La regla dada en este capítulo se incluye debido a su excelencia como ejercicio de cálculo. Los ejemplos elegidos requerirán poco uso de signos algebraicos, para que puedan ser entendidos por quienes no saben más de álgebra de lo que se contiene en la presente obra.

Para resolver una ecuación como

2x⁴ + x² - 3x = 416793, o, como se escribe habitualmente,

2x⁴ + 0x³ + x² - 3x - 416793 = 0, we must first ascertain by trial not only the first figure of the root, but also the denomination of it: if it be a 2, for instance, we must know whether it be 2, or 20, or 200, &c., or ·2, or ·02, or ·002, &c.

This must be found by trial; and the shortest way of making the trial is as follows: Write the expression in its complete form. In the preceding case the form is not complete, and the complete form is

2x⁴ + 0x³ + 1x² - 3x - 416793.

Para encontrar qué es esto cuando $x$ es cualquier número, por ejemplo, 3000, la mejor manera es tomar el primer multiplicador (2), multiplicarlo por 3000, e incorporar el siguiente multiplicador (0), multiplicar el resultado por 3000, e incorporar el siguiente multiplicador (1), y así sucesivamente hasta el final, de la siguiente manera:

2 × 3000 + 0 = 6000; 6000 × 3000 + 1 = 18000001

18000001 × 3000 - 3 = 54000002997

54000002997 × 3000 - 416793 = 162000008574207

Ahora pruebe el valor de lo anterior cuando x = 30. Tenemos entonces, para los pasos, 60 (2 × 30 + 0), 1801, 54027 y, por último,

1620810 - 416793, o x = 30 hace que los primeros términos sean mayores que 416793. Ahora prueba con x = 20, lo que da 40, 801, 16017 y, por último,

320340 - 416793, o x = 20 hace que los primeros términos sean menores que 416793. Entre 20 y 30, por lo tanto, debe haber un valor de x que haga que 2x⁴ + x²-3x sea igual a 416793. Y este es el paso preliminar del proceso.

Habiendo llegado hasta aquí, escribid los coeficientes +2, 0, +1, -3 y -416793, cada uno con su signo algebraico propio, excepto el último, en el cual ha de cambiarse el signo. Esta es la manera más conveniente cuando el último signo es -. Pero si el último signo es +, puede ser más conveniente dejarlo estar y cambiar todos los que le preceden. Así, al resolver x³ - 12x + 1 = 0, podríamos escribir

-1 0 +12 1 en tanto que en el caso que tenemos ante nosotros, escribimos

+2 0 +1 -3 416793

Hecho esto, toma la cifra mayor de la raíz, debidamente nombrada, que son 2 decenas, o sea, 20. Comienza por la primera columna, multiplícala por 20 y súmale el número de la columna siguiente; multiplica eso por 20 y súmale el número de la columna siguiente; y así sucesivamente.

Pero cuando llegues a la última columna, resta el producto que resulta de la columna precedente, o súmale a la última columna cambiando su signo.

Una vez hecho esto, repite el proceso con los números que ahora se encuentran en las columnas, omitiendo la última, es decir, el paso de la resta; luego repítelo de nuevo, llegando únicamente hasta la antepenúltima columna, y así sucesivamente, hasta que las columnas presenten un conjunto de filas del siguiente aspecto:

a	b	c	d	e
	f	g	h	i
k	l	m
n	o
p

a cuya formación es clave lo siguiente:

f = 20a + b,
g = 20f + c,
h = 20g + d,
i = e - 20h,
k = 20a + f,
l = 20k + g,
m = 20l + h,
n = 20a + k,
o = 20n + l,
p = 20a + n.

Llamamos a esto el Método de Horner, por el nombre de su inventor. El resultado es el siguiente:

2	0	1	-3	416793
	40	801	16017	96453
80	2401	64037
120	4801
160

Tenemos ahora ante nosotros la hilera

2 160 4801 64037 96453 lo cual nos proporciona los medios para adivinar el siguiente dígito, o cifra de las unidades, de la raíz.

