126. Hemos visto (112) (121) la necesidad de reducir las fracciones a un denominador común, con el fin de comparar sus magnitudes. Hemos visto también con cuánta más facilidad se realizan las operaciones en las fracciones que tienen el mismo denominador que en aquellas que lo tienen diferente.

Por esta razón, ha sido costumbre durante mucho tiempo, en todas aquellas partes de las matemáticas donde las fracciones son frecuentemente necesarias, no usar ninguna que no tenga, o pueda reducirse fácilmente a otras que tengan, los mismos denominadores.

Ahora bien, de todos los números, aquellos con los que se puede operar más fácilmente son los como 10, 100, 1000, etc., donde el 1 va seguido de ceros. Estos se llaman números decimales; y una fracción cuyo denominador es cualquiera de ellos se llama fracción decimal, o más comúnmente, decimal.

127. Un número entero puede reducirse a una fracción decimal, o una fracción decimal a otra, con la mayor facilidad. Por ejemplo,

El colocar un cero a la derecha de cualquier número es lo mismo que multiplicar ese número por 10 (57), y esto puede hacerse tantas veces como queramos en el numerador de una fracción, siempre y cuando se haga el mismo número de veces en el denominador (108).

128. La pregunta siguiente es: ¿Cómo podemos reducir una fracción que no es decimal a otra que sí lo es, sin alterar su valor? Tomemos, por ejemplo, la fracción ⁷/₁₆, multipliquemos tanto el numerador como el denominador sucesivamente por 10, 100, 1000, etc., lo que nos dará una serie de fracciones, cada una de las cuales es igual a ⁷/₁₆ (108), a saber: ⁷⁰/₁₆₀, ⁷⁰⁰/₁₆₀₀, ⁷⁰⁰⁰/₁₆₀₀₀, ⁷⁰⁰⁰⁰/₁₆₀₀₀₀, etc.

El denominador de cada una de estas fracciones puede dividirse sin resto por 16, cuyos cocientes de división forman la serie de números decimales 10, 100, 1000, 10000, etc. Si, por lo tanto, uno de los numeradores es divisible por 16, la fracción a la que pertenece ese numerador tiene un numerador y un denominador ambos divisibles por 16. Cuando se haya efectuado esa división, la cual (108) no altera el valor de la fracción, obtendremos una fracción cuyo denominador es uno de la serie 10, 100, 1000, etc., y que es igual en valor a ⁷/₁₆. La cuestión se reduce entonces a hallar el primero de los números 70, 700, 7000, 70000, etc., que pueda dividirse por 16 sin resto.

Divide estos números, uno tras otro, entre 16, de la siguiente manera:

Parece, pues, que el 70000 es el primero de los numeradores que es divisible por 16. Pero no es necesario escribir cada una de estas divisiones, puesto que es evidente que la última contiene a todas las anteriores. Bastará, por tanto, con proceder directamente como si el número de ceros fuera interminable, detenerse cuando el residuo sea cero y contar entonces el número de ceros que se han utilizado. En este caso, dado que 70000 es 16 × 4375,

da la fracción requerida.

Por lo tanto, para reducir un quebrado a un número decimal, añádanse ceros al numerador y dividáse por el denominador hasta que no quede resto. El cociente será el numerador del quebrado requerido, y el denominador será la unidad seguida de tantos ceros como se hayan empleado en la obtención del cociente.

EJERCICIOS.

Reducir a fracciones decimales

½, ¼, ²/₂₅, ¹/₅₀, ³⁹²⁷/₁₂₅₀, y ⁴⁵³/₆₂₅.

Answer, ⁵/₁₀, ²⁵/₁₀₀, ⁸/₁₀₀, ²/₁₀₀, ³¹⁴¹⁶/₁₀₀₀₀ y ⁷²⁴⁸/₁₀₀₀₀.

129. Sucederá en la mayoría de los casos que el adjuntar ceros al numerador jamás hará que este sea divisible por el denominador sin dejar resto. Por ejemplo, intenta reducir ¹/₇ a una fracción decimal.

• 7)1000000000000000000, &c.
• 142857142857142857, &c.

El cociente es aquí una repetición continua de las cifras 1, 4, 2, 8, 5, 7, en el mismo orden; por tanto, ¹/₇ no puede reducirse a una fracción decimal.

Pero, sin embargo, si tomamos como numerador cualquier número de cifras del cociente 142857142857, etc., y como denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras se hayan empleado para formar esa parte del cociente, obtendremos una fracción que difiere muy poco de ¹/₇, y que difiere aún menos si ponemos más cifras en el numerador y más ceros en el denominador.

Así,

En la primera columna hay una serie de fracciones decimales, que se acercan más y más a ¹/₇, como muestra la tercera columna. Por tanto, aunque no podamos encontrar una fracción decimal que sea exactamente ¹/₇, podemos encontrar una que difiera de ella tan poco como queramos.

