Ecuaciones fraccionarias.

139. Para reducir ecuaciones que contienen fracciones.

1. Resuelve ${\displaystyle \frac{x}{3}}-{\displaystyle \frac{x-1}{11}}=x-9$.

Multiplíquese por $33$, el m. c. m. de los denominadores.

lint Luego, 11x - 3x + 3 = 33x - 297. lint Transponer, 11x - 3x - 33x = - 297 - 3. lint Combinar, - 25x = - 300. lint Dividir por $-25$, x = 12.

Puesto que el signo menos precede a la segunda fracción, al eliminar el denominador, el signo $+$ (sobreentendido) que está antes de $x$, el primer término del numerador, se cambia a $-$, y el $-$ que está antes de $1$, el segundo término del numerador, se cambia a $+$.

despejar una ecuación de fracciones, por lo tanto,

Multiplicar cada término por el m. c. m. de los denominadores.

Si una fracción va precedida de un signo menos, debe cambiarse el signo de cada término del numerador al eliminar el denominador.

2. Resuelve ${\displaystyle \frac{x+1}{4}}-\frac{1}{5}(x-1)=1$.

Multiplica por $20$, el m. c. m.

3. Resuelve $7x-\frac{(2x-3)(3x-5)}{5}=\frac{153}{10}-\frac{(4x-5)(3x-1)}{10}.$

Multiplicando por $10$, el m. c. m., tenemos $70x-2(2x-3)(3x-5)=153-(4x-5)(3x-1).$

Encuentra los productos de $(2x-3)(3x-5)$ y $(4x-5)(3x-1)$.

$70x-2(6x^2-19x+15)=153-(12x^2-19x+5).$

Remove the parentheses, $70x-12x^2+38x-30=153-12x^2+19x-5.$

Cancela el $-12x^2$ en cada lado y haz la transposición,

70x + 38x - 19x = 153 + 30 - 5. lint Combine, 89x = 178. lint Divide by $89$, x = 2.

4. Resuelve ${\displaystyle \frac{2x+1}{2x-1}}-{\displaystyle \frac{2x-1}{2x+1}}={\displaystyle \frac{8}{4x^2-1}}$.

Multiplica por el M. C. M., y tenemos,

5. Resuelve ${\displaystyle \frac{4}{x+1}}-{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{x^2-3}{x^2-1}}=0$.

Multiplica por el M. C. M., $x^2-1$, y tenemos,

Ejercicio 51.

Resuelve:

1. ${\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{x+1}{3}}$.

2. ${\displaystyle \frac{3x-1}{4}}={\displaystyle \frac{2x+1}{3}}$.

3. ${\displaystyle \frac{6x-19}{2}}={\displaystyle \frac{2x-11}{3}}$.

4. ${\displaystyle \frac{7x-40}{8}}={\displaystyle \frac{9x-80}{10}}$.

5. ${\displaystyle \frac{3x-116}{4}}+{\displaystyle \frac{180-5x}{6}}=0$.

6. ${\displaystyle \frac{3x-4}{2}}-{\displaystyle \frac{3x-1}{16}}={\displaystyle \frac{6x-5}{8}}$.

7. ${\displaystyle \frac{x-1}{8}}-{\displaystyle \frac{x+1}{18}}=1$.

8. ${\displaystyle \frac{60-x}{14}}-{\displaystyle \frac{3x-5}{7}}={\displaystyle \frac{3x}{4}}$.

9. ${\displaystyle \frac{3x-1}{11}}-{\displaystyle \frac{2-x}{10}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$.

10. ${\displaystyle \frac{4x}{x+1}}-{\displaystyle \frac{x}{x-2}}=3$.

11. ${\displaystyle \frac{2x+1}{4}}-{\displaystyle \frac{4x-1}{10}}+1-\frac{1}{4}=0$.

