma fracción o no, que tengan una medida común, divídalos a ambos por esa medida común, y use los cocientes en lugar de los dividendos.

Un número entero puede considerarse como una fracción cuyo denominador es 1; así, el 16 es ¹⁶/₁ (106); y la misma regla se aplicará cuando una o más de las cantidades sean números enteros.

EJERCICIOS.

De 100 acres de terreno, dos terceras partes de ellos son quitadas; 50 acres son entonces añadidos al resultado, y ⁵/₇ del total es tomado; ¿qué número de acres produce esto?—Respuesta, (59¹¹/₂₁).

121. Al dividir un número entero por otro, por ejemplo, 108 entre 9, se plantea esta pregunta: ¿Podemos, mediante la adición de cualquier cantidad de nueves, producir 108? y, de ser así, ¿cuántos nueves serán suficientes para ese propósito?

Supongamos que tomamos dos fracciones, por ejemplo, ⅔ y ⅘, y preguntamos: ¿Podemos, dividiendo ⅘ en cierto número de partes iguales y sumando cierto número de estas partes, producir ⅔? Si es así, ¿en cuántas partes debemos dividir ⅘ y cuántas de ellas debemos sumar?

La solución a esta pregunta todavía se denomina la división de ⅔ entre ⅘; y la fracción cuyo denominador es el número de partes en el que se divide ⅘, y cuyo numerador es el número de ellas que se toma, se llama el cociente. La solución de esta cuestión es la siguiente:

Redúzcanse ambas fracciones a un denominador común (111), lo cual no altera su valor (108); entonces se convierten en ¹⁰/₁₅ y ¹²/₁₅. La cuestión ahora es dividir ¹²/₁₅ en un número de partes y producir ¹⁰/₁₅ tomando un número de estas partes. Puesto que ¹²/₁₅ se forma dividiendo 1 en 15 partes y tomando 12 de ellas, si dividimos ¹²/₁₅ en 12 partes iguales, cada una de estas partes es ¹/₁₅; si tomamos 10 de estas partes, el resultado es ¹⁰/₁₅.

Por lo tanto, para producir ¹⁰/₁₅ o ⅔ (108), debemos dividir ¹²/₁₅ o ⅘ en 12 partes y tomar 10 de ellas; es decir, el cociente es ¹⁰/₁₂. Si llamamos a ⅔ el dividendo y a ⅘ el divisor, como antes, el cociente en este caso se deduce de la siguiente regla, que el mismo razonamiento demostrará que se aplica a otros casos:

El numerador del cociente es el numerador del dividendo multiplicado por el denominador del divisor. El denominador del cociente es el denominador del dividendo multiplicado por el numerador del divisor.

Esta regla es la inversa de la multiplicación, como se verá al comparar lo que se requiere en ambos casos.

Al multiplicar ⅘ por ¹⁰/₁₂, me pregunto: si de ⅘ se toman 10 partes de 12, ¿cuánto de una unidad se toma?, y la respuesta es ⁴⁰/⁶⁰, o ⅔.

Nuevamente, al dividir ⅔ entre ⅘, me pregunto qué parte de ⅘ es ⅔, cuya respuesta es ¹⁰/₁₂.

122. Tomando el siguiente ejemplo, veremos que esta regla puede a veces simplificarse. Divida ¹⁶/₃₃ entre ²⁸/₁₅. Obsérvese que 16 es 4 × 4, y 28 es 4 × 7; 33 es 3 × 11, y 15 es 3 × 5; por lo tanto, las dos fracciones son

y su cociente, según la regla, es

• 4 × 4 × 3 × 5
• 3 × 11 × 4 × 7,

en el cual $4\times 3$ se encuentra tanto en el numerador como en el denominador. La fracción es por lo tanto (108) la misma que

La regla del artículo anterior admite, por tanto, esta modificación:

Si los dos numeradores o los dos denominadores tienen una medida común, divídase por dicha medida común y úsense los cocientes en lugar de los dividendos.

123. Al dividir una fracción entre un número entero, por ejemplo, ⅔ entre 15, considérese el 15 como la fracción ¹⁵/₁. La regla da ²/⁴⁵ como el cociente. Por lo tanto, para dividir una fracción entre un número entero, multiplíquese el denominador por dicho número entero.

EJERCICIOS.

A puede segar un campo en 12 días, B en 6 y C en 4 días; ¿en qué tiempo pueden hacerlo todos juntos?³—Respuesta, 2 días.

¿En qué tiempo se llenaría una cisterna mediante llaves que la llenarían por separado en 12, 11, 10 y 9 horas?—Respuesta, (2⁴⁵⁴/₇₆₃) horas.

124. Los principales resultados de esta sección pueden expresarse algebraicamente del siguiente modo; sean a, b, c, etc., cualesquiera números enteros. Entonces

125. Estos resultados son verdaderos incluso cuando las letras mismas representan fracciones. Por ejemplo, tómese la fracción

• a/b
• c/d

cuyo numerador y denominador son fraccionarios, y multiplicar su numerador y denominador por la fracción

el cual, dividiendo el numerador y el denominador por ef (108), resulta

• an
• bc

Pero la fracción original en sí es

• an
• bc

por lo tanto

lo cual corresponde a la segunda fórmula⁴ en (124). De manera semejante puede demostrarse que las demás fórmulas del mismo artículo son verdaderas cuando las letras allí empleadas representan fracciones, o son eliminadas e introducidas fracciones en su lugar. Todas las fórmulas establecidas a lo largo de esta obra son igualmente verdaderas cuando se sustituyen números enteros por fracciones. Por ejemplo (54), (m + n)a = ma + na. Sean m, n y a, respectivamente, las fracciones

Entonces m + n es

y (m + n)a es

Por lo tanto (m + n)a, o

De manera semejante se puede demostrar lo mismo para cualquier otra fórmula.

Los siguientes ejemplos pueden ser útiles:

Así,

Las reglas que se ha demostrado que son válidas para todos los números pueden aplicarse cuando los números están representados por letras.