156. Ya hemos observado (66) que un número multiplicado por sí mismo produce lo que se llama el cuadrado de ese número. Así, 169, o 13 × 13, es el cuadrado de 13. Por el contrario, a 13 se le llama la raíz cuadrada de 169, y 5 es la raíz cuadrada de 25; y cualquier número es la raíz cuadrada de otro cuando, al multiplicarlo por sí mismo, produce ese otro. La raíz cuadrada se indica con el signo

√ o √ ;

así, √25 significa la raíz cuadrada de 25, o 5; √16 + 9 significa la raíz cuadrada de 16 + 9, y es 5, y no debe confundirse con √16 + √9, que es 4 + 3, o 7.

157. Las siguientes ecuaciones son evidentes a partir de la definición:

√a × √a = a

√aa = a

√ab × √ab = ab

(√a × √b) × (√a × √b) = √a × √a × √b × √b = ab de donde

√a × √b = √ab

158. No se sigue que un número tenga raíz cuadrada por el hecho de tener un cuadrado; así, aunque 5 puede multiplicarse por sí mismo, no hay ningún número que, multiplicado por sí mismo, produzca 5. Está demostrado en álgebra que ninguna fracción¹ multiplicada por sí misma puede producir un número entero, lo cual puede comprobarse en multitud de casos; por tanto, 5 no tiene raíz cuadrada entera ni fraccionaria; es decir, no tiene raíz cuadrada en absoluto.

Sin embargo, existen métodos para hallar fracciones cuyos cuadrados estén tan cerca de 5 como queramos, aunque no sean exactamente iguales a él. Uno de estos métodos da ¹⁵¹²⁷/₆₇₆₅, cuyo cuadrado, a saber

difiere de 5 en solo ⁴/₄₅₇₆₅₂₂₅, que es menor que ·0000001: de aquí que podamos usar √5 en el razonamiento aritmético y algebraico; pero cuando llegamos a la práctica de cualquier problema, debemos sustituir √5 por una de las fracciones cuyo cuadrado sea cercano a 5, y del grado de exactitud que deseemos depende qué fracción ha de usarse.

Para algunos propósitos, ¹²³/₅₅ puede ser suficiente, ya que su cuadrado solo difiere de 5 en ⁴/₃₀₂₅; para otros, la fracción dada primero podría ser necesaria, o una cuyo cuadrado esté aún más cerca de 5.

Pasamos a mostrar cómo hallar la raíz cuadrada de un número, cuando la tiene, y a partir de ahí cómo hallar fracciones cuyos cuadrados estén tan cerca como queramos del número, cuando no la tiene.

Establecemos previamente, lo cual es bastante evidente, que de dos números, el mayor tiene el mayor cuadrado; y que si un número se encuentra entre otros dos, su cuadrado se encuentra entre los cuadrados de esos otros.

159. Sea x un número que consta de cualquier número de partes, por ejemplo, cuatro, a saber, a, b, c y d; es decir, sea x = a + b + c + d

El cuadrado de este número, hallado como en (68), será

• aa + 2a(b + c + d)
• • bb + 2b(c + d)
• • cc + 2cd
• • dd

La regla allí hallada para elevar al cuadrado un número compuesto de partes era:

Eleve al cuadrado cada parte, y multiplique todas las que le siguen por el doble de dicha parte; la suma de todos los resultados así obtenidos será el cuadrado del número entero.

En la expresión obtenida anteriormente, en lugar de multiplicar 2a por cada una de las partes sucesivas, b, c y d, y sumar los resultados, multiplicamos 2a por la suma de todas las partes sucesivas, lo cual (52) es lo mismo; y como las partes, por dispuestas que estén, componen el número, podemos invertir su orden, poniendo la última primera, etc.; y la regla para elevar al cuadrado será:

• Eleve al cuadrado cada parte, y multiplique todas las que le preceden por el doble de dicha parte.

De ahí que se presente una regla inversa para extraer la raíz cuadrada con más simplicidad de la habitual. Es la siguiente:

Para extraer la raíz cuadrada de un número N, elija un número A, y vea si N tolera la sustracción del cuadrado de A; si es así, tome el residuo, elija un segundo número B, y vea si el residuo tolera la sustracción del cuadrado de B, y el doble de B multiplicado por la parte precedente A: si lo hace, hay un segundo residuo.

