Prop. 1. Si una fracción se reduce a sus términos mínimos, así llamados,¹ esto es, si ni el numerador ni el denominador son divisibles por ningún entero mayor que la unidad, entonces ninguna fracción con un numerador y un denominador menores puede tener el mismo valor.

Sean a/b una fracción en la que a y b no tienen ninguna medida común mayor que la unidad; y, si es posible, sea c/d una fracción del mismo valor, siendo c menor que a, y d menor que b. Ahora bien, puesto que

a	=	c	tenemos	a	=	b	;
b	d	c	d

sea m el cociente entero de estas últimas fracciones (el cual debe existir, puesto que a > c, b > d), y sean e y f los residuos. Entonces

a	o	mc + e	=	c	=	mc
b	md + f	d	md

Por consiguiente,

e	y	mc	debe ser igual, pues de no serlo,
f	md

mc + e	se encontraría entre	mc	y	e	,
md + f	md	f

en lugar de ser igual a la anterior. Por consiguiente,

a	=	e	;
b	f

de modo que si una fracción cuyo numerador y denominador no tienen mayor medida común que la unidad, es igual a una fracción de menor numerador y denominador, es igual a otra en la que el numerador y el denominador son aún menores. Si procedemos con

a	=	e	De manera similar, encontramos
b	f

a	=	g	donde g < e , h < f ,
b	h

y así sucesivamente. Ahora bien, si existe algún proceso que disminuya perpetuamente los términos de una fracción en una o más unidades en cada paso, este debe eventualmente reducir el numerador o el denominador, o ambos, a 0. Sea

a	=	v
b	w

sea uno de los pasos,

y sean a = kv + x, b = kw + y; de modo que

kv + x	=	v
kw + y	w

Ahora bien, si x = 0 pero no y, esto es absurdo, pues da

kv	=	kv	.
kw + y	kw

Una absurdidad similar se sigue si y es 0, pero no x; y si tanto x como y son = 0, entonces a = kv, b = kw, o a y b tienen una medida común, k.

Ahora bien, k debe ser mayor que 1, pues v y w son menores que c y d, que por hipótesis son menores que a y b. En consecuencia, a y b tienen una medida común k mayor que 1, la cual por hipótesis no tienen.

Si, por tanto, a y b son enteros no divisibles por ningún entero mayor que 1, la fracción a/b está realmente en su mínima expresión. Asimismo, se dice que a y b son primos entre sí.

Prop. 2. Si el producto ab es divisible por c, y si c es primo con b, debe dividir a a. Sea

ab	= d , then	b	=	d	.
c	c	c

Ahora b/c está en sus términos más bajos; por tanto, por la última proposición, d y a deben tener una medida común. Sea k la mayor medida común, y sean a = kl, d = km. Entonces

b	=	km	=	m	, y	m
c	kl	l	l

también está en su mínima expresión; pero también lo está b/c; por tanto, debemos tener m = b, l = c, pues de otro modo una fracción en su mínima expresión sería igual a otra de menor expresión.

Por tanto, a = kc, o a es divisible por c.

Y de esto se sigue que, si un número es primo respecto a otros dos, es primo respecto a su producto. Sea a primo respecto a b y a c, entonces ninguna medida de a puede medir ni a b ni a c, y ninguna tal medida puede medir el producto bc; pues cualquier medida de bc que sea prima respecto a uno debe medir al otro.

Prop. 3. Si a es primo con b, es primo con todas las potencias de b. Todo divisor² de a es primo con b, y por lo tanto no divide a b. De aquí que, por la anterior, ningún divisor de a divide a b²; por consiguiente, a es primo con b², y también lo es todo divisor suyo; por lo tanto, ningún divisor de a divide a bb², en consecuencia a es primo con b³, y así sucesivamente.

Por tanto, si a es primo con b, a no puede dividir sin resto ninguna potencia de b. Esta es la razón por la cual ninguna fracción puede convertirse en un decimal a menos que su denominador no esté medido por ningún número primo³ excepto el 2 y el 5. Pues si

a	=	c	,
b	10ⁿ

la última de las cuales es la forma general de una fracción decimal, sea

a	esté en su mínima expresión; entonces	10ⁿ a	,
b	b

es un entero, de donde (Prop. 2) b debe dividir a 10ⁿ, y también deben hacerlo todos los divisores de b.