12. ${\displaystyle \frac{x-1}{5}}-{\displaystyle \frac{43-5x}{6}}-{\displaystyle \frac{3x-1}{8}}=0$.

13. ${\displaystyle \frac{1}{x+7}}={\displaystyle \frac{2}{x+1}}-{\displaystyle \frac{1}{x+3}}$.

14. ${\displaystyle \frac{1}{x+4}}+{\displaystyle \frac{2}{x+6}}-{\displaystyle \frac{3}{x+5}}=0$.

15. ${\displaystyle \frac{4}{x^2-1}}+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}=0$.

16. ${\displaystyle \frac{3x+1}{4}}-{\displaystyle \frac{5x-4}{7}}=12-2x-{\displaystyle \frac{x-2}{3}}$.

17. $\frac{1}{8}(5x+3)-\frac{1}{3}(3-4x)+\frac{1}{6}(9-5x)=\frac{1}{2}(31-x)$.

18. $\frac{1}{15}(34x-56)-\frac{1}{5}(7x-3)-\frac{1}{3}(7x-5)=0$.

Ejercicio 52.

Resuelve:

1. $\frac{2}{3}(x+1)-\frac{1}{7}(x+5)=1$.

2. $\frac{6}{7}(x-9)-\frac{1}{3}(5-x)+3x+1=0$.

3. $\frac{1}{3}(5x-24)+\frac{1}{7}(x-2)-2(x-1)=0$.

4. ${\displaystyle \frac{x+3}{4}}+{\displaystyle \frac{7x-2}{5}}={\displaystyle \frac{5x-1}{4}}+{\displaystyle \frac{5x+4}{9}}$.

5. ${\displaystyle \frac{x+1}{3}}-{\displaystyle \frac{x-1}{4}}={\displaystyle \frac{x-2}{5}}-{\displaystyle \frac{x-3}{6}}+{\displaystyle \frac{31}{60}}$.

6. ${\displaystyle \frac{(2x-1)(2-x)}{2}}+x^2-{\displaystyle \frac{1+3x}{2}}=0$.

7. ${\displaystyle \frac{6x-11}{4}}-{\displaystyle \frac{3-4x}{6}}={\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{x}{8}}$.

8. ${\displaystyle \frac{x+6}{4}}-{\displaystyle \frac{16-3x}{12}}=4\frac{1}{6}$.

9. $x-{\displaystyle \frac{x-2}{3}}={\displaystyle \frac{x+23}{4}}-{\displaystyle \frac{10+x}{5}}$.

10. ${\displaystyle \frac{5x+3}{x-1}}+{\displaystyle \frac{2x-3}{2x-1}}=6$.

11. ${\displaystyle \frac{3x}{4x+1}}+1=2-{\displaystyle \frac{x}{2(2x-1)}}$.

12. ${\displaystyle \frac{8x+7}{5x+4}}-1=1-{\displaystyle \frac{2x}{5x+1}}$.

13. ${\displaystyle \frac{x+1}{2(x-1)}}-{\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}={\displaystyle \frac{17-x^2}{2(x^2-1)}}$.

Si los denominadores contienen expresiones tanto simples como compuestas, por lo general es mejor eliminar primero las expresiones simples y después las compuestas. Después de cada multiplicación, el resultado debe reducirse a su forma más simple.

1. Resuelve ${\displaystyle \frac{4x+3}{10}}-{\displaystyle \frac{2x+3}{5x-1}}={\displaystyle \frac{2x-1}{5}}$.

lint Multiplicar por $10$, 4x + 3 - 10(2x + 3)5x - 1 = 4x - 2. lint Transponer, 4x + 3 - 4x + 2 = 10(2x + 3)5x - 1. lint Combinar, 5 = 10(2x + 3)5x - 1. [1] lint Dividir por $5$, 1 = 2(2x + 3)5x - 1. lint Multiplicar por $5x-1$, 5x - 1 = 4x + 6. lint Transponer y combinar, x = 7.

