Si una expresión algebraica contiene solo formas íntegras, es decir, no contiene ninguna letra en el denominador de ninguno de sus términos, se denomina expresión íntegra.

Por lo tanto, $x^{3} + 7 c x^{2} - c^{3} - 5 c^{2} x$ es una expresión entera.

Las expresiones enteras y fraccionarias se denominan así en razón de la forma de las expresiones, y sin referencia alguna al valor numérico de las expresiones cuando se sustituyen las letras por números definidos.

81. Suma de expresiones compuestas integrales.

La suma de dos expresiones algebraicas se puede representar conectando la segunda expresión con la primera mediante el signo $+$ . Si no hay términos semejantes en las dos expresiones, la operación es algebraicamente completa cuando las dos expresiones quedan conectadas de este modo.

Si, por ejemplo, se requiere sumar $m + n - p$ a $a + b + c$ , el resultado será $a + b + c + (m + n - p)$ ; o bien, eliminando el paréntesis (§ 37), $a + b + c + m + n - p$ .

Si hay términos semejantes en las expresiones, los términos semejantes pueden reducirse; es decir, cada conjunto de términos semejantes puede reemplazarse por un solo término con un coeficiente igual a la suma algebraica de los coeficientes de los términos semejantes.

Suma $6 x^{2} + 5 x + 4$ a $x^{2} - 4 x - 5$ .

Este proceso se representa más convenientemente disponiendo los términos en columnas, de modo que los términos semejantes queden en la misma columna, de la siguiente manera: $r * 2 c r x^{2} & - & 4 x & - & 5 6 x^{2} & + & 5 x & + & 4 \hline 7 x^{2} & + & x & - & 1$

El coeficiente de $x^{2}$ en el resultado será $6 + 1$ , o $7$ ; el coeficiente de $x$ será $- 4 + 5$ , o $1$ ; y el último término es $- 5 + 4$ , o $- 1$ .

Cuando el coeficiente de un término es $1$ , no se escribe, sino que se sobreentiende.

Sumar $2 c^{3} - 5 c^{2} d + 6 c d^{2} + d^{3}$ ; $c^{3} + 6 c^{2} d - 5 c d^{2} - 2 d^{3}$ ; y $3 c^{3} - c^{2} d - 7 c d^{2} - 3 d^{3}$ . $r * 3 c r 2 c^{3} & - & 5 c^{2} d & + & 6 c d^{2} & + & d^{3} c^{3} & + & 6 c^{2} d & - & 5 c d^{2} & - & 2 d^{3} 3 c^{3} & - & c^{2} d & - & 7 c d^{2} & - & 3 d^{3} \hline 6 c^{3} & & & - & 6 c d^{2} & - & 4 d^{3}$

El coeficiente de $c^{3}$ en el resultado será $2 + 1 + 3$ , o $6$ ; el coeficiente de $c^{2} d$ será $- 5 + 6 - 1$ , o $0$ ; por lo tanto, $c^{2} d$ no aparecerá en el resultado; el coeficiente de $c d^{2}$ será $6 - 5 - 7$ , o $- 6$ ; y el coeficiente de $d^{3}$ será $1 - 2 - 3$ , o $- 4$ .

Ejercicio 18.

Encuentra la suma de:

$a^{2} - a b + b^{2}$ ; $a^{2} + a b + b^{2}$ .

$3 a^{2} + 5 a - 7$ ; $6 a^{2} - 7 a + 13$ .

$x + 2 y - 3 z$ ; $- 3 x + y + 2 z$ ; $2 x - 3 y + z$ .

$3 x + 2 y - z$ ; $- x + 3 y + 2 z$ ; $2 x - y + 3 z$ .

$- 3 a + 2 b + c$ ; $a - 3 b + 2 c$ ; $2 a + 3 b - c$ .

$- a + 3 b + 4 c$ ; $3 a - b + 2 c$ ; $2 a + 2 b - 2 c$ .

$4 a^{2} + 3 a + 5$ ; $- 2 a^{2} + 3 a - 8$ ; $a^{2} - a + 1$ .

$5 a b + 6 b c - 7 a c$ ; $3 a b - 9 b c + 4 a c$ ; $3 b c + 6 a c$ .

$x^{3} + x^{2} + x$ ; $2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ ; $3 x^{3} - 4 x^{2} + x$ .

$3 y^{2} - x^{2} - 3 x y$ ; $5 x^{2} + 6 x y - 7 y^{2}$ ; $x^{2} + 2 y^{2}$ .

$2 a^{2} - 2 a b + 3 b^{2}$ ; $4 b^{2} + 5 a b - 2 a^{2}$ ; $a^{2} - 3 a b - 9 b^{2}$ .

$a^{3} - a^{2} + a - 1$ ; $a^{2} - 2 a + 2$ ; $3 a^{3} + 7 a + 1$ .

$2 m^{3} - m^{2} - m$ ; $4 m^{3} + 8 m^{2} - 7$ ; $- 3 m^{3} + m + 9$ .