Llámenos a la última columna dividendo, a la penúltima divisor, y a todas las anteriores antecedentes. Vea cuántas veces contiene el dividendo al divisor; esto da la estimación de la siguiente cifra. La estimación es verdadera¹ si, al aplicar el proceso de Horner, el resultado del divisor, incrementado como está por los procesos antecedentes, aún cabe tantas veces en el dividendo.

Por ejemplo, en el caso que tenemos ante nosotros, 96453 contiene a 64037 una vez; pongamos 1 a prueba. Se descubre que el proceso de Horner tiene éxito, y tenemos para el segundo proceso,

2	160	4801	64037	96453
	162	4963	69000	27453
164	5127	74127
166	5293
168

Tan pronto como llegamos a la porción fraccionaria de la raíz, el proceso asume una forma más² metódica.

Siendo la ecuación de cuarto grado, agrégrense cuatro ceros al dividendo, tres al divisor, dos al antecedente y uno al antecedente previo, dejando la primera columna tal como está; luego hállese la nueva cifra mediante el dividendo y el divisor, como antes,³ y aplíquese el procedimiento de Horner.

Agrégrense ceros a los resultados, como antes, y procédase de la misma manera. El añadido de los ceros evita que tengamos nada que ver con puntos decimales, y nos permite utilizar las cifras del cociente sin prestar atención a sus valores locales.

Lo siguiente muestra todo el proceso desde el principio, llevado tan lejos como aquí se pretende llegar antes de comenzar la abreviación, la cual dará más cifras, como en la regla para la raíz cuadrada. Lo siguiente, entonces, es el proceso hasta un lugar decimal:

2	0	1	-3	416793(213
	40	801	16017	96453
80	2401	64037	274530000
120	4801	69000	47339778
160	4963	74127000
162	5127	75730074
164	529300	77348376
166	534358
1680	539434
1686	544528
1692
1698
1704

Si ahora empezamos la abreviación, es bueno saber de antemano con qué cantidad de cifras raíz adicionales podemos contar. Podemos estar bastante seguros de tener casi tantas como cifras hay en el divisor al empezar a abreviar: una menos, o al menos dos menos.

Así, habiendo ahora ocho cifras en el divisor, podemos concluir que la abreviación nos dará al menos seis cifras más. Para empezar la abreviación, déjese el dividendo tal cual, táchese una cifra del divisor, dos de la columna anterior a esa, tres de la anterior a esta, y así sucesivamente. Así, nuestra abreviación comienza con


	0002	1	704	5445	28	7734837	6	47339778

La primera columna resulta aquí prácticamente inútil.

Llévese a cabo el proceso como antes, empleando únicamente las cifras que no estén cortadas. Pero será mejor llegar hasta la primera cifra cortada, llevándose la cuenta desde la segunda cifra cortada. Tendremos entonces lo siguiente:


1	704	5445	28	7734837	6	47339778(6
		5445	5	7767570	6	734354
	5465	7	7800364	8
	5475	9

En la siguiente contracción, la columna 1|704 se convierte en |001704, y es totalmente inútil. El paso siguiente, escrito por separado (lo cual no es, sin embargo, necesario para operar), es


54	759	780036	48	734354(0

Aquí el dividendo 734354 no contiene al divisor 780036, y escribimos, por lo tanto, 0 como cifra de la raíz y hacemos otra contracción, o empezamos con


54759	78003	648	734354(9
	78008	5	32277
	78013	4

En la siguiente contracción, la primera columna se convierte en |0054759, y es completamente inútil, de modo que el resto del proceso es la división abreviada.


7801	34)	32277	(4137
		1072
	292
	58
	3

y la raíz requerida es 21,36094137.