Ejercicio 53.

Resuelve:

1. ${\displaystyle \frac{10x+13}{18}}-{\displaystyle \frac{x+2}{x-3}}={\displaystyle \frac{5x-4}{9}}$.

2. ${\displaystyle \frac{6x+7}{10}}-{\displaystyle \frac{3x+1}{5}}={\displaystyle \frac{x-1}{3x-4}}$.

3. ${\displaystyle \frac{11x-12}{14}}-{\displaystyle \frac{11x-7}{19x+7}}={\displaystyle \frac{22x-36}{28}}$.

4. ${\displaystyle \frac{2x-1}{5}}+{\displaystyle \frac{2x-3}{17x-12}}={\displaystyle \frac{4x-3}{10}}$.

5. ${\displaystyle \frac{11x-13}{7}}-{\displaystyle \frac{13x+7}{3x+7}}={\displaystyle \frac{22x-75}{14}}$.

6. ${\displaystyle \frac{6x-13}{2x+3}}+{\displaystyle \frac{6x+7}{9}}-{\displaystyle \frac{2x+4}{3}}=0$.

### 141. Ecuaciones literales.

Las ecuaciones literales son ecuaciones en las que algunos o todos los números conocidos están representados por letras; los números considerados como números conocidos se suelen representar por las primeras letras del alfabeto.

1. Resolver ${\displaystyle \frac{x+a}{x-b}}+{\displaystyle \frac{x+b}{x-a}}=2$.

Multiplica por $(x-a)(x-b)$,

$(x+a)(x-a)+(x+b)(x-b)$ = 2(x - a)(x - b), lintor x^2 - a^2 + x^2 - b^2 = 2x^2 - 2ax - 2bx + 2ab. [1] lint Transpose, x^2 + x^2 - 2x^2 + 2ax + 2bx = a^2 + 2ab + b^2. [1] lint Combine, 2ax + 2bx = a^2 + 2ab + b^2, lintor 2(a + b)x = a^2 + 2ab + b^2. [1] lint Divide by $a+b$, 2x = a + b, x = a + b2.

Ejercicio 54.

Resuelve:

1. $a(x-a)=b(x-b)$.

2. $(a+b)x+(a-b)x=a^2$.

3. $(a+b)x-(a-b)x=b^2$.

4. $(2x-a)+(x-2a)=3a$.

5. $(x+a+b)+(x+a-b)=2b$.

6. $(x-a)(x-b)=x(x+c)$.

7. $x^2+b^2=(a-x)(a-x)$.

8. $(a+b)(2-x)=(a-b)(2+x)$.

9. $(x-a)(2x-a)=2(x-b{)}^2$.

10. $(a+bx)(c+d)=(a+b)(c+dx)$.

11. ${\displaystyle \frac{x}{a-b}}-{\displaystyle \frac{3a}{a+b}}={\displaystyle \frac{bx}{a^2-b^2}}$.

142. Problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.

# Ejercicio 55.

Ej. La suma de la tercera y la quinta partes de cierto número supera a dos veces la diferencia de la cuarta y la sexta partes en $22$. Halla el número.

lint Sea $x$ el número. lint Entonces $x3+x5=$ la suma de su tercera y quinta partes, $x4-x6=$ la diferencia de su cuarta y sexta partes, $2(x4-x6)=$ $2$ veces la diferencia de la cuarta y sexta partes, $x3+x5-2(x4-x6)=$ el exceso dado. lint Pero $22=$ el exceso dado. $x3+x5-2(x4-x6)=22$.

Multiplíquese por $60$ el m. c. m. de las fracciones.

Por lo tanto, el número requerido es $60$.

1. La diferencia entre la quinta y la séptima parte de cierto número es $2$. Hallar el número.

2. La mitad de cierto número excede la suma de su quinta y séptima partes en $11$. Hallar el número.

3. La suma de las partes tercera y sexta de cierto número excede a la diferencia de sus partes sexta y novena en $16$. Hallar el número.

