Notas

Se han impreso algunos ejemplares separados de estos Apéndices para quienes deseen agregarlos a las ediciones anteriores.

Las referencias se refieren a los artículos precedentes.

Cualquier pequeño cálculo que aparezca en el resto de esta sección puede hacerse con los dedos o con fichas.

Esto debería ser (23) a × a, pero el signo × es innecesario aquí. Se usa con números, como en 2 × 7, para evitar confundir esto, que es 14, con 27.

En este y en todos los demás procesos, se recomienda encarecidamente al estudiante que consulte y siga el primer Apéndice.

Aquellos números que han sido alterados se ponen en cursiva.

Como es habitual aprender el producto de los números hasta el 12 por 12, he extendido la tabla hasta ese punto. En mi opinión, todos los alumnos que muestren una capacidad tolerable deberían memorizar lentamente los productos hasta el 20 por 20, en el transcurso de su progreso a través de esta obra.

Si tiene alguna duda sobre esta expresión, recuerde que significa «contiene más de dos dieciochos, pero no llega a tres».

Entre los números pares incluimos el 0.

Incluyendo tanto cifras como otros.

Para abreviar, reduzco las palabras máximo común divisor a sus letras iniciales, m. c. d.

Los números que contienen un número exacto de unidades, como 5, 7, 100, etc., se denominan números enteros, cuando deseamos distinguirlos de las fracciones.

Un factor de un número es un número que lo divide sin resto: así, 4, 6, 8 son factores de 24, y 6 × 4, 8 × 3, 2 × 2 × 2 × 3 son varias maneras de descomponer el 24 en factores.

El método para resolver esta y la siguiente pregunta puede mostrarse así: Si se da el número de días en que cada uno podría segar el campo, se puede hallar la parte que cada uno podría hacer en un día por sí mismo, y de ahí la parte que todos podrían hacer juntos; una vez sabido esto, se puede hallar el número de días que les tomaría a todos hacer el todo.

Una fórmula es un nombre que se da a cualquier expresión algebraica de uso común.

O suprimir cifras del divisor; o completar el número de cifras quitando en parte del divisor y añadiendo al dividendo, si no hubiere un número suficiente en el divisor.

No son del todo correctos, pero sí lo suficientemente precisos para cualquier propósito práctico.

El 1′ de aquí significa que el 1 está en el multiplicador.

Es decir, por supuesto, un número verdaderamente fraccionario, como ⅞ o ¹⁵/₁₁, y no uno que, aunque tenga forma de fracción, sea entero en realidad, como ¹⁰/₅ o ²⁷/₃.

Por número cuadrado entiendo aquel que tiene una raíz cuadrada. Así, el 25 es un número cuadrado, pero el 26 no lo es.

El término «raíz» se usa frecuentemente como abreviatura de raíz cuadrada.

O, más simplemente, añádase la segunda cifra de la raíz al primer divisor.

Este es un nombre muy incorrecto, ya que el término «aritmética» se aplica por igual a cada noción de este libro. Es necesario, sin embargo, que el alumno use las palabras en el sentido en que serán usadas en sus estudios posteriores.

Aquí puede hacerse la misma observación que se hizo en la nota sobre el término «proporción aritmética», página 101. La palabra «geométrica» se omite, por lo general, excepto cuando deseamos distinguir entre este tipo de proporción y la que se ha denominado aritmética.

Un teorema es un hecho matemático general: así, que todo número es divisible por cuatro cuando sus dos últimas cifras lo son, es un teorema; que en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es otro.

Si se sustituye bx por a en cualquier expresión que sea homogénea con respecto a a y b, el alumno podrá ver fácilmente que b debe aparecer en cada término tantas veces como unidades haya en el grado de la expresión: así, aa + ab se convierte en bxbx + bxb o bb(xx + x); aaa + bbb se convierte en bxbxbx + bbb o bbb(xxx + 1); y así sucesivamente.

La diferencia entre este problema y el anterior se deja a la ingenuidad del alumno.

No es verdad que, si elegimos cualquier cantidad como unidad, cualquier otra cantidad de la misma especie pueda ser representada exactamente ya sea por un cierto número de unidades, o de partes de una unidad. Para comprender cómo se demuestra esto, el alumno requeriría más conocimientos de los que se le pueden suponer; pero podemos mostrarle que, por lo que sabe en contra, puede haber cantidades que no sean ni unidades ni partes de la unidad. Tomemos una línea matemática de un pie de longitud, dividámosla en diez partes, cada una de esas partes en diez partes, y así sucesivamente de forma continua. Si se toma al azar un punto A en la línea, no parece evidente por sí mismo que, por muy lejos que se continúe la división decimal, uno de los puntos de división deba al fin coincidir exactamente en A: tampoco parecería necesariamente verdad lo mismo si la división se hiciera en séptimos, o en onceavos, o de cualquier otra manera. Puede haber entonces posiblemente una parte de un pie que no sea ninguna fracción numérica exacta del pie en absoluto; y esto, en una rama superior de las matemáticas, se descubre que ocurre infinidad de veces.

