ARITMÉTICA COMERCIAL.

# SECCIÓN I. PESOS, MEDIDAS, ETC.

212. Al hacer los cálculos necesarios en los asuntos comerciales, no se requieren más procesos que los que se han explicado en el libro precedente. Pero aún falta una cosa: no para asegurar la exactitud de nuestros cálculos, sino para permitirnos comparar y juzgar sus resultados.

Hasta ahora hemos hecho uso de una sola unidad (15), y hemos tratado de otras cantidades que se componen de un número de unidades, en las Secciones II, III y IV, y de aquellas que contienen partes de esa unidad en las Secciones V y VI.

Así, si hablamos de distancias y tomamos una milla como unidad, cualquier otra longitud puede ser representada,¹ ya sea por un cierto número de millas, o un cierto número de partes de una milla, y (significando 1 una milla) puede expresarse

ya sea por un número entero o por una fracción. Pero podemos ver fácilmente que en muchos casos surgirían inconvenientes. Supongamos, por ejemplo, que digo que la longitud de una habitación es de ¹/₁₈₀ de milla, y la de otra de ¹/₁₇₄ de milla, ¿qué idea podemos hacernos de cuánto es más larga la segunda que la primera? Es necesario tener alguna medida menor; y si dividimos una milla en 1760 partes iguales, y llamamos a cada una de estas partes una yarda, encontraremos que la longitud de la primera habitación es de 9 yardas y ⁷/₉ de yarda, y la de la segunda de 10 yardas y ¹⁰/₈₇ de yarda.

De esto nos formamos una idea mucho mejor de estas diferentes longitudes, pero aún no muy perfecta, a causa de las fracciones ⁷/₉ y ¹⁰/₈₇. Para hacernos una idea más clara de estas, supongamos que la yarda se divide en tres partes iguales, y que cada una de estas partes se llama pie; entonces ⁷/₉ de yarda contienen 2⅓ pies, y ¹⁰/₈₇ de yarda contienen ³⁰/₈₇ de pie, o un poco más de ⅓ de pie. Por lo tanto, la longitud de la primera habitación es ahora de 9 yardas, 2 pies y ⅓ de pie; la de la segunda es de 10 yardas y un poco más de ⅓ de pie.

Vemos, pues, la conveniencia de tener medidas grandes para grandes cantidades, y medidas más pequeñas para las pequeñas; pero esto se hace únicamente por comodidad, pues es posible realizar cálculos sobre cualquier tipo de cantidad con una sola medida, con tanta certeza como con más de una; y no solo es posible, sino más conveniente, en lo que respecta al mero cálculo.

Las medidas que se usan en este país no son aquellas que se habrían elegido de haber sido hechas todas de una vez, y por un pueblo bien familiarizado con la aritmética y la filosofía natural. Procedemos a mostrar cómo los resultados de esta última ciencia se hacen útiles en nuestro sistema de medidas.

Si las circunstancias introducidas son lo suficientemente bien conocidas como para hacer que los métodos siguientes sean lo bastante exactos para la recuperación de patrones astronómicos, puede ser materia de opinión; pero no cabe duda de que son ampliamente correctos para fines comerciales.

Es evidentemente deseable que los pesos y las medidas continúen siendo siempre los mismos, y que la posteridad pueda reemplazar cualquiera de ellos cuando se pierda la medida original. Es verdad que las autoridades públicas conservan una yarda que actualmente es exacta; pero si esta se quemara por accidente,²

¿cómo van a saber los que vivan de aquí a 500 años cuál era la longitud que sus antepasados llamaban yarda? Para garantizarles este conocimiento, la medida debe derivarse de algo que no pueda ser alterado por el hombre, ya sea por diseño o por accidente. Hallamos tal cantidad en el tiempo de la revolución diaria de la tierra, y también en la duración del año, los cuales, como se demuestra en la astronomía, seguirán siendo los mismos, al menos durante una enorme cantidad de siglos, a menos que ocurra algún cambio grande y totalmente desconocido en el sistema solar.

Mientras se cultive la astronomía, es imposible suponer que se pierda alguno de ellos, y se sabe que este último es de 365,24224 días solares medios, o alrededor de 365¼ del intervalo promedio que transcurre entre el mediodía y el mediodía, es decir, entre las veces que el sol está más alto en los cielos.

Nuestro año está hecho para constar de 365 días, y el cuarto de día sobrante se compensa añadiendo un día cada cuarto año, lo que da lugar a lo que llamamos año bisiesto. Esto equivale a añadir ¼ de día a cada año, y resulta un poco excesivo, ya que el excedente del año por encima de los 365 días no es de 0,25, sino de 0,24224 de día. La diferencia es de 0,00776 de día, que es la cantidad en que nuestro año medio es demasiado largo. Esto equivale a un día cada 128 años aproximadamente, o a unos 3 días en 4 siglos.

El error se corrige permitiendo que solo uno de cada cuatro años que cierren los siglos sea año bisiesto. Así,

los años 1800 y 1900 d. C. no son bisiestos, pero el 2000 sí lo es.

213. El día es, por tanto, la primera medida obtenida, y se divide en 24 partes u horas, cada una de las cuales se divide en 60 partes o minutos, y cada una de estas de nuevo en 60 partes o segundos. Un segundo, marcado así, 1″,³ es, por tanto, la 86400ª parte de un día, y lo siguiente es la

MEDIDA DEL TIEMPO.⁴

214. Habiéndose obtenido el segundo, se puede construir un péndulo que, al ser puesto en movimiento, efectúe una vibración exactamente en un segundo, en la latitud de Greenwich.⁵

Si estuviéramos inventando medidas, sería conveniente llamar yarda a la longitud de este péndulo y hacer de ella el patrón de todas nuestras medidas de longitud. Pero como ya hay una yarda establecida, servirá igualmente expresar la longitud del péndulo en yardas. Los comisionados designados para tal fin descubrieron que este péndulo en Londres medía 39,1393 pulgadas, o aproximadamente una yarda, tres pulgadas y ⁵/₃₆ de pulgada. La siguiente es la división de la yarda.

MEDIDAS DE LONGITUD.

La medida más pequeña es un grano de cebada.⁶

Una milla geográfica es ¹/₆₀ de un grado, y tres de tales millas hacen una legua náutica.

En la medida de paño o lienzo también se emplean los siguientes:

215. MEDIDAS DE SUPERFICIE.

Todas las superficies se miden por pulgadas cuadradas, pies cuadrados, etc., siendo la pulgada cuadrada un cuadrado cuyo lado mide una pulgada de longitud, y así sucesivamente.

Las siguientes medidas pueden deducirse de la anterior, como se verá más adelante.

Por tanto, el acre contiene 4840 yardas cuadradas, lo que equivale a diez veces un cuadrado de 22 yardas de largo y ancho. Estas 22 yardas son la longitud que se da a las cadenas de los agrimensores, y la cadena está dividida en 100 eslabones, cada uno de 0,22 de yarda o 7,92 pulgadas. Un acre equivale entonces a 10 cadenas cuadradas.

También puede observarse que un cuadrado cuyo lado mide 69⁴/₇ yardas es casi un acre, sin excederlo por ⅕ de pie cuadrado.

216. MEDIDAS DE SOLIDEZ O CAPACIDAD.⁷

Los cubos son sólidos que tienen la figura de dados. Una pulgada cúbica es un cubo cada uno de cuyos lados mide una pulgada, y así sucesivamente.

Esta medida no es muy usada, excepto en cuestiones puramente matemáticas. En las mediciones de diferentes mercancías se empleaban varias medidas, las cuales ahora se han reducido, por ley del parlamento, a una sola.

Esta se llama comúnmente la medida imperial, y es la siguiente:

MEDIDA DE LÍQUIDOS Y DE TODOS LOS PRODUCTOS SECOS.

El galón en esta medida es de aproximadamente 277,274 pulgadas cúbicas; es decir, muy cerca de 277¼ pulgadas cúbicas.⁸

217. El peso más pequeño en uso es el grano, el cual se determina de la siguiente manera.

Un recipiente cuyo interior es una pulgada cúbica, al llenarse con agua,⁹ ve su peso incrementado en 252,458 granos. De los granos así determinados, 7000 constituyen una libra averdupois, y 5760 una libra troy. La primera libra se emplea siempre, excepto al pesar metales y piedras preciosas, y también medicamentos. Se divide de la manera siguiente:

PESO AVOIRDUPOIS.