Esto también puede ilustrarse así:

• Se requiere reducir ¹/₇ a una fracción decimal sin el error de, digamos, una millonésima parte de una unidad;
• multiplíquese el numerador y el denominador de ¹/₇ por un millón, y luego divídanse ambos por 7;
• tenemos entonces

Si rechazamos la fracción ¹/₇ en el numerador, lo que rechazamos es en realidad la 7.ª parte de la millonésima parte de una unidad; o menos de la millonésima parte de una unidad. Por lo tanto, ¹⁴²⁸⁵⁷/₁₀₀₀₀₀₀ es la fracción requerida.

EJERCICIOS.

130. La razón de la recurrencia de las cifras del cociente en el mismo orden es la siguiente: Si se divide 1000, etc., entre el número 247, el resto en cada paso de la división es menor que 247, siendo 0 o uno de los primeros 246 números. Si, por lo tanto, el resto nunca llega a ser cero, al continuar la división lo suficiente, un resto ocurrirá por segunda vez. Si fuera posible, supongamos que los primeros 246 restos son todos diferentes, es decir, supongamos que son 1, 2, 3, etc., hasta 246, distribuidos de diversas maneras. Como el resto 247.° no puede ser tan grande como 247, debe ser uno de los que han precedido. A partir del paso en el que el resto se vuelve el mismo que un resto anterior, es evidente que las cifras anteriores del cociente deben repetirse en el mismo orden.

131. Aquí se preguntará usted naturalmente: ¿De qué sirven las fracciones decimales, si la mayor parte de las fracciones no se pueden reducir en absoluto a decimales? La respuesta es la siguiente: La suma, la resta, la multiplicación y la división de las fracciones decimales son mucho más fáciles que las de las fracciones comunes; y aunque no podemos reducir todas las fracciones comunes a decimales, sí podemos encontrar fracciones decimales tan próximas a cada una de ellas, que el error derivado de usar el decimal en lugar de la fracción común no será perceptible.

Por ejemplo, si suponemos que una pulgada está dividida en diez millones de partes iguales, una de esas partes por sí sola no será visible a la vista. Por lo tanto, al hallar una longitud, un error de una diezmilmillonésima parte de una pulgada no tiene importancia, incluso allí donde la medición más precisa es necesaria. Ahora bien, al continuar la tabla del apartado (129), veremos que

y si estas fracciones representasen partes de una pulgada, la primera podría usarse en lugar de la segunda, ya que la diferencia no es perceptible.

Al aplicar la aritmética a la práctica, nada puede medirse con tanta precisión como para ser representado en números sin error alguno, ya sea longitud, peso o cualquier otra especie de magnitud.

Por consiguiente, es innecesario utilizar otras fracciones que no sean las decimales, puesto que, mediante ellas, cualquier cantidad puede representarse con tanta exactitud como por cualquier otro método.

EJERCICIOS.

Encuentre fracciones decimales que no difieran de las siguientes fracciones en ¹/₁₀₀₀₀₀₀₀₀.

132. Todo decimal puede reducirse inmediatamente a una cantidad compuesta ya sea por un número entero y decimales más simples, o únicamente por decimales más simples, que tengan una sola cifra en cada uno de los numeradores.

Tómese, por ejemplo,

y puesto que 326 se compone de 300, y 20, y 6; por (112)

³²⁶/₁₀₀₀₀ = ³⁰⁰/₁₀₀₀ + ²⁰/₁₀₀₀ + ⁶/₁₀₀₀. Pero (108) ³⁰⁰/₁₀₀₀ es ³/₁₀, y ²⁰/₁₀₀₀ es ²/₁₀₀. Por lo tanto, ¹¹⁴⁷³²⁶/₁₀₀₀ se compone de 147 + ³/₁₀ + ²/₁₀₀ + ⁶/₁₀₀₀.

Ahora bien, tómese cualquier número, por ejemplo, 147326, y fúrmese una cantidad de fracciones que tengan por numeradores este número, y por denominadores 1, 10, 100, 1000, 10000, etc., y redúzcanse estas fracciones a números y decimales más simples de la manera anterior, lo que dará la tabla de abajo.

DESCOMPOSICIÓN DE UNA FRACCIÓN DECIMAL.

N.B. El estudiante debe redactar esta tabla por sí mismo, y luego proceder a elaborar tablas similares a partir de los siguientes ejercicios.

EJERCICIOS.

Reduce the following fractions into a series of numbers and more simple fractions:

133. Si, en esta tabla y en otras hechas de la misma manera, observas aquellas fracciones que contienen un número entero, verás que pueden formarse así: Separa, desde la derecha del numerador, tantas cifras como ceros haya en el denominador mediante un punto, o cualquier otra marca conveniente.

Las cifras a la izquierda del punto por sí solas forman el número entero que contiene la fracción.

De las que están a su derecha, la primera es el numerador de la fracción cuyo denominador es 10, la segunda de aquella cuyo denominador es 100, y así sucesivamente.

Pasamos ahora a aquellas fracciones que no contienen un número entero.