Si, entonces, entre los divisores de b hubiera algún número primo aparte de 2 y 5, tendríamos un número primo (que es por supuesto un número primo respecto a 10) que no divide a 10, pero que divide a una de sus potencias, lo cual es absurdo.

Prop. 4. Si b es primo con a, todos los múltiplos de b, como b, 2b, ... hasta (a-1)b deben dejar distintos restos al dividirlos por a. Pues si, siendo m mayor que n, y ambos menores que a, tenemos que mb y nb dan el mismo resto, se sigue que mb-nb, o (m-n)b, es divisible por a; de donde (Prop. 2), a divide a m-n, un número menor que él mismo, lo cual es absurdo.

Si un número se divide en sus factores primos, o se reduce a un producto exclusivamente de números primos (como en 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5), y si a, b, c, etc., son los factores primos, y α, β, γ, etc., el número de veces que entran respectivamente, de modo que el número sea a^α × bᵝ × cᵞ × etc., entonces esto puede hacerse de una sola manera:

Pues cualquier número primo v, no incluido en la lista anterior, es primo respecto a a, y por tanto respecto a a^α, respecto a b y por tanto respecto a bᵝ y por tanto respecto a a^α × bᵝ Procediendo de este modo, probamos que v es primo respecto al producto completo anterior, o respecto al número dado mismo.

El número de divisores que el número precedente a^αbᵝcᵞ ... puede tener, incluidos el 0 y el propio número, es (α + 1)(β+ 1)(γ + 1).... En cuanto a a^α, tiene como divisores 1, a, a² ... a^α y ningunos otros, α + 1 en total. De manera similar, bᵝ tiene β+ 1 divisores, y así sucesivamente. Ahora bien, como todos los divisores se forman multiplicando entre sí uno de cada conjunto, su número (página 202) es (α + 1)(β + 1)(γ+ 1)....

Si un número, n, es divisible por ciertos números primos, digamos 3, 5, 7, 11, entonces la tercera parte de todos los números hasta n es divisible por 3, la quinta parte por 5, y así sucesivamente. Pero más que esto: cuando se omiten los múltiplos de 3, exactamente la quinta parte de aquellos que quedan es divisible por 5; pues la quinta parte del total es divisible por 5, y la quinta parte de aquellos que se eliminan es divisible por 5, por lo tanto, la quinta parte de aquellos que quedan es divisible por 5. De nuevo, dado que la séptima parte del total es divisible por 7, y la séptima parte de aquellos que son divisibles por 3, o por 5, o por 15, se sigue que cuando se eliminan todos aquellos que son múltiplos de 3 o de 5, o de ambos, la séptima parte de aquellos que quedan es divisible por 7; y así sucesivamente.

De ahí que el número de números que no exceden a n, que no son divisibles por 3, 5, 7 u 11, sea ¹⁰/₁₁ de ⁶/₇ de ⁴/₅ de ²/₃ de n. Procediendo de este modo, hallamos que el número de números que son primos con n, es decir, que no son divisibles por ninguno de sus factores primos, a, b, c, ... es

n	a -1		b - 1		c - 1	...
a	b	c

o a^α-1b^β-1c^γ-1 ...

(a - 1)(b - 1)(c - 1)....

Por consiguiente, siendo 360 igual a 2³3²5, su número de divisores es 4 × 3 × 2, es decir, 24, y hay 2³3.1.2.4 o 96 números menores que 360 que son primos con él.

Prop. 5. Si a es primo con b, entonces los términos de la serie, a, a², a³, ... divididos separadamente por b, deben dejar todos distintos restos, hasta que 1 aparezca como resto, después de lo cual el ciclo de restos se repetirá de nuevo.

Sea a + b con resto r (que no sea la unidad); entonces a² ÷ b da el mismo resto que ra + b, el cual (Prop. 4) no puede ser r: sea s.