El pound averdupois contiene 7000 granos. Un pie cúbico de agua pesa 62·3210606 pounds averdupois, o 997·1369691 onzas.

Para los metales preciosos y para las medicinas se emplea la libra troy, que contiene 5760 granos, pero se divide de manera diferente en ambos casos. Las medidas son las siguientes:

PESO TROY.

La libra troy contiene 5760 granos. Un pie cúbico de agua pesa 75,7374 libras troy, o 908,8488 onzas.

PESO DE BOTICARIO.

218. Las monedas estándar de cobre, oro y plata son: el penique, que consta de 10⅔ dracmas de cobre; el chelín, que pesa 3 dwts [pennyweights] y 15 granos, de los cuales 3 partes de 40 son aleación y el resto plata pura; y el soberano, que pesa 5 dwts y 3¼ granos, de los cuales 1 parte de 12 es cobre y el resto oro puro.

MEDIDAS DE DINERO.

La moneda de menor valor es el farthing, que se marca así, ¼, siendo la cuarta parte de un penique.

219. Cuando una cantidad se compone de varias otras, expresadas en diferentes unidades, como £1. 14. 6, o 2cwt. 1qr. 3lbs., se denomina cantidad compuesta. De estas tablas se deduce claramente que cualquier cantidad compuesta de cualquier sustancia puede medirse de varias maneras diferentes. Por ejemplo, la suma de dinero que llamamos cinco libras y cuatro chelines es también 104 chelines, o 1248 peniques, o 4992 farthings.

Es fácil reducir cualquier cantidad de una de estas medidas a otra; y los siguientes ejemplos serán suficientes para mostrar cómo aplicar el mismo proceso, llamado habitualmente Reducción, a todo tipo de cantidades.

I. ¿Cuántos farthings hay en £18. 12. 6¾?¹⁰

Como hay 20 chelines en una libra, hay, en £18, 18 × 20, es decir, 360 chelines; por lo tanto, £18. 12 son 360 + 12, es decir, 372 chelines. Como hay 12 peniques en un chelín, en 372 chelines hay 372 × 12, es decir, 4464 peniques; y, por lo tanto, en £18. 12. 6 hay 4464 + 6, es decir, 4470 peniques.

Como hay 4 farthings en un penny, en 4470 pence hay 4470 × 4, es decir, 17880 farthings; y, por lo tanto, en £18. 12. 6¾ hay 17880 + 3, es decir, 17883 farthings. Todo este proceso puede escribirse de la siguiente manera:

• £18 . 12 . 6¾
• 20
• 360 + 12 = 372
• 12
• 4464 + 6 = 4470
• 4
• 17880 + 3 = 17883

II. En 17883 farthings, ¿cuántas libras, chelines, peniques y farthings hay?

Como 17883, dividido entre 4, da el cociente 4470 y el resto 3, 17883 farthings son 4470 pence y 3 farthings (218).

Como 4470, dividido entre 12, da como cociente 372 y como resto 6, 4470 peniques equivalen a 372 chelines y 6 peniques.

Como 372, dividido por 20, da el cociente 18, y el resto 12,

372 chelines son 18 libras y 12 chelines.

Por lo tanto, 17883 farthings son 4470¾d., que son 372s. 6¾d., que son £18. 12. 6¾.

El proceso puede escribirse de la siguiente manera:

• 4)17883
• ——
• 12)4470 ... 3
• ——
• 20)372 ... 6
• £18 . 12 . 6¾

EJERCICIOS.

A tiene £100. 4. 11½, y B tiene 64392 farthings. Si A recibe 1492 farthings, y B £1. 2. 3½, ¿cuál tendrá entonces más, y por cuánto?—Respuesta, A tendrá £33. 12. 3 más que B.

En la siguiente tabla las cantidades escritas enfrente una de otra son iguales: cada línea proporciona dos ejercicios.

220. Lo mismo puede hacerse cuando el número expresado en primer lugar es fraccionario. Por ejemplo, ¿cuántos chelines y peniques hay en ⁴/₁₅ de libra? Ahora bien, ⁴/₁₅ de libra son ⁴/₁₅ de 20 chelines; ⁴/₁₅ de 20 son

o (105) 5⅓ de chelino. De nuevo, ⅓ de chelino es ⅓ de 12 peniques, o 4 peniques. Por lo tanto, £⁴/₁₅ = 5s. 4d.

Además, ·23 de un día es ·23 × 24 en horas, o 5ʰ·52; y ·52 de una hora es ·52 × 60 en minutos, o 3ᵐ·2; y ·2 de un minuto es ·2 × 60 en segundos, o 12ˢ; de modo que ·23 de un día es 5ʰ 31ᵐ 12ˢ.

Nuevamente, supóngase que se requiere hallar qué parte de una libra son 6s. 8d. Puesto que 6s. 8d. son 80 peniques, y puesto que la libra entera contiene 20 × 12 o 240 peniques, 6s. 8d. se obtiene dividiendo la libra en 240 partes y tomando 80 de ellas. Es, por tanto, £⁸⁰/₂₄₀ (107), pero ⁸⁰/₂₄₀ = ⅓ (108); por consiguiente, 6s. 8d. = £⅓.

EJERCICIOS.

221, 222. He considerado conveniente remitir el método de convertir chelines, peniques y farthings en decimales de una libra al Apéndice (Véase el Apéndice Sobre el dinero decimal).

Recomiendo encarecidamente al lector que se familiarice por completo con los métodos dados en dicho Apéndice. Para evitar que la numeración de las secciones subsiguientes sufra alteraciones, he numerado este párrafo tal como antecede.

223. The rule of addition¹¹ of two compound quantities of the same sort will be evident from the following example. Suppose it required to add £192. 14. 2½ to £64. 13. 11¾. The sum of these two is the whole of that which arises from adding their several parts. Now

Esto puede hacerse de inmediato y escribirse de la siguiente manera:

• £192,14. 2½
• 64.13.11¾
• £257. 8. 2¼

Comienza sumando los cuartos de penique, y reduce el resultado a peniques y cuartos de penique. Anota solo estos últimos, lleva los primeros a la línea de los peniques, y súmales los peniques de ambas líneas. Reduce la suma a chelines y peniques; anota solo estos últimos, y lleva los primeros a la línea de los chelines, y así sucesivamente.

El mismo método debe seguirse cuando las cantidades sean de cualquier otra clase; y si se retienen las tablas en la memoria, el proceso resultará sencillo.

224. La resta se realiza según el mismo principio que en (40), a saber, que la diferencia entre dos cantidades no se altera al sumar la misma cantidad a ambas. Supóngase que se requiere restar £19 . 13. 10¾ de £24. 5. 7½. Escríbanse estas cantidades una debajo de la otra de este modo:

• £24. 5. 7½
• 19. 13. 10¾

Como no se pueden restar ¾ de ½ o de ²/₄, súmese 1d. a ambas cantidades, lo cual no alterará su diferencia; o, lo que es lo mismo, súmense 4 farthings a la primera y 1d. a la segunda.

Los peniques y farthings en las dos líneas quedan entonces así: 7⁶/₄d. y 11¾d. Ahora réstese ¾ de ⁶/₄, y la diferencia es ¾, la cual debe escribirse bajo los farthings.

Nuevamente, como no se pueden restar 11d. de 7d., súmese 1s. a ambas cantidades añadiendo 12d. a la primera y 1s. a la segunda. Los peniques en la primera línea son entonces 19, y en la segunda 11, y la diferencia es 8, que se escribe bajo los peniques.

Dado que los chelines en la línea inferior aumentaron en 1, hay ahora 14s. en la inferior y 5s. en la superior. Súmense 20s. a la línea superior y £1 a la inferior, y la resta de los chelines de la segunda a los de la primera deja 11s.

Nuevamente, hay ahora £20 en la línea inferior y £24 en la superior, cuya diferencia es £4; por lo tanto, la diferencia total de las dos sumas es £4. 11. 8¾.