134. El primero de estos es ¹⁴⁷³²⁶/₁₀₀₀₀₀₀, en el cual el número de cifras en el denominador es el mismo que el número de cifras en el numerador. Si seguimos todavía la misma regla, y separamos todas las cifras colocando el punto antes de todas ellas, así, ·147326, la observación de (133) sigue siendo válida; pues, al buscar ¹⁴⁷³²⁶/₁₀₀₀₀₀₀ en la tabla, hallamos que es

La fracción siguiente es ¹⁴⁷³²⁶/₁₀₀₀₀₀₀₀, que según la tabla encontramos que es

En esto, 1 no se divide por 10, sino por 100; si, por lo tanto, ponemos un punto antes del todo, la regla no es verdadera, pues la primera cifra a la izquierda del punto tiene el denominador que, según la regla, debería tener la segunda, la segunda el que debería tener la tercera, y así sucesivamente. Para mantener la misma regla en este caso, debemos ingeniárnoslas para hacer de 1 la segunda cifra a la derecha del punto en lugar de la primera. Esto se puede hacer colocando un cero entre este y el punto, así, ·0147326. Aquí la regla es válida, pues según dicha regla esta fracción es

lo cual es igual a la línea precedente, puesto que ⁰/₁₀ es 0, y no es necesario tomarlo en cuenta.

Del mismo modo, cuando hay dos ceros más en el denominador que cifras en el numerador, la regla será cierta si colocamos dos ceros entre el punto y el numerador. La regla, por tanto, enunciada por completo, es esta:

Para reducir una fracción decimal a un número entero y decimales más simples, o solo a decimales más simples si no contiene un número entero, se separan con un punto tantas cifras del numerador como ceros haya en el denominador.

Si el numerador no tiene suficientes lugares para esto, se escriben tantos ceros delante de él como lugares le falten, y se pone el punto antes de estos ceros.

Luego, si hay alguna cifra antes del punto, estas forman el número entero que contiene la fracción. La primera cifra después del punto con el denominador 10, la segunda con el denominador 100, y así sucesivamente, son las fracciones de las cuales se compone la fracción primera.

135. Las fracciones decimales no suelen escribirse en su totalidad. Es más conveniente escribir solo el numerador, y separar del numerador tantas cifras como ceros haya en el denominador, cuando ello sea posible, mediante un punto. Cuando hay más ceros en el denominador que cifras en el numerador, se colocan delante del numerador tantos ceros como sean necesarios para suplir la deficiencia, y el punto se coloca delante de los ceros.

Así, ·7 se utilizará en adelante para denotar ⁷/₁₀, ·07 para ⁷/₁₀₀, y así sucesivamente. Las siguientes tablas mostrarán toda esta notación de un solo vistazo y manifestarán su conexión con la notación decimal explicada en la primera sección. Observará que los números a la derecha del lugar de las unidades representan unidades divididas por 10, 100, 1000, etc., mientras que los de la izquierda son unidades multiplicadas por 10, 100, 1000, etc.

Se recomienda al estudiante que escriba siempre el punto decimal en la línea con la parte superior de las cifras o en el medio, como se hace aquí, y nunca en la parte inferior. La razón es que en las ramas superiores de las matemáticas es habitual utilizar un punto situado entre dos números o letras que se multiplican entre sí; así, 15. 16, a. b, (a + b). (c + d) representan los productos de esos números o letras.

136. Los ceros a la derecha del punto decimal cumplen el mismo propósito que los ceros en (10). No se cuentan por sí mismos como nada, sino que sirven para indicar el lugar en el que se encuentran los números que los acompañan. Podría prescindirse de ellos escribiendo los números en columnas regladas, como en la primera sección. Se distinguen de los números que los acompañan llamando a estos últimos cifras significativas. Así, ·0003747 es un decimal de siete cifras con cuatro cifras significativas, ·346 es un decimal de tres cifras con tres cifras significativas, etc.

137. El valor de un decimal no se altera al poner cualquier número de ceros a su derecha. Tomemos, por ejemplo, ·3 y ·300. El primero (135) es ³/₁₀, y el segundo ³⁰⁰/₁₀₀₀, el cual se obtiene del primero multiplicando tanto su numerador como su denominador por 100, y (108) es la misma cantidad.

138. Para reducir dos decimales a un denominador común, se añaden a la derecha del que tenga menor número de cifras tantos ceros como sean necesarios para que el número de cifras en ambas fracciones sea el mismo. Tomemos, por ejemplo, ·54 y 4·3297. El primero es ⁵⁴/₁₀₀, y el segundo ⁴³²⁹⁷/₁₀₀₀₀. Multiplíquense el numerador y el denominador del primero por 100 (108), lo que lo reduce a ⁵⁴⁰⁰/₁₀₀₀₀, el cual tiene el mismo denominador que ⁴³²⁹⁷/₁₀₀₀₀. Pero ⁵⁴⁰⁰/₁₀₀₀₀ es ·5400 (135). En los números enteros, el punto decimal debe colocarse al final: así, 129 debe escribirse 129·. Sin embargo, es habitual omitir el punto; pero debe recordarse que 129 y 129·000 tienen el mismo valor, ya que el primero es 129 y el segundo ¹²⁹⁰⁰⁰/₁₀₀₀.

