204. Si se coloca sobre la mesa cierto número de fichas, distinguidas por diferentes letras, y se retira un número cualquiera de ellas, por ejemplo, cuatro, el problema consiste en determinar de cuántas maneras diferentes puede hacerse esto. Cada modo de hacerlo da lugar a lo que se llama una combinación de cuatro, aunque con mayor propiedad podría llamarse una selección de cuatro. Se dice que dos combinaciones o selecciones son diferentes cuando difieren de cualquier modo posible; así, abcd y abce son diferentes, ya que d está en una y e en la otra, siendo iguales las partes restantes. Supongamos que hay seis fichas, a, b, c, d, e y f; las combinaciones de tres que pueden formarse con ellas son veinte en total, a saber:

Las combinaciones de cuatro son quince en número, a saber,

y así sucesivamente.

205. Cada una de estas combinaciones puede escribirse en varios órdenes diferentes; así, abcd puede disponerse de cualquiera de las siguientes maneras:

de los cuales no hay dos que estén enteramente en el mismo orden. Se dice que cada uno de estos es una permutación distinta de abcd. Considerados como una combinación, son todos iguales, ya que cada uno contiene a, b, c y d.

206. Pasamos ahora a hallar cuántas permutaciones, cada una de las cuales contiene un número dado, pueden hacerse con las fichas de otro número dado, seis, por ejemplo. Si supiéramos cómo hallar todas las permutaciones que contienen cuatro fichas, podríamos formar aquellas que contienen cinco de este modo: tómese cualquiera que contenga cuatro, por ejemplo, abcf, en el cual se han omitido d y e; escríbanse d y e sucesivamente al final, lo que da abcfd, abcfe, y repítase el mismo proceso con cada una de las demás permutaciones de cuatro; así, dabc da dabce y dabcf. Ninguna permutación de cinco puede escapársenos si procedemos de esta manera, con la única condición de que conozcamos las de cuatro; pues cualquier permutación dada de cinco, como dbfea, surgirá en el curso del proceso a partir de dbfe, que, según nuestra regla, proporciona dbfea. Tampoco se repetirá ninguna permutación dos veces, pues dbfea, si se sigue la regla, solo puede surgir de la permutación dbfe.

Si comenzamos de este modo a hallar las permutaciones de dos de las seis, a b c d e f, cada una de estas da cinco; así, a da ab ac ad ae af b ... ba bc bd be bf y el número total es 6 × 5, o 30.

Nuevamente, ab da abc abd abe abf ac ... acb acd ace acf y aquí hay 30, o 6 × 5 permutaciones de 2, cada una de las cuales da 4 permutaciones de 3; el número total de estas últimas es, por lo tanto, 6 × 5 × 4, o 120.

Nuevamente, abc da abcd abce abcf abd ... abdc abde abdf y aquí hay 120, o 6 × 5 × 4, permutaciones de tres, cada una de las cuales da 3 permutaciones de cuatro; el número total de las últimas es por lo tanto 6 × 5 × 4 × 3, o 360.

Del mismo modo, el número de permutaciones de 5 es 6 × 5 × 4 × 3 × 2, y el número de permutaciones de seis, o el número de diferentes maneras en que los seis en conjunto pueden ordenarse, es 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1. Los dos últimos resultados son iguales, lo cual debe ser así; pues dado que una permutación de cinco solo omite uno, solo puede proporcionar una permutación de seis. Si en lugar de seis elegimos cualquier otro número, x, el número de permutaciones de dos será x(x-1), el de tres será x(x-1)(x-2), el de cuatro x(x -1)(x-2)(x-3), siendo la regla: Multiplicar el número total de fichas por el número inmediatamente inferior, y el resultado por el siguiente inferior, y así sucesivamente, hasta que se hayan multiplicado tantos números como fichas ha de haber en cada permutación: el producto será el número total de permutaciones del tipo requerido. Así, a partir de 12 fichas, se pueden hacer permutaciones de cuatro en número de 12 × 11 × 10 × 9, es decir, 11880.

EJERCICIOS.

207. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden acomodar ocho personas en ocho asientos?

Respuesta, 40320.

¿De cuántas maneras se puede sentar a ocho personas alrededor de una mesa redonda, de modo que no todas tengan los mismos vecinos en cualesquiera dos ordenamientos?

Respuesta, 5040.

Si se diera la centésima parte de un farthing por cada disposición diferente que se puede hacer de quince personas, ¿a cuánto ascendería la cantidad total?

Respuesta, 13621608 £.

