Ecuaciones simples.

43. Ecuaciones.

Una ecuación es una afirmación en símbolos de que dos expresiones representan el mismo número.

Por lo tanto, la ecuación $3 x + 2 = 8$ establece que $3 x + 2$ y $8$ representan el mismo número.

Aquella parte de la ecuación que precede al signo de igualdad se llama primer miembro, o lado izquierdo, y la que sigue al signo de igualdad se llama segundo miembro, o lado derecho.

La afirmación de igualdad entre dos expresiones algebraicas, si es verdadera para todos los valores de las letras involucradas, se llama ecuación idéntica; pero si es verdadera solo para ciertos valores particulares de las letras involucradas, se llama ecuación de condición.

Por tanto, $a + b = b + a$ , que es verdadera para todos los valores de $a$ y $b$ , es una ecuación idéntica, y $3 x + 2 = 8$ , que es verdadera solo cuando $x$ representa $2$ , es una ecuación de condición.

Por brevedad, una ecuación idéntica se denomina identidad, y una ecuación de condición se llama simplemente ecuación.

A menudo empleamos una ecuación para descubrir un número desconocido a partir de su relación con números conocidos. Solemos representar el número desconocido mediante una de las últimas letras del alfabeto, como $x$ , $y$ , $z$ ; y a modo de distinción, utilizamos las primeras letras, $a$ , $b$ , $c$ , etc., para representar números que se suponen conocidos, aunque no estén expresados en los símbolos numéricos de la Aritmética.

Por lo tanto, en la ecuación $a x + b = c$ , se supone que $x$ representa un número desconocido, y que $a$ , $b$ y $c$ representan números conocidos.

47. Ecuaciones simples.

Una ecuación que contiene la primera potencia de $x$ , el símbolo del número desconocido, y ninguna potencia superior, se llama ecuación simple o ecuación de primer grado.

Por lo tanto, $a x + b = c$ es una ecuación simple, o una ecuación de primer grado en $x$ .

48. Solución de una Ecuación.

Resolver una ecuación es hallar el número desconocido; es decir, el número que, al ser sustituido por su símbolo en la ecuación dada, la convierte en una identidad. Se dice que este número satisface la ecuación, y se le llama la raíz de la ecuación.

49. Axiomas.

Al resolver una ecuación, hacemos uso de los siguientes axiomas:

Si se suman números iguales a números iguales, las sumas serán iguales.

Si de números iguales se restan números iguales, los restos serán iguales.

Si se multiplican números iguales por números iguales, los productos serán iguales.

Si magnitudes iguales se dividen por magnitudes iguales, los cocientes serán iguales.

Si, por lo tanto, los dos lados de una ecuación se aumentan en, se disminuyen en, se multiplican por o se dividen por números iguales, los resultados serán iguales.

Por lo tanto, si $8 x = 24$ , entonces $8 x + 4 = 24 + 4$ , $8 x - 4 = 24 - 4$ , $4 \times 8 x = 4 \times 24$ y $8 x \div 4 = 24 \div 4$ .

50. Transposición de Términos.

Al resolver una ecuación, resulta necesario pasar todos los términos que contienen el símbolo del número incógnito a un lado de la ecuación, y todos los demás términos al otro lado. Esto se denomina transponer los términos. Lo ilustraremos mediante ejemplos:

Encuentra el número que representa $x$ cuando $14 x - 11 = 5 x + 70 .$

El primer objetivo que debe alcanzarse es pasar todos los términos que contienen $x$ al lado izquierdo de la ecuación, y todos los demás términos al lado derecho.

Esto puede hacerse restando primero $5 x$ de ambos miembros (Ax. 2), lo que da $9 x - 11 = 70,$ y luego sumando $11$ a estos iguales (Ax. 1), lo que da

9x + 11 - 11 = 70 + 11. lint Combine, 9x = 81. lint Divide by $9$ , x = 9.

Halla el número que representa $x$ cuando $x + b = a$ .

lint The equation is x + b = a. lint Subtract $b$ from each side, x + b - b = a - b. rint(Ax. 2)

Como $+ b$ y $- b$ en el miembro izquierdo se anulan mutuamente (§ 30), tenemos $x = a - b$ .