Ahora escribo el proceso completo para otra ecuación, una de cuyas raíces se encuentra entre 3 y 4: es x³ - 10x + 1 = 0

1	0		-10		-1(3·111039052073099	0796
	3		-1			2000
6		1700		209000
9	0			1791		19769000
9	1			188300		743369000000
9	2			189231		172311710273000
9	30			19016300		991247447681
9	31			19025631		39462875420
9	32			1903496300	0	0			1391491559
9	33	0		1903524299	0	9			58993123
9	33	1		1903552298	2	7	0	0	1886047
9	33	2		1903560698	0	5	9	1	172835
9	33	30	0	1903569097	8	5	6	3	1515
9	33	30	3	1903569144	5	2	2		183
9	33	30	6	1903569191	1	8	8		12
9	33	30	90	1903569193	0	6			1
9	33	30	99	1903569194	9	3
9	33	31	08
	09	33	31	17

El alumno no necesita repetir las filas de cifras en la medida en que coincidan unas debajo de otras; por lo tanto, no es necesario repetir 190356. Pero debe usar su propio criterio en cuanto a cuánto le sería seguro omitir. He expuesto aquí todo el proceso como guía.

Los siguientes ejemplos servirán para el ejercicio:

1. 2x³ - 100x - 7 = 0
x = 7·10581133.
1. x⁴ + x³ + x² + x = 6000
x = 8·531437726.
1. x³ + 3x² - 4x - 10 = 0
x = 1,895694916504.
1. x³ + 100x² - 5x - 2173 = 0
x = 4,582246071058464.
_
1. ∛2 = 1·259921049894873164767210607278.⁵⁹
1. x³ - 6x = 100
x = 5·071351748731.
1. x³ + 2x² + 3x = 300
x = 5·95525967122398.
1. x³ + x = 1000
x = 9,96666679.
1. 27000x³ + 27000x = 26999999
x = 9·9666666.....
1. x³ - 6x = 100
x = 5·0713517487.
1. x⁵ - 4x⁴ + 7x³ - 863 = 0
x = 4·5195507.
1. x³ - 20x + 8 = 0
x = 4,66003769300087278.
1. x³ + x² + x - 10 = 0
x = 1·737370233.
1. x³ - 46x² - 36x + 18 = 0
x = 46,7616301847,
o x = ·3471623192.
1. x³ + 46x² - 36x - 18 = 0
x = 1·1087925037.
1. 8991x³ - 162838x² + 746271x - 81000 = 0
x = ·111222333444555....
1. 729x³ - 486x² + 99x - 6 = 0
x = ·1111..., o ·2222..., o ·3333....
1. 2x³ + 3x² - 4x = 500
x = 5·93481796231515279.
1. x³ + 2x² + x - 150 = 0
x = 4·6684090145541983253742991201705899.
1. x³ + x = x² + 500
x = 8·240963558144858526963.
1. x³ + 2x² + 3x - 10000 = 0
x = 20·852905526009.
1. x⁵ - 4x - 2000 = 0
x = 4,581400362.
1. 10x³ - 33x² - 11x - 100 = 0
x = 4·146797808584278785.
1. x⁴ + x³ + x² + x = 127694
x = 18·64482373095.
1. 10x³ + 11x² + 12x = 100000
x = 21·1655995554508805.
1. x³ + x = 13
x = 2,209753301208849.
1. x³ + x² - 4x - 1600 = 0
x = 11,482837157.
1. x³ - 2x = 5
x = 2,094551481542326591482386540579302963857306105628239.
1. x⁴ - 80x³ + 24x² - 6x - 80379639 = 0
x = 123.⁶⁰
1. x³ - 242x² - 6315x + 2577096 = 0
x = 123.⁶¹
1. 2x⁴ - 3x³ + 6x - 8 = 0
x = 1·414213562373095048803.⁶²
1. x⁴ - 19x³ + 132x² - 302x + 200 = 0
x = 1,02804, o 4, o 6,57653, o 7,39543⁶³.
1. 7x⁴ - 11x³ + 6x² + 5x = 215
x = 2·70648049385791.⁶⁴
1. 7x⁵ + 6x⁴ + 5x³ + 4x² + 3x = 11
x = ·770768819622658522379296505.⁶⁵
1. 4x⁶ + 7x⁵ + 9x⁴ + 6x³ + 5x² + 3x = 792
x = 2·052042176879605365214043401281201973460275599545541724214.⁶⁶
1. 2187x⁴ - 2430x³ + 945x² - 150x + 8 = 0
x = ·1111...., o ·2222...., o ·3333...., o ·4444....