De diecisiete consonantes y cinco vocales, ¿cuántas palabras se pueden formar que tengan dos consonantes y una vocal cada una?

Respuesta, 4080.

208. Si dos o más de las fichas tienen la misma letra en ellas, el número de permutaciones distintas es menor que el dado por la última regla. Sean a, a, a, b, c, d y, por un momento, distingamos entre las tres aes de este modo: a, a′, a″. Entonces, abca′a″d y a″bcaa′d se consideran permutaciones distintas en la regla, mientras que no lo habrían sido de no ser por los acentos.

Para calcular el número de permutaciones distintas, formemos una con b, c y d, dejando espacios para las a, de este modo: ( ) bc ( ) ( ) d. Si las a se hubieran distinguido como a, a′, a″, podríamos haber hecho 3 × 2 × 1 permutaciones distintas al llenar los espacios vacíos en la anterior, las cuales seis son iguales cuando las a no se distinguen. Por lo tanto, para deducir el número de permutaciones de a, a, a, b, c, d a partir del de aa′a″bcd, debemos dividir este último entre 3 × 2 × 1, o 6, lo que da

• 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
• 3 × 2 × 1

o 120. De manera similar, el número de permutaciones de aaaabbbcc es

EJERCICIO.

¿Cuántas variaciones se pueden hacer con el orden de las letras en la palabra antitrinitarian?

Respuesta, 126126000.

209. Del número de permutaciones podemos deducir fácilmente el número de combinaciones. Pero, para formar estas combinaciones de forma independiente, mostraremos un método similar al de (206).

Si conocemos las combinaciones de dos que pueden hacerse a partir de a, b, c, d, e, podemos hallar las combinaciones de tres escribiendo sucesivamente al final de cada combinación de dos las letras que van después de la última contenida en ella.

Así, ab da abc, abd, abe; ad da solo ade. Ninguna combinación de tres puede escapársenos si procedemos de esta manera, con tal de que conozcamos las combinaciones de dos; pues cualquier combinación dada de tres, como acd, surgirá en el curso del proceso a partir de ac, el cual, según nuestra regla, proporciona

acd. Tampoco se repetirá combinación alguna dos veces, pues acd, de seguirse la regla, solo puede surgir de ac, ya que ni ad ni cd la proporcionan. Si empezamos de este modo a hallar las combinaciones de los cinco,

De la última, abcd da abcde, y las demás ninguna, lo cual es evidentemente cierto, ya que solo se puede hacer una selección de cinco a partir de cinco cosas.

210. La regla para calcular el número de combinaciones se deriva directamente de la del número de permutaciones. Tómense 7 fichas; entonces, dado que el número de permutaciones de dos es 7 × 6, y dado que dos permutaciones, ba y ab, se encuentran en cualquier combinación ab, el número de combinaciones es la mitad que el de las permutaciones, o bien (7 × 6)/2. Dado que el número de permutaciones de tres es 7 × 6 × 5, y como cada combinación abc tiene 3 × 2 × 1 permutaciones, el número de combinaciones de tres es

Además, dado que cualquier combinación de cuatro, abcd, contiene

4 × 3 × 2 × 1 permutaciones, el número de combinaciones de cuatro es

y así sucesivamente. La regla es: Para hallar el número de combinaciones, cada una de las cuales contiene n fichas, divídase el número correspondiente de permutaciones por el producto de 1, 2, 3, etc. hasta n. Si x es el número total, el número de combinaciones de dos es

el de tres es

el de cuatro es

211. La regla puede simplificarse en la mitad de los casos, del siguiente modo. De cada diez fichas, por cada selección distinta de siete que se tome, queda una combinación distinta de 3. Por lo tanto, el número de combinaciones de siete es igual al de tres. Podemos, por consiguiente, hallar las combinaciones de tres en lugar de las de siete; y debemos además esperar, y podemos incluso afirmar, que las dos fórmulas para hallar estos dos números de combinaciones son iguales en su resultado, aunque diferentes en su forma. Y así resulta ser; pues el número de combinaciones de siete de un total de diez es

en el cual el producto 7 × 6 × 5 × 4 aparece en ambos términos y, por tanto, puede eliminarse de ambos (108), dejando

el número de combinaciones de tres elementos de un conjunto de diez. Lo mismo puede demostrarse en otros casos.

EJERCICIOS.

¿Cuántas combinaciones de cuatro se pueden hacer con doce cosas?

Respuesta, 495.

¿Cuántas combinaciones se pueden hacer de 13 de entre 52; o cuántas manos diferentes puede tener una persona en el juego del whist?

Respuesta, 635013559600.