139. Las reglas que se dieron en el último capítulo para la suma, la resta, la multiplicación y la división se aplican a todas las fracciones y, por tanto, a las fracciones decimales entre el resto. Pero la forma de escribir las fracciones decimales, que se explica en este capítulo, hace que la aplicación de estas reglas sea más sencilla. Pasamos a los diferentes casos.

Supóngase que es menester sumar 42·634, 45·2806, 2·001 y 54. Por (112) estos deben reducirse a un denominador común, lo cual se hace (138) escribiéndolos de la siguiente manera: 42·6340, 45·2806, 2·0010 y 54·0000. Estos son fracciones decimales, cuyos numeradores son 426340, 452806, 20010 y 540000, y cuyo denominador común es 10000. Por (112) su suma es

o 143,9156. La manera más sencilla de hacer esto es la siguiente:

escribir los decimales uno debajo del otro, de modo que las comas decimales queden alineadas, así:

• 42·634
• 45·2806
• 2·001
• 54
• 143·9156

Sume las diferentes columnas como en una suma común, y coloque el punto decimal debajo de los demás puntos decimales.

EJERCICIOS.

140. Supóngase que se requiere restar 91·07324 de 137·321. Estas fracciones, cuando se reducen a un denominador común, son 91·07324 y 137·32100 (138). Su diferencia es, por lo tanto,

o 46,24776. Esto puede hacerse de la manera más sencilla de la siguiente manera: escriba el número menor debajo del mayor, de modo que su coma decimal quede debajo de la del mayor, así:

• 137·321
• 91·07324
• 46·24776

Resta la línea inferior de la superior, y dondequiera que haya una cifra en una línea y no en la otra, procede como si hubiera un cero en el lugar vacante.

EJERCICIOS.

141. La multiplicación de un decimal por 10, 100, 1000, etc., se realiza simplemente moviendo el punto decimal hacia la derecha. Supongamos, por ejemplo, que se ha de multiplicar 13·2079 por 100. El decimal es ¹³²⁰⁷⁹/₁₀₀₀₀, el cual multiplicado por 100 es (117) ¹³²⁰⁷⁹/₁₀₀, o 1320·79. Asimismo, 1·309 × 100000 es ¹³⁰⁹/₁₀₀₀ × 100000, o (116) ¹³⁰⁹⁰⁰⁰⁰⁰/₁₀₀₀, o
142. A partir de estos y otros ejemplos obtenemos la siguiente regla: Para multiplicar una fracción decimal por un número decimal (126), mueva el punto decimal tantos lugares a la derecha como ceros haya en el número decimal. Cuando esto no sea posible, agregue ceros a la derecha del decimal (137) hasta que pueda hacerlo.

142. Supóngase que se requiere multiplicar 17·036 por 4·27. El primero de estos decimales es ¹⁷⁰³⁶/₁₀₀₀, y el segundo ⁴²⁷/₁₀₀. Según (118), el producto de estas fracciones tiene por numerador el producto de 17036 y 427, y por denominador el producto de 1000 y 100; por lo tanto, este producto es ⁷²⁷⁴³⁷²/₁₀₀₀₀₀, o bien 72·74372. Esto puede hacerse de un modo más breve multiplicando los dos números 17036 y 427, y separando con el punto decimal tantas cifras como cifras decimales haya tanto en 17·036 como en 4·27, porque el producto de dos números decimales contendrá tantos ceros como ceros haya en ambos.

143. Surje ahora esta cuestión: ¿Qué pasaría si no hubiera tantas cifras en el producto como cifras decimales hay en el multiplicador y el multiplicando juntos? Para ver lo que se debe hacer en este caso, multiplíquese ·172 por ·101, o ¹⁷²/₁₀₀₀ por ¹⁰¹/₁₀₀₀.

El producto de ambos es ¹⁷³⁷²/₁₀₀₀₀₀₀, o ·017372 (135).

Por lo tanto, cuando el número de lugares en el producto no sea suficiente para permitir que se siga la regla del artículo anterior, se deben colocar tantos ceros al principio como sean necesarios para suplir la deficiencia.

EJEMPLOS ADICIONALES.

EJERCICIOS.

Demuestra que

144. La división de un decimal por un número decimal, tal como 10, 100, 1000, etc., se realiza moviendo el punto decimal hacia la izquierda tantos lugares como ceros haya en el número decimal. Si no hay suficientes lugares en el dividendo para permitir esto, se añaden ceros al principio de este hasta que los haya. Por ejemplo, divídase 1734·229 entre 1000: la fracción decimal es ¹⁷³⁴²²⁹/₁₀₀₀, la cual dividida entre 1000 (123) es ¹⁷³⁴²²⁹/₁₀₀₀₀₀₀, o 1·734229. Si, de la misma manera, se divide 1·2106 entre 10000, el resultado es ·00012106.

145. Antes de pasar a abreviar la regla para la división de una fracción decimal por otra, será necesario retomar lo dicho en (128) sobre la reducción de cualquier fracción a una fracción decimal.

