La definición de una fracción dada en el texto muestra que ⁷/₉, por ejemplo, es la parte novena de siete, lo cual se demuestra que es la misma cosa que siete novenos de una unidad. Pero hay varios modos de expresión mediante los cuales se puede significar una fracción, todos los cuales están más o menos en uso.
- En ⁷/₉ tenemos la 9.ª parte de 7.
- 7/9 partes de una unidad.
- La fracción que 7 representa de 9.
- Las veces y partes de una vez (en este caso solo parte de una vez) que el 7 contiene al 9.
- El multiplicador que convierte los nueves en sietes.
- La razón de 7 a 9, o la proporción de 7 a 9.
- El multiplicador que altera un número en la razón de 9 a 7.
- La 4.ª proporcional de 9, 1 y 7.
Las dos primeras opiniones están en el texto. La tercera se deduce así: Si dividimos 9 en 9 partes iguales, cada una es 1, y 7 de las partes son 7; por consiguiente, la fracción que 7 representa de 9 es ⁷/₉.
La cuarta opinión se sigue inmediatamente: Pues una vez es solo una palabra usada para expresar una de las repeticiones que tienen lugar en la multiplicación, y nos permitimos, mediante una fácil extensión del lenguaje, hablar de una porción de un número como si fuera ese número tomado una parte de una vez.
La quinta opinión no es más que un cambio de palabras: Un número reducido a ⁷/₉ de su valor tiene cada 9 convertido en un 7, y cualquier fracción de un 9 que pueda quedar restante convertida en la fracción correspondiente de 7. Esto queda completamente demostrado cuando probamos la ecuación ⁷/₉ de a = 7 veces a/9.
La sexta, séptima y octava opiniones se ilustran en el capítulo sobre la proporción.
Cuando el estudiante llega al álgebra, descubre que, en todas las aplicaciones de esa ciencia, las fracciones como a/b exigen muy frecuentemente que se suponga que a y b son a su vez fracciones. Es, por tanto, importante que aprenda a adaptar su concepto de fracción a este caso más complicado.
| Supongamos que tomamos | 2½ | . |
|---|---|---|
| 4³/₅ |
Hallaremos que tenemos, en este caso, una mejor idea de las vistas a partir de la tercera inclusive, que de la primera y la segunda, que son sin duda las formas más sencillas de concebir ⁷/₉.
No tenemos ninguna noción de la (4³/₅)-ésima parte de 2½,
| ni de 2 | 1 | ( | 4 | 3 | ) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 5 |
de una unidad; de hecho, acuñamos una nueva especie de adjetivo cuando hablamos de la parte (4³/₅) de cualquier cosa. Pero podemos imaginar fácilmente que 2½ es alguna fracción de 4³/₅; que el primero es alguna parte de un tiempo del segundo; que debe haber algún multiplicador que convierta cada 4³/₅ de un número en 2½; y así sucesivamente. Veamos ahora si podemos inventar un modo distinto de aplicar la primera y la segunda perspectiva a una fracción compuesta como la anterior.
Podemos imaginar fácilmente una cuarta parte de una longitud, y una quinta parte, queriendo decir las líneas de las cuales 4 y 5 componen la longitud en cuestión; y también existe una longitud de la cual cuatro longitudes y dos quintas partes de una longitud componen la longitud original en cuestión. Por ejemplo, podríamos decir que 6, 6, 2 es una división de 14 en 2⅓ partes iguales: 2 partes iguales, 6, 6, y una tercera parte, 2.
Así podríamos convenir en decir que la (2⅓)-ava, o (2⅓)-era, o (2⅓)-primera parte (el lector puede acuñar el adjetivo como le plazca) de 14 es 6.
Si dividimos la línea en once partes iguales en , , , etc., debemos decir entonces que es la 11.ª parte,
a d la (5½)ª, a e la (3⅔)ª, a f la (2¾)ª, a g la (2⅕)ª, a h la (1⅚)ª, a i la (1⁴/₇)ª, a k la (1⅜)ª, a l la (1²/₉)ª, a m la (1⅒)ª y a b misma la 1.ª parte de a b.
El lector puede rechazar el lenguaje si le place (aunque no desafía tanto a la etimología como hablar de multiplicar por ½); pero cuando a b se llama 1, debe o bien llamar a f 1/(2¾), o bien dar una definición para una clase de fracciones y otra para otra.
Cualesquiera que sean las abreviaturas que elijan, todas las personas coincidirán en que a/b es una instrucción para hallar una fracción tal que, repetida b veces, dé 1, y luego tomar esa fracción a veces.
Así, para obtener 2½/4⅗, la forma más sencilla es dividir la unidad entera en 46 partes; 10 de estas partes, repetidas 4⅗ veces, dan el todo. El
4⅗ partes es entonces ¹⁰/₄₆, y 2½ de tales partes es ²⁵/₄₆, o una c.
El estudiante debe probar varios ejemplos de este modo de interpretar fracciones complejas.
Pero ¿qué hemos de decir cuando el denominador mismo es menor que la unidad, como en 3¼/⅖? ¿Hemos de tener una parte (⅖) de una unidad? ¿Y qué es eso?
Si hubiera habido un 5 en el denominador, habríamos tomado la parte de la cual 5 compone una unidad. Como hay ⅖ en el denominador, debemos tomar la parte de la cual ⅖ será una unidad. Esa parte es mayor que una unidad; son 2½ unidades; 2½ es aquello de lo cual ⅖ es 1.
La fracción anterior nos indica entonces que repitamos 2½ unidades 3¼ veces. Al extender nuestra palabra «multiplicación» a la toma de una parte de una vez, todas las multiplicaciones son también divisiones, y todas las divisiones, multiplicaciones, y todos los términos relacionados con una u otra son susceptibles de aplicarse a los resultados de la otra.
Si 2⅓ yardas cuestan 3½ chelines, ¿cuánto cuesta una yarda? En un caso como este, el estudiante observa una pregunta más simple. Si 5 yardas cuestan 10 chelines, ve que cada yarda cuesta ¹⁰/₅, o 2 chelines, y, concluyendo que el mismo proceso dará el resultado correcto cuando los datos son fraccionarios, plantea 3½/2⅓, lo reduce por regla a ³/₂ o 1½, y concluye que 1 yarda cuesta 18 peniques.
La respuesta resulta ser correcta; pero no debe suponer que esta regla de replicar para las fracciones todo lo que se ve que es verdad para los números enteros es una regla que no requiere demostración.
En la pregunta anterior queremos una cantidad de dinero que, repetida 2⅓ veces, dé 3½ chelines. Si dividimos el chelín en 14 partes iguales, 6 de estas partes repetidas 2⅓ veces dan el chelín. Para obtener 3½ veces más mediante la misma repetición, debemos tomar 3½ de estas 6 partes en cada paso, es decir, 21 partes. Por lo tanto, ²¹/₁₄, o 1½, es el número de chelines que cuesta.