28. No hay operación en la aritmética que no consista enteramente en el aumento o la disminución de números. No hay, por tanto, nada que no pudiera hacerse con colecciones de guijarros. Probablemente, al principio, se usaron estos o los dedos. Nuestra palabra cálculo deriva de la voz latina calculus, que significa guijarro. Se han inventado formas más breves de contar mediante las cuales muchos cálculos, que requerirían cuentas largas y tediosas si se usaran guijarros, se realizan al instante y con muy poco esfuerzo. Los cuatro grandes métodos son la Adición, la Sustracción, la Multiplicación y la División; de los cuales los dos últimos son tan solo maneras de efectuar varias de las primeras y segundas a la vez.

29. Cuando un número es aumentado por otros, el número que es tan grande como todos los números juntos se llama su suma.

El proceso de hallar la suma de dos o más números se llama Adición y, como se dijo antes, se denota colocando una cruz (+) entre los números que han de sumarse.

Supóngase que se requiere hallar la suma de 1834 y 2799. Para sumar estos números, descompóngase cada uno en sus unidades, decenas, centenas y millares:

1834 es 1 mill. 8 cien. 3 decenas y 4;

2799 es 2 mill. 7 cien. 9 decenas y 9.

Cada número se divide así en cuatro partes. Si a cada parte del primero le añades la parte del segundo que está debajo de ella, y luego juntas lo que obtienes de estas adiciones, habrás sumado 1834 y 2799.

En el primer número hay 4 unidades, y en el segundo 9: estas, cuando los números se suman, aportarán 13 unidades a la suma.

Nuevamente, las 3 decenas del primero y las 9 decenas del segundo aportarán 12 decenas a la suma.

Los 8 centenas del primero y los 7 centenas del segundo sumarán 15 centenas a la suma; y el millar en el primero con los 2 millares en el segundo aportarán 3 millares a la suma; por lo tanto, la suma requerida es

3 millares, 15 centenas, 12 decenas y 13 unidades.

Para simplificar este resultado, debéis recordar que—

Ahora junta los números del lado derecho, como se hizo antes, y esto dará, como la suma de 1834 y 2799,

4 millares, 6 centenas, 3 decenas y 3 unidades, lo que (19) se escribe 4633.

30. El proceso anterior, escrito con los signos de (23) es el siguiente:

1834 = 1 × 1000 + 8 × 100 + 3 × 10 + 4

2799 = 2 × 1000 + 7 × 100 + 9 × 10 + 9

Por lo tanto,

1834 + 2799 = 3 × 1000 + 15 × 100 + 12 × 10 + 13

Pero

31. The same process is to be followed in all cases, but not at the same length. In order to be able to go through it, you must know how to add together the simple numbers. This can only be done by memory; and to help the memory you should make the following table three or four times for yourself:

El uso de esta tabla es el siguiente:

• Supóngase que desea hallar la suma de 8 y 7.
• Busque en la columna de la izquierda cualquiera de ellos, por ejemplo, el 8; y busque en la columna superior el 7.
• En la misma línea que el 8, y debajo del 7, encontrará el 15, que es su suma.

32. When this table has been thoroughly committed to memory, so that you can tell at once the sum of any two numbers, neither of which exceeds 9, you should exercise yourself in adding and subtracting two numbers, one of which is greater than 9 and the other less. You should write down a great number of such sentences as the following, which will exercise you at the same time in addition, and in the use of the signs mentioned in (23).

33. Cuando los dos últimos artículos hayan sido estudiados a fondo, usted podrá hallar la suma de cualesquiera números mediante el siguiente procedimiento,¹ que es el mismo que el de (29).

Regla I. Coloca los números uno debajo del otro, unidades bajo unidades, decenas bajo decenas, y así sucesivamente.

II. Súmense las unidades de todos, y divídase el número entero así obtenido en unidades y decenas. Así, si el número es 85, divídase en 8 decenas y 5 unidades; si el número es 136, divídase en 13 decenas y 6 unidades (20).

III. Escribe las unidades de este número debajo de las unidades del resto, y retén en la memoria el número de decenas.

IV. Sume todos los números de la columna de las decenas, recordando sumar (o llevar, como se suele llamar) las decenas que se le indicó que recordara en el punto III., y divida este número de decenas en decenas y centenas. Así, si el número obtenido es 335 decenas, divídalo en 33 centenas y 5 decenas.