$x^{3} - 3 x + 6 y$ ; $x^{2} + 2 x - 5 y$ ; $x^{3} - 3 x^{2} + 5 x$ .

$6 x^{3} - 5 x + 1$ ; $x^{3} + 3 x + 4$ ; $7 x^{2} + 2 x - 3$ .

$a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2}$ ; $- 3 a^{2} b - 6 a b^{2} - b^{3}$ ; $3 a^{2} b + 4 a b^{2}$ .

$a^{3} - 2 a^{2} b - 2 a b^{2}$ ; $a^{2} b - 3 a b^{2} - b^{3}$ ; $3 a b^{2} - 2 a^{3} - b^{3}$ .

$7 x^{3} - 2 x^{2} y + 9 x y^{2} + 13 y^{3}$ ; $5 x^{2} y - 4 x y^{2} - 2 x^{3} - 3 y^{3}$ ; $y^{3} - x^{3} - 3 x^{2} y - 5 x y^{2}$ ; $2 x^{2} y - 5 y^{3} - 2 x^{3} - x y^{2}$ .

Demuestre que $x + y + z = 0$ , si $x = a - b - c$ , $y = 2 b + 2 c - 3 a$ y $z = 2 a - b - c$ .

Demuestre que $x + y = 3 z$ , si $x = 3 a^{2} - 6 a + 12$ , $y = 9 a^{2} + 12 a - 21$ y $z = 4 a^{2} + 2 a - 3$ .

83. Sustracción de expresiones compuestas integrales.

Lastracción de una expresión de otra, si ninguno de los términos es semejante, puede representarse únicamente conectando el sustraendo con el minuendo por medio del signo $-$ .

Si, por ejemplo, se requiere restar $a + b + c$ de $m + n - p$ , el resultado se representará mediante $m + n - p - (a + b + c);$ o, eliminando el paréntesis (§ 38), $m + n - p - a - b - c .$

Si, sin embargo, algunos de los términos en las dos expresiones son semejantes, podemos reemplazar dos términos semejantes por un solo término.

Así, supóngase que se requiere restar $a^{3} + 2 a^{2} + 3 a - 5$ de $2 a^{3} - 3 a^{2} + 2 a - 1$ ; el resultado puede expresarse de la siguiente manera:

$2 a^{3} - 3 a^{2} + 2 a - 1 - (a^{3} + 2 a^{2} + 3 a - 5);$

o bien, eliminando el paréntesis (§ 38),

$& 2 a^{3} - 3 a^{2} + 2 a - 1 - a^{3} - 2 a^{2} - 3 a + 5 & = 2 a^{3} - a^{3} - 3 a^{2} - 2 a^{2} + 2 a - 3 a - 1 + 5 & = a^{3} - 5 a^{2} - a + 4 .$

Este proceso se realiza más fácilmente escribiendo el sustraendo debajo del minuendo, cambiando mentalmente el signo de cada término en el sustraendo y sumando. $r * 3 c r 2 a^{3} & - & 3 a^{2} & + & 2 a & - & 1 a^{3} & + & 2 a^{2} & + & 3 a & - & 5 \hline a^{3} & - & 5 a^{2} & - & a & + & 4$

Al cambiar el signo de cada término en el sustraendo, el coeficiente de $a^{3}$ será $2 - 1$ , o $1$ ; el coeficiente de $a^{2}$ será $- 3 - 2$ , o $- 5$ ; el coeficiente de $a$ será $2 - 3$ , o $- 1$ ; el último término será $- 1 + 5$ , o $4$ .

Nuevamente, supóngase que se requiere restar $x^{5} - 2 a x^{4} - 3 a^{2} x^{3} + 4 a^{3} x^{2}$ de $4 a^{3} x^{2} - 2 a^{2} x^{3} - 5 a x^{4}$ . Aquí los términos semejantes pueden escribirse en columnas, como antes: $r * 3 c r & - & 5 a x^{4} & - & 2 a^{2} x^{3} & + & 4 a^{3} x^{2} x^{5} & - & 2 a x^{4} & - & 3 a^{2} x^{3} & + & 4 a^{3} x^{2} \hline - x^{5} & - & 3 a x^{4} & + & a^{2} x^{3} & &$

No hay término en $x^{5}$ en el minuendo, por lo que el coeficiente de $x^{5}$ en el resultado será $0 - 1$ , o $- 1$ ; el coeficiente de $a x^{4}$ será $- 5 + 2$ , o $- 3$ ; el coeficiente de $a^{2} x^{3}$ será $- 2 + 3$ , o $+ 1$ ; el coeficiente de $a^{3} x^{2}$ será $- 4 + 4$ , o $0$ , y por tanto el término $a^{3} x^{2}$ no aparecerá en el resultado.

Ejercicio 19.

Restar:

$a - 2 b + 3 c$ de $2 a - 3 b + 4 c$ .

$a - 3 b - 5 c$ de $3 a - 5 b + c$ .

$2 x - 4 y + 6 z$ de $4 x - y - 2 z$ .

