I. Del modo de computar.

Las reglas de la obra precedente se dan en la forma habitual, y los ejemplos se resuelven de la manera acostumbrada. Pero si el estudiante realmente desea convertirse en un calculista ágil, debe seguir estrictamente los métodos establecidos en este Apéndice; y puede estar seguro de que con ello se ahorrará molestias a la larga, además de adquirir hábitos de cálculo rápido y preciso.

I. En la numeración, aprende a asociar cada número decimal primario, 10, 100, 1000, etc., no con el lugar en el que cae la unidad, sino con el número de ceros que le siguen. Llama al diez un número de un cero, al cien un número de dos ceros, al millón un número de seis ceros, y así sucesivamente.

Si se separan cinco cifras de un número, las que quedan son centenas de millar; pues 100.000 es un número de cinco ceros. Aprende a relacionar mentalmente las decenas, centenas, millares, decenas de millar, centenas de millar, millones, etc., con 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.

¿Qué es un número de diecisiete ceros? Por cada 6 en diecisiete di millón, para los 5 restantes di centena de millar: la respuesta es cien mil millones de millones.

Si se separan doce lugares desde la derecha de un número, ¿qué representa el número restante?—Respuesta, Tantos millones de millones como unidades haya en él cuando está por sí solo.

II. Después de aprender a contar hacia adelante y hacia atrás con rapidez, como en 1, 2, 3, 4, etc., o 30, 29, 28, 27, etc., aprenda a contar hacia adelante o hacia atrás de dos en dos, de tres en tres, etc., hasta el nueve al menos, empezando desde cualquier número. Así, empezando desde el cuatro y avanzando de siete en siete, tenemos 4, 11, 18, 25, 32, etc., a lo largo de cuya serie debe aprender a avanzar con la misma facilidad que por la serie 1, 2, 3, 4, etc.; es decir, tan rápido como pueda pronunciar las palabras. El acto de sumar debe realizarse mentalmente y sin ayuda: no debe permitirse decir 4 y 7 son 11, 11 y 7 son 18, etc.; sino únicamente 4, 11, 18, etc. Y sería deseable, aunque no tan necesario, que pudiera retroceder con tanta facilidad como avanza; de siete en siete, por ejemplo, desde el sesenta, como en 60, 53, 46, 39, etc.

III. Visto un número y otro de una sola cifra, aprende a captar al instante el número que debes sumar al menor para obtener el mayor.

Vistos el 3 y el 8, aprende mediante la práctica a pensar en el 5 sin necesidad de decir 3 de 8 y quedan 5. Y si el segundo número fuera el menor, como el 8 y el 3, aprende también mediante la práctica a pasar hacia arriba del 8 al siguiente número que termine en 3 (o 13), y a captar el aumento necesario, cinco, sin necesidad de emprender formalmente en palabras la resta de 8 de 13. Toma filas de números, tales como

4 2 6 0 5 0 1 8 6 4 y practícala esta regla con cada cifra y la siguiente, sin permitirte en este caso sencillo nombrar jamás la mayor. Así, di 4 y 8 (4 primero, 2 segundo, 4 del número siguiente que termina en 2, o 12, quedan 8), 2 y 4, 6 y 4, 0 y 5, 5 y 5, 0 y 1, 1 y 7, 8 y 8, 6 y 8.

IV. Estudie el mismo ejercicio que el anterior con dos cifras y una.

Así, viendo 27 y 6, pase desde 27 hasta el siguiente número que termine en 6 (o 36), capture el 9 por el que tiene que pasar, y permítase repetir tanto como «27 y 9 son 36». Así, la fila de cifras 17729638109 dará la práctica siguiente:

• 17 y 0 son 17;
• 77 y 5 son 82;
• 72 y 7 son 79;
• 29 y 7 son 36;
• 96 y 7 son 103;
• 63 y 5 son 68;
• 38 y 3 son 41;
• 81 y 9 son 90;
• 10 y 9 son 19.

V. En un número de dos cifras, practique escribir las unidades en el momento en que mantiene la atención fija en las decenas. En el ejercicio precedente, por ejemplo, escriba los resultados, repitiendo las decenas con énfasis en el instante de escribir las unidades.

VI. Apréndase la tabla de multiplicar tan bien que el producto se nombre al instante de ver los factores; esto es, hasta que 8 y 7, o 7 y 8, sugieran 56 de inmediato, sin necesidad de decir «7 por 8 son 56».

Así, mirando a lo largo de una fila de números, como 39706548, aprenda a nombrar los productos de cada par sucesivo de dígitos tan rápido como pueda repetirlos, a saber, 27, 63, 0, 0, 30, 20, 32.