V. Coloca el número de decenas bajo las decenas, y recuerda el número de centenas.

VI. Proceda de este modo a través de cada columna, y en la última columna, en lugar de separar el número que obtenga en dos partes, escríbalo entero antes del resto.

Ejemplo.—¿Cuál es

1805 + 36 + 19727 + 3 + 1474 + 2008

• 1805
• 36
• 19727
• 3
• 1474
• 2008
• ——-
• 25053

La suma de la columna de las unidades, o sea, 8 + 4 + 3 + 7 + 6 + 5, da 33, es decir, 3 decenas y 3 unidades. Ponga el 3 en el lugar de las unidades y sume la columna de las decenas, tomando al principio las 3 decenas que resultaron de la suma de la columna de las unidades. Es decir, halle 3 + 0 + 7 + 2 + 3 + 0, lo que da 15 como número de decenas; es decir, 1 centena y 5 decenas. Sume la columna de las centenas, cuidando de sumar la 1 centena que surgió de la suma de la columna de las decenas; es decir, halle 1 + 0 + 4 + 7 + 8, lo que da exactamente 20 centenas, o 2 millares y ninguna centena. Ponga un cero en el lugar de las centenas (porque, si no lo hace, la cifra siguiente se tomará por centenas en vez de millares) y sume las cifras de la columna de los millares juntas, recordando los 2 millares que surgieron de la columna de las centenas; es decir, halle 2 + 2 + 1 + 9 + 1, lo que da 15 millares, o 1 decena de millar y 5 millares. Escriba el 5 bajo la columna de los millares y reúna las cifras de la columna de las decenas de millar, recordando la decena de millar que surgió de la columna de los millares; es decir, halle 1 + 1, o 2 decenas de millar. Escriba el 2 bajo la columna de las decenas de millar, y la operación habrá concluido.

34. Como ejercicio de suma, puede usted comprobar que lo que ahora digo del siguiente cuadrado es correcto. Los números de cada fila, ya se sumen en vertical, de derecha a izquierda o de esquina a esquina, al sumarlos dan el número 24156.

35. Si hay que sumar dos números, la suma no se alterará si se quita una parte de uno, siempre y cuando se añada la misma cantidad al otro.

Es evidente que no alterarás el número total de una colección de guijarros repartidos en dos cestas si sacas cualquier cantidad de una y la pones en la otra. Así, 15 + 7 es lo mismo que 12 + 10, ya que 12 es 3 menos que 15, y 10 es tres más que 7. Este fue el principio sobre el cual se llevó a cabo todo el proceso en (29).

36. Sean a y b dos números, como en (24). Es imposible saber cuál será su suma hasta que se conozcan los números mismos. Mientras tanto, a + b representa esta suma.

Para expresar, en el lenguaje del álgebra, que la suma de a y b no se altera al sumar c a a, siempre que restemos c de b, tenemos la siguiente ecuación:

(a + c) + (b - c) = a + b;

lo cual puede escribirse sin corchetes, de este modo, a + c + b - c = a + b.

Pues, al pensarlo bien, el significado de estas dos ecuaciones parecerá ser el mismo.

37. Si se toma a dos veces, tres veces, etc., los resultados se representan en álgebra por 2a, 3a, 4a, etc. La suma de dos cualesquiera de esta serie puede expresarse de una forma más abreviada que escribiendo el signo + entre ellas; pues aunque no sepamos qué número representa a, sabemos que, sea cual sea, 2a + 2a = 4a, 3a + 2a = 5a, 4a + 9a = 13a; y en general, si se toma a m veces y se le suma a tomada n veces, el resultado es a tomada m + n veces, o ma + na = (m + n)a.

38. Aquí debe señalarse el uso de los paréntesis. Significan que la expresión contenida en su interior debe usarse exactamente del mismo modo en que se usaría una sola letra en el mismo lugar.

Así, pa significa que a se toma p veces, y (m + n)a, que a se toma m + n veces. Es, por tanto, algo distinto de m + na, que significa que a, después de ser tomada n veces, se suma a m.

Así, (3 + 4) × 2 es 7 × 2 o 14; mientras que 3 + 4 × 2 es 3 + 8, o 11.

