Factores Comunes y Múltiplos.

116. Factores comunes.

Un factor común de dos o más números enteros es un número entero que divide a cada uno de ellos sin resto.

Un factor común de dos o más expresiones íntegras y racionales es una expresión íntegra y racional que divide a cada una de ellas sin dejar residuo.

Por tanto, $5 a$ es un factor común de $20 a$ y $25 a$ , $3 x^{2} y^{2}$ es un factor común de $12 x^{2} y^{2}$ y $15 x^{3} y^{3}$ .

Se dice que dos números son primos entre sí cuando no tienen más divisor común que el $1$ .

Se dice que dos expresiones son primas entre sí cuando no tienen ningún factor común excepto $1$ .

El máximo común divisor de dos o más números enteros es el número mayor que puede dividir a cada uno de ellos sin dejar resto.

El máximo común divisor de dos o más expresiones enteras y racionales es una expresión entera y racional de mayor grado que las divide a cada una de ellas sin dejar residuo.

Por tanto, $3 a^{2}$ es el máximo común divisor de $3 a^{2}$ , $6 a^{3}$ y $12 a^{4}$ , y $5 x^{2} y^{2}$ es el máximo común divisor de $10 x^{3} y^{2}$ y $15 x^{2} y^{2}$ .

Por brevedad, usamos M. C. D. para «máximo común divisor».

122. Hallar el máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas.

Hallar el M. C. D. de $42 a^{3} b^{2}$ y $30 a^{2} b^{4}$ . {2} &42a^{3}b^{2} &&= 2 × 3 × 7 × aaa × bb; \ &30a^{2}b^{4} &&= 2 × 3 × 5 × aa × bbbb. \ \therefore\ &\text{el M.\,C.\,D.} &&= 2 × 3 × aa × bb, \quad\text{o}\quad 6a^{2}b^{2}.

Halla el M. C. D. de $x^{2} - 9 y^{2}$ y $x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}$ . {2} &x^{2} - 9y^{2} &&= (x + 3y)(x - 3y); \ &x^{2} + 6xy + 9y^{2} &&= (x + 3y)(x + 3y). \ \therefore\ &\text{el M.\,C.\,D.} &&= (x + 3y).

Hallar el M. C. D. de $4 x^{2} - 4 x - 80$ , $2 x^{2} - 18 x + 40$ . {3} &4x^{2} -& 4x &- 80 &&= 4(x^{2} - x-20) \ &&& &&= 4(x - 5)(x + 4); \ &2x^{2} -& 18x &+ 40 &&= 2(x^{2} - 9x + 20) \ &&& &&= 2(x - 5)(x - 4). \ \therefore\ &\rlap{\text{el M.\,C.\,D.}} &&&&= 2(x - 5).

hallar el M. C. D. de dos o más expresiones, por lo tanto,

Descompón cada expresión en sus factores más simples.

Encuentra el producto de todos los factores comunes, tomando cada factor el menor número de veces que aparece en cualquiera de las expresiones dadas.

El máximo común divisor en Álgebra corresponde a la mayor medida común, o máximo común divisor en Aritmética. No podemos aplicar los términos mayor y menor a una expresión algebraica en la cual no se hayan dado valores particulares a las letras contenidas en la expresión. Así, $a$ es mayor que $a^{2}$ , si $a$ representa $\frac{1}{4}$ .

Ejercicio 40.

Halla el M. C. D. de:

$330$ y $546$ .

$20 x^{3}$ y $15 x^{4}$ .

$42 a x^{2}$ y $60 a^{2} x$ .

$35 a^{2} b^{2}$ y $49 a b^{3}$ .

$28 x^{4}$ y $63 y^{4}$ .

$54 a^{2} b^{2}$ y $56 a^{3} b^{3}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} y$ y $x^{3} + 27 y^{3}$ .

$x^{2} + 3 x$ y $x^{2} - 9$ .

$2 a x^{3} + x^{3}$ y $8 a^{3} + 1$ .

$(x + y)^{2}$ y $x^{2} - y^{2}$ .

$a^{3} + a^{2} x$ y $a^{2} - x^{2}$ .

$a^{2} - 4 b^{2}$ y $a^{2} + 2 a b$ .

$x^{2} - 1$ y $x^{2} + 2 x - 3$ .

$x^{2} + 5 x + 6$ y $x^{2} + 4 x + 3$ .

$x^{2} - 9 x + 18$ y $x^{2} - 10 x + 24$ .

$x^{3} + 1$ y $x^{2} - x + 1$ .

$x^{2} - 3 x + 2$ y $x^{2} - 4 x + 3$ .

$x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}$ y $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ .

$x^{2} - 4 x - 5$ y $x^{2} - 25$ .

$(a - b)^{2} - c^{2}$ y $a b - b^{2} - b c$ .

$x^{2} + x y - 2 y^{2}$ y $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ .

$x^{2} + 7 x y + 12 y^{2}$ y $x^{2} + 3 x y - 4 y^{2}$ .