4. Hay dos números consecutivos, $x$ y $x+1$, tales que la mitad del mayor excede en $10$ a la tercera parte del número menor. Halla los números.

Ejercicio 56.

Ej. La suma de dos números es $63$, y si el mayor se divide por el número menor, el cociente es $2$ y el residuo $3$. Hallar los números.

lint Sea $x$ = el mayor número. lint Entonces $63-x$ = el menor número. Puesto que el cociente = Dividendo - ResiduoDivisor, y dado que, en este problema, el dividendo es $x$, el residuo es $3$ y el divisor es $63-x$, tenemos que x - 363 - x = 2. lint Resolviendo, $x=43$.

Por lo tanto, los dos números son $43$ y $20$.

1. La suma de dos números es $100$, y si el mayor se divide por el número menor, el cociente es $4$ y el residuo $5$. Hallar los números.

2. La suma de dos números es $124$, y si el mayor se divide por el número menor, el cociente es $4$ y el residuo $4$. Hallar los números.

3. La diferencia de dos números es $49$, y si el mayor se divide entre el menor, el cociente es $4$ y el residuo $4$. Encuéntrense los números.

4. La diferencia de dos números es $91$, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es $8$ y el residuo $7$. Encuentre los números.

5. Divide $320$ en dos partes de tal manera que la parte menor esté contenida en la mayor $11$ veces, con un residuo de $20$.

Ejercicio 57.

Ej. Hace ocho años, un niño tenía la cuarta parte de la edad que tendrá dentro de un año. ¿Cuántos años tiene ahora?

lint Sea $x$ la edad que tiene ahora en años. lint Entonces $x-8$ es la edad que tenía hace ocho años, lint y $x+1$ es la edad que tendrá dentro de un año.

x - 8 = 14(x + 1).

• lint Resolviendo, x = 11.

Por lo tanto, el niño tiene $11$ años.

1. Un hijo tiene la cuarta parte de la edad de su padre. En $24$ años tendrá la mitad de su edad. Hallar la edad del hijo.

2. La edad de B es una sexta parte de la edad de A. En $15$ años la edad de B será un tercio de la edad de A. Hallar sus edades.

3. La suma de las edades de A y B es $30$ años, y dentro de $5$ años la edad de B será un tercio de la de A. Hallar sus edades.

4. Un padre tiene $35$ años, y su hijo tiene la cuarta parte de esa edad. ¿En cuántos años tendrá el hijo la mitad de la edad de su padre?

5. A tiene $60$ años, y la edad de B es dos tercios de la de A. ¿Hace cuántos años la edad de B era una quinta parte de la de A?

6. Un hijo tiene la tercera edad de su padre. Hace cuatro años tenía solo la cuarta parte de la edad de su padre. ¿Cuál es la edad de cada uno?

7. A tiene $50$ años, y B tiene la mitad de la edad de A. ¿En cuántos años B tendrá dos tercios de la edad de A?

8. B tiene la mitad de la edad de A. Hace diez años tenía la cuarta parte de la edad de A. ¿Cuáles son sus edades actuales?

9. La suma de las edades de un padre y su hijo es $80$ años. La edad del hijo aumentada en $5$ años es la cuarta parte de la edad del padre. Encuentra sus edades.

Ejercicio 58.

Ej. A puede hacer un trabajo en $2$ días, y B puede hacerlo en $3$ días. ¿Cuánto tiempo tardarán ambos juntos en hacer el trabajo?

lint Sea x = el número de días que tardarán ambos juntos. lint Entonces 1x = la parte que ambos juntos pueden hacer en un día, 12 = la parte que A puede hacer en un día, 13 = la parte que B puede hacer en un día, linty 12 + 13 = la parte que ambos juntos pueden hacer en un día.

12 + 13 = 1x.

lint Solving, x = 115.

