Dado que el cuadrado de $a + b$ es $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , la raíz cuadrada de $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ es $a + b$ .

Se requiere encontrar un método para extraer la raíz $a + b$ cuando se da $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Ej. El primer término, $a$ , de la raíz es obviamente la raíz cuadrada del primer término, $a^{2}$ , en la expresión. $r * 3 c r l & & a^{2} & + & 2 a b & + & \multicolumn 1 @ r | b^{2} & a + b \cline 8 - 8 & & a^{2} \cline 3 - 3 2 a & + & \multicolumn 1 @ r | b & & 2 a b & + & b^{2} & & \multicolumn 1 @ r | & & 2 a b & + & b^{2} \cline 4 - 7$

Si se resta $a^{2}$ de la expresión dada, el resto es $2 a b + b^{2}$ . Por lo tanto, el segundo término, $b$ , de la raíz se obtiene cuando el primer término de este resto se divide entre $2 a$ ; es decir, entre el doble de la parte de la raíz ya hallada.

Además, dado que $2 a b + b^{2} = (2 a + b) b,$ el divisor se completa sumando al divisor de prueba el nuevo término de la raíz.

Ej. Halla la raíz cuadrada de $25 x^{2} - 20 x^{3} y + 4 x^{4} y^{2}$ .

${rcccrll} & && & 25x^{2} & \multicolumn{1}{@{}r|}{-20 x^{3}y + 4x^{4}y^{2}} & 5x - 2x^{2}y \ \cline{7-7} \text{Aquí $a^{2}$ } &=& (5x)^{2} &=& 25x^{2} \ \cline{5-5} 2a + b &=& 10x &-& \multicolumn{1}{@{}r|}{2x^{2}y} & -20x^{3}y + 4x^{4}y^{2} \ & & & & \multicolumn{1}{@{}r|}{ } & -20x^{3}y + 4x^{4}y^{2} \ \cline{6-6}$

La expresión está ordenada según las potencias crecientes de $x$ .

La raíz cuadrada del primer término es $5 x$ , por tanto $5 x$ es el primer término de la raíz. $(5 x)^{2}$ o $25 x^{2}$ se resta, y el residuo es $- 20 x^{3} y + 4 x^{4} y^{2} .$

El segundo término de la raíz, $- 2 x^{2} y$ , se obtiene dividiendo $- 20 x^{3} y$ entre $10 x$ , el doble de $5 x$ , y este nuevo término de la raíz también se añade al divisor, $10 x$ , para completar el divisor.

El mismo método se aplicará a expresiones más largas, si se tiene el cuidado de obtener el divisor de prueba en cada etapa del proceso, duplicando la parte de la raíz ya hallada, y de obtener el divisor completo añadiendo el nuevo término de la raíz al divisor de prueba.

Ej. Hallar la raíz cuadrada de $1 + 10 x^{2} + 25 x^{4} + 16 x^{6} - 24 x^{5} - 20 x^{3} - 4 x .$

$\qquad\makebox [c]{${r*{2}{cr}lll} 16x^{6} &-& 24x^{5} &+& 25x^{4} &-20x^{3} + 10x^{2} &\multicolumn{1}{@{}r|}{- 4x + 1} & 4x^{3} - 3x^{2} + 2x - 1 \ \cline{8-8} 16x^{6} \ \cline{1-1} \multicolumn{1}{@{}r|}{\llap{ $8 x^{3} - 3 x^{2}$ }} &-& 24x^{5} &+& 25x^{4} \ \multicolumn{1}{@{}r|}{}&-& 24x^{5} &+& 9x^{4} \ \cline{2-5} \multicolumn{4}{r|}{8x^{3} - 6x^{2} + 2x} & 16x^{4} &-20x^{3} + 10x^{2} \ & & & \multicolumn{1}{@{}r|}{ }& 16x^{4} &-12x^{3} + \phantom{0}4x^{2} \ \cline{5-6} \multicolumn{5}{r|}{8x^{3} - 6x^{2} + 4x - 1} &-\phantom{0}8x^{3} + \phantom{0}6x^{2} & -4x + 1 \ & & & & \multicolumn{1}{@{}r|}{}&-\phantom{0}8x^{3} + \phantom{0}6x^{2} & -4x + 1 \ \cline{6-7} $}$

La expresión está ordenada según las potencias decrecientes de $x$ .

Se observará que cada divisor de prueba sucesivo puede obtenerse tomando el divisor completo precedente con su último término duplicado.

Ejercicio 78.

Halla la raíz cuadrada de: 1. $a^{2} + 2 a b + 2 a c + b^{2} + 2 b c + c^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + y^{4}$ .

$4 a^{4} - 12 a^{3} b + 29 a^{2} b^{2} - 30 a b^{3} + 25 b^{4}$ .

$16 x^{6} + 24 x^{5} y + 9 x^{4} y^{2} - 16 x^{3} y^{3} - 12 x^{2} y^{4} + 4 y^{6}$ .

$4 x^{6} - 4 x^{4} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + x^{2} y^{4} - 6 x y^{5} + 9 y^{6}$ .

181. Arithmetical Square Roots.

En el método general para extraer la raíz cuadrada de un número expresado por cifras, el primer paso es separar las cifras en grupos.

Dado que $1 = 1^{2}$ , $100 = 10^{2}$ , $10.000 = 100^{2}$ , y así sucesivamente, es evidente que la raíz cuadrada de un número entre $1$ y $100$ se encuentra entre $1$ y $10$ ; la de un número entre $100$ y $10.000$ se encuentra entre $10$ y $100$ .