Entonces aˢ ÷ b da el mismo resto que sa ÷ b, el cual (Prop. 4) no puede ser ni r ni s, a menos que s sea 1: sea t. Entonces aᵗ ÷ b da el mismo resto que ta ÷ b; si t no es 1, este no puede ser ni r, ni s, ni t: sea u. Así seguimos obteniendo diferentes restos, hasta que el 1 aparece como resto; después de lo cual, en el paso siguiente, se repite el resto de a ÷ b. Ahora bien, el 1 debe llegar por fin; pues la división por b no puede dar otros restos que 0, 1, 2, ... b- 1; y el 0 nunca llega (Prop. 3), de modo que tan pronto como hayan aparecido b-2 restos diferentes, ninguno de los cuales es la unidad, el siguiente, que debe ser diferente de todos los precedentes, tiene que ser 1. Si no antes, entonces en aᵇ⁻¹ debemos obtener un resto 1; después de lo cual el ciclo obviamente se repetirá.

Por lo tanto, al dividir 7, 7², 7³, 7⁴, etc., entre 5, se verá que dan los restos 2, 4, 3, 1, etc.

Prop. 6. La diferencia de dos potencias m-ésimas es siempre divisible sin resto por la diferencia de las raíces; o aᵐ -bᵐ es divisible por a-b; pues aᵐ - bᵐ = aᵐ - aᵐ⁻¹b + aᵐ⁻¹b - bᵐ

= aᵐ⁻¹(a - b) + b(aᵐ⁻¹ - bᵐ⁻¹)

De donde, si aᵐ⁻¹ - bᵐ⁻¹ es divisible por a - b, también lo es aᵐ - bᵐ. Pero a - b es divisible por a - b; por tanto, también lo es a² - b²; por tanto, también lo es a³ - b³; y así sucesivamente.

Por tanto, si a y b, divididos por c, dejan el mismo residuo, a² y b², a³ y b³, &c. divididos respectivamente por c, dejan los mismos residuos; pues esto significa que a - b es divisible por c.

Pero aᵐ - bᵐ es divisible por a - b, y por tanto por cada divisor de a-b, o por c; pero aᵐ - bᵐ no puede ser divisible por c, a menos que aᵐ y bᵐ, divididos respectivamente por c, den el mismo residuo.

Prop. 7. Si b es un número primo, y a no es divisible por b, entonces aᵇ y (a-1)ᵇ + 1 dejan el mismo resto al dividirlos por b. Esta proposición no puede demostrarse aquí, ya que requiere un poco más de álgebra de la que el lector de esta obra posee.⁴

Prop. 8. En el último caso, aᵇ⁻¹ dividido por b deja un residuo 1. Del último, aᵇ-a deja el mismo residuo que (a-1)ᵇ + 1-a o (a-1)ᵇ- (a-1); es decir, el residuo de aᵇ - a no se altera si a se reduce en una unidad. Por la misma regla, puede reducirse otra unidad, y así sucesivamente, aún sin ninguna alteración del residuo. Al fin se convierte en 1ᵇ-1, o 0, cuyo residuo es 0. En consecuencia, aᵇ - a, que es a(aᵇ⁻¹- 1), es divisible por b; y puesto que b es primo respecto a a, debe (Prop. 2) dividir aᵇ⁻¹-1; es decir, aᵇ⁻¹, dividido por b, deja un residuo 1, si b es un número primo y a no es divisible por b.

De lo anterior resulta (Prop. 5 y 7) que, si a es primo con b, el conjunto 1, a, a², a³, etc., dividido sucesivamente por b, da un conjunto de restos que comienza con 1 y en el cual el 1 vuelve a aparecer en aᵇ⁻¹, si no antes, y en aᵇ⁻¹ con certeza (ya sea antes o no), si b es un número primo.

A partir del punto en que aparece el 1, el ciclo de restos vuelve a comenzar, y el 1 es siempre el comienzo de un ciclo.

Si, por lo tanto, aᵐ es la primera potencia que da 1 como resto, m debe ser b-1, o un divisor de este, cuando b es un número primo.