Por lo tanto, juntos pueden hacer el trabajo en $1\frac{1}{5}$ días.

1. A puede hacer un trabajo en $3$ días, B en $5$ días y C en $6$ días. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo trabajando juntos?

2. A puede hacer una obra en $5$ días, B en $4$ días y C en $3$ días. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacer la obra juntos?

3. A puede hacer un trabajo en $2\frac{1}{2}$ días, B en $3\frac{1}{2}$ días y C en $3\frac{3}{4}$ días. ¿Cuánto tiempo les tomará hacer el trabajo juntos?

4. A puede hacer una obra en $10$ días, B en $12$ días; A y B juntos, con la ayuda de C, pueden hacer la obra en $4$ días. ¿Cuánto le tomará a C solo hacer la obra?

5. A y B juntos pueden segar un campo en $10$ horas, A y C en $12$ horas, y A solo en $20$ horas. ¿En cuánto tiempo pueden B y C juntos segar el campo?

6. A y B juntos pueden construir un muro en $12$ días, A y C en $15$ días, B y C en $20$ días. ¿En cuánto tiempo pueden construir el muro si todos trabajan juntos?

Trabajando $2$ días cada uno, construyen $\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}$ de la misma.

Ejercicio 59.

Ej. Un depósito puede ser llenado por tres tuberías en $15$, $20$ y $30$ horas, respectivamente. ¿En cuánto tiempo será llenado por todas las tuberías juntas?

lint Sea $x$ el número de horas que tardarán todos juntos. lint Entonces $1x$ es la parte que todos juntos pueden llenar en una hora. $\frac{1}{15}+\frac{1}{20}$ + 130 = la parte que todos juntos pueden llenar en una hora.

Por lo tanto, las tuberías juntas pueden llenarlo en $6\frac{2}{3}$ horas.

1. Una cisterna puede llenarse mediante tres tuberías en $16$, $24$ y $32$ horas, respectivamente. ¿En cuánto tiempo se llenará si se abren todas las tuberías juntas?

2. Un depósito puede ser llenado por dos tubos en $3$ horas y $4$ horas, respectivamente, y puede ser vaciado por un tercer tubo en $6$ horas. ¿En cuánto tiempo se llenará la cisterna si los tres tubos funcionan al mismo tiempo?

3. Un tanque puede ser llenado por tres tuberías en $1$ hora y $40$ minutos, $3$ horas y $20$ minutos, y $5$ horas, respectivamente. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si las tres tuberías funcionan juntas?

4. Un depósito puede llenarse mediante tres tuberías en $2\frac{1}{3}$ horas, $3\frac{1}{2}$ horas y $4\frac{2}{3}$ horas, respectivamente. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si todas las tuberías funcionan juntas?

5. Un depósito tiene tres tuberías. La primera tubería llenará el depósito en $12$ horas, la segunda en $20$ horas, y las tres tuberías juntas lo llenarán en $6$ horas. ¿Cuánto tiempo le tomará a la tercera tubería sola llenarlo?

Ejercicio 60.

Ej. Un correo que viaja a $6$ millas por hora es seguido, al cabo de $2$ horas, por un segundo correo que viaja a $7\frac{1}{2}$ millas por hora. ¿En cuántas horas alcanzará el segundo correo al primero?

lint Sea x = el número de horas que viaja el primero. lint Entonces, x - 2 = el número de horas que viaja el segundo, 6x = el número de millas que viaja el primero, lint y (x - 2) 712 = el número de millas que viaja el segundo. [1] Ambos viajan la misma distancia. 6x = (x - 2) 712, lint o 12x = 15x - 30. x = 10.

Por lo tanto, el segundo correo alcanzará al primero en $10-2$, es decir, en $8$ horas.

1. A sale de Boston y camina hacia Portland a razón de $3$ millas por hora. Tres horas después, B sale del mismo lugar y camina en la misma dirección a razón de $4$ millas por hora. ¿A qué distancia de Boston alcanzará B a A?