Halla el número que representa $x$ cuando $x - b = a$ .

lint The equation is x - b = a. lintAdd $+ b$ to each side, x + b - b = a + b. rint(Ax. 1)

Dado que $+ b$ y $- b$ en el miembro izquierdo se anulan mutuamente (§ 30), tenemos $x = a + b$ .

El efecto de la operación en las ecuaciones precedentes, cuando se usan los Axiomas (1) y (2), consiste en tomar un término de un miembro y pasarlo al otro miembro con su signo cambiado. Podemos proceder de manera semejante en cualquier otro caso. De ahí la regla general:

Cualquier término puede trasponerse de un lado a otro de una ecuación, siempre que se cambie su signo.

Por lo tanto, cualquier término que aparezca en ambos lados con el mismo signo puede eliminarse de ambos sin alterar la igualdad; y el signo de cada término de una ecuación puede cambiarse sin alterar la igualdad.

54. Verificación.

Cuando la raíz se sustituye por su símbolo en la ecuación dada, y la ecuación se reduce a una identidad, se dice que la raíz está verificada. Lo ilustraremos con ejemplos:

¿Qué número sumado al doble de sí mismo da $24$ ?

Sea $x$ el número; entonces $2 x$ representará el doble del número, y el número sumado a su doble será $x + 2 x$ .

Pero el número sumado a dos veces sí mismo es $24$ .

x + 2x = 24. lint Combine $x$ and $2 x$ , 3x = 24. Divide by $3$ , the coefficient of $x$ , x = 8. rint(Ax. 4)

Por lo tanto, el número requerido es $8$ .

Si $4 x - 5$ representa $19$ , ¿qué número representa $x$ ?

Tenemos la ecuación

4x - 5 = 19. lint Transponer $- 5$ , 4x = 19 + 5. lint Combinar, 4x = 24. lint Dividir entre $4$ , x = 6. rint(Ax. 4) [1] lint Verificación. 4x - 5 = 19, 4 × 6 - 5 = 19, 24 - 5 = 19, 19 = 19.

Si $3 x - 7$ representa el mismo número que $14 - 4 x$ , ¿qué número representa $x$ ?

Tenemos la ecuación $3 x - 7 = 14 - 4 x .$

Transpone $- 4 x$ al lado izquierdo, y $- 7$ al lado derecho,

3x + 4x = 14 + 7. lint Combine, 7x = 21. lint Divide by $7$ , x = 3. [1] lint Verification. 3x - 7 = 14 - 4x, 3 × 3 - 7 = 14 - 4 × 3, 2 = 2.

Resuelve la ecuación $7 (x - 1) - 30 = 4 (x - 4) .$

Tenemos la ecuación $7 (x - 1) - 30 = 4 (x - 4) .$

Quita los paréntesis,

7x - 7 - 30 = 4x - 16. lint Luego 7x - 4x = 7 + 30 - 16. lint Agrupando, 3x = 21. lint Dividiendo por $3$ , x = 7. [1] lint Comprobación. 7(7 - 1) - 30 = 4(7 - 4), 7 × 6 - 30 = 4 x 3, 42 - 30 = 12, 12 = 12.

Ejercicio 9.

Encuentra el número que representa $x$ , si:

$3 x = x + 8$ .

$3 x = 2 x + 5$ .

$3 x + 4 = x + 10$ .

$4 x + 6 = x + 9$ .

$7 x - 19 = 5 x + 7$ .

$3 (x - 2) = 2 (x - 3)$ .

$8 x + 7 = 4 x + 27$ .

$3 x + 10 = x + 20$ .

$5 (x - 2) = 3 x + 4$ .

$3 (x - 2) = 2 (x - 1)$ .

$2 x + 3 = 16 - (2 x - 3)$ .

$19 x - 3 = 2 (7 + x)$ .

$7 x - 70 = 5 x - 20$ .

$2 x - 22 = 108 - 2 x$ .

$2 (x + 5) + 5 (x - 4) = 32$ .

$2 (3 x - 25) = 10$ .

$33 x - 70 = 3 x + 20$ .

$4 (1 + x) + 3 (2 + x) = 17$ .

$8 x - (x + 2) = 47$ .

$3 (x - 2) = 50 - (2 x - 9)$ .

$2 x - (3 + 4 x - 3 x + 5) = 4$ .

$5 (2 - x) + 7 x - 21 = x + 3$ .