Se mostró allí que ⁷/₁₆ es la misma fracción que ⁴³⁷⁵/₁₀₀₀₀ o ·4375.

Como otro ejemplo, conviértase ³/₁₂₈ en una fracción decimal. Sígase el mismo proceso que en (128), así:

• 128)300000000000(234375
• 256
• 440
• 384
• 560
• 512
• 480
• 384
• 960
• 896
• 640
• 640
• 0

Como se emplean 7 cifras, parece que 30000000 es el primero de la serie 30, 300, etc., que es divisible por 128; y por lo tanto ³/₁₂₈ o, lo que es lo mismo (108), ³⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰/₁₂₈₀₀₀₀₀₀₀ es igual a ²³⁴³⁷⁵/₁₀₀₀₀₀₀₀ o ·0234375 (135).

De estos ejemplos, la regla para reducir una fracción a decimal es:

Añádanse ceros al numerador; divídase por el denominador y añádase un cero a cada residuo después de haber usado todas las cifras del numerador, procediendo exactamente como si el numerador tuviera un número ilimitado de ceros añadidos y fuera a ser dividido por el denominador.

Continúe este proceso hasta que no quede residuo y observe cuántos ceros se han utilizado. Coloque el punto decimal en el cociente de modo que separe tantas cifras como ceros haya utilizado; y si no hubiera cifras suficientes para esto, añada ceros al principio hasta que haya suficientes lugares.

146. Por lo que se demostró en (129), resulta que no toda fracción puede reducirse a una fracción decimal. Sin embargo, allí se demostró que no hay fracción a la que no podamos encontrar una fracción decimal tan próxima como queramos. Así, ¹/₁₀, ¹⁴/₁₀₀, ¹⁴²/₁₀₀₀, ¹⁴²⁸/₁₀₀₀₀, ¹⁴²⁸⁵/₁₀₀₀₀₀, etc., o ·1, ·14, ·142, ·1428, ·14285, se demostró que son fracciones que se aproximan cada vez más a ¹/₇. Para hallar cualquiera de estas fracciones, la regla es la misma que la del artículo anterior, con esta excepción:

I. en lugar de detenerse cuando no hay resto, lo cual nunca sucede, deténgase en cualquier parte del proceso y cree tantas cifras decimales en el cociente como sea el número de ceros que se hayan utilizado, añadiendo ceros al principio cuando esto no pueda hacerse, como antes.

II. En lugar de obtener una fracción que sea exactamente igual a la fracción de la que partimos, obtenemos una fracción que está muy próxima a ella, y podemos obtener otra todavía más próxima utilizando una mayor parte del cociente. Así, ·1428 está muy próximo a ¹/₇, pero no tan próximo como ·142857; ni este último, a su vez, está tan próximo como ·142857142857, etc.

147. Si hubiere ceros en el numerador de una fracción, estos no deben contarse junto con el número de ceros que son necesarios para seguir la regla de convertirla en una fracción decimal. Tomemos, por ejemplo, ¹⁰⁰/₁₂₅; añádanse ceros al numerador y divídase por el denominador. Resulta que 1000 es divisible por 125, y que el cociente es 8. Solo se ha añadido un cero al numerador y, por tanto, 100 dividido por 125 es ·8. Si la fracción hubiese sido ¹/₁₂₅, dado que 1000 dividido por 125 da 8, y se habrían añadido tres ceros al numerador, la fracción habría sido ·008.

148. Supongamos que la fracción dada tiene ceros a la derecha de su denominador; por ejemplo, ³¹/₂₅₀₀. Entonces, añadir un cero al numerador equivale a quitar uno al denominador; pues, según (108), ³¹⁰/₂₅₀₀ es lo mismo que ³¹/₂₅₀, y ³¹⁰/₂₅₀ que ³¹/₂₅. La regla, por lo tanto, en este caso es: Quitar los ceros del denominador.

EJERCICIOS.

Reduce the following fractions to decimal fractions:

Encuentra decimales de 6 cifras muy cercanos a las siguientes fracciones:

149. De (121) se desprende que, si dos fracciones tienen el mismo denominador, la primera puede dividirse por la segunda dividiendo el numerador de la primera entre el numerador de la segunda.

Supóngase que se requiere dividir 17,762 por 6,25. Estas fracciones (138), al ser reducidas a un denominador común, son 17,762 y 6,250, o bien ¹⁷⁷⁶²/₁₀₀₀ y ⁶²⁵⁰/₁₀₀₀. Su cociente es, por lo tanto, ¹⁷⁷⁶²/₆₂₅₀, el cual debe reducirse ahora a una fracción decimal mediante la regla anterior.

El procedimiento completo es el siguiente: Omitir el cero del denominador y añadir ceros al numerador, o bien, lo cual dará el mismo resultado, a los residuos cuando sea necesario, y dividir como en (145).

• 625)17762(284192
• 1250
• 5262
• 5000
• 2620
• 2500
• 1200
• 625
• 5750
• 5625
• 1250
• 1250
• 0

Aquí se han añadido cuatro ceros al numerador, y se ha quitado uno del denominador. Hágase que el cociente tenga cinco cifras decimales, el cual pasa a ser entonces 2·84192, y este es el cociente de 17·762 dividido entre 6·25.