Elija un tercer número C, y vea si el segundo residuo tolera la sustracción del cuadrado de C, y el doble de C multiplicado por A + B: continúe de esta manera ya sea hasta que no quede residuo, o bien hasta que el residuo no tolere la sustracción proveniente de ninguna nueva parte, aun cuando dicha parte fuera el número menor, que es 1.

• En el primer caso, la raíz cuadrada es la suma de A, B, C, etc.;
• en el segundo, no hay raíz cuadrada.

160. Por ejemplo, deseo saber si 2025 tiene una raíz cuadrada. Elijo 20 como la primera parte, y hallo que 400, el cuadrado de 20, restado de 2025, da 1625, el primer residuo. Elijo de nuevo 20, cuyo cuadrado, junto con el doble de sí mismo, multiplicado por la parte precedente, es

20 × 20 + 2 × 20 × 20, o 1200; que restado de 1625, el primer resto, da 425, el segundo resto.

Elijo 7 para la tercera parte, que parece ser demasiado grande, ya que 7 × 7, incrementado por 2 × 7 multiplicado por la suma de las partes precedentes 20 + 20, da 609, que es mayor que 425.

Elijo por tanto 5, lo cual concluye el proceso, ya que 5 × 5, junto con 2 × 5 multiplicado por 20 + 20, da exactamente 425.

La raíz cuadrada de 2025 es por lo tanto 20 + 20 + 5, o 45, lo cual se comprobará, mediante tanteo, que es correcto; ya que 45 × 45 = 2025.

Nuevamente, pregunto si 13340 tiene o no una raíz cuadrada. Sea 100 la primera parte, cuyo cuadrado es 10000, y el primer resto es 3340. Sea 10 la segunda parte. Aquí 10 × 10 + 2 × 10 × 100 es 2100, y el segundo resto, o 3340-2100, es 1240. Sea 5 la tercera parte; entonces 5 × 5 + 2 × 5 × (100 + 10) es 1125, lo cual, restado de 1240, deja 115. No hay, por lo tanto, ninguna raíz cuadrada; pues una sola unidad adicional dará una sustracción de 1 × 1 + 2 × 1 × (100 + 10 + 5), o 231, que es mayor que 115.

Pero si el número propuesto hubiera sido menor en 115, cada uno de los restos habría sido menor en 115, y el último resto habría sido cero. Por lo tanto, 13340-115, o 13225, tiene la raíz cuadrada 100 + 10 + 5, o 115; y la respuesta es que 13340 no tiene raíz cuadrada, y que 13225 es el número inmediatamente inferior que la tiene, a saber, 115.

161. Solo falta dar a la regla una forma que nos guíe hacia aquellas partes que sea más conveniente elegir. Es evidente (57) que cualquier número que termina en ceros, como 4000, tiene el doble de ceros en su cuadrado. Así, 4000 × 4000 = 16000000; por lo tanto, cualquier número cuadrado,² como 49, con un número par de ceros añadidos, como 490000, es un número cuadrado.

La raíz³ de 490000 es 700. Dicho esto, tómese cualquier número, por ejemplo, 76176; empezando desde la derecha hacia la izquierda, sepárense dos cifras; luego otras dos, y así sucesivamente, hasta que queden solo una o dos cifras: así, 7,61,76. Este número es mayor que 7,00,00, de el cual la primera cifra no es un número cuadrado, siendo el cuadrado más próximo por debajo el 4. De ahí que 4,00,00 sea

el número cuadrado más cercano por debajo de 7,00,00, que tiene cuatro cifras, y su raíz cuadrada es 200. Sea esta la primera parte elegida: su cuadrado restado de 76176 deja 36176, el primer resto; y es evidente que hemos obtenido el mayor número de la mayor denominación que se ha de hallar en la raíz cuadrada de 76176; pues 300 es demasiado grande, ya que su cuadrado, 9,00,00, es mayor que 76176: y cualquier denominación superior a las centenas tiene un cuadrado aún mayor. Queda, pues, por elegir una segunda parte, como en los ejemplos de (160), con el resto 36176. Esta parte no puede ser tan grande como 100, por lo que acaba de decirse; su denominación más alta es, por tanto, un número de decenas. Sea N un número de decenas, que es uno de los números simples 1, 2, 3, etc.; es decir, sea la nueva parte 10N, cuyo cuadrado es 10N × 10N, o 100NN, y cuyo duplo multiplicado por la parte anterior es 20N × 200, o 4000N; ambos juntos son 4000N + 100NN. Ahora bien, N debe tomarse de modo que esto no sea mayor que 36176: y con más razón 4000N no debe ser mayor que 36176. Podemos probar, por tanto, para N, el número de veces que 36176 contiene a 4000, o el que 36 contiene a 4. La observación de (80) se aplica aquí. Probemos con 9 decenas o 90. Entonces, 2 × 90 × 200 + 90 × 90, o 44100, ha de restarse, lo cual es demasiado grande, puesto que el resto total es 36176. Probamos luego con 8 decenas u 80, lo que da 2 × 80 × 200 + 80 × 80, o 38400, que asimismo es demasiado grande. Al probar con 7 decenas, o 70, hallamos 2 × 70 × 200 + 70 × 70, o 32900, que restado de 36176 da 3276, el segundo resto.