$3 (x - 2) + 2 (x - 3) + (x - 4) = 3 x + 5$ .

$x + 1 + x + 2 + x + 4 = 2 x + 12$ .

$(2 x - 5) - (x - 4) + (x - 3) = x - 4$ .

$4 - 5 x - (1 - 8 x) = 63 - x$ .

$3 x - (x + 10) - (x - 3) = 14 - x$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = x^{2} - 3 x + 1$ .

$(x^{2} - 9) - (x^{2} - 16) + x = 10$ .

$x^{2} + 8 x - (x^{2} - x - 2) = 5 (x + 3) + 3$ .

$x^{2} + x - 2 + x^{2} + 2 x - 3 = 2 x^{2} - 7 x - 1$ .

$10 x - (x - 5) = 2 x + 47$ .

$7 x - 5 - (6 - 8 x) + 2 = 3 x - 7 + 106$ .

$6 x + 3 - (3 x + 2) = (2 x - 1) + 9$ .

$3 (x + 10) + 4 (x + 20) + 5 x - 170 = 15 - 3 x$ .

$20 - x + 4 (x - 1) - (x - 2) = 30$ .

$5 x + 3 - (2 x - 2) + (1 - x) = 6 (9 - x)$ .

55. Planteamiento y solución de problemas.

Las dificultades con las que el principiante suele tropezar al plantear problemas se superarán con rapidez si observa las siguientes indicaciones:

Estudia el problema hasta que comprendas claramente su significado y exactamente qué es lo que se requiere encontrar.

Recuérdese que $x$ no debe representar dinero, longitud, tiempo, peso, etc., sino el número requerido de unidades especificadas de dinero, longitud, tiempo, peso, etc.

Exprese cada enunciado cuidadosamente en lenguaje algebraico, y escriba por extenso exactamente qué representa cada expresión.

No intentes formar la ecuación hasta que todas las afirmaciones estén expresadas en símbolos.

Lo ilustraremos con ejemplos:

John tiene tres veces tantas naranjas como James, y juntos tienen $32$ . ¿Cuántas tiene cada uno?

lint Sea $x$ el número de naranjas que tiene James; lintentonces $3 x$ es el número de naranjas que tiene John; linty $x + 3 x$ es el número de naranjas que tienen juntos.

Pero $32$ es el número de naranjas que tienen juntas.

x + 3x = 32; lintor, 4x = 32, lintand x = 8.

lint Since $x = 8$ , 3x = 24.

Por lo tanto, James tiene $8$ naranjas y John tiene $24$ naranjas.

Los principiantes que plantean el problema anterior suelen escribir: $\text{Sea $x =$ }\emph{lo} \text{ que tenía James.}$

Ahora, sabemos lo que tenía James. Tenía naranjas, y debemos descubrir simplemente el número de naranjas que tenía.

James y John tienen juntos $\$ 24$, y James tiene $\$ 8$ más que John. ¿Cuántos dólares tiene cada uno?

lint Sea $x$ la cantidad de dólares que tiene John; lintentonces $x + 8$ es la cantidad de dólares que tiene James; linty $x + (x + 8)$ es la cantidad de dólares que tienen ambos en total.

Pero $24$ es la cantidad de dólares que ambos tienen.

$∴ x + (x + 8) = 24 .$

Eliminando el paréntesis,

$x + x + 8 = 24 .$

2x = 16. lint Dividiendo por $2$ , x = 8. lint Ya que $x = 8$ , x + 8 = 16.

Por lo tanto, John tiene $ $8$ , y James tiene $ $16$ .

El principio debe evitar el error de escribir ${L e t$ x = {} $J o h n^{'} s m o n e y .}$

Se nos pide hallar la cantidad de dólares que tiene John, y por lo tanto $x$ debe representar esta cantidad requerida.

La suma de dos números es $18$ , y tres veces el número mayor excede en $5$ a cuatro veces el menor. Hallar los números.

Sea $x =$ el número mayor.

Luego, dado que $18$ es la suma y $x$ es uno de los números, el otro número debe ser la suma menos $x$ . Por lo tanto, $18 - x = el número menor .$

Ahora, tres veces el número mayor es $3 x$ , y cuatro veces el número menor es $4 (18 - x)$ .

lint Por tanto, 3x - 4(18 - x) = el exceso.
lint Pero 5 = el exceso, 3x - 4(18 - x) = 5
3x - (72 - 4x) = 5,
linto bien 3x - 72 + 4x = 5.
7x = 77,
linty 0 x = 11.