2. Un mensajero que marcha a razón de $6\frac{1}{2}$ millas por hora es seguido, después de $4$ horas, por otro que marcha a razón de $7\frac{1}{2}$ millas por hora. ¿En cuántas horas alcanzará el segundo al primero?

3. Una persona sube a la cima de una montaña a razón de dos millas por hora, y baja por el mismo camino a razón de $4$ millas por hora. Si está fuera $6$ horas, ¿qué distancia hay hasta la cima de la montaña?

4. Al recorrer una distancia determinada, un tren que viaja a una velocidad de $40$ millas por hora tarda $2$ horas menos que un tren que viaja a $30$ millas por hora. Hallar la distancia.

# Exercise 61.

Ej. Una liebre da $4$ saltos por cada $3$ de un galgo; pero $2$ saltos del galgo equivalen a $3$ de la liebre. La liebre lleva una ventaja de $50$ saltos. ¿Cuántos saltos debe dar el galgo para alcanzar a la liebre?

lint Sean $3x$ el número de saltos dados por el lebrel. lint Entonces $4x$ es el número de saltos de la liebre en el mismo tiempo.

lint Asimismo, sea a = el número de pies en un salto de la liebre. [1] lint Entonces $3a^2$ = el número de pies en un salto del sabueso. [1] lint Por tanto, $3x\times 3a^2=9a{x}^2$ = la distancia total.

Como la liebre lleva una ventaja de $50$ saltos, y da $4x$ saltos más antes de ser alcanzada, y como cada salto es de $a$ pies,

(50 + 4x)a = la distancia total. 9ax2 = (50 + 4x)a. lint Multiplica por $2$, 9ax = (100 + 8x)a, lint Divide entre $a$, 9x = 100 + 8x, x = 100, 3x = 300.

Por lo tanto, el galgo debe dar $300$ saltos.

1. Un sabueso da $3$ saltos mientras un conejo da $5$; pero $1$ salto del sabueso equivale a $2$ del conejo. El conejo lleva una ventaja de $120$ saltos. ¿Cuántos saltos dará el conejo antes de ser alcanzado?

2. Un conejo da $6$ saltos por cada $5$ de un perro, y $7$ saltos del perro equivalen a $9$ del conejo. El conejo lleva una ventaja de $60$ de sus propios saltos. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar al conejo?

3. Un perro da $4$ saltos mientras que un conejo da $5$; pero $3$ saltos del perro equivalen a $4$ del conejo. El conejo lleva una ventaja de $90$ saltos del perro. ¿Cuántos saltos dará cada uno antes de que el conejo sea alcanzado?

Ejercicio 62.

Ej. Encuentra la hora entre las $2$ y las $3$ en punto en la que las manecillas de un reloj están juntas.

A las 2 en punto, la aguja horaria está 10 espacios de minuto por delante del minutero.

lint Sea $x$ el número de espacios que avanza el minutero. lint Entonces $x-10$ es el número de espacios que avanza el horario. [1] Ahora bien, como el minutero se mueve $12$ veces más rápido que el horario, $12(x-10)$ = el número de espacios que avanza el minutero.

Por lo tanto, la hora es $10\frac{10}{11}$ minutos pasada las $2$ en punto.

1. Halla la hora entre las $5$ y las $6$ en punto en la que las manecillas de un reloj están juntas.

2. Encuentra la hora entre las $2$ y las $3$ en punto en la que las manecillas de un reloj forman un ángulo recto entre sí.

En este caso, el minutero está $15$ minutos por delante del horario.

3. Encuentra la hora entre las $2$ y las $3$ en punto en la que las manecillas de un reloj apuntan en direcciones opuestas.

En este caso, el minutero está $30$ minutos por delante del horario.