El resto de la raíz cuadrada solo pueden ser unidades. Como antes, sea N este número de unidades. Entonces, siendo la suma de las partes precedentes 200 + 70, o 270, el número que debe restarse es 270 × 2N + NN, o 540N + NN. Por tanto, como antes, 540N debe ser menor que 3276, o N no debe ser mayor que el número de veces que 3276 contiene a 540, o (80) que 327 contiene a 54. Por lo tanto, probamos si 6 sirve, lo que da 2 × 6 × 270 + 6 × 6, o 3276, que debe restarse. Siendo este exactamente el segundo resto, el tercer resto es cero, y el proceso ha terminado. La raíz cuadrada buscada es, por tanto, 200 + 70 + 6, o 276.

El proceso de formar los números que han de restarse puede abreviarse de este modo. Sea A la suma de las partes ya encontradas, y N una nueva parte:

deben restarse entonces 2AN + NN, o bien (54) 2A + N multiplicado por N. La regla, por lo tanto, para formarlo es: Duplicar la suma de todas las partes precedentes, sumar la nueva parte y multiplicar el resultado por la nueva parte.

162. El proceso del artículo anterior es el siguiente:

En el primero de estos, los números están escritos con todas sus cifras, tal como los encontramos; en el segundo, como en (79), los ceros innecesarios se suprimen, y los periodos 61, 76, no se bajan hasta que, por la continuación del proceso, dejan de tener ceros debajo de ellos.

El siguiente es otro ejemplo, al cual se puede aplicar el razonamiento del artículo anterior.

163. La regla es la siguiente: Para extraer la raíz cuadrada de un número;—

I. Empezando por la derecha, separe períodos de dos cifras cada uno, hasta que no queden más de dos.

II. Hallar la raíz del número cuadrado más próximo, menor que el número del primer período. Esta raíz es la primera cifra de la raíz buscada; réstese su cuadrado del primer período, lo que da el primer resto.

III. Añada el segundo período a la derecha del residuo, lo que da el primer dividendo.

IV. Duplíquese la primera cifra de la raíz; véase cuántas veces está contenida esta en el número formado al separar una cifra de la derecha del primer dividendo, teniendo en cuenta el apartado IX., si fuera necesario; úsese el cociente como segunda cifra de la raíz; anexése a la derecha del duplo de la primera cifra, y llámese a esto primer divisor.

V. Multiplíquese el primer divisor por la segunda cifra de la raíz; si el producto fuere mayor que el primer dividendo, úsese un número menor para la segunda cifra de la raíz, y para la última cifra del divisor, hasta que la multiplicación recién mencionada dé un producto menor que el primer dividendo; restése este del primer dividendo, lo que da el segundo residuo.

VI. Añade el tercer período al segundo resto, lo que da el segundo dividendo.

VII. Duplique las dos primeras cifras de la raíz;⁴ vea cuántas veces está contenido el resultado en el número formado al cortar una cifra de la derecha del segundo dividendo; use el cociente como la tercera cifra de la raíz; anexo a la derecha del duplo de las dos primeras cifras, y llame a esto el segundo divisor.

VIII. Obténgase un nuevo resto, como en el V., y repítase el proceso hasta que todos los períodos se hayan agotado; si no queda entonces ningún resto, se ha hallado la raíz cuadrada; si queda un resto, el número propuesto no tiene raíz cuadrada, y el número hallado como su raíz cuadrada es la raíz cuadrada del número propuesto disminuido por el resto.

IX. When it happens that the double of the figures of the root is not contained at all in all the dividend except the last figure, or when, being contained once, 1 is found to give more than the dividend, put a cipher in the square root and in the divisor, and bring down the next period; should the same thing still happen, put another cipher in the root and divisor, and bring down another period; and so on.