Si escribimos las dos sumas con todas las adiciones que se han hecho, el proceso quedará así:

• £24 . 25 . 19⁶/₄
• 20 . 14 . 11¾
• Diferencia £4 . 11 . 8¾

225. El mismo método puede aplicarse a cualquiera de las cantidades de las tablas. El siguiente es otro ejemplo:

De    7 cwt. 2 qrs. 21 lbs. 14 oz. Resta 2 cwt. 3 qrs. 27 lbs. 12 oz.

Después de haber realizado alteraciones similares a las del último artículo, la cuestión pasa a ser la siguiente:

En este ejemplo, y en casi cualquier otro, el proceso puede abreviarse un poco de la siguiente manera.

Aquí no restamos 27 libras de 21 libras, lo cual es imposible, sino que aumentamos las 21 libras en 1 cuarto (qr.) u 28 libras y luego restamos las 27 libras de la suma.

Sería más corto, y conduciría al mismo resultado, restar primero 27 libras de 1 cuarto (qr.) u 28 libras y sumar la diferencia a 21 libras.

226. EJERCICIOS.

Un hombre tiene que cobrar las siguientes cantidades: 193 £. 14 s. 11¼ d., 22 £. 0 s. 6¾ d., 6473 £. 0 s. 0 d. y 49 £. 14 s. 4½ d.; y las siguientes deudas que pagar: 200 £. 19 s. 6¼ d., 305 £. 16 s. 11 d., 22 £. y 19 £. 6 s. 0½ d. ¿Cuánto le quedará después de pagar las deudas?

Respuesta, £6190. 7. 4¾.

Hay cuatro pueblos, en el orden A, B, C y D. Si un hombre puede ir de A a B en 5ʰ 20ᵐ 33ˢ, de B a C en 6ʰ 49ᵐ 2ˢ y de A a D en 19ʰ 0ᵐ 17ˢ, ¿cuánto tardará en ir de B a D y de C a D?

• Answer, 13ʰ 39ᵐ 44ˢ y 6ʰ 50ᵐ 42ˢ.

227. Para llevar a cabo el proceso de Multiplicación, debe recordarse que, como en (52), si una cantidad se divide en varias partes, y cada una de estas partes se multiplica por un número, y los productos se suman, el resultado es el mismo que surgiría de multiplicar toda la cantidad por dicho número.

Se requiere multiplicar £7. 13. 6¼ por 13.

La primera cantidad se compone de 7 libras, 13 chelines, 6 peniques y 1 farthing. Y

lo que por lo tanto es £7. 13. 6¼ × 13.

Este proceso suele escribirse de la siguiente manera:

• £ 7 . 13 . 6¼
• 13
• £99 . 15 . 9¼

228. La división se realiza según el mismo principio que en (74), a saber, que si una cantidad se divide en un número cualquiera de partes, y cada parte se divide por un número cualquiera, los diferentes cocientes sumados constituirán el cociente de la cantidad total dividida por dicho número.

Supongamos que se requiere dividir £99. 15. 9¼ entre 13. Puesto que 99 dividido entre 13 da el cociente 7 y el resto 8, la cantidad se compone de £13 × 7, o £91, y £8. 15. 9¼. El cociente de la primera, siendo 13 el divisor, es £7; queda por hallar el de la segunda.

Puesto que £8 son 160s., £8. 15. 9¼ son 175s. 9¼d., y 175 dividido entre 13 da el cociente 13 y el resto 6; es decir, 175s. 9¼d. se componen de 169s. y 6s. 9¼d., cuyo cociente de la primera es 13s., y queda por hallar el de la segunda.

Puesto que 6s. son 72d., 6s. 9¼d. son 81¼d., y 81 dividido entre 13 da el cociente 6 y el resto 3; es decir, 81¼d. son 78d. y 3¼d., cuyo cociente de la primera es 6d. Nuevamente, puesto que 3d. son ¹²/₄, o 12 farthings (cuartos de centavo), 3¼d. son 13 farthings, cuyo cociente es 1 farthing, o ¼, sin resto.

Hemos dividido entonces £99. 15. 9¼ en cuatro partes, cada una de las cuales es divisible por 13, a saber: £91, 169s., 78d. y 13 farthings; de modo que la decim tercera parte de esta cantidad es £7. 13. 6¼. Todo el proceso puede anotarse de la siguiente manera; y el mismo tipo de proceso puede aplicarse a los ejercicios que siguen:

• £ s. d. £ s. d.
• 13)99 15 9¼(7 13 6¼
• 91
• 8
• 20
• 160 + 15 = 175
• 13
• 45
• 39
• 6
• 12
• 72 + 9 = 81
• 78
• 3
• 4
• 12 + 1 = 13
• 13
• 0

Aquí, cada uno de los números 99, 175, 81 y 13 se divide entre 13 de la manera habitual, aunque el divisor solo se escribe antes del primero de ellos.

EJERCICIOS.

229. Supóngase que se requiere hallar cuántas veces está contenido 1s. 4¼d. en £3. 19. 10¾. La forma de hacer esto es hallar el número de farthings en cada uno. Según el 219, en el primero hay 65, y en el segundo 3835 farthings. Ahora bien, 3835 contiene a 65 59 veces; y por tanto la segunda cantidad es 59 veces mayor que la primera. En el caso, sin embargo, de libras, chelines y peniques, sería mejor emplear decimales de libra, lo cual dará una respuesta suficientemente exacta.

Así pues, 1s. 4¼d. son £·067, y £3. 19. 10¾ son £3·994, y 3·994 dividido por ·067 es 3994 entre 67, o 59⁴¹/₆₇. Este es un caso extremo, pues cuanto menor es el divisor, mayor es el efecto de un error en una posición decimal dada.

EJERCICIOS.

¿Cuántas veces contiene 6 cwt. 2 qrs. a 1 qr. 14 lbs. 1 oz.? ¿Y 1ᵈ 2ʰ 0ᵐ 47ˢ a 3ᵐ 46ˢ?

Respuesta, 17,30758 y 414,367257.

Si 2 cwt. 3 qrs. 1 lb. cuestan £150. 13. 10, ¿cuánto cuesta 1 lb.?

Respuesta, 9s. 9d. ¹³/₃₀₉.

Un tendero mezcla 2 quintales de 15 libras de azúcar a 11d. la libra con 14 quintales de 3 libras a 5d. la libra. ¿A cómo debe vender la libra de la mezcla para no perder con la mezcla?

Answer, 5d. ¾ ¹⁵³/₉₀₅.

230. Hay un método conveniente de multiplicación llamado Práctica. Supongamos que pregunto: ¿Cuánto cuestan 153 toneladas si cada tonelada cuesta 2 £ 15 s. 7½ d.? Es evidente que si esta suma se multiplica por 153, el producto es el precio del total. Pero también es evidente que, si compro 153 toneladas a 2 £ 15 s. 7½ d. cada tonelada, el pago puede efectuarse destinando primero 2 £ por cada tonelada, luego 10 s. por cada una, después 5 s., luego 6 d. y por último 1½ d. Estas sumas juntas completan 2 £ 15 s. 7½ d., y la razón de esta separación de 2 £ 15 s. 7½ d. en distintas partes pronto será evidente. El proceso puede llevarse a cabo de la siguiente manera:

1. 153 toneladas, a £2 cada tonelada, costarán

£306 0 0

2. Since 10s. is £½, 153 tons, at 10s. each, will cost £15³/₂, which is

76 10 0

3. Como 5s. es la mitad de 10s., 153 toneladas, a 5s., costarán la mitad que el mismo número a 10s. cada una, es decir, la mitad de £76 . 10, que es

38 5 0

4. Como 6d. son ⅒ de 5s., 153 toneladas, a 6d. cada una, costarán ⅒ de lo que cuesta el mismo número a 5s. cada una, es decir, ⅒ de £38 . 5, lo que es

3 16 6

5. Como 1½ o 3 medios peniques es ¼ de 6d. o 12 medios peniques, 153 toneladas, a 1½d. cada una, costarán ¼ de lo que cuesta el mismo número a 6d. cada una, es decir, ¼ de £3 . 16 . 6, que es

0 19 1½

La suma de todas estas cantidades es 425 10 7½ lo que es, por lo tanto, £2 . 15 . 7½ × 153.