$x^{3} - 8 y^{3}$ y $x^{2} + 2 x y + 4 y^{2}$ .

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ y $x^{2} - 4 x + 4$ .

$1 - 5 a + 6 a^{2}$ y $1 - 7 a + 12 a^{2}$ .

$x^{2} - 8 x y + 7 y^{2}$ y $x^{2} - 3 x y - 28 y^{2}$ .

$8 a^{3} + b^{3}$ y $4 a^{2} + 4 a b + b^{2}$ .

$x^{2} - (y - z)^{2}$ y $(x + y)^{2} - z^{2}$ .

123. Múltiplos comunes.

Un múltiplo común de dos o más números enteros es un número que es divisible exactamente por cada uno de los números.

Un múltiplo común de dos o más expresiones es una expresión que es exactamente divisible por cada una de las expresiones.

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el número más pequeño que es exactamente divisible por cada uno de los números dados.

El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones es la expresión de menor grado que es exactamente divisible por cada una de las expresiones dadas.

Usamos m. c. m. para "mínimo común múltiplo".

Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas.

Halla el M. C. M. de $42 a^{3} b^{2}$ , $30 a^{2} b^{4}$ y $66 a b^{3}$ .

$42a^{3}b^{2} &= 2 × 3 × 7 × a^{3} × b^{2}; \ 30a^{2}b^{4} &= 2 × 3 × 5 × a^{2} × b^{4}; \ 66ab^{3} &= 2 × 3 × 11 × a × b^{3}.$

El m. c. m. debe contener evidentemente cada factor el mayor número de veces que aparezca en cualquier expresión.

$∴ m.\,c.\,m. & = 2 \times 3 \times 7 \times 5 \times 11 a^{3} \times b^{4}, & = 2310 a^{3} b^{4} .$

Halla el m. c. m. de $4 x^{2} - 4 x - 80$ y $2 x^{2} - 18 x + 40$ .

$3 & 4 x^{2} - & 4 x & - 80 & & = 4 (x^{2} - x - 20) = 4 (x - 5) (x + 4); & 2 x^{2} - & 18 x & + 40 & & = 2 (x^{2} - 9 x + 20) = 2 (x - 5) (x - 4) . ∴ & \text{m.\,c.\,m.} & & & & = 4 (x - 5) (x + 4) (x - 4) .$

hallar el m. c. m. de dos o más expresiones, por lo tanto,

Descompón cada expresión en sus factores más simples.

Encuentra el producto de todos los factores diferentes, tomando cada factor el mayor número de veces que aparece en cualquiera de las expresiones dadas.

Ejercicio 41.

Halle el m. c. m. de:

$9 x y^{3}$ y $6 x^{2} y$ .

$3 a b c^{2}$ y $2 a^{2} b c^{3}$ .

$4 a^{3} b$ y $10 a b^{3}$ .

$6 a^{3} b^{3}$ y $15 a^{2} b^{4}$ .

$21 x y^{3}$ y $27 x^{3} y^{5}$ .

$x y^{3} z^{2}$ y $x^{2} y^{2} z^{3}$ .

$a^{2}$ y $a^{2} + a$ .

$x^{2}$ y $x^{3} - 3 x^{2}$ .

$x^{2} - 1$ y $x^{2} + x$ .

$x^{2} - 1$ y $x^{2} - x$ .

$x^{2} + x y$ y $x y + y^{2}$ .

$x^{2} + 2 x$ y $(x + 2)^{2}$ .

$a^{2} + 4 a + 4$ y $a^{2} + 5 a + 6$ .

$c^{2} + c - 20$ y $c^{2} - c - 30$ .

$b^{2} + b - 42$ y $b^{2} - 11 b + 30$ .

$y^{2} - 10 y + 24$ y $y^{2} + y - 20$ .

$z^{2} + 2 z - 35$ y $z^{2} - 11 z + 30$ .

$x^{2} - 64; x^{3} - 64$ ; y $x + 8$ .

$a^{2} - b^{2}; (a + b)^{2}$ ; y $(a - b)^{2}$ .

$4 a b (a + b)^{2}$ y $2 a^{2} (a^{2} - b^{2})$ .

$y^{2} + 7 y + 12$ ; $y^{2} + 6 y + 8$ ; y $y^{2} + 5 y + 6$ .

$x^{2} - 1$ ; $x^{3} + x^{2} + x + 1$ ; y $x^{3} - x^{2} + x - 1$ .

$1 - x^{2}; 1 - x^{3}$ ; y $1 + x$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2}; x^{2} - y^{2}$ ; y $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ .

$x^{3} - 27; x^{2} + 2 x - 15; x^{2} + 5 x$ .

$(a + b)^{2} - c^{2}; (a + b + c)^{2}$ ; y $a + b - c$ .

$x^{2} - (a + b) x + a b$ y $x^{2} - (a + c) x + a c$ .

$(a + b)^{2} - c^{2}$ y $a^{2} + a b + a c$ .