EJERCICIOS.

164. Como el cuadrado de una fracción se obtiene elevando al cuadrado el numerador y el denominador, la raíz cuadrada de una fracción se halla extrayendo la raíz cuadrada de ambos. Así, la raíz cuadrada de ²⁵/₆₄ es ⅝, puesto que 5 × 5 es 25, y 8 × 8 es 64. Si el numerador o el denominador, o ambos, no son números cuadrados, no se sigue necesariamente que la fracción no tenga raíz cuadrada; pues puede suceder que la multiplicación o la división por un mismo número convierta tanto el numerador como el denominador en números cuadrados (108). Así, ²⁷/₄₈, que a primera vista parece no tener raíz cuadrada, la tiene en realidad, ya que es igual a ⁹/₁₆, cuya raíz cuadrada es ¾.

165. Pasamos ahora desde (165), donde se afirmó que, dado cualquier número o fracción, se puede hallar un segundo cuyo cuadrado sea tan próximo al primero como queramos. Así, aunque no podamos resolver el problema «Hallar una fracción cuyo cuadrado sea 2», podemos resolver el siguiente: «Hallar una fracción cuyo cuadrado no difiera de 2 en tanto como 0,00000001». En lugar de esta última, se puede sustituir una fracción aún menor; de hecho, cualquier otra, por pequeña que sea: y en este proceso se dice que nos aproximamos a la raíz cuadrada de 2.

Esto puede hacerse en cualquier medida, de la siguiente manera: Supongamos que deseamos hallar la raíz cuadrada de 2 con un margen menor que ¹/₅₇ de la verdad; con lo cual quiero decir, hallar una fracción a/b cuyo cuadrado sea menor que 2, pero tal que el cuadrado de a/b + ¹/₅₇ sea mayor que 2. Multipliquemos el numerador y el denominador de ²/₁ por el cuadrado de 57, es decir, 3249, lo que da ⁶⁴⁹⁸/₃₂₄₉. Al intentar extraer la raíz cuadrada del numerador, encuentro (163) que hay un resto de 98, y que el número cuadrado inmediatamente inferior a 6498 es 6400, cuya raíz es 80. De ahí que el cuadrado de 80 sea menor que 6498, mientras que el de 81 es mayor. La raíz cuadrada del denominador es, por supuesto, 57. Por tanto, el cuadrado de ⁸⁰/⁵⁷ es menor que ⁶⁴⁹⁸/₃₂₄₉, o 2, mientras que el de ⁸¹/⁵₇ es mayor, y estas dos fracciones solo difieren en ¹/₅₇; que era lo que se pedía hacer.

166. En la práctica, es habitual hallar la raíz cuadrada exacta hasta un cierto número de cifras decimales. Así, 1,4142 es la raíz cuadrada de 2 exacta hasta cuatro cifras decimales, ya que el cuadrado de 1,4142, o 1,99996164, es menor que 2, mientras que un aumento de solo 1 en la cuarta cifra decimal, que da 1,4143, da el cuadrado 2,00024449, que es mayor que 2. Para tomar un caso más general: Supóngase que se requiere hallar la raíz cuadrada de 1,637 exacta hasta cuatro cifras decimales. La fracción es ¹⁶³⁷/₁₀₀₀, cuya raíz cuadrada ha de hallarse dentro de 0,0001, o ¹/₁₀₀₀₀. Añádanse ceros al numerador y al denominador hasta que el denominador se convierta en el cuadrado de ¹/₁₀₀₀₀, lo que da ¹⁶³⁷⁰⁰⁰⁰⁰/₁₀₀₀₀₀₀₀₀, extráigase la raíz cuadrada del numerador, como en (163), lo que muestra que el número cuadrado más próximo a él es 163700000-13564, cuya raíz es
167. Por tanto, ¹²⁷⁹⁴/₁₀₀₀₀, o 1,2794, da un cuadrado menor que 1,637, mientras que 1,2795 da un cuadrado mayor. De hecho, estos dos cuadrados son 1,63686436 y 1,63712025.