Desde que esto fue escrito por primera vez, ha ocurrido el accidente. La yarda patrón resultó tan dañada que quedó inservible a causa del incendio en las Cámaras del Parlamento.

El minuto y el segundo se marcan a menudo así, 1′, 1″; pero esta notación está hoy casi por completo reservada al minuto y segundo de medida angular.

Las medidas en cursiva son aquellas que es más necesario que el alumno aprenda de memoria.

Las longitudes de los péndulos que vibrarán en un segundo son ligeramente diferentes en las distintas latitudes. Greenwich es elegida como la estación del Real Observatorio. Podemos añadir que actualmente se abrigan muchas dudas de que el sistema de patrones derivados de la naturaleza sea capaz de esa extrema precisión que antaño se le atribuía.

Se dice que la pulgada se obtuvo originalmente juntando tres granos de cebada.

«Capacidad» es un término que no puede explicarse mejor que por su uso. Cuando una medida contiene más que otra, se dice que es más capaz, o que tiene mayor capacidad.

Desde la publicación de la tercera edición, la medida colmada, que formaba parte del nuevo sistema, ha sido abolida. El siguiente párrafo de la tercera edición servirá como referencia de la misma: «La otra medida imperial se aplica a los productos que se suele vender por medida colmada, y es la siguiente: 2 galones 1 peck 4 pecks 1 bushel 3 bushels 1 saco 12 sacos 1 chaldron. El galón y el bushel de esta medida contienen lo mismo cuando están apenas llenos que en la anterior. El bushel, sin embargo, colmado según lo indicado por la ley del parlamento, es un poco más de una cuarta parte mayor que antes».

Agua pura, depurada de sustancias extrañas por destilación, a una temperatura de 62° Fahr.

Los cuartos de penique nunca se escriben sino como partes de un penique. Así, tres cuartos de penique, al ser ¾ de penique, se escriben ¾ o ¾. Un medio penique puede escribirse como 2/4 o como ½; este último es el más común.

Antes de leer este artículo y el siguiente, los artículos (29) y (42) deben leerse de nuevo con atención.

Cualquier fracción de una unidad, cuyo numerador es la unidad, se denomina generalmente parte alícuota de dicha unidad. Así, 2s. y 10s. son ambas partes alícuotas de una libra, siendo £⅒ y £½.

Un paralelepípedo, o más propiamente dicho, un paralelepípedo rectangular, es una figura con forma de ladrillo; sus lados, sin embargo, pueden ser de cualquier longitud; así, la figura de un tablón recibe el mismo nombre. Un cubo es un paralelepípedo con lados iguales, tal como lo es un dado.

Esto por lo general aparece en el mismo miembro de la oración. En algunos casos debe emplearse el ingenio del alumno para detectarlo. El razonamiento de (238) es la mejor guía. Lo siguiente puede aplicarse muy a menudo: si es evidente que la respuesta debe ser menor que la cantidad dada de su especie, multiplíquese esa cantidad dada por el menor de los otros dos; si mayor, por el mayor. Así, en la primera pregunta, 156 yardas deben costar más que 22; multiplíquese, por lo tanto, por 156.

Es habitual colocar puntos, de la manera aquí mostrada, entre las cantidades. Quienes hayan leído la Sección VIII verán que la Regla de Tres no es más que el procedimiento para hallar el cuarto término de una proporción a partir de los otros tres.

La comisión es lo que un comerciante concede a otro por comprar o vender mercancías en su nombre, y suele ser un porcentaje sobre la suma total empleada. El corretaje es una concesión similar a la comisión, con un nombre diferente, utilizada principalmente en la compra y venta de acciones en los fondos públicos. El seguro es un porcentaje que se paga a quienes se comprometen a indemnizar a los pagadores por cualquier pérdida que sufran debido a accidentes por incendios o tormentas, según lo acordado, hasta una cierta cantidad especificada, y constituye un porcentaje sobre dicha cantidad. La tara, el trillo y el sobrepeso son deducciones que se hacen al vender mercancías al por mayor, por el peso de las cajas o barriles que las contienen, el desperdicio, etc., y suelen ser o bien el precio de un cierto número de libras de la mercancía por cada caja o barril, o bien una deducción determinada por cada quintal.

En el artículo sobre Interés (Interest) de la Penny Cyclopædia se encuentran tablas suficientes para todos los fines comunes, y otras muy amplias en el Treatise on Annuities and Reversions (Tratado sobre anualidades y reversiones), de la Library of Useful Knowledge.

Esta regla es obsoleta en los negocios. Cuando una letra, por ejemplo, de 100 libras con un año de plazo, es descontada (como se dice ahora) al 5 por ciento, esto significa que se suprime el 5 por ciento de 100 libras, es decir, 5 libras.