150. La regla para la división de un decimal por otro es la siguiente:

Iguale el número de cifras decimales en el dividendo y en el divisor, añadiendo ceros a aquel que tenga menos cifras. Después, añada además tantos ceros al dividendo¹ como se requiera que tenga de cifras decimales, suprima el punto decimal y opere como en la división común. Establezca el número requerido de cifras decimales en el cociente.

Por tanto, para dividir 6·7173 entre ·014 con tres cifras decimales, primero escribo 6·7173 y ·0140, con cuatro cifras en cada uno. Como debo obtener tres cifras decimales, debería añadir tres ceros a 6·7173; pero, observando que el divisor ·0140 tiene un cero, tacho ese y añado dos ceros a 6·7173.

Eliminando los puntos decimales, divido entonces 6717300 entre 014 o 14 de la manera habitual, lo que da el cociente 479807 y el resto 2. De ahí que 479·807 sea la respuesta.

La regla general es: Hágase que el cociente contenga tantas cifras decimales como exceda el número de cifras decimales del dividendo al del divisor.

Pero esta regla deja de ser operativa, excepto cuando hay más decimales en el dividendo que en el divisor, y es necesario añadir una serie de ceros al primero. La regla del texto equivale a lo mismo y contempla un número determinado de cifras decimales. Sin embargo, se recomienda al estudiante que se familiarice con la regla de la característica dada en el Apéndice, y que también se acostumbre a deducir lógicamente la posición del punto decimal.

Así, debería resultar evidente que 26·119 ÷ 7·2436 tiene una cifra antes del punto decimal, y que 26·119 ÷ 724·36 tiene un cero después de este, precediendo a todas las cifras significativas.

O bien puede usarse la regla siguiente: suprímase el punto decimal del divisor y muévase el del dividendo tantos lugares a la derecha como lugares hubiera en el divisor, añadiendo ceros si fuera necesario.

Luego procedáse como en la división común, fijando un lugar decimal en el cociente por cada lugar decimal del dividendo final que se utilice.

Así, 17·314 dividido por 61·2 es 173·14 dividido por 612, y el punto decimal debe preceder a la primera cifra del cociente. Pero 17·314 dividido por 6617·5 es 173·14 dividido por 66175; y dado que deben utilizarse tres lugares decimales de 173·14000 ... antes de poder hallar una cifra del cociente, dicha cifra del cociente es el tercer lugar decimal, o sea que el cociente es ·002.....

EJEMPLOS.

EJERCICIOS.

Demuestra que

y eso

¿Cuáles

hasta 6 cifras decimales?—Respuesta, ·318310, ·367879 y 1989·209221.

Calcule 10 términos de cada una de las siguientes series, con una aproximación de hasta 5 cifras decimales.

151. Entramos ahora en los métodos mediante los cuales se ahorran molestias innecesarias en el cálculo de cantidades decimales.

Y primero, supóngase que se ha medido un número de millas y se ha encontrado que es de 17,846217 millas. Si se le preguntara cuántas millas hay en esta distancia, y se requiriera una respuesta aproximada que diera únicamente millas, y no partes de millas, probablemente diría 17.

Pero esto, aunque sea el número de millas enteras contenidas en la distancia, no es el número de millas más cercano; ya que, dado que la distancia es superior a 17 millas y 8 décimas, y por lo tanto superior a 17 millas y media, está más cerca de la verdad decir que son 18 millas. Esto, aunque es demasiado grande, no es tan excesivamente grande como lo era el otro de pequeño, y el error no es tan grande como media milla.

Nuevamente, si se exigiera lo mismo dentro de una décima de milla, la respuesta correcta es 17·8; pues aunque esto es demasiado poco por ·046217, no es tan poco como 17·9 es demasiado, y el error es menor que media décima, o ¹/₂₀.

Nuevamente, la misma distancia, dentro de una centésima de milla, es más correctamente 17·85 que 17·84, puesto que el último es demasiado pequeño en ·006217, lo cual es mayor que la mitad de ·01; y por tanto 17·84 + ·01 está más cerca de la verdad que 17·84.

De aquí esta regla general:

Cuando un número determinado de los decimales dados es suficientemente exacto para el propósito, suprímase el resto por la derecha, teniendo en cuenta que, si la primera cifra suprimida es igual o mayor que 5, se debe aumentar en 1 la última cifra restante.

Los siguientes son ejemplos de un decimal abreviado de un lugar a la vez.