Por lo tanto, los números son $11$ y $7$ .

Ejercicio 10.

Si un número se multiplica por $9$ , el producto es $270$ . Halla el número.

Si la suma de las edades de un padre y un hijo es $60$ años, y el padre tiene $5$ veces la edad del hijo, ¿cuál es la edad de cada uno?

La suma de dos números es $91$ , y el mayor es $6$ veces el menor. Hallar los números.

Un árbol de $90$ pies de altura se quebró de modo que la parte quebrada era $8$ veces la longitud de la parte que quedó en pie. Hallar la longitud de cada parte.

La diferencia de dos números es $7$ y su suma es $53$ . Encuentra los números.

La diferencia de dos números es $12$ , y su suma es $84$ . Halla los números.

Divide $35$ into two parts so that one part shall be greater by $5$ than the other part.

Tres veces un número dado es igual al número aumentado en $40$ . Halla el número.

Tres veces un número dado disminuido en $24$ es igual al número dado. Halla el número.

Un número es $4$ veces otro, y su diferencia es $30$ . Halla los números.

La suma de dos números es $36$ , y uno de ellos excede al doble del otro en $6$ . Hallar los números.

Sea $x$ el número mayor: entonces $36 - x$ será el menor.

La suma de dos números es $40$ , y $5$ veces el menor excede a $2$ veces el mayor en $25$ . Hallar los números.

El número $30$ se divide en dos partes tales que $4$ veces la parte mayor excede a $5$ veces la parte menor en $30$ . Halla las partes.

La suma de dos números es $27$ , y el doble del número mayor aumentado en $3$ veces el menor es $61$ . Hallar los números.

The sum of two numbers is $32$ , and five times the smaller is $3$ times the greater number. Find the numbers.

Ejercicio 11.

Un granjero vendió un caballo y una vaca por $210$ . Vendió el caballo por cuatro veces el precio de la vaca. ¿Cuánto obtuvo por cada uno?

Tres veces el exceso de cierto número sobre $6$ es igual al número más $144$ . Halla el número.

Thirty-one times a certain number is as much above $40$ as nine times the number is below $40$ . Find the number.

Dos números se diferencian en $10$ , y su suma es igual a siete veces su diferencia. Halla los números.

Halla tres números consecutivos, $x$ , $x + 1$ y $x + 2$ , cuya suma sea $78$ .

Encuentra cinco números consecutivos cuya suma sea $35$ .

La suma de las edades de A y B es $40$ años, y dentro de $10$ años A tendrá el doble de la edad de B. Hallar sus edades actuales.

Un padre tiene cuatro veces la edad de su hijo, y dentro de $5$ años tendrá solo tres veces su edad. Hallar sus edades actuales.

Un hombre tiene $60$ años y otro hombre tiene $50$ años. ¿Cuántos años hace que el primer hombre tenía el doble de la edad del segundo?

Un hombre de $50$ años tiene un hijo de $10$ años. ¿En cuántos años el padre tendrá el triple de la edad del hijo?

A tiene $ $100$ y B tiene $ $20$ . ¿Cuánto debe darle A a B para que ambos tengan la misma cantidad?

Un banquero pagó $63$ dólares en billetes de $5$ y de $2$ dólares. Pagó tantos billetes de $5$ dólares como de $2$ dólares. ¿Cuántos billetes de cada tipo pagó?

# Exercise 12.

En una compañía de $90$ personas, compuesta por hombres, mujeres y niños, hay tres veces más niños que hombres, y el doble de mujeres que hombres. ¿Cuántos hay de cada uno?

Halla el número cuyo doble excede a $70$ tanto como el número mismo es menor que $80$ .

Un agricultor empleó a dos hombres para construir $112$ varas de muro. Uno de ellos construyó un promedio de $4$ varas al día, y el otro $3$ varas al día. ¿Cuántos días trabajaron?

Dos hombres viajan en direcciones opuestas, uno a $30$ millas por día y el otro a $20$ millas por día. ¿En cuántos días estarán a $350$ millas de distancia?