Pero si dividimos los términos de la serie m, ma, ma², ma³, etc., por b, siendo m menor que b, tenemos ciclos de restos que empiezan con m.

Si 1, r, s, t, etc., es el primer conjunto de restos, entonces el segundo conjunto es el conjunto de restos que surgen de m, mr, ms, mt, etc.

Si 1 no aparece nunca en el primer conjunto antes de aᵇ⁻¹ (excepto al principio), entonces todos los números menores que b-1 inclusive se encuentran entre el conjunto 1, r, s, t, etc.; y si m es primo respecto a b (Prop. 4), todos los mismos números se encuentran, en un orden diferente, entre los restos de m, mr, etc.

Pero si ocurriese que el conjunto 1, r, s, t, etc., no es completo, entonces m, mr, ms, etc., pueden dar un conjunto diferente de restos.

Todos estos últimos teoremas se verifican constantemente en el proceso de reducción de una fracción a una fracción decimal. Si m es primo respecto a b, o la fracción m/b está en sus términos mínimos, el proceso implica la división sucesiva de m, m × 10, m × 10², etc., por b. Este proceso nunca puede llegar a su fin a menos que alguna potencia de 10, digamos 10ⁿ, sea divisible por b; lo cual no puede ser si b contiene algún factor primo excepto el 2 y el 5.

En cualquier otro caso, el cociente se repite, y la parte que se repite a veces comienza desde la primera cifra, a veces desde una cifra posterior. Así, ¹/₇ da ·142857142857, etc., pero ¹/₁₄ da ·07(142857)(142857), etc., y ¹/₂₈ da ·03(571428)(571428), etc.

En m/b, el cociente siempre se repite desde el mismo comienzo siempre que b sea un número primo y m sea menor que b; y el número de cifras en la parte periódica es entonces siempre b-1, o una submúltiplo de este. Que deba ser así se desprende de las proposiciones anteriores.

Antes de pasar adelante, escribimos la parte periódica de un cociente, con los residuos que quedan después de formar las diversas cifras. Sea la fracción ¹/₁₇, tenemos

0₁₀5₁₅8₁₄8₄2₆3₉5₅2₁₆9₇4₂1₃1₁₃7₁₁6₈4₁₂7₁

Esto puede leerse así:

10 entre 17, cociente 0, resto 10;
10² entre 17, cociente 05, resto 15;
10³ entre 17, cociente 058, resto 14;

y así sucesivamente. Parece manifestarse así que 10¹⁶ entre 17 deja un resto de 1, lo cual está de acuerdo con el teorema.

Si multiplicamos 0588, &c. por cualquier número menor que 17, se obtiene el mismo ciclo con un principio diferente. Así, si multiplicamos por 13, tenemos

7647058823529411 comenzando con lo que sigue al resto 13 en el primer número. Si multiplicamos por 7, tenemos 4117, &c. La razón es obvia: ¹/₁₇ × 13, o ¹³/₁₇, al convertirse en una fracción decimal, comienza con el divisor 130, y procedemos tal como lo hacemos al formar ¹/₁₇, cuando estamos a cuatro cifras del final del ciclo.

También se verá que, en la última mitad del periodo, las cifras del cociente son complementos a 9 de las de la primera mitad, y que los residuos son complementos a 17. Así, en $0_{10} 5_{15} 8_{14} 8_{4}$ , etc. y $9_{7} 4_{2} 1_{3} 1_{13}$ , etc., vemos $0 + 9 = 9$ , $5 + 4 = 9$ , $8 + 1 = 9$ , etc., y $10 + 7 = 17$ , $15 + 2 = 17$ , $14 + 3 = 17$ , etc.