Esta pregunta al principio no parece entrar dentro de la regla. Un poco de reflexión servirá para mostrar que lo que probablemente sea la primera idea del método adecuado de solución es errónea.

El profesor encontrará más observaciones sobre este tema en el Companion to the Almanac de 1844, y en el Supplement to the Penny Cyclopædia, artículo Computation.

Y a discreción una centésima más por una gran fracción de tres pulgadas.

El estudiante debe recordar todos los múltiplos de 4 hasta 4 × 25, o 100.

Los tratados de teneduría de libros han descrito esta diferencia de una manera singular. Llaman a estas cuentas las cuentas ficticias. Ahora bien, representan al comerciante mismo; sus créditos son ganancias para el negocio, sus débitos pérdidas o pasivos. Si los términos real y ficticio han de usarse de algún modo, estas son las cuentas reales, y todas las demás son tan ficticias como los dependientes que hemos supuesto que las llevan.

Este teorema muestra que lo que se llama reducir una fracción a sus términos mínimos (a saber, dividir el numerador y el denominador por su máximo común divisor), se llama así con toda corrección.

Pues aquello que mide una medida es a su vez una medida; de modo que si una medida de a pudiera tener una medida en común con b, el propio a tendría una medida común con b.

Un número primo es aquel que es primo con respecto a todos los números excepto sus propios múltiplos, o no tiene más divisores que el 1 y él mismo.

Desarrollad (a-1)ᵇ por el teorema del binomio; demostrad que cuando b es un número primo cada coeficiente que no sea la unidad es divisible por b; y la proposición se sigue.

El principio de este modo de demostración del método de Horner se expuso en el Algebra de Young (1823), siendo la primera obra elemental en la que se dio dicho método.

Pueden surgir varias excepciones cuando una ecuación tiene dos raíces casi iguales. Pero no introduzco aquí dificultades algebraicas; y un estudiante podría darse a sí mismo cien ejemplos, tomados al azar, sin mucha probabilidad de dar con uno que presente alguna dificultad.

Esta forma podría aplicarse también a las porciones enteras; pero apenas es necesaria en los casos que suelen presentarse. Véase el artículo Involution and Evolution en el Supplement de la Penny Cyclopædia.

Después del segundo paso, el ensayo rara vez dejará de dar la cifra verdadera.

Una figura de cuatro lados, que tiene dos lados paralelos y dos lados no paralelos.

El ángulo recto se divide en 90 partes iguales llamadas grados, cada grado en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Así, 2° 15′ 40″ significa 2 grados, 15 minutos y 40 segundos.

Se ha supuesto que eleven y twelve provienen del sajón para uno que queda y dos que quedan (es decir, después de quitar el diez); pero parece haber mejores razones para pensar que leven es una palabra que significa diez, y está relacionada con decem.

Para hablar siempre del mismo modo, en vez de decir que el 6 no contiene al 13, digo que lo contiene 0 veces y sobran 6, lo cual equivale simplemente a decir que el 6 es 6 más que nada.

Esto está escrito como 7 en lugar de 6, porque la cifra que se descarta en el dividendo es 9 (151).

Esta medida, y las que siguen, se emplean exclusivamente para áridos.

Es más común dividir la onza en cuatro cuartos que en dieciséis dragmas.

La libra esterlina se llama generalmente pound sterling, lo que la distingue de la unidad de peso llamada libra, y también de las monedas extranjeras.

La moneda llamada guinea ya no está en uso, pero por costumbre el nombre todavía se aplica a 21 chelines. La libra, que no era una moneda, sino un billete que prometía pagar 20 chelines al portador, tampoco se usa por el momento, y el soberano ocupa su lugar; pero el nombre de libra todavía se le da a 20 chelines.

Cuando un decimal sigue a un número entero, el decimal es siempre de la misma unidad que el número entero. Así, 5ᔆ·5 son cinco segundos y cinco décimas de segundo. Así, 0ᔆ·5 significa cinco décimas de segundo; 0ʰ·3, tres décimas de hora.

Aquí se ingresan los 4*s.* del dividendo.

Aquí se incluye el 3d. del dividendo.

La solución de x³ + 0x² + 0x-2 = 0.

Tomado de un artículo sobre el tema, del Sr. Peter Gray, en el Mechanics’ Magazine.

Tomado de un artículo sobre el tema, del Sr. Peter Gray, en el Mechanics’ Magazine.

Tomado de un artículo sobre el tema, del Sr. Peter Gray, en el Mechanics’ Magazine.

Tomado del ensayo sobre la involución y la evolución del difunto Sr. Peter Nicholson.

Tomado del ensayo sobre la involución y la evolución del difunto Sr. Peter Nicholson.

Tomado del ensayo sobre la involución y la evolución del difunto Sr. Peter Nicholson.

Tomado del ensayo sobre la involución y la evolución del difunto Sr. Peter Nicholson.