Estamos tan acostumbrados a que 10, 100, etc., representen diez, diez diez, etc., que no solemos recordar que no hay ninguna razón por la cual 10 no pueda representar cinco, 100 cinco veces cinco, etc., o doce, doce veces doce, etc.
Debido a que inventamos diferentes columnas de números, y permitimos que las unidades en las diferentes columnas representen colecciones de las unidades en las columnas precedentes, no estamos por ello obligados a admitir colecciones únicamente en decenas.
Si 10 equivaliera a 2, es decir, si cada columna tuviera su unidad como doble de la unidad de la columna de la derecha, lo que hoy representamos por 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., se representaría por 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, etc. Esta es la escala binaria.
Si tomamos la escala ternaria, en la que 10 equivale a 3, tenemos 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, etc. En la escala quinaria, en la que 10 es cinco, 234 representa 2 veinticinco, 3 cincos y 4, o sesenta y nueve. Si tomamos la escala duodenaria, en la que 10 es doce, debemos inventar nuevos símbolos para el diez y el once, porque 10 y 11 equivalen ahora a doce y trece; utilícense las letras t y e. Entonces 176 significa 1 doce-docenas, 7 docenas y 6, o doscientos treinta y cuatro; y 1te significa doscientos setenta y cinco.
El número que representa el 10 se llama raíz de la escala de numeración. Para cambiar un número de una escala a otra, divídase el número, escrito como en la primera escala, por el número que ha de ser la raíz de la nueva escala; repítase esta división una y otra vez, y los residuos son los dígitos requeridos. Por ejemplo, ¿cuál es, en la escala quinaria, aquel número que, en la escala decimal, es 17036?
- 5)17036
- 5)3407 Remʳ. 1
- 5)681 2
- 5)136 1
- 5)27 1
- 5)5 2
- 5)1 0
- 01
| Answer 1021121 | ||
|---|---|---|
| Quinario. | Decimal. | |
| Verificación , 1000000 | medios | 15625 |
| 20000 | 1250 | |
| 1000 | 125 | |
| 100 | 25 | |
| 20 | 10 | |
| 1 | 1 | |
| 1021121 | 17036 |
La razón de esta regla es sencilla. Nuestro proceso de división no es más que repartir 17036 en 3407 veces cinco y 1 de resto; luego hallamos que 3407 veces cinco son 681 veces cinco de cinco y 2 cincos de resto. A continuación, agrupamos los 681 cincos de cincos en 136 cincos de cincos de cincos y 1 cinco de cincos de resto; y así sucesivamente.
Es un ejercicio útil multiplicar y dividir números representados en otras escalas de notación distintas de la común o decimal. Las reglas son en todos los aspectos las mismas para todos los sistemas, siendo el número que se lleva siempre la raíz del sistema. Así, en el sistema quinario llevamos de cinco en cinco en lugar de diez en diez. Doy ahora un ejemplo de multiplicación y división:
| Quinario. | Decimal. | |
|---|---|---|
| 42143 | medios | 2798 |
| 1234 | 194 | |
| 324232 | 11192 | |
| 232034 | 25182 | |
| 134341 | 2798 | |
| 42143 | ||
| 114332222 | 542812 |
| Duodecimal. | Decimal. |
|---|---|
| 4 t 9)76 t 4 e 08(16687 | 705)22610744(32071 |
| 4 t 9 | 1460 |
| 2814 | 5074 |
| 2546 | 1394 |
| 28 te | 689 |
| 2546 | |
| 3650 | |
| 3320 | |
| 3308 | |
| 2 t 33 | |
| 495 |
Otra forma de convertir un número de una escala a otra es la siguiente:
- Multiplica el primer dígito por la antigua base en la nueva escala, y súmale el siguiente dígito;
- vuelve a multiplicar el resultado por la antigua base en la nueva escala, e incorpora el siguiente dígito, y así sucesivamente hasta el final, utilizando siempre la base de la escala que deseas abandonar y la notación de la escala en la que deseas terminar.
Por tanto, supóngase que se requiere convertir 16687 (duodecimal) a la escala decimal, y 16432 (septenario) a la escala cuaternaria:
| 16687 | 16432 |
|---|---|
| Duodecimales a decimales. | Septenarios en Cuaternarios. |
| 1 × 12 + 6 = 18 | 1 × 7 + 6 = 31 |
| × 12 + 6 | × 7 + 4 |
| 222 | 1133 |
| × 12 + 8 | × 7 + 3 |
| 2672 | 22130 |
| × 12 + 7 | × 7 + 2 |
| Answer 32071 | 1021012 |
Debido a nuestra división de un pie en 12 partes iguales, la escala duodecimal resulta a menudo muy conveniente.
Supongamos que el pie cuadrado también se divide en 12 partes, cada una de las cuales equivale a 12 pulgadas cuadradas, y la duodécima parte de la duodécima es una pulgada cuadrada.
Supongamos, ahora, que los dos lados de un terreno oblongo miden 176 pies 9 pulgadas y 7/12 de pulgada, y 65 pies 11 pulgadas y 5/12 de pulgada. Empleando la escala duodecimal y las fracciones duodecimales, estos números son 128,97 y 55,e5.
Su producto, el número de pies cuadrados requerido, se halla de este modo:
- 128·97
- 55·e5
- 617ee
- 116095
- 617ee
- 617ee
- 68e8144e
Respuesta, 68e8·144e (duod.) pies cuadrados, o bien 11660 pies cuadrados 16 pulgadas cuadradas ⁴/₁₂ y ¹¹/₁₄₄ de una pulgada cuadrada.
Sería, sin embargo, lo suficientemente exacto como para permitir 2 centésimas de pie por cada cuarto de pulgada, una centésima adicional por cada 3 pulgadas,1 y 1 centésima más si hubiera un doceavo o dos doceavos por encima del cuarto de pulgada.
Así pues, 9⁷/₁₂ pulgadas deberían ser ·76 + ·03 + ·01, o ·80, y 11⁵/₁₂ sería ·95; y lo anterior podría hallarse entonces en forma decimal como 176·8 × 65·95 resultando 11659·96 pies cuadrados, bastante exacto para cualquier propósito práctico.