Todo el proceso puede describirse de la siguiente manera:

OTRO EJEMPLO.

¿Cuánto cuestan 1735 libras a 9s. 10¾d. por libra?

El precio de 9s. 10¾d. se compone de 5s., 4s., 10d., ½d. y ¼d.; de los cuales 5s. es ¼ de £1, 4s. es ⅕ de £1, 10d. es ⅙ de 5s., ½d. es ¹/₂₀ de 10d. y ¼d. es ½ de ½d. Ségase el mismo método que en el ejemplo anterior, lo que da lo siguiente:

En todos los casos, el precio debe dividirse primero en cierto número de partes, cada una de las cuales es una fracción simple¹² de alguna anterior.

No se puede dar ninguna regla para hacer esto, pero la práctica capacitará al estudiante para hallar inmediatamente el mejor método para cada caso. Cuando se haya hecho eso, debe averiguar cuánto costaría toda la cantidad si cada una de estas partes fuera el precio, y luego sumar los resultados.

EJERCICIOS.

¿Cuál es el costo de

243 cwt. a £14 . 18 . 8¼ por cwt.?—Respuesta, £3629 . 1 . 0¾.

169 bushels a £2 . 1 . 3¼ por bushel?—Respuesta, £348 . 14 . 9¼.

273 qrs. at 19s. 2d. per quarter?—Answer, £261 . 12. 6.

2627 sacos a 7s. 8½d. por saco?—Respuesta, £1012 . 9 . 9½.

231. A lo largo de esta sección debe observarse que las reglas pueden aplicarse a casos en los que las cantidades dadas se expresen en fracciones comunes o decimales, en lugar de las medidas de las tablas. Los siguientes son ejemplos:

¿Cuál es el precio de 272,3479 cwt. a £2. 1. 3½ por cwt.?

Respuesta, 562 £ 2849, o

562 £ 5 s. 8¼ d.

66½ libras a 1 s. 4½ d. por libra costaron 4 £. 11 s. 5¼ d.

¿A cuánto asciende el alquiler total de 279·301 acres, a razón de £3·1076 por acre, expresado en libras, chelines y peniques?—Respuesta, £867·9558, o bien £867. 19. 1¼.

¿Cuánto cuestan ¼ de ³/₁₃ de 17 fanegas a ⅙ de ⅔ de £17. 14 por fanega?

Respuesta, £2·3146, o £2. 6. 3½.

¿Cuál es el costo de 19lbs. 8oz. 12dwt. 8gr. a £4. 4. 6 por onza?—Respuesta, £999. 14. 1¼ ⅙.

232. A menudo se requiere calcular a cuánto ascenderá una cierta suma por día en el transcurso de un año. Esto puede hacerse brevemente, dado que resulta que el número de días en un año es $240+120+5$; de modo que un penique por día es una libra, media libra y $5$ peniques al año. De ahí la siguiente regla: Para hallar a cuánto asciende cualquier suma diaria en un año, conviértase a peniques y fracciones de penique; a esto súmesele la mitad de sí misma, y hágase que los peniques sean libras, y cada cuarto de penique cinco chelines; luego súmese cinco veces la suma diaria, y el total es la cantidad anual. Por ejemplo, ¿a cuánto ascienden $12\text{ s. }3\frac{3}{4}\text{ d.}$ en un año? Esto es $147\frac{3}{4}\text{ d.}$, y su mitad es $73\frac{7}{8}\text{ d.}$, lo que sumado a $147\frac{3}{4}\text{ d.}$ da $221\frac{5}{8}\text{ d.}$, que convertido a libras son $\pounds 221\text{. }12\text{. }6$. Asimismo, $12\text{ s. }3\frac{3}{4}\text{ d.}\times 5$ es $\pounds 3\text{. }1\text{. }6\frac{3}{4}$, lo cual sumado a la suma anterior da $\pounds 224\text{. }14\text{. }0\frac{3}{4}$ como cantidad anual. Del mismo modo, la cantidad anual de $2\text{ s. }3\frac{1}{2}\text{ d.}$ es $\pounds 41\text{. }16\text{. }5\frac{1}{2}$; la de $6\frac{3}{4}\text{ d.}$ es $\pounds 10\text{. }5\text{. }3\frac{3}{4}$; y la de $11\text{ d.}$ es $\pounds 16\text{. }14\text{. }7$.

233. Puede formularse una regla inversa, suficientemente exacta para cualquier fin, de la siguiente manera: Si el año constara de 360 días, o ³/₂ de 240, la sustracción de un tercio de cualquier cantidad anual daría la proporción correspondiente a 240 días; y cada libra así obtenida equivaldría a un penique por día. Pero como el año no es de 360, sino de 365 días, si dividimos la parte de cada día en 365 partes y restamos 5, el total de la cantidad restada, o 360 × 5 de tales partes, dará

360 partes por cada uno de los 5 días que al principio descuidamos. Pero 360 de tales partes quedan atrás por cada uno de los primeros 360 días; por lo tanto, este proceso adicional divide la cantidad anual total equitativamente entre los 365 días.

Ahora bien, 5 partes de 365 es una de cada 73, o la parte número 73 del primer resultado debe restarse de él para producir el resultado verdadero. A menos que la suma diaria sea muy grande, la parte número 72 servirá igualmente bien, lo cual, dado que 72 farthings son 18 peniques, equivale a restar a razón de un farthing por cada 18d., o ½d. por cada 3s., o 10d. por cada 3 £.

La regla, por tanto, es la siguiente: Para hallar cuánto por día producirá una suma dada por año, conviértase los chelines, etc., de la suma dada en decimales de una libra (221); restése un tercio; considérese el resultado como peniques; y redúzcase en un cuarto de penique por cada dieciocho peniques, o diez peniques por cada £3.

Por ejemplo, ¿cuánto por día dará £224. 14. 0¾ por año? Esto es 224·703, y su tercera parte es 74·901, que restada de 224·703, da 149·802, lo cual, si fuesen peniques, asciende a 12s. 5·802d., en lo cual 1s. 6d. está contenido 8 veces. Réstense 8 farthings, o 2d., y tenemos 12s. 3·802d., lo que difiere de la verdad en apenas ¹/₂₀ de un farthing. De la misma manera, £100 por año son 5s. 5¾d. por día.

234. La siguiente relación entre las medidas de longitud y las medidas de superficie es el fundamento de la aplicación de la aritmética a la geometría.

Supóngase una figura oblonga, a, b, c, d, como aquí dibujada (la cual se llama rectángulo en geometría), con el lado a b de 6 pulgadas, y el lado a c de 4 pulgadas.

Divida a b y c d (que son iguales) cada uno en 6 pulgadas mediante los puntos a, b, c, l, m, etc.; y a c y b d (que también son iguales) en 4 pulgadas mediante los puntos f, g, h, x, y, y

z. Únanse a y l, b y m, etc., y f y x, etc. Entonces, la figura a b c d queda dividida en cierto número de cuadrados; pues un cuadrado es un rectángulo cuyos lados son iguales, y por lo tanto a a f e es un cuadrado, ya que a a es de la misma longitud que a f, siendo ambos de 1 pulgada. Hay también cuatro filas de estos cuadrados, con seis cuadrados en cada fila; es decir, hay 6 × 4, o 24 cuadrados en total. Cada uno de estos cuadrados tiene sus lados de 1 pulgada de longitud, y es lo que en (215) se denominaba una pulgada cuadrada. Mediante el mismo razonamiento, si un lado hubiera tenido 6 yardas, y el otro 4 yardas, la superficie habría contenido 6 × 4 yardas cuadradas; y así sucesivamente.

235. Supongamos ahora que los lados de $abcd$, en lugar de ser un número entero de pulgadas, contienen algunas pulgadas y una fracción.

Por ejemplo, sea $ab$ de 3½ pulgadas, o (114) ⁷/₂ de pulgada, y sea $ac$ de 2½ pulgadas, o ⁹/₄ de pulgada. Túcese $ae$ dos veces más largo que $ab$, y $af$ cuatro veces más largo que $ac$, y complétese el rectángulo $aefg$.