Podemos demostrar la necesidad de esto del siguiente modo: Si el residuo 1 no aparece nunca hasta que llegamos a usar aᵇ⁻¹, entonces, siendo b primo, b-1 es par; sea este 2k. En consecuencia, a²ᵏ-1 es divisible por b; pero este es el producto de aᵏ-1 y aᵏ + 1, uno de los cuales debe ser divisible por b. No puede ser aᵏ - 1, pues entonces una potencia de a anterior a la (b - 1)-ésima dejaría residuo 1, lo cual no ocurre en nuestro caso: debe ser entonces aᵏ + 1, de modo que aᵏ dividido por b deja un residuo

b-1; y el paso k-ésimo concluye la primera mitad del proceso. En consecuencia, en nuestro ejemplo, vemos, siendo b 17 y a 10, que el resto 16 aparece en el 8.° paso del proceso. En el paso siguiente, el resto es el obtenido por 10(b-1), o 9b + b - 10, lo que da el resto b-10.

Pero el primer resto de todos fue 10, y 10 + (b - 10) = b. Si alguna vez este carácter complementario ocurre en cualquier paso, debe continuar, lo cual demostramos como sigue:

Sea r un resto, y b - r un resto subsiguiente, cuya suma es b. En el paso siguiente al primer resto, dividimos 10r entre b, y, en el paso siguiente al segundo resto, dividimos 10b - 10r entre b. Ahora bien, puesto que la suma de 10r y 10b - 10r es divisible por b, los dos restos de estos nuevos pasos deben ser tales que, sumados, den b, y así sucesivamente; y los cocientes sumados deben dar 9, pues la suma de los restos 10r y 10b - 10r produce un cociente de 10, del cual los dos restos dan 1.

Si se toman ¹/₅₉ y ¹/₆₁, se encontrará que las partes periódicas contienen 58 y 60 cifras. De estas escribimos solamente las primeras mitades, ya que el lector puede suministrar el resto mediante la propiedad complementaria recién dada.

01694915254237288135593220338, &c.

016393442622950819672131147540, &c.

He aquí, pues, dos números, el primero de los cuales multiplicado por cualquier número menor que 59, y el segundo por cualquier número menor que 61, pueden dar productos formados al trasladar ciertas cifras de un extremo al otro.

Pero, siendo b aún primo, puede ocurrir que el resto 1 aparezca antes de que se obtengan b - 1 cifras; en cuyo caso, como se ha demostrado, el número de cifras debe ser un divisor de b - 1. Por ejemplo, tómese ¹/₄₁. El cociente periódico, escrito como arriba, tiene solo 5 cifras, y 5 divide a 41 - 1.

0₁₀2₁₈4₁₆3₃₇9₁

Ahora bien, se descubrirá que este período tiene sus cifras simplemente transpuestas si multiplicamos por 10, 18, 16 o 37. Pero si multiplicamos por cualquier otro número menor que 41, convertimos este período en el período de otra fracción cuyo denominador es 41.

Los siguientes son 8 períodos que se pueden encontrar.

0₁₀2₁₈4₁₆3₃₇9₁	1₉2₈1₃₉9₂₁5₅
0₂₀4₃₆8₃₂7₃₃8₂	1₁₉4₂₆6₁₄3₁₇4₆
0₃₀7₁₃3₇1₂₉7₃	2₂₈6₃₄8₁₂2₃₈9₁₁
0₄₀9₈₁7₂₃5₂₅6₄	3₂₇6₂₄5₃₅8₂₂5₁₅

Para hallar m/41, busque m entre los residuos, y tome el período en el que se encuentra, empezando después del residuo. Así, ³⁴/₄₁ es ·8292682926, etc., y ¹⁵/₄₁ es ·3658536585, etc.

Estos períodos son complementarios, de cuatro en cuatro, como 02439 y 97560, 07317 y 92682, etc. Y si el primer número, 02439, se multiplica por cualquier número menor que 41, busque ese número entre los residuos, y el producto se encuentra en el período de dicho residuo empezando después del residuo. Así, 02439 multiplicado por 23 da 56097, y por 6 da 14634.

El lector puede intentar descifrar por sí mismo cómo es que, con no más cifras que las siguientes, podemos extender el resultado de nuestra división.

La fracción de la cual hay que hallar el período es ¹/₈₇.

87)100(01149425
130
430
82001149425 × 25
37028735625 × 25
5517959765625
46017959765625 × 25
25448994140625
0114942528735625
718390625
1795976 5625
448994
0114942528735632183908045977|011494
|