En otras palabras, la raíz cuadrada de un número expresado por una o dos cifras es un número de una cifra, la de un número expresado por tres o cuatro cifras es un número de dos cifras, y así sucesivamente.

Si, por lo tanto, un número cuadrado perfecto se divide en grupos de dos cifras cada uno, de derecha a izquierda, el número de cifras de la raíz será igual al número de grupos de cifras. El último grupo de la izquierda puede tener una sola cifra.

Ej. Halla la raíz cuadrada de $3249$ .

${rc@{}ll} &3&249&(57 \ &2&5 \ \cline{2-3} 107\,\rlap{)}&&749 \ &&749 \ \cline{3-3}$

En este caso, $a$ en la forma típica $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ representa $5$ decenas, es decir, $50$ , y $b$ representa $7$ . El $25$ sustraído es en realidad $2500$ , es decir, $a^{2}$ , y el divisor completo $2 a + b$ es $2 \times 50 + 7 = 107$ .

El mismo método se aplicará a números de más de dos grupos de cifras considerando que $a$ , en la forma típica, representa en cada paso la parte de la raíz ya hallada.

Debe observarse que $a$ representa tantas decenas con respecto a la cifra siguiente de la raíz.

Ej. Halla la raíz cuadrada de $94.249$ .

$r * 3 c @ l & 9 & 42 & 49 & (307 & 9 \cline 2 - 4 607) & & \multicolumn 2 l 4249 & & \multicolumn 2 l 4249 \cline 3 - 4$

Como el primer divisor de prueba, $60$ , no está contenido en $42$ , ponemos un cero en la raíz y bajamos el siguiente grupo, $49$ .

Si la raíz cuadrada de un número tiene cifras decimales, el número en sí tendrá el doble. Así pues, si $0.21$ es la raíz cuadrada de cierto número, este número será $(0.21)^{2} = 0.21 \times 0.21 = 0.0441$ , y si $0.111$ es la raíz, el número será $(0.111)^{2} = 0.111 x 0.111 = 0.012321$ .

Por consiguiente, el número de cifras decimales de todo cuadrado decimal será par, y el número de cifras decimales de la raíz será la mitad que el del número dado.

Por tanto, si un número dado contiene un decimal, lo dividimos en grupos de dos cifras cada uno, comenzando en el punto decimal y señalando hacia la izquierda para la parte entera, y hacia la derecha para la decimal. Debemos hacer que el último grupo a la derecha del punto decimal contenga dos cifras, añadiendo un cero cuando sea necesario.

Ej. Halla las raíces cuadradas de $41.2164$ y $965.9664$ .

$r @ r @ l @ l l & 41 & .21 & 64 & (6.42 & 36 \cline 2 - 3 124) & 5 & 21 & 4 & 96 \cline 3 - 4 \multicolumn 2 r 1282) & \multicolumn 2 l 2564 & & \multicolumn 2 l 2564 \cline 3 - 4 r l @ l @ l l 9 & 65 & .96 & 64 & (31.08 9 \cline 2 - 2 61) & 65 & 61 \cline 2 - 3 6208) & 49 & 664 & 49 & 664 \cline 2 - 3$

Si un número contiene un número impar de cifras decimales, o si algún número deja un residuo cuando se han obtenido tantas cifras en la raíz como grupos tiene el número dado, entonces no se puede hallar su raíz cuadrada exacta.

Sin embargo, podemos aproximarnos a su raíz exacta tanto como queramos añadiendo ceros y continuando la operación.

La raíz cuadrada de una fracción común cuyo denominador no es un cuadrado perfecto se puede hallar de manera aproximada reduciendo la fracción a un decimal y extrayendo después la raíz; o reduciendo la fracción a una fracción equivalente cuyo denominador sea un cuadrado perfecto, y extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos de la fracción.

Encuentra las raíces cuadradas de $3$ y $357.357$ .

$r c c c l & 3 . & \multicolumn 3 l ({$ 1.732\dots $}} & 1 \cline 2 - 3 27) & 2 & 00 & 1 & 89 \cline 3 - 4 \multicolumn 2 r 343) & 11 & 00 & & 10 & 29 \cline 4 - 5 \multicolumn 3 r 3462) & 71 & 00 & & & 69 & 24 \cline 4 - 5 r c c l l l & 3 & 57 . & 35 & 70 & {$ (18.903\dots $} & 1 \cline 2 - 3 28) & 2 & 57 & 2 & 24 \cline 3 - 4 \multicolumn 2 r 369) & 33 & 35 & & 33 & 21 \cline 4 - 6 \multicolumn 3 r 37803) & 14 & 70 & 00 & & & 11 & 34 & 09 \cline 4 - 6$

Halla la raíz cuadrada de $\frac{5}{8}$ .

lint Dado que 58 = 0.625, lintla raíz cuadrada de 58 = 0.625 = 0.79057.

[1] lint O bien, 58 = 1016, linty la raíz cuadrada de 58 = 1016 = 1410 = 14(3.16227) = 0.79057.

Ejercicio 79.

Encuentra la raíz cuadrada de:

$324$ .

$441$ .

$529$ .

$961$ .

$10.24$ .

$53.29$ .

$53.824$ .

$616.225$ .

$1.500 .625$ .

$346, 921$ .

$31, 371, 201$ .

$1.522 .756$ .

Halla con cuatro cifras decimales la raíz cuadrada de:

$2$ .

$3$ .

$5$ .

$6$ .

$0.5$ .

$0.9$ .

$\frac{2}{3}$ .

$\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{5}$ .

$\frac{5}{8}$ .