El proceso de la prueba del nueve, como se le llama, es algo que el joven calculista debe aprender y practicar como comprobación de sus cálculos. No es una comprobación completa, ya que si una cifra se hiciera demasiado pequeña y otra igualmente demasiado grande, no detectaría este doble error; pero como es muy poco probable que ocurra tal doble error, la comprobación ofrece una fuerte presunción de exactitud.

La proposición de la cual depende este método es la siguiente: Si a, b, c, d son cuatro números tales que a = bc + d, y si m es cualquier otro número en absoluto, y si a, b, c, d, divididos respectivamente por m, dan los residuos p, q, r, s, entonces p y qr + s dan el mismo residuo al ser divididos por m (y tal vez sean iguales entre sí).

Por ejemplo, 334 = 17 × 19 + 11;

divide estos cuatro números entre 7, los residuos son 5, 3, 5 y 4. Y 5 y 5 × 3 + 4, o 5 y 19, ambos dejan el residuo 5 al dividirlos entre 7.

Cualquier número, por lo tanto, que se emplee como divisor, puede utilizarse para comprobar la corrección de una operación. Para proporcionar una comprobación que sea de lo más apta para su uso, debemos tomar un divisor cuyo resto sea el más fácil de hallar. Los divisores más convenientes son el 3, el 9 y el 11, de los cuales el 9 es, con mucho, el más útil.

En cuanto a los números 3 y 9, el residuo es siempre el mismo que el de la suma de las cifras. Por ejemplo, supóngase que se requiere el residuo de 246120377 dividido entre 9. La suma de las cifras es 2 + 4 + 6 + 1 + 2 + 0 + 3 + 7 + 7, o sea 32, lo que da el residuo 5. Pero la manera más fácil de proceder es descartando los nueves a medida que van surgiendo en la suma. Así pues, repítase 2, 6 (2 + 4), 12 (6 + 6), digamos 3 (descartando el 9), 4, 6, 9 (descartar este), 7, 14, (o descartando el 9) 5. Este es el residuo requerido, como se vería al dividir 246120377 entre 9. Una demostración

puede darse de este modo: Es obvio que cada uno de los números, 1, 10, 100, 1000, etc., divididos entre 9, dejan un residuo de 1, puesto que son 1, 9 + 1, 99 + 1, etc. En consecuencia, 2, 20, 200, etc., dejan el residuo 2; 3, 30, 300, el residuo 3; y así sucesivamente. Si, entonces, dividimos, digamos 1764 entre 9 por partes, 1000 será uno más que un número exacto de nueves, 700 será siete más, y 60 será seis más. Por lo tanto, a partir de 1, 7, 6, 4, sumados, y quitados los nueves, resulta el único residuo que puede resultar de 1764.

Para aplicar este proceso a una multiplicación: Se afirma, en la página 32, que

10004569 × 3163 = 31644451747.

Al excluir los nueve del primero, todo lo que es necesario repetir es: uno, cinco, diez, uno, siete; en el segundo: tres, cuatro, diez, uno, cuatro; en el tercero: tres, cuatro, diez, uno, cinco, nueve, cuatro, nueve, ocho, doce, tres, diez, uno. Los residuos entonces son: 7, 4, 1. Ahora bien, 7 × 4 es 28, lo cual, al excluir los nueve, da 1, lo mismo que el producto.

Nuevamente, en la página 43, se afirma que

23796484 = 130000 × 183 + 6484.

Eliminemos los nueve de 13000, 183 y 6484, y nos quedan 4, 3 y 4. Ahora, 4 × 3 + 4, eliminando los nueve, da 7; y lo mismo ocurre con 23796484.

Para evitar tener que recordar el resultado de un lado de la ecuación, o tener que anotarlo, para contrastarlo con el resultado del otro lado, proceda de la siguiente manera:

Habiendo obtenido el residuo del lado más complicado, en el que entran dos o más números, réstelo de 9, y lleve el residuo al lado simple, en el que hay un solo número. Entonces el residuo de ese lado debería ser 0.

Así, habiendo obtenido 7 del lado izquierdo de lo anterior, tome 2, el resto de 9, olvide el 7 y lleve el 2 como inicio al lado izquierdo, dando 2, 4, 7, 14, 5, 11, 2, 6, 14, 5, 9, 0.

La práctica permitirá al alumno hacer la prueba del nueve con gran rapidez.

Este proceso de la prueba del nueve no detecta ningún error en el que el resto respecto a 9 resulte ser correcto. Si un proceso es tedioso y se desea alguna comprobación adicional, se puede seguir el método de la prueba del once después del de la prueba del nueve.

Obsérvese que 10 + 1, 100 - 1, 1000 + 1, 10000 - 1, etc., son todos divisibles por once. A partir de esto se puede deducir la siguiente regla para el resto de la división por 11, y ser utilizada fácilmente por quienes conocen el proceso algebraico de la resta. Para quienes no han llegado tan lejos, puede dudarse de que la regla resulte más fácil que la división real por 11.

Resta la primera cifra de la segunda, el resultado de la tercera, el resultado de la cuarta, y así sucesivamente. El resultado final, o el resto de 11 si la cifra es negativa, es el residuo requerido. Así, para dividir 1642915 entre 11 y hallar el residuo, tenemos: 1 de 6, 5; 5 de 4, -1; -1 de 2, 3; 3 de 9, 6; 6 de 1, -5; -5 de 5, 10; y 10 es el residuo. Pero 164 da -1, y 10 es el residuo; 164291 da -5, y 6 es el residuo. Con muy poca práctica, estos residuos se pueden leer con tanta rapidez como el número mismo. Así, para 127619833424 solo es necesario repetir: 1, 6, 0, 1, 8, 0, 3, 0, 4, -2, 6, y 6 es el residuo.

Cuando una cuestión ha sido probada tanto por nueves como por once, no puede haber error a menos que sea uno que haga que el resultado sea erróneo exactamente por un múltiplo de 99.