El resto de la figura no necesita descripción. Entonces, puesto que $ae$ es el doble de $ab$, o el doble de ⁷/₂ de pulgada, mide 7 pulgadas. Y puesto que $af$ es cuatro veces $ac$, o cuatro veces ⁹/₄ de pulgada, mide 9 pulgadas. Por lo tanto, todo el rectángulo $aefg$ contiene, según (234), $7\times 9$ o 63 pulgadas cuadradas.

Pero el rectángulo $aefg$ contiene 8 rectángulos, todos de la misma figura que $abcd$; y por lo tanto $abcd$ es la octava parte de $aefg$, y contiene ⁶³/₈ de pulgada cuadrada. Pero ⁶³/₈ se obtiene multiplicando ⁹/₄ y ⁷/₂ entre sí (118).

De este artículo y del anterior se deduce que, ya sean los lados de un rectángulo un número entero o fraccionario de pulgadas, el número de pulgadas cuadradas de su superficie es el producto de los números de pulgadas de sus lados. El cuadrado en sí es un rectángulo cuyos lados son todos iguales, y por lo tanto el número de pulgadas cuadradas que contiene un cuadrado se halla multiplicando el número de pulgadas de su lado por sí mismo. Por ejemplo, un cuadrado cuyo lado tiene una longitud de 13 pulgadas contiene $13\times 13$ o 169 pulgadas cuadradas.

236. EJERCICIOS.

¿Cuál es el contenido, en pies y pulgadas cuadradas, de una habitación cuyos lados son de 42 pies y 5 pulgadas, y 31 pies y 9 pulgadas?; y suponiendo que la pieza de la cual se toma su alfombra tenga tres cuartos de yarda de ancho, ¿qué longitud de ella debe cortarse?—Respuesta, El contenido es de 1346 pies cuadrados y 105 pulgadas cuadradas, y la longitud de la alfombra requerida es de 598 pies y 6⁵/₉ pulgadas.

Los lados de un campo rectangular son 253 yardas y un cuarto de milla; ¿cuántas acres contiene?—Respuesta, 23.

¿Cuál es la diferencia entre 18 millas cuadradas, y un cuadrado de 18 millas de largo, o de 18 millas por lado?—Respuesta, 306 millas cuadradas.

237. Es mediante esta regla como la medida en (215) se deduce de la de (214); pues es evidente que, siendo doce pulgadas un pie, el pie cuadrado es 12 × 12 o 144 pulgadas cuadradas, y así sucesivamente. De manera similar puede demostrarse que el contenido en pulgadas cúbicas de un cubo, o paralelepípedo,¹³ puede hallarse multiplicando entre sí el número de pulgadas en esos tres lados que concurren en un punto. Así, un cubo de 6 pulgadas contiene 6 × 6 × 6, o 216 pulgadas cúbicas; un baúl cuyos lados son 6, 8 y 5 pies, contiene 6 × 8 × 5, o 240 pies cúbicos. Mediante esta regla se dedujo la medida en (216) de la de (214).

SECCIÓN II. LA REGLA DE TRES .

238. Supóngase que se requiere hallar cuánto costarán 156 yardas, si 22 yardas cuestan 17s. 4d. Esta cantidad, reducida a peniques, es 208d.; y si 22 yardas cuestan 208d., cada yarda cuesta ²⁰⁸/₂₂d. Pero 156 yardas cuestan 156 veces el precio de una yarda, y por lo tanto cuestan

Nuevamente, si 25½ francos franceses equivalen a 20 chelines esterlinas, ¿cuántos francos hay en £20. 15?

Puesto que 25½ francos son 20 chelines, el doble del número de francos debe ser el doble del número de chelines; es decir, 51 francos son 40 chelines, y un chelín es la cuadragésima parte de 51 francos, o bien ⁵¹/₄₀ francos.

Pero £20 15 s. contienen 415 chelines (219); y dado que 1 chelín son ⁵¹/₄₀ francos, 415 chelines son

239. Preguntas como las dos últimas pertenecen a la regla más extensa de la Aritmética Comercial, que se llama Regla de Tres, porque en ella se dan tres cantidades y se requiere hallar una cuarta. De ambos ejemplos precedentes se puede deducir la siguiente regla, la cual el mismo razonamiento demostrará que se aplica a todos los casos similares.

It must be observed, that in these questions there are two quantities which are of the same sort, and a third of another sort, of which last the answer must be. Thus, in the first question there are 22 and 156 yards and 208 pence, and the thing required to be found is a number of pence. In the second question there are 20 and 415 shillings and 25½ francs, and what is to be found is a number of francs. Write the three quantities in a line, putting that one last which is the only one of its kind, and that one first which is connected with the last in the question.¹⁴ Put the third quantity in the middle. In the first question the quantities will be placed thus:

22 yd. 156 yd. 17 s. 4 d.

En la segunda pregunta se colocarán así:

20s.  £20 15s.  25½ francs.

Redúzcanse la primera y segunda cantidades, si es necesario, a cantidades de la misma denominación. Así, en la segunda pregunta, £20 15s. deben reducirse a chelines (219). La tercera cantidad también puede reducirse a cualquier otra denominación, si conviene; o la primera y la tercera pueden multiplicarse por cualquier cantidad que nos plazca, tal como se hizo en la segunda pregunta; y, al observar la respuesta en (238), y en (108), se verá que dicha multiplicación no introduce ningún cambio.

Multiúpliquense la segunda y tercera cantidades entre sí, y divídase por la primera. El resultado es una cantidad del mismo tipo que la tercera en el renglón, y es la respuesta requerida. Así, para la primera pregunta la respuesta es (238)

240. Todo el proceso de la primera pregunta es el siguiente:¹⁵

• yds. yds. s. d.
• 22 : 156 ∷ 17 . 4
• 12
• 208 peniques.
• 156
• 1248
• 1040
• 208
• 22)32448(1474¾d. y ¹⁴/₂₂, o ⁷/₁₁ de un farthing,
• 22 o (219) £6 . 2 . 10¾-⁷/₁₁.
• 104
• 88
• 164
• 154
• 108
• 88
• 20
• (228) 4
• 80
• 66
• 14

Es posible que la cuestión se hubiera podido resolver sin reducir

1. 17s. 4d. a peniques, de este modo:

• yds. yds. s. d.
• 22 : 156 ∷ 17 . 4
• 156(227)
• 22) £135 . 4 . 0(£6 . 2 . 10¾-⁷/₁₁ (228)
• 132
• 3 × 20 + 4 = 64
• 44
• 20 × 12 = 240
• 220
• 20 × 4 = 80
• 66
• 14

El estudiante debe aprender por la práctica cuál es el método más conveniente para cualquier caso particular, ya que no se puede dar ninguna regla.

241. Puede suceder que las tres cantidades dadas sean todas de una misma denominación; sin embargo, se observará que dos de ellas son de una especie y la tercera de otra. Por ejemplo: ¿Cuánto debe pagar una renta de £400 por concepto de un impuesto sobre la renta de 4s. 6d. por libra?

Aquí las tres cantidades dadas son £400, 4s. 6d. y £1, que son todas de la misma especie, a saber, dinero. Sin embargo, la primera y la tercera son renta; la segunda es un impuesto, y la respuesta es también un impuesto; por lo tanto, según (152), las cantidades deben disponerse de este modo:

£1 : £400 ∷ 4s. 6d.

242. Los siguientes ejercicios dependen directamente de esta regla, o puede demostrarse que lo hacen mediante una pequeña reflexión. Hay muchas cuestiones de este tipo que requerirán cierto ejercicio de ingenio antes de poder encontrar el método para aplicar la regla.

EJERCICIOS.

Si 15 cwt. 2 qrs. cuestan £198. 15. 4, ¿cuánto cuesta 1 qr. 22 lbs.?

Respuesta, £5 . 14 . 5 ¾ ¹⁸⁵/₂₁₇.

Si un caballo recorre 14 m. 3 fur. 27 yds. en 3ʰ 26ᵐ 12ˢ, ¿cuánto tardará en recorrer 23 millas?