39. When one number is taken away from another, the number which is left is called the difference or remainder. The process of finding the difference is called subtraction.

The number which is to be taken away must be of course the lesser of the two.

40. El proceso de la resta depende de estos dos principios.

I. La diferencia de dos números no se altera si se añade un número al primero, siempre que se añada el mismo número al segundo; ni tampoco si se resta un número del primero, siempre que se reste el mismo número del segundo.

Imagina dos cestas con guijarros dentro, en la primera de las cuales hay 100 guijarros más que en la segunda. Si pongo 50 guijarros más en cada una de ellas, todavía habrá solo 100 más en la primera que en la segunda, y ocurre lo mismo si quito 50 de cada una.

Por lo tanto, al hallar la diferencia de dos números, si resultara conveniente, puedo añadir cualquier número que me plazca a ambos, porque, aunque al hacer esto altere los números en sí, no altero su diferencia.

• II. Dado que 6 supera a 4 en 2,
• y 3 supera a 2 por 1,
• y 12 excede a 5 en 7,

6, 3 y 12 juntos, o 21, exceden a 4, 2 y 5 juntos, o 11, en 2, 1 y 7 juntos, o 10: lo mismo puede decirse de cualquier otros números.

41. Si a, b y c son tres números, de los cuales a es mayor que b (40), I. conduce a lo siguiente, (a + c) - (b + c) = a - b.

Nuevamente, si c es menor que a y b, (a - c) - (b - c) = a - b.

Los paréntesis no pueden quitarse aquí como en (36). Es decir, p- (q-r) no es lo mismo que p-q- r. Pues, en el primero, la diferencia entre q y r se resta de p; pero en el segundo, primero q y luego r se restan de p, lo cual es lo mismo que restar tanto como q y r juntos, o q + r. Por lo tanto, p-q-r es p-(q + r). Para mostrar cómo quitar los paréntesis de p -(q-r) sin alterar el valor del resultado, tomemos el ejemplo sencillo 12-(8-5). Si restamos 8 de 12, o formamos 12-8, restamos demasiado; porque no es 8 lo que ha de ser quitado, sino tanto de 8 como queda después de disminuirlo en 5. Al formar 12-8 hemos restado por tanto 5 de más. Esto debe enmendarse sumando 5 al resultado, lo que da 12-8 + 5 como valor de 12-(8-5). El mismo razonamiento se aplica a todos los casos, y tenemos por tanto, p - (q + r) = p - q - r.

p - (q - r) = p - q + r.

Por el mismo tipo de razonamiento, a - (b + c - d - e) = a - b - c + d + e.

2a + 3b - (a - 2b) = 2a + 3b - a + 2b = a + 5b.

4x + y - (17x - 9y) = 4x + y - 17x + 9y = 10y - 13x.

42. I want to find the difference of the numbers 57762 and 34631. Take these to pieces as in (29) and

57762 son 5 decenas de millar, 7 millares, 7 centenas, 6 decenas y 2 unidades.

34631 son 3 decenas de millar, 4 millares, 6 centenas, 3 decenas y 1 unidad.

Por tanto, según (40, Principio II.) toda la primera columna junta excede a toda la segunda columna en toda la tercera columna, es decir, en

2 d. de mil, 3 mil, 1 cent., 3 decenas y 1 unidad, que son 23131. Por lo tanto, la diferencia entre 57762 y 34631 es 23131, o bien 57762-34631 = 23131.

43. Supongamos que quiero encontrar la diferencia entre 61274 y 39628.

Escríbelos con todas sus letras, y

61274 son 6 dec. de mil, 1 um., 2 cent., 7 dec. y 4 un.

39628 son 3 dec. de mil, 9 um., 6 cent., 2 dec. y 8 un.

Si intentamos hacer lo mismo que en el último artículo, surge una dificultad de inmediato, ya que el 8, al ser mayor que 4, no se le puede restar. Pero de (40) resulta que no alteraremos la diferencia de dos números si añadimos el mismo número a ambos.

Añade diez al primer número, es decir, que haya 14 unidades en lugar de cuatro, y añade también diez al segundo número, pero en lugar de añadir diez al número de unidades, añade uno al número de decenas, que es lo mismo. Los números quedarán entonces así,

6 decenas de mil 1 mil. 2 cent. 7 decenas y 14 unidades.²

3 decenas de mil 9 mil. 6 cent. 3 decenas y 8 unidades.