3·14159, 3·1416, 3·142, 3·14, 3·1, 3·0

2·7182818, 2·718282, 2·71828, 2·7183, 2·718, 2·72, 2·7, 3·0

1·9919, 1·992, 1·99, 2·00, 2·0

152. En la multiplicación y la división es inútil retener más cifras decimales en el resultado que las que eran con certeza correctas en el multiplicador, etc., que dieron dicho resultado. Supongamos, por ejemplo, que 9,98 y 8,96 son distancias en pulgadas que se han medido correctamente hasta dos cifras decimales, es decir, con un margen de error de medio centésimo de pulgada en cada dirección. El valor real de lo que llamamos 9,98 puede encontrarse entre 9,975 y 9,985, y el de 8,96 puede encontrarse entre 8,955 y 8,965. El producto, por lo tanto, de los números que representan las distancias correctas estará comprendido entre 9,975 × 8,955 y 9,985 × 8,965, es decir, tomando tres cifras decimales en los productos, entre 89,326 y 89,516. El producto de los números reales dados es 89,4208. Resulta, entonces, que en este caso no se puede confiar en más de la cifra entera 89 en el producto, o, a lo sumo, en la primera cifra decimal. La razón es que el error cometido al medir 8,96, aunque se encuentre solo en la tercera cifra decimal, se ve incrementado en la multiplicación al menos 9,975, o casi 10 veces; y por lo tanto afecta a la segunda cifra. La siguiente regla sencilla nos permitirá juzgar hasta qué punto se puede confiar en un producto. Sean a el multiplicador y b el multiplicando; si estos son exactos únicamente hasta la primera cifra decimal, el producto se encuentra dentro de (a + b)/20² del valor verdadero; si es hasta dos cifras decimales, dentro de (a + b)/200; si hasta tres, dentro de (a + b)/2000; y así sucesivamente. Así, en el ejemplo anterior, tenemos 9,98 y 8,96, que son exactos hasta dos cifras decimales: su suma dividida por 200 es 0,0947, y su producto es 89,4208, el cual se encuentra por tanto a menos de 0,0947 del valor verdadero. Si, de hecho, aumentamos y disminuimos 89,4208 en 0,0947, obtenemos 89,5155 y 89,3261, que son muy aproximadamente los límites hallados entre los cuales debe estar el producto. Vemos, entonces, que no podemos confiar en este caso en la primera cifra decimal, ya que (151) no puede existir un error de 0,05 si esta cifra es correcta; y aquí hay un error posible de 0,09 y más.

Apenas es necesario decir que, si los números dados son exactos, su producto es exacto también, y que este artículo se aplica cuando los números dados son correctos únicamente hasta un cierto número de cifras decimales.

La regla es: tómese la mitad de la suma del multiplicador y el multiplicando, desplácese el punto decimal hacia la izquierda tantos lugares como cifras decimales correctas haya en el multiplicador o en el multiplicando; el resultado es la cantidad dentro de la cual se puede confiar en el producto.

En la división, la regla es: procédase como en la regla anterior, poniendo el dividendo y el divisor en lugar del multiplicador y el multiplicandо, y divídase por el cuadrado del divisor; el cociente será la cantidad dentro de la cual se puede confiar en la división del primer dividendo y divisor.

Así, si se divide 17·324 entre 53·809, siendo ambos correctos hasta el tercer lugar, su semisuma será 35·566, la cual, según la última regla, se convierte en ·035566, y debe dividirse por el cuadrado de 53·809, o, lo que sirve igualmente para nuestro propósito, el cuadrado de 50, o 2500. El resultado es algo menor que ·00002, de modo que se puede confiar en el cociente de 17·324 y 53·809 hasta cuatro cifras decimales.

153. Se requiere multiplicar dos fracciones decimales de modo que en el producto solo se retenga un número dado de cifras decimales, y prescindir de la molestia de hallar el resto. Primero, es evidente que podemos escribir las cifras de cualquier multiplicador en orden contrario (por ejemplo, 4321 en lugar de 1234), siempre que en la operación movamos cada línea un lugar hacia la derecha en lugar de hacia la izquierda, como en el ejemplo siguiente:

Supongamos ahora que deseamos multiplicar 348,8414 por 51,30742, reservando solo cuatro cifras decimales en el producto. Si invertimos el multiplicador y procedemos de la manera recién señalada, tenemos lo siguiente:

Sepárense, mediante una línea vertical, los primeros cuatro lugares decimales y las columnas que los produjeron. Es evidente que al formular nuestra regla abreviada, debemos considerar únicamente,

I. todo lo que está a la izquierda de la línea vertical; II. todo lo que se acarrea desde la primera columna a la derecha de la línea.

Al observar la primera columna a la izquierda de la línea, vemos 4, 4, 8, 5, 9, de los cuales el primer 4 proviene de 4 × 1′,³ el segundo 4 de 1 × 3′, el 8 de 8 × 7′, el 5 de 8 × 4′, y el 9 de 4 × 2′. Si, entonces, disponemos el multiplicando y el multiplicador invertido de este modo,

• 3488414
• 2470315

cada cifra del multiplicador se coloca debajo de la primera cifra del multiplicando que se usa con ella para formar los primeros cuatro lugares decimales. Y obsérvese aquí que la cifra de las unidades en el multiplicador 51,30742, es decir, el 1, queda debajo del 4, el cuarto lugar decimal en el multiplicando.