167. La regla, por tanto, para extraer la raíz cuadrada de un número o decimal a cualquier número de cifras es:

• Añadir ceros hasta que haya el doble de cifras después de la posición de las unidades que las que ha de haber como cifras decimales en la raíz; extraer la raíz cuadrada más cercana de este número y separar con una coma el número dado de decimales.
• O, más sencillamente: Dividir el número en periodos, de modo que la cifra de las unidades sea la última de un periodo; proceder de la manera habitual y, si al haber decimales después de la posición de las unidades queda una cifra a la derecha en un periodo por sí sola, añadir un cero al bajar dicho periodo y, a continuación, hacer que cada nuevo periodo conste de dos ceros. Colocar la coma decimal después de aquella cifra en cuya formación se haya usado el periodo que contiene a las unidades.

168. Por ejemplo, ¿cuál es la raíz cuadrada de (1⅜) con cinco cifras decimales? Esto es (145) 1·375, y el proceso es el primer ejemplo al dorso. El segundo ejemplo es la extracción de la raíz de ·081 a siete cifras, siendo el primer período 08, del cual se omite el cero por considerarse inútil.

• 1,37,5(1·17260
• 1
• 21) 37
• 21
• 227) 1650
• 1589
• 2342) 6100
• 4684
• 23446) 141600
• 140676
• 23452) 92400
• 8,1(·2846049
• 4
• 48)410
• 384
• 564) 2600
• 2256
• 5686) 34400
• 34116
• 569204) 2840000
• 2276816
• 569208) 56318400
• ·000002413672221(·001553599
• 1
• 25) 141
• 125
• 305) 1636
• 1525
• 3103) 11172
• 9309
• 31065) 186322
• 155325
• 310709) 3099710
• 2796381
• 30332900

169. Cuando se haya hallado más de la mitad de los decimales necesarios, los demás pueden encontrarse simplemente dividiendo el dividendo entre el divisor, como en (155). La extracción de la raíz cuadrada de 12 a diez cifras, que se encontrará en la página siguiente, es un ejemplo. Debe observarse, sin embargo, en este proceso, como en todos los demás en los que se obtienen decimales por aproximación, que no siempre se puede confiar en la última cifra: por lo cual es aconsejable llevar a cabo el proceso de tal modo que se obtenga uno o incluso dos decimales más de los que se requieren estrictamente como correctos.

• A
• 12(3·46410161513
• 9
• 64) 300
• 256
• 686) 4400
• 4116
• 6924) 28400
• 27696
• 69281) 70400
• 69281
• 6928201) 11190000
• 6928201
• 69282026) 4261799|00
• 4156921|56
• 692820321) 104877|4400
• 69282|0321
• 6928203225) 35595|407900
• 34641|016125
• 69282032301) 954|39177500
• 692|82032301
• 692820323023) 261|5714519900
• 207|8460969069
• 53|7253550831
• B
• 692820323026)537253550831(77545870549
• 484974226118
• 52279324713
• 48497422611;
• 3781902102
• 3464101615
• 317800487
• 277128129
• 40672358
• 34641016
• 6031342
• 5542562
• 488780
• 484974
• 3806
• 3464
• 342
• 277
• 65
• 62
• 3

Si de cualquier resto cortamos los ceros, y todas las cifras que quedarían debajo o a la derecha de estos ceros, mediante una línea vertical, hallamos a la izquierda de dicha línea una división abreviada, como las de (155). Así, después de haber hallado la raíz hasta 3·464101, tenemos el resto 4261799, y el divisor 6928202.

Las cifras a la izquierda de la línea no son más que la división abreviada de este resto por el divisor, con la diferencia, sin embargo, de que hemos de empezar tachando una cifra del divisor, en vez de usar todo el divisor una vez, y tachar luego la primera cifra. Solo con esto podríamos haber duplicado nuestro número de cifras decimales, y obtenido las cifras adicionales 615137, obteniéndose el último 7 al llevar la división abreviada un paso más allá con el resto 53.

Tenemos, pues, esta regla:

Cuando se haya obtenido la mitad del número de cifras decimales, en vez de añadir dos ceros al resto, táchese una cifra de lo que sería el divisor si el proceso continuara por extenso, y divídase el resto por este divisor abreviado, como en (155).

A modo de ejemplo, doblemos el número de cifras decimales ya obtenidas, que están contenidas en 3,46410161513. El resto es 537253550831, el divisor 692820323026, y el proceso es como en (B).

Por consiguiente, la raíz cuadrada de 12 es,

3·4641016151377545870549;

que es exacto hasta la última cifra, y un poco demasiado grande; pero la sustitución de un 8 en lugar de un 9 a la derecha lo haría demasiado pequeño.

EJERCICIOS.