Ahora veis que las unidades y las decenas de la línea inferior se pueden restar de las de la línea superior, pero que las centenas no. Para remediar esto, sumad mil o 10 centenas a ambos números, lo cual no alterará su diferencia, y recordad aumentar las centenas de la línea superior en 10, y los millares de la línea inferior en 1, que son las mismas cosas.

Y puesto que los millares de la inferior no se pueden restar de los millares de la línea superior, sumad 1 decena de millar o 10 millares a ambos números, y aumentad los millares de la línea superior en 10, y las decenas de millar de la línea inferior en 1, que son las mismas cosas; y al final los números que obtendremos serán,

• 6 dec. de mil 11 mil 12 cent. 7 decenas y 14 unidades.
• 4 dec. de mil 10 mil 6 cent. 3 decenas y 8 unidades.

Estos números no son, es verdad, los mismos que los dados al principio de este artículo, sino que su diferencia es la misma, por (40).

Con los números mencionados en último lugar, procédase de la misma manera que en (42), lo que dará, como su diferencia,

• 2 decenas de millar,
• 1 millar,
• 6 centenas,
• 4 decenas, y
• 6 unidades,

lo que es 21646.

44. De esto deducimos las siguientes reglas para la sustracción:

I. Escríbase el número que ha de restarse (el cual es, por supuesto, el menor de los dos, y se llama el sustraendo) debajo del otro, de manera que sus unidades queden debajo de las unidades del otro, y así sucesivamente.

II. Reste cada cifra de la línea inferior de la que está encima, si eso es posible. Cuando no sea posible, súmele diez a la cifra superior y luego reste la cifra inferior; pero recuerde en este caso aumentar siempre en 1 la cifra siguiente de la línea inferior, antes de empezar a restarla de la superior.

45. Si no hubiera tantas cifras en la línea inferior como en la superior, proceda como si hubiera tantos ceros al principio de la línea inferior como sean necesarios para que el número de cifras sea igual. Un número no se altera al colocar ceros al principio de este. Por ejemplo, 00818 es el mismo número que 818, porque significa

• 0 decenas de mil.
• 0 millares.
• 8 centenas.
• 1 decena y 8 unidades;

los dos primeros signos no son nada, y el resto es

8 centenas, 1 decena y 8 unidades, o 818.

El segundo no se diferencia del primero, excepto en que se dice que no hay millares ni decenas de millar en el número, lo cual puede saberse sin que se mencionen en absoluto.

Quizás preguntes por qué esto no se aplica a un cero colocado en medio de un número, o a la derecha de este, como, por ejemplo, en el 28007 y el 39700.

Pero debes recordar que, a no ser por los dos ceros del primero, el 8 se tomaría por 8 decenas, en vez de por 8 millares; y a no ser por los ceros del segundo, el 7 se tomaría por 7 unidades, en vez de por 7 cientos.

46. EJEMPLO.

EJERCICIOS.

I. What is 18337 + 149263200 - 6472902?—Answer 142808635.

¿Cuánto es 1000 - 464 + 3279 - 646?—Ans. 3169.

II. Restar

64 + 76 + 144 - 18 de 33 - 2 + 100037.—R. 99802.

III. What shorter rule might be made for subtraction when all the figures in the upper line are ciphers except the first? for example, in finding

10000000 - 2731634.

IV. Hallar 18362 + 2469 y 18362 - 2469, sumar el segundo resultado al primero, y luego restar 18362; restar el segundo del primero, y luego restar 2469.—Respuesta 18362 y 2469.

V. Hay cuatro lugares en la misma línea en el orden a, b, c y d. De a a d hay 1463 millas; de a a c hay 728 millas; y de b a d hay 1317 millas. ¿Qué distancia hay de a a b, de b a c y de c a d?—Respuesta. De a a b 146, de b a c 582, y de c a d 735 millas.

VI. En la siguiente tabla réstese $b$ de $a$, y $b$ del resto, y así sucesivamente hasta que $b$ ya no pueda restarse más. Hállese cuántas veces puede restarse $b$ de $a$, y cuál es el último resto.