Respuesta, 5ʰ 29ᵐ 34ˢ(²⁴⁶²/₂₅₃₂₇).

Dos personas, A y B, están en bancarrota, y deben exactamente la misma suma; A puede pagar 15s. 4½d. por libra, y B solo 7s. (6¾)d. Al mismo tiempo, A tiene en su poder £1304. 17 más que B; ¿a cuánto ascienden las deudas de cada uno?

Respuesta, £3340 . 8 . 3 ¾ ⁹/₂₅.

Por cada (12½) acres que contiene un país, un segundo contiene (56¼). El segundo país contiene 17,300 millas cuadradas. ¿Cuánto contiene el primero? Nuevamente, por cada 3 personas en el primero, hay 5 en el segundo; y hay en el primero 27 personas por cada 20 acres. ¿Cuántas hay en cada país?—Respuesta, El número de millas cuadradas en el primero es 3844⁴/₉, y su población 3,321,600; y la población del segundo es 5,536,000.

Si (42½) yardas de tela, de 18 pulg. de ancho, cuestan £59. 14. 2, ¿cuánto costarán (118¼) yardas, si el ancho es de 1 yd.?

• Answer, £332. 5. (2⁴/₁₇).

Si £9. 3. 6 duran seis semanas, ¿cuánto durarán £100?

Respuesta, (65¹⁴⁵/₃₆₇) semanas.

¿Cuánto azúcar, a razón de (9¾d.) la libra, debe entregarse por 2 cwt. de té, a razón de 10d. la onza?

Respuesta, 32 quintales de a 112 lbs., 3 arrobas, 7 lbs. ³⁵/₃₉.

243. Supóngase que se hace la siguiente pregunta: ¿Cuánto tiempo tardarán 15 hombres en hacer lo que 45 hombres pueden terminar en 10 días? Es evidente que un hombre tardaría 45 × 10, o 450 días, en hacer lo mismo, y que 15 hombres lo harían en la quinceava parte del tiempo que emplea un hombre, es decir, en (450 ÷ 15) o 30 días. Mediante este razonamiento y otros similares se pueden resolver las siguientes preguntas.

EJERCICIOS.

Si 15 bueyes se comen un acre de hierba en 12 días, ¿cuánto tardarán 26 bueyes en comerse 14 acres?

Respuesta, (96¹²/₁₃) días.

Si 22 albañiles construyen un muro de 5 pies de alto en 6 días, ¿cuánto tiempo tardarán 43 albañiles en construir 10 pies?

Respuesta, (6⁶/₄₃) días.

244. Las preguntas del artículo anterior forman parte de una clase más general de preguntas cuya solución se denomina Regla de Tres Compuesta, pero que con mayor propiedad podría llamarse Regla de Cinco, puesto que se dan cinco cantidades y hay que hallar una sexta. El siguiente es un ejemplo: si 5 hombres pueden hacer 30 yardas de tela en 3 días, ¿cuánto tardarán 4 hombres en hacer 68 yardas? Lo primero que debe hacerse es averiguar, a partir de la primera parte de la pregunta, el tiempo que tardará un hombre en hacer una yarda. Ahora bien, dado que un hombre, en 3 días, hará la quinta parte de lo que pueden hacer 5 hombres, hará en 3 días ³/₅, o 6 yardas. Por consiguiente, hará una yarda en ³/₆ o (3 × 5)/30 de día. A partir de esto debemos averiguar cuánto tardarán 4 hombres en hacer 68 yardas. Dado que un hombre hace una yarda en

Supongamos de nuevo que la pregunta es: Si 5 hombres pueden hacer 30 yardas en 3 días, ¿cuánto pueden hacer 6 hombres en 12 días? Aquí debemos hallar primero la cantidad que un hombre puede hacer en un día, la cual resulta, mediante un razonamiento similar al del ejemplo anterior, en 30 / (3 × 5) yardas. Por lo tanto, 6 hombres, en un día, harán

De estos ejemplos puede deducirse la regla siguiente. Escríbanse las cantidades dadas en dos líneas, manteniendo las cantidades de la misma especie unas debajo de otras, y las que estén conectadas entre sí, en la misma línea.

En los dos ejemplos dados anteriormente, las cantidades deben escribirse así:

SEGUNDO EJEMPLO.

Traza una curva a través del medio de cada línea y de las extremidades de la otra.

• Habrá tres cantidades en una curva y dos en la otra.
• Divide el producto de las tres por el producto de las dos, y el cociente será la respuesta a la pregunta.

Si es necesario, las cantidades de cada línea deben reducirse a denominaciones más simples (219), como se hacía en la regla de tres común (238).

EJERCICIOS.

Si 6 caballos pueden arar 17 acres en 2 días, ¿cuántos acres ararán 93 caballos en 4½ días?

Respuesta, 592⅞.

Si 20 hombres, en 3¼ días, pueden cavar 7 campos rectangulares, cuyos lados miden cada uno 40 y 50 yardas, ¿cuánto tardarán 37 hombres en cavar 53 campos, cuyos lados miden cada uno 90 y 125½ yardas?

Si el transporte de 60 cwt. a lo largo de 20 millas cuesta £14 10s., ¿qué peso se deberá transportar a 30 millas por £5. 8. 9?

Arroba, 15 quintales

Si £100 ganan £5 en un año, ¿cuánto ganarán £850 en 3 años y 8 meses?

Respuesta, £155. 16. 8.

# SECCIÓN III. INTERÉS, ETC.

245. En las preguntas contenidas en esta Sección, casi el único procedimiento que se empleará es el de tomar una parte fraccionaria de una cantidad de dinero, lo cual ya se ha hecho antes en varios casos. Supóngase que se requiere tomar 7 partes de 40 de 16£, es decir, dividir 16£ en 40 partes iguales y tomar 7 de ellas. Cada una de estas partes es

El proceso puede escribirse de la siguiente manera:

• £16
• 7
• 40)112(£2 . 16s.
• 80
• 32
• 20
• 640
• 40
• 240
• 240
• 0

Supóngase que se requiere tomar 13 partes de a ciento de £56. 13. 7½.

• 56 . 13 . 7½
• 13
• 100) 736 . 17 . 1½ ( £7 . 7 . 4 ¼ ¹/₄₁
• 700
• 36 × 20 + 17 = 737
• 700
• 37 × 12 + 1 = 445
• 400
• 45 × 4 × 2 = 182
• 100
• 82

Hágase requerido tomar 2½ partes de cada cien de £3 12s. El resultado, por la misma regla, es

de modo que tomar 2½ de cada cien es lo mismo que tomar 5 partes de 200.

EJERCICIOS.

Tome 7⅓ partes de 53 de £1 10s.

Toma 5 partes de 100 de £107 13s. 4¾d.

Respuesta, 5 £, 7 s., 8 d. y ³/₂₀ de un farthing.

£56 3s. 2d. se divide en partes iguales entre 32 personas. ¿En cuánto excede la parte de 23 de ellas a la del resto?

Answer, £24. 11. 4½ ½.

246. En las operaciones mercantiles es habitual expresar la fracción que una cantidad representa respecto de otra indicando cuántas partes de cada cien deben tomarse de la segunda para obtener la primera. Así, en lugar de decir que 16 l.s. 12s. es la mitad de 33 l.s. 4s., se dice que la primera es el 50 por ciento de la segunda. De este modo, 5 l.s. son el 2½ por ciento de 200 l.s.; porque, si se divide 200 l.s. en 100 partes, 2½ de esas partes equivalen a 5 l.s. Asimismo, 13 l.s. son el 150 por ciento de 8 l.s. 13s. 4d., ya que la primera es igual a la segunda más la mitad de esta. Supóngase que se pregunta: ¿Qué porcentaje representan 23 partes de 56 de una cantidad cualquiera? La pregunta se reduce a lo siguiente: Si quien tiene 56 l.s. recibe 100 l.s. por ellas, ¿cuánto recibirá quien tiene 23? Esto, según el artículo 238, es 23 × ¹⁰⁰/₅₆ o ²³⁰⁰/₅₆ o 41¹/₁₄. Por tanto, 23 de cada 56 equivalen al 41¹/₁₄ por ciento.