4. Encuentra la hora entre la $1$ y las $2$ en punto en que las manecillas de un reloj forman un ángulo recto entre sí.

5. Encuentra la hora entre la $1$ y las $2$ en punto en que las manecillas del reloj apuntan en direcciones opuestas.

6. ¿A qué hora entre las $7$ y las $8$ en punto las manecillas de un reloj están juntas?

Ejercicio 63.

Ej. Un rectángulo tiene su largo $6$ pies mayor y su ancho $5$ pies menor que el lado de su cuadrado equivalente. Hallar las dimensiones del rectángulo.

lint Sea x = el número de pies en un lado del cuadrado. lint Entonces x + 6 = el número de pies en la longitud del rectángulo, lint y x - 5 = el número de pies en el ancho del rectángulo. Como el área de un rectángulo es igual al producto del número de unidades de longitud en el largo y el ancho del rectángulo, $(x+6)(x-5)$ = el área del rectángulo en pies cuadrados, lint y x × x = el área del cuadrado en pies cuadrados.

Pero estas áreas son iguales.

Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son $36$ pies y $25$ pies.

1. Un rectángulo tiene su largo y su ancho respectivamente $7$ pies más largos y $6$ pies más cortos que el lado del cuadrado equivalente. Hallar su área.

2. La longitud de un suelo excede a la anchura en $5$ pies. Si cada dimensión fuera $1$ pie mayor, el área del suelo sería $42$ pies cuadrados mayor. Hallar sus dimensiones.

3. Un rectángulo cuya longitud es $6$ pies mayor que su ancho, tendría su área $35$ pies cuadrados mayor, si cada dimensión fuera $1$ pie mayor. Hallar sus dimensiones.

4. The length of a rectangle exceeds its width by $3$ feet. If the length is increased by $3$ feet and the width diminished by $2$ feet, the area will not be altered. Find its dimensions.

5. The length of a floor exceeds its width by $10$ feet If each dimension were $2$ feet more, the area would be $144$ sq. ft. more. Find its dimensions.

143. Fórmulas y Reglas.

Cuando los números dados de un problema están representados por letras, el resultado obtenido al resolver el problema es una expresión general que incluye a todos los problemas de esa clase. Dicha expresión se denomina fórmula, y la traducción de esta fórmula a palabras se denomina regla.

Lo ilustraremos con ejemplos.

1. La suma de dos números es $s$, y su diferencia $d$. Hallar los números.

Sea $x$ el número menor; luego $x+d$ es el número mayor. [1] Por lo tanto $x+x+d=s$, o bien $2x=s-d$. $x=\frac{s-d}{2}$, [1] y $x+d=\frac{s-d}{2}+d=\frac{s-d+2d}{2}=\frac{s+d}{2}$.

Por lo tanto, los números son ${\displaystyle \frac{s+d}{2}}$ y ${\displaystyle \frac{s-d}{2}}$.

Como estas fórmulas son válidas cualesquiera que sean los números que representen $s$ y $d$, tenemos la regla general para hallar dos números cuando se dan su suma y su diferencia:

Suma la diferencia al total y toma la mitad del resultado para obtener el número mayor.

Resta la diferencia de la suma y toma la mitad del resultado para el número menor.

2. Si A puede hacer un trabajo en $a$ días, y B puede hacer el mismo trabajo en $b$ días, ¿en cuántos días pueden hacerlo ambos juntos?

Sea $x=$ el número de días requerido. Entonces, $\frac{1}{x}=$ la parte que ambos juntos pueden hacer en un día. [1] Ahora bien, $\frac{1}{a}=$ la parte que A puede hacer en un día, y $\frac{1}{b}=$ la parte que B puede hacer en un día; por lo tanto, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$ la parte que ambos juntos pueden hacer en un día

1a + 1b = 1x.

lint

De donde x = aba + b.

La traducción de esta fórmula da la regla siguiente para hallar el tiempo que requieren dos agentes juntos para producir un resultado dado cuando se conoce el tiempo que requiere cada agente por separado.