VII. Habiendo dominado a fondo el último ejercicio, aprende además, al ver tres números, a aumentar el producto del primero y el segundo por el tercero sin ninguna repetición de palabras. Practica hasta que 3, 8, 4, por ejemplo, sugieran 3 veces 8 y 4, o 28, sin necesidad de decir "3 veces 8 son 24, y 4 son 28".

Así, 179236408 sugerirá la siguiente práctica: 16, 65, 21, 12, 22, 24, 8.

VIII. Ahora, llevemos lo último aún más lejos, de la siguiente manera: viendo cuatro cifras, como 2, 7, 6, 9, obtenga el producto de la primera y la segunda, aumentado por la tercera, como en el caso anterior, sin una palabra de ayuda; diga el resultado y sume la siguiente cifra, diga el resultado total, poniendo énfasis en las decenas. Así, 2, 7, 6, 9 deben sugerir inmediatamente «20 y 9 son 29». La fila de cifras 773698974 ofrecerá los ejemplos 52 y 6 son 58; 27 y 9 son 36; 27 y 8 son 35; 62 y 9 son 71; 81 y 7 son 88; 79 y 4 son 83.

IX. Tomando cuatro números, como 2, 4, 7, 9, varíese el último ejercicio del siguiente modo: obténgase el producto del primero y el segundo, incrementado por el tercero; pero en lugar de sumar el cuarto, súbase hasta el siguiente número que termine con el cuarto, como en el ejercicio IV. Así, 2, 4, 7, 9 han de sugerir «15 y 4 son 19». Y la hilera de cifras 1723968929 ofrecerá los ejemplos 9 y 4 son 13; 17 y 2 son 19; 15 y 1 son 16; 33 y 5 son 38; 62 y 7 son 69; 57 y 5 son 62; 74 y 5 son 79.

X. Aprenda a hallar rápidamente el número de veces que un dígito está contenido en unas unidades y decenas dadas, con el resto. Así, al ver el 8 y el 53, llegue a y repita «6 y 5 de resto». La división abreviada común es la mejor práctica. Así, al dividir 236410792 entre 7,

• 7)236410792
• 33772970, resto 2.

Todo lo que se repite debe ser 3 y 2; 3 y 5; 7 y 5; 7 y 2; 2 y 6; 9 y 4; 7 y 0; 0 y 2.

Para aplicar las diversas reglas, proceda de la siguiente manera:

Adición. Ni una sola palabra más que repetir los números escritos en el siguiente proceso: la cifra con acento es la que se debe escribir; la cifra con doble acento es la que se lleva (y no digas «llevo 3», sino hazlo).

Al comprobar sumas, en lugar de la forma habitual de omitir una línea, sumar sin ella y luego sumar la línea omitida, compruebe cada columna sumándola tanto de abajo arriba como de arriba abajo.

Sustracción. El proceso siguiente es suficiente. Los carruajes, al ser siempre de uno, no necesitan ser mencionados.

• From 79436258190
• Take 58645962738
• 20790295452

8 y 2′, 4 y 5′, 7 y 4′, 3 y 5′, 6 y 9′, 10 y 2′, 6 y 0′, 4 y 9′, 7 y 7′, 9 y 0′, 5 y 2′.

Es inútil detenerse y decir que 8 y 2 son 10; pues tan pronto como se obtiene el 2, no hay motivo para recordar de dónde provino.

Multiplicación. Lo siguiente, expresado en palabras, es todo lo que es necesario repetir en la parte de la multiplicación; la suma se hace entonces como de costumbre. Las cifras sin acento se llevan.

Compruebe cada línea de la multiplicación y el resultado final mediante la prueba del nueve. (Apéndice II, p. 166.)

Sería casi tan fácil, para una persona que haya practicado bien el octavo ejercicio, añadir cada línea a la anterior en el proceso, así:

A la derecha está todo el proceso de formación de la segunda línea, que completa la multiplicación por 76, así como la tercera línea completa la por 876, y la cuarta línea la por 9876.

División. Hágase cada multiplicación y la sustracción siguiente en un solo paso, por medio del procedimiento del 9.° ejercicio, de la siguiente manera:

• 27693)441972809662(15959730
• 165042
• 265778
• 165410
• 269459
• 202226
• 83756
• 6772

El número de palabras con el que se obtiene 26577 a partir de 165402 (siendo el multiplicador 5) es el siguiente:

• 15 y 7′ son 2″2;
• 47 y 7′ son 5″4;
• 35 y 5′ son 4″0;
• 39 y 6′ son 4″5;
• 14 y 2′ son 16.

Los procesos para la extracción de la raíz cuadrada y para la solución de ecuaciones (Apéndice XI.) deben abreviarse de la misma manera que la división.¹