$5 x - 11 y - 3 z$ de $6 x - 7 y + 2 z$ .

$a b - a c - b c + b d$ de $a b + a c + b c + b d$ .

$3 a b + 2 a c - 3 b c + b d$ de $5 a b - a c + b c + b d$ .

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 5$ menos $2 x^{3} - x^{2} - 5 x + 3$ .

$7 x^{2} - 5 x + 1 - a$ de $x^{3} - x + 1 - a$ .

$9 b^{3} + 3 a b c - 7 c^{3}$ menos $7 b^{3} + 8 c^{3} - 15 a b c$ .

$x^{4} + x - 5 x^{3} + 5$ de $7 - 2 x^{2} - 3 x^{3} + x^{4}$ .

$3 a b c + a^{3} - 2 b^{3} - 3 c^{3}$ de $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ .

$2 x^{4} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ de $x^{4} + 2 - 2 x^{3} - x^{2}$ .

$x^{4} + 1 + x + x^{2}$ menos $1 - x^{5} - x + x^{4} - x^{3}$ .

$a^{3} + b^{3} - a^{2} b - a b^{2}$ de $a^{3} - b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2}$ .

$b^{4} - 5 a^{3} b^{3} - 2 a b^{2} + a^{2} b$ de $a^{2} b - a b^{2} - 3 a^{3} b^{3} - b^{4}$ .

$- x^{3} + 7 x^{2} y - 2 y^{3} + 3 x y^{2}$ de $3 x^{3} + 5 y^{3} - x y^{2} + 4 x^{2} y$ .

84. Paréntesis o corchetes.

Tenemos para números positivos (§§ 37, 38): {2} a + (b + c) &= a + b + c,\qquad & \therefore a + b + c &= a + (b + c); \ a + (b - c) &= a + b - c, & \therefore a + b - c &= a + (b - c); \ a - (b + c) &= a - b - c, & \therefore a - b - c &= a - (b + c); \ a - (b - c) &= a - b + c, & \therefore a - b + c &= a - (b - c).

Es decir, un paréntesis precedido por $+$ puede suprimirse sin cambiar el signo de ningún término dentro del paréntesis; y cualquier cantidad de términos puede encerrarse entre paréntesis precedidos por el signo $+$ , sin cambiar el signo de ningún término.

Un paréntesis precedido por el signo $-$ puede suprimirse, siempre que se cambie el signo de cada término dentro del paréntesis, a saber, $+$ por $-$ y $-$ por $+$ ; y cualquier cantidad de términos puede encerrarse entre paréntesis precedidos por el signo $-$ , siempre que se cambie el signo de cada término encerrado.

Las mismas leyes se aplican a los números negativos.

Pueden presentarse expresiones que contengan un paréntesis dentro de otro paréntesis.

En tales casos se emplean paréntesis de distintas formas, y el principiante, cuando encuentre una parte de un paréntesis $($ , o corchete $[$ , o llave ${$ , debe buscar con atención la otra parte, sea lo que fuere lo que medie entre ambas; y todo lo que se encuentre incluido entre las dos partes de cada paréntesis debe tratarse tal como lo indique el signo que lo precede, sin tener en cuenta los demás paréntesis.

Lo mejor es eliminar cada paréntesis de manera sucesiva, empezando por el más interno.

Ejercicio 20.

Elimina los paréntesis y agrupa los términos semejantes:

$a - b - (b - c) - a + 2 b$ .

$x - [x - (a - b) + a - y]$ .

$3 x - \{2 y - [- 7 c - 2 x] + y \}$ .

$5 a - [7 - (2 b + 5) - 2 a]$ .

$x - [2 x + (3 a - 2 x) - 5 a]$ .

$x - [15 y - (13 z + 12 x)]$ .

$2 a - b + [4 c - (b + 2 c)]$ .

$5 a - \{b + [3 c - (2 b - c)] \}$ .

$7 x - \{5 y - [3 z - (3 x + z)] \}$ .

$(a - b + c) - (b - a - c) + (a + b - 2 c)$ .

$3 x - [- 2 y - (2 y - 3 x) + z] + [x - (y - 2 z - x)]$ .

$x - [2 x + (x - 2 y) + 2 y] - 3 x - \{4 x - [(x + 2 y) - y] \}$ .

$x - [y + z - x - (x + y) - z] + (3 x - \overset{―}{2 y + z})$ .

La expresión $- \overset{―}{2 y + z}$ es equivalente a $- (2 y + z)$ .

Considere todos los factores que preceden a $x$ , $y$ y $z$ , respectivamente, como los coeficientes de estas letras, y agrupe entre corchetes los coeficientes de cada una de estas letras:

$a x + b y + c z - a y + a z - b x = (a - b) x - (a - b) y + (a + c) z$ .

$a x + a z + b y - c z - a y + c x$ .

$2 a x - 3 a y - 4 b y + 5 c x - 6 b z - 7 c z$ .

$a z - b m y + 3 c z - a n x - c n y + a c x$ .

$m n x - x - m n y - y + m n z + z$ .