Si no hubiera habido acarreo desde la derecha de la línea vertical, la regla habría sido:

Inviértase el multiplicador y colóquese debajo del multiplicando, de modo que la cifra que era la cifra de las unidades en el multiplicador quede debajo de la última posición decimal del multiplicando que ha de conservarse; pónganse ceros sobre aquellas cifras del multiplicador que no tengan ninguna del multiplicando encima, si las hubiera: procédase a multiplicar de la usanza habitual, pero comiéncese cada cifra del multiplicador con la cifra del multiplicando que se sitúa encima de ella, sin tomar en cuenta las de la derecha: colóquense las primeras cifras de todas las líneas una debajo de otra.

Para corregir esta regla, de modo que se tenga en cuenta lo que se lleva de la derecha de la línea vertical, obsérvese que esto consta de dos partes:

• 1.º, lo que se lleva directamente en la formación de las diferentes líneas, y
• 2.º, lo que se lleva de la suma de la primera columna de la derecha.

La primera de estas puede tenerse en cuenta empezando cada cifra del multiplicador con la que le sigue a su derecha en el multiplicando, y llevando las decenas a la cifra siguiente como de costumbre, pero sin anotar las unidades.

Pero ambos pueden tenerse en cuenta a la vez, con suficiente exactitud, según el principio de (151), llevando 1 de 5 a 15, 2 de 15 a 25, etc.; es decir, llevando la decena más próxima. Así, para 37, se llevaría 4, por estar 37 más cerca de 40 que de 30.

Esto no siempre dará la última cifra con absoluta exactitud, pero el error puede evitarse partiendo de modo que se conserve en el producto una cifra decimal más de la que se requiere estrictamente que sea exacta. La regla es, por tanto, la siguiente:

154. Para multiplicar dos números decimales entre sí, reteniendo únicamente n cifras decimales.

I. Inviértase el multiplicador, táchense los puntos decimales y colóquese el multiplicador debajo del multiplicando, de modo que lo que era su cifra de unidades caiga bajo el n-ésimo lugar decimal del multiplicando, colocando ceros, si es necesario, de modo que cada lugar del multiplicador tenga una cifra o un cero encima.

II. Proceda a multiplicar como de costumbre, comenzando cada cifra del multiplicador con la que está en el lugar a su derecha en el multiplicando: no escriba esta primera cifra, sino lleve su decena más próxima a la siguiente, y continúe.

III. Coloque las primeras cifras de todas las líneas una debajo de otra; sume como de costumbre; y separe n lugares desde la derecha para los decimales.

Se requiere multiplicar 136·4072 por 1·30609, conservando 7 cifras decimales.

• 1364072000
• 906031
• 1364072000
• 409221600
• 8184432
• 122766
• 178·1600798

En los ejemplos siguientes, las dos primeras líneas son el multiplicando y el multiplicador; y el número de decimales que deben conservarse se observará en los resultados.

Los ejercicios pueden obtenerse del artículo (143).

155. En cuanto a la división, tómense dos números cualesquiera, por ejemplo, 16·80437921 y 3·142, y divídase el primero por el segundo hasta alcanzar un número requerido de cifras decimales, por ejemplo, cinco. Esto da como resultado lo siguiente:

Ahora sepárense mediante una línea vertical, como en (153), todas las cifras que quedan a la derecha de la primera cifra 2, en el último resto 2061.

Como en la multiplicación, podemos obtener todo lo que está a la izquierda de la línea vertical mediante un método abreviado, como se representa en (A). Después de lo que se ha dicho sobre la multiplicación, es inútil entrar en más detalles; la regla siguiente será suficiente:

Para dividir un decimal por otro, reteniendo solo n cifras:

Proséguese un paso en la división ordinaria y determínese, según (150), en qué posición se encuentra el cociente así obtenido; proséguese de la manera ordinaria hasta que el número de cifras que queden por hallar en el cociente sea menor que el número de cifras del divisor: si este fuera ya el caso, no se prosiga más de la manera ordinaria.

En lugar de añadir una cifra o guarismo al resto, córtese una cifra del divisor, y procédase un paso con este divisor abreviado como de costumbre, recordando, sin embargo, al multiplicar este divisor, llevar la decena más próxima, como en (154), de la cifra que fue tachada; repítase esto, tachando otra cifra del divisor, y así sucesivamente, hasta que no queden cifras.

Como sabemos desde el principio en qué lugar está la primera cifra del cociente, y también cuántos decimales se requieren, podemos saber desde el principio cuántas cifras habrá en todo el cociente.

Si el divisor contiene más cifras que el cociente, será innecesario usarlas: y podrán descartarse, corrigiendo el resto como en (151): si hay ceros al principio del divisor, si lo fuere, por ejemplo,

dividir por ·3178 de la manera habitual, y después multiplicar el cociente por 100, o correr el punto decimal dos lugares hacia la derecha.

Si, por lo tanto, se requieren seis decimales, deben tomarse ocho lugares al dividir por ·3178, por una razón obvia. Al hallar la última cifra del cociente, debe tomarse la más cercana, como en el segundo de los ejemplos siguientes.

Pueden obtenerse ejemplos a partir de (143) y (150).