De igual modo, 16 partes de 18 son 16 × ¹⁰⁰/₁₈, o bien 88⁸/₉ por ciento, y 2 partes de 5 son 2 × ¹⁰⁰/₅, o bien 40 por ciento.

De lo cual resulta evidente el método de reducir otras fracciones al tanto por ciento.

Supóngase que se pregunta: ¿Qué porcentaje es de £6. 12. 2 de £12. 3? Puesto que la primera contiene 1586d. y la segunda 2916d., la primera es 1586 partes de las 2916 de la segunda; es decir, según la última regla, es ¹⁵⁸⁶⁰⁰/₂₉₁₆, o 54¹¹³⁶/₂₉₁₆, o £54. 7. 9½ por ciento, muy aproximadamente.

El modo más expeditivo de hacer esto es reducir los chelines, etc., a decimales de una libra. Tres cifras decimales darán la tasa por ciento al chelín más próximo, lo cual es bastante cercano para todos los fines prácticos. Por ejemplo, en el último ejemplo, que consiste en hallar cuánto es £6,608 de £12,15, 6,608 × 100 es 660,8, lo cual dividido por 12,15 da £54,38, o £54. 7. Se puede obtener mayor exactitud, si es necesario, como en el Apéndice.

EJERCICIOS.

¿Qué tanto por ciento son 198¼ partes de 233?—R. 85 £. 1 s. 8¾ d.

Unos bienes que se compran por £193. 12, se venden por £216. 13. 4; ¿qué porcentaje se ha ganado con ellos?

Respuesta, Un poco menos de 11 libras con 18 chelines y 6 peniques.

A vende mercancías para B por un importe de 230 £ y 12 [chelines], y se le permite una comisión¹⁶ del 3 por ciento; ¿a cuánto asciende esta?

• Respuesta, £6 . 18. 4¼ ⁷/₂₅.

Un corredor de bolsa compra acciones por valor de £1700, siendo la comisión de £⅛ por ciento; ¿cuánto recibe?—Respuesta, £2. 2. 6.

Un barco cuyo valor es de £15,423 está asegurado al 19⅔ por ciento; ¿a cuánto asciende el seguro?—Respuesta, £3033. 3. 9½ ²/₅.

247. Para calcular cuánto puede pagar un quebrado a sus acreedores, así como a cuánto asciende un impuesto o tasa, es habitual averiguar cuántos chelines por libra se pagan. Así, si una persona que debe £100 solo puede pagar £50, se dice que paga 10s. por libra. La regla se deduce fácilmente del mismo razonamiento que en el 246. Por ejemplo, £50 de £82 son

o 12s. 2½ ¹⁵/₄₁ in the pound.

248. El interés es el dinero que se paga por el uso de otro dinero, y siempre constituye un porcentaje sobre la suma prestada. Puede pagarse anualmente, semestralmente o trimestralmente; pero cuando se dice que se prestan 100 libras al 4 por ciento, debe entenderse que significa el 4 por ciento anual; es decir, que se pagan 4 libras cada año por el uso de 100 libras.

La suma prestada se llama capital, y el interés sobre este es de dos clases. Si el prestatario paga el interés tan pronto como, según el acuerdo, este vence, es evidente que tiene que pagar la misma suma todos los años; y que el total del interés que ha de pagar en cualquier número de años es el interés de un año multiplicado por el número de años.

Pero si no paga el interés de inmediato, sino que lo retiene en su poder hasta que devuelve el capital, tendrá entonces más dinero de su acreedor en su poder cada año, y si así se acordó, tendrá que pagar intereses sobre el interés de cada año durante el tiempo que lo conserve después de su vencimiento.

En el primer caso, el interés se llama simple, y en el segundo, compuesto. El interés y el capital juntos se denominan monto.

249. What is the simple interest of £1049. 16. 6 for 6 years and one-third, at 4½ per cent?

This interest must be 6⅓ times the interest of the same sum for one year, which (245) is found by multiplying the sum by 4½, and dividing by 100. The process is as follows:

(82) 100) 47,24 . 4 . 3(£47 . 4 . 10¹¹/₁₀₀

EJERCICIOS.

¿Cuál es el interés de £105. 6. 2 durante 19 años y 7 semanas al 3 por ciento?

Respuesta, 60 £. 9, casi exactos.

¿Cuál es la diferencia entre el interés de 50,19 £ durante 7 años al 3 por ciento, y durante 8 años al 2½ por ciento?

Respuesta, 10s. (2½)d.

¿Cuál es el interés de £157. 17. 6 por un año al 5 por ciento?

Respuesta, £7. 17. 10½.

Demostrar que el interés de cualquier suma durante 9 años al 4 por ciento es el mismo que el de la misma suma durante 4 años al 9 por ciento.

250. Para hallar el interés de cualquier cantidad a interés compuesto, es necesario hallar el monto del capital y de los intereses al final de cada año; porque en este caso (248) es el monto de ambos, capital e intereses, al final del primer año, sobre el cual se acumulan los intereses durante el segundo año. Supóngase, por ejemplo, que se requiere hallar el interés, durante 3 años, de 100 libras, al 5 por ciento, de interés compuesto. El procedimiento es el siguiente:

Cuando el número de años es grande y la suma considerable, este proceso es muy laborioso; por cuya razón se construyen tablas¹⁷ para mostrar el monto de una libra, para diferentes números de años, a diferentes tipos de interés.

Para hacer uso de estas tablas en el presente ejemplo, búsquese en la columna encabezada «5 por ciento;» y frente al número 3, en la columna encabezada «Número de años», se encuentra 1,157625; lo que significa que 1 £ se convertirá en 1,157625 £ en 3 años.

Ahora bien, 100 £ deben volverse 100 veces mayores; y 1,157625 × 100 es 115,7625 (141); pero (221) 0,7625 £ son 15s. 3d.; por lo tanto, el monto total de 100 £ es 115 £ 15s. 3d., como antes.

251. Supóngase que una suma de dinero ha estado colocada a interés simple durante 4 años, al 5 por ciento, y que, junto con sus intereses, ha ascendido a 350 libras; se requiere hallar cuál era la suma inicial.

Cualquiera que haya sido la suma, si su ponemos que está dividida en 100 partes, 5 de esas partes se añadieron cada año durante 4 años, en concepto de interés; es decir, 20 de esas partes se han añadido a la primera suma para formar 350 libras.

Si, por lo tanto, se divide 350 libras en 120 partes, 100 de esas partes son el capital que queremos hallar, y 20 partes son el interés del mismo; es decir, el principal es (350 × 100)/120 libras, o bien 291 libras, 13 chelines y 4 peniques.

252. Supóngase que A se comprometió a pagar a B £350 al término de cuatro años a partir de ahora, y que acuerdan entre ellos que la deuda se pagará de inmediato; supóngase, asimismo, que el dinero puede invertirse al 5 por ciento de interés simple; es evidente que A no debe pagar la suma total, £350, porque, si lo hiciera, perdería 4 años de interés del dinero y B lo ganaría. Es justo, por tanto, que solo le pague a B aquello que, con el interés, alcance en cuatro años la cantidad de £350, es decir (251), £291. 13. 4. Por consiguiente, deben deducirse £58. 6. 8 de la deuda en consideración a que se paga antes del plazo. Esto se llama Descuento;¹⁸ y £291. 13. 4 se llama el valor presente de £350 exigibles dentro de cuatro años, siendo el descuento del 5 por ciento.

La regla para hallar el valor presente de una suma de dinero (251) es: Multiplicar la suma por 100, y dividir el producto por 100 incrementado por el producto del tanto por ciento y el número de años. Si el tiempo que le falta a la deuda para su vencimiento se expresa en años y meses, o solo en meses, los meses deben reducirse a la fracción equivalente de un año.

EJERCICIOS.

¿Cuál es el descuento de una factura de £138. 14. 4, pagadera dentro de 2 años, siendo el descuento del 4½ por ciento?

Respuesta, £11. 9. 1.

¿Cuál es el valor actual de £1031.17, pagaderos dentro de 6 meses, estando el interés al 3 por ciento?

Respuesta, 1016,12 £.