Divide el producto de los números que expresan las unidades de tiempo requeridas por cada uno para hacer el trabajo entre la suma de estos números; el cociente es el tiempo requerido por ambos juntos.

145. Fórmulas de interés.

Los elementos que intervienen en el cálculo del interés son el capital, la tasa, el tiempo, el interés y el monto.

Sea $p=$ el capital, $r=$ el interés de $\backslash$1$ durante $1$ año, a la tasa dada, $t=$ el tiempo expresado en años, $i=$ el interés para el tiempo y la tasa dados, $a=$ el monto (suma del capital y el interés).

146. Dados el Capital, la Tasa y el Tiempo. Hallar el Interés.

Como $r$ es el interés de $$1$ por $1$ año, $pr$ es el interés de $$p$ por $1$ año, y $prt$ es el interés de $$p$ por $t$ años $i=prt$. rint(Fórmula 1.)

Halla el producto del capital, la tasa y el tiempo.

147. Dados el Interés, la Tasa y el Tiempo. Hallar el Capital.

• lint By formula 1, prt = i.
• lint Divide by $rt$, p = irt.
• rint(Formula 2.)

Divide el interés por el producto de la tasa y el tiempo.

148. Dados el Monto, la Tasa y el Tiempo. Hallar el Capital.

lint From formula 1, p + prt = a, lintor p(1 + rt) = a. lint Divide by $1+rt$, p = a1 + rt. rint(Formula 3.)

Divide la cantidad por $1$ más el producto de la tasa y el tiempo.

149. Dados el Monto, el Capital y la Tasa. Hallar el Tiempo.

lint From formula 1, p + prt = a. lint Transpose $p$, prt = a - p. lint Divide by $pr$, t = a - ppr. rint(Formula 4.)

Resta el capital del monto, y divide el resultado por el producto del capital y la tasa.

150. Dados el Monto, el Capital y el Tiempo. Hallar la Tasa.

lint From formula 1, p + prt = a. lint Transpose $p$, prt = a - p. lint Divide by $pt$, r = a - ppt. rint(Formula 5.)

Resta el capital del monto, y divide el resultado entre el producto del capital y el tiempo.

Ejercicio 64.

Resuelva los siguientes ejemplos mediante las fórmulas precedentes:

1. La suma de dos ángulos es $120°{30}^{\prime }{30}^{″}$ y su diferencia $59°{30}^{\prime }{30}^{″}$. Hallar los ángulos.

2. Hallar el interés de $\backslash$1000$ durante $3$ años y $4$ meses al $4\%$.

3. Encuentre el capital que se convertirá en $\backslash$2280$ en $3$ años y $6$ meses al $4\%$.

4. Hallar el capital que producirá $$280$ de interés en $2$ años y $4$ meses al $3$%.

5. Encuentre el capital que producirá $$270$ de interés en $1$ año y $6$ meses al $6\%$.

6. Hallar el capital que se convertirá en $\backslash$590$ en $4$ años al $4\frac{1}{2}$%.

7. Halla la tasa si el monto de $$250$ durante $4$ años es $$300$.

8. Hallar la tasa si $$1000$ se convierten en $$2000$ en $16$ años y $8$ meses.

9. Hallar el tiempo necesario para que el interés de $\backslash$400$ sea de $\backslash$454$ al $4\frac{1}{2}$%.

10. Hallar el tiempo necesario para que $\backslash$160$ asciendan a $\backslash$250$ al $6\%$.

11. ¿Cuánto dinero debe invertirse al $5\%$ para producir un ingreso anual de $\backslash$1250$?

12. Hallar el capital que producirá $$100$ al mes si se invierte al $6$% anual.

13. Hallar la tasa si el interés de $$1000$ durante $8$ meses es $$40$.

14. Hallar el tiempo necesario para que una suma de dinero al $5$% de interés se duplique.