Dos hombres viajan en la misma dirección, uno a $30$ millas por día y el otro a $20$ millas por día. ¿En cuántos días estarán a $350$ millas de distancia?

Un hombre compró $3$ lotes iguales de heno por $\$ 408$. Por el primer lote dio $\$ 17$ la tonelada, por el segundo $\$ 16$, por el tercero $\$ 18$. ¿Cuántas toneladas compró en total?

Un agricultor vendió una cantidad de madera por $ $84$ , la mitad de ella a $ $3$ la carga, y la otra mitad a $ $4$ la carga. ¿Cuántas cargas vendió?

Sea $2 x$ el número de brazadas.

Si $2 x - 3$ representa $29$ , ¿qué número representará $4 + x$ ?

En unas elecciones, dos candidatos opuestos recibieron juntos $2044$ votos, y uno recibió $104$ votos más que el otro. ¿Cuántos votos recibió cada candidato?

### Ejercicio 13.

Un hombre camina a $4$ millas por hora durante $x$ horas, y otro hombre camina a $3$ millas por hora durante $x + 2$ horas. Si cada uno camina la misma distancia, ¿cuántas millas camina cada uno?

A tiene el doble de dinero que B; pero si A le da a B $\$ 30$, hará falta el doble de lo que le queda a A para igualar lo que tiene B. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Tengo $\$ 12.75$ en billetes de dos dólares y monedas de veinticinco centavos, y tengo el doble de billetes que de monedas de veinticinco centavos. ¿Cuántos tengo de cada uno?

Tengo en mente un cierto número. Si este número se disminuye en $8$ y el resto se multiplica por $8$ , el resultado es el mismo que si el número fuera disminuido en $6$ y el resto multiplicado por $6$ . ¿Cuál es el número?

Tengo cinco veces más medios dólares que monedas de veinticinco centavos, y los medios dólares y las monedas de veinticinco centavos suman $ $11$ . ¿Cuántas tengo de cada uno?

Un hombre paga una deuda de $ $91$ con billetes de diez dólares y billetes de un dólar, pagando tres veces más billetes de un dólar que de diez dólares. ¿Cuántos billetes de cada clase paga?

Un padre tiene cuatro veces la edad de su hijo, pero dentro de $4$ años tendrá solo tres veces la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?

Un obrero fue contratado por $24$ días. Por cada día que trabajaba debía recibir $\$ 1.50$, y por cada día que estaba ocioso debía pagar $\$ 0.50$ por su manutención. Al final del tiempo recibió $\$ 28$. ¿Cuántos días trabajó?

Ejercicio 14.

Un muchacho dispone de $4$ horas. ¿Qué distancia puede adentrarse en el campo montando en bicicleta a razón de $9$ millas por hora y regresar caminando a razón de $3$ millas por hora, si regresa exactamente a tiempo?

Sea $x =$ el número de horas que anda en bicicleta.

Entonces $4 - x =$ el número que camina.

A tiene $ $180$ y B tiene $ $80$ . ¿Cuánto debe darle A a B para que seis veces el dinero de B sea igual a $7$ veces el de A?

Un tendero tiene dos clases de té, una clase que vale $45$ centavos la libra, y la otra que vale $65$ centavos la libra. ¿Cuántas libras de cada clase debe tomar para hacer $80$ libras, con un valor de $50$ centavos la libra?

Un tanque con capacidad para $1200$ galones tiene tres tuberías. La primera deja entrar $8$ galones por minuto, la segunda $10$ galones y la tercera $12$ galones por minuto. ¿En cuántos minutos se llenará el tanque?

Las ruedas delantera y trasera de un carruaje tienen $10$ pies y $12$ pies de circunferencia respectivamente. ¿Cuántos pies habrá recorrido el carruaje cuando la rueda delantera haya dado $250$ revoluciones más que la trasera?

Divide a yard of tape into two parts so that one part shall be $6$ inches longer than the other part.

Un muchacho compró $7$ docenas de naranjas por $ $1.50$ . Por una parte pagó $20$ centavos la docena; y por el resto, $25$ centavos la docena. ¿Cuántas docenas de cada clase compró?

¿Cómo se puede pagar una cuenta de $\$ 3{,}30$ en monedas de veinticinco y de diez centavos de modo que se paguen tres veces más monedas de diez centavos que de veinticinco centavos?