253. Si multiplicamos por a + b, o por a - b, cuando deberíamos multiplicar por a, el resultado es erróneo en la fracción

de sí mismo: siendo demasiado grande en el primer caso, y demasiado pequeño en el segundo. Nuevamente, si dividimos por a + b, cuando deberíamos haber dividido por a, el resultado es demasiado pequeño por la fracción b/a de sí mismo; mientras que, si dividimos por a-b en lugar de a, el resultado es demasiado grande por la misma fracción de sí mismo.

Así, si dividimos por 20 en lugar de 17, el resultado es ³/₁₇ de sí mismo demasiado pequeño; y si dividimos por 360 en lugar de 365, el resultado es demasiado grande por ⁵/₃₆₅, o ¹/₇₃ de sí mismo.

Si, por consiguiente, deseamos hallar el interés de una suma de dinero por una fracción de año, y no contamos con la ayuda de tablas, resultará conveniente suponer que el año consta únicamente de 360 días; en cuyo caso, su parte 73 (la parte 72 generalmente servirá) debe restarse del resultado, para efectuar la conversión de 360 a 365.

El número 360 tiene un número tan grande de divisores, que la regla de Práctica (230) siempre puede aplicarse con facilidad. Así, se requiere hallar la porción que corresponde a 274 días, siendo el interés anual de £18. 9. 10, o 18,491.

13·878 = £13 . 17 . 7 Respuesta.

Pero si se quiere apurar hasta el cuarto de centavo más próximo, el mejor método consiste en tomar dos décimas partes del número de días como multiplicador y 73 como divisor; puesto que m ÷ 365 es 2m ÷ 730, o (²/₁₀)m ÷ 73.

Así, en el ejemplo anterior, multiplicamos por 54·8 y dividimos por 73; y 54·8 × 18·491 = 1013·3068, que dividido por 73 da 13·881, lo cual coincide casi exactamente con el resultado anterior y da 13 £. 17 s. 7½ d., valor que ciertamente se halla a menos de un cuarto de centavo de la verdad.

254. Supóngase que se requiere dividir £100 entre tres personas de tal manera que sus partes sean como 6, 5 y 9; es decir, de modo que por cada £6 que tenga la primera, la segunda tenga £5 y la tercera £9. Es evidente que si dividimos las £100 en 6 + 5 + 9, o 20 partes, la primera debe tener 6 de esas partes, la segunda 5 y la tercera 9. Por lo tanto (245) sus partes son respectivamente,

o £30, £25 y £45.

EJERCICIOS.

Repartir 394 £. 12 s. entre cuatro personas, de modo que sus partes sean como 1, 6, 7 y 18.—Respuesta, 12 £. 6 s. 7½ d.; 73 £. 19 s. 9 d.; 86 £. 6 s. 4½ d.; 221 £. 19 s. 3 d.

Repartir £20 entre 6 personas, de modo que la parte de cada una sea tanto como las de todas las que la preceden juntas.—Respuesta, Las dos primeras tienen 12s. 6d.; la tercera £1. 5; la cuarta £2. 10; la quinta £5; y la sexta £10.

255. Cuando dos o más personas emplean su dinero juntas, y ganan o pierden una cierta suma, es evidentemente injusto que la ganancia o la pérdida se divida por igual entre todas ellas, a menos que cada una haya contribuido con la misma suma.

Supongamos, por ejemplo, que A contribuye con el doble que B, y ganan £15; A debe ganar el doble que B; es decir, si la ganancia total se divide en 3 partes, A debe tener dos de ellas y B una, o A debe ganar £10 y B £5.

Supongamos que A, B y C participan en una aventura, en la cual A arriesga £250, B £130 y C £45. Ganan £1000. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Cada uno debe ganar por cada £1 tanto como los demás. Ahora bien, dado que hay 250 + 130 + 45, es decir, 425 libras invertidas, las cuales producen una ganancia de £1000, por cada libra hay una ganancia de £¹⁰⁰⁰/₄₂₅.

Por lo tanto, A debe ganar 1000 × ²⁵⁰/₄₂₅ libras, B debe ganar 1000 × ¹³⁰/₄₂₅ libras, y C 1000 × ⁴⁵/₄₂₅ libras. Con estos principios, mediante el procedimiento de (245), se pueden responder las siguientes preguntas.

Un barco ha de ser asegurado, en el cual A ha arriesgado £1928, y B £4963.

El gasto del seguro es de £474. 10. 2. ¿Cuánto debe pagar cada uno de ellos?

Respuesta, A debe pagar £132. 15. (2½).

Una pérdida de £149 debe ser compensada por tres personas, A, B y C. De haber habido una ganancia, A habría ganado 4 veces más que B, y C tanto como A y B juntos. ¿Qué parte de la pérdida debe soportar cada uno?

• Respuesta, A paga £59.12, B £14.18 y C £74.10.

256. Puede suceder que varias personas empleen conjuntamente varias sumas de dinero durante distintos tiempos. En tal caso, a menos que exista un acuerdo especial en contrario, es justo que cuanto más tiempo se emplee una suma, mayor sea el beneficio que produzca.

Si, por ejemplo, A y B emplean la misma suma para el mismo fin, pero el dinero de A se emplea el doble de tiempo que el de B, A debe ganar el doble que B. El principio es que una libra empleada durante un mes, o un año, debe dar el mismo rendimiento a cada uno.

Supongamos, por ejemplo, que A emplea 3 libras durante 6 meses, B 4 libras durante 7 meses y C 12 libras durante 2 meses, y la ganancia es de 100 libras; ¿cuánto debe corresponder a cada uno de ellos?

Ahora bien, puesto que A emplea 3 libras durante seis meses, debe ganar 6 veces más que si la hubiera empleado un solo mes; es decir, tanto como si hubiera empleado 6 × 3, o 18 libras, durante un mes; asimismo, B gana tanto como si hubiera empleado 4 × 7 libras durante un mes; y C como si hubiera empleado 12 × 2 libras durante un mes.

Si entonces dividimos las 100 libras en 6 × 3 + 4 × 7 + 12 × 2, es decir, 70 partes, A debe tener 6 × 3, o 18, B debe tener 4 × 7, o 28, y C 12 × 2, o 24 de esas partes. Las partes de los tres son, por lo tanto,

EJERCICIOS.

A, B y C emprenden un negocio; A coloca £3. 6 durante 2 años, B £100 durante 1 año, y C £12 durante 1½ años. Obtienen una ganancia de £4276. 7. ¿Cuánto debe recibir cada uno de la ganancia?

• Respuesta, A £226. 10. 4; B £3432. 1. 3; C £617. 15. 5.

A, B y C alquilan una casa juntos durante 2 años, a razón de 150 libras esterlinas al año. A permanece en ella todo el tiempo, B 16 meses y C 4 meses y medio, durante la ocupación de B. ¿Cuánto debe pagar cada uno de alquiler?¹⁹

Respuesta, A debe pagar £190. 12. 6; B £90. 12. 6; C £18. 15.

257. Estas son las principales reglas empleadas en la aplicación de la aritmética al comercio. Hay otras que, como no dejará de ver nadie que entienda los principios aquí expuestos, están virtualmente contenidas en las que ya se han dado. Tal es la que comúnmente se llama Regla de Cambio, para resolver cuestiones como la siguiente:

Si 20 chelines equivalen a 25½ francos en Francia, ¿a cuánto equivalen 160 libras esterlinas?

Esto puede hacerse evidentemente mediante la Regla de Tres. Las reglas aquí dadas son las más útiles en la vida ordinaria; y el estudiante que las entienda no debe temer que ninguna pregunta corriente esté fuera de su alcance.

Pero ningún estudiante debe imaginar que en este o en cualquier otro libro de aritmética aprenderá con precisión los modos de operación que se adapten mejor a las necesidades del tipo particular de negocio en el que transcurra su vida futura. No existe tal cosa como un conjunto de reglas que sean al mismo tiempo las más convenientes para un carnicero y un empleado de banco, un tendero y un actuario, un agricultor y un corredor de letras; pero una persona con un buen conocimiento de los principios establecidos en esta obra será capaz de examinar y satisfacer sus propias necesidades futuras o, en el peor de los casos, de captar con presteza la manera en que quienes le han precedido lo han hecho por sí mismos.