69. Multiplicación.

La multiplicación se define generalmente en aritmética como el proceso de hallar el resultado cuando un número (el multiplicando) se toma tantas veces como unidades hay en otro número (el multiplicador).

Esta definición falla cuando el multiplicador es una fracción. Al multiplicar por una fracción, dividimos el multiplicand en tantas partes iguales como unidades hay en el denominador, y tomamos tantas de estas partes como unidades hay en el numerador.

Si, por ejemplo, multiplicamos $6$ por $\frac{2}{3}$ , dividimos $6$ en tres partes iguales y tomamos dos de estas partes, obteniendo $4$ como producto. El multiplicador, $\frac{2}{3}$ , es $\frac{2}{3}$ de $1$ , y el producto, $4$ , es $\frac{2}{3}$ de $6$ ; en otras palabras, el producto se obtiene del multiplicando exactamente como el multiplicador se obtiene de $1$ .

Esta afirmación también es verdadera cuando el multiplicador es un número entero.

Por lo tanto, en $5 \times 7 = 35$ , el multiplicador, $5$ , es igual a $1 + 1 + 1 + 1 + 1,$ y el producto, $35$ , es igual a $7 + 7 + 7 + 7 + 7 .$

puede definirse, por lo tanto,

Como la operación de hallar a partir de dos números dados, llamados multiplicando y multiplicador, un tercer número llamado producto, el cual se forma a partir del multiplicando de la misma manera que el multiplicador se forma a partir de la unidad.

Según esta definición de multiplicación,

De estos cuatro casos se deduce que, al hallar el producto de dos números algebraicos, si los dos números tienen signos iguales, el producto tendrá el signo más, y si tienen signos distintos, el producto tendrá el signo menos.

De aquí que la Ley de los Signos en la Multiplicación sea:

Signos iguales dan $+$ , y signos distintos dan $-$ .

Si $a$ y $b$ representan dos números cualesquiera, tenemos

73. La ley de los exponentes en la multiplicación.

lint Como $a^{2} = a a$ , $a^{3} = a a a$ , $a^{2} \times a^{3} = a a \times a a a = a a a a a = a^{5} = a^{2 + 3}$ ; $a^{4} \times a = a a a a \times a = a a a a a = a^{5} = a^{4 + 1}$ .

Si $a$ representa cualquier número, y $m$ y $n$ cualquier número entero, $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} . \quad\text{Por tanto,}$

El índice del producto de dos potencias de un mismo número es igual a la suma de los índices de los factores.

74. Ejemplos.

Encuentra el producto de $6 a^{2} b^{2}$ y $7 a b^{2} c^{3}$ .

Como el orden de los factores no altera el producto,

$6 a^{2} b^{3} \times 7 a b^{2} c^{3} & = 6 \times 7 \times a^{2} \times a \times b^{3} \times b^{2} \times c^{3} & = 42 a^{3} b^{5} c^{3} .$

Halla el producto de $- 3 a b$ y $7 a b^{3}$ .

$- 3 a b \times 7 a b^{3} & = - 3 \times 7 \times a \times a \times b \times b^{3} & = - 21 a^{2} b^{4} .$

75. Para hallar el producto de expresiones simples

, por lo tanto,

Toma el producto de los coeficientes y la suma de los índices de las letras semejantes.

Ejercicio 16.

Encuentra el producto de:

$5 a^{2}$ y $6 a^{3}$ .

$8 a b$ y $5 a^{3} b^{2}$ .

$9 x y$ y $7 x y$ .

$2 a^{2} b$ y $a^{3} b^{4} c^{2}$ .

$3 a^{3} b^{7} c^{8}$ y $3 a^{4} b^{2} c$ .

$2 a$ y $- 5 a$ .

$- 3 a$ y $- 4 b$ .

$- a b$ y $a^{3} b^{2}$ .

$- 2 a b^{4}$ y $- 5 a^{4} b c$ .

$- 2 x^{6} y^{3} z$ y $- 6 x y^{2} z$ .

$3 a^{2} b$ , $- 5 a b^{2}$ y $- 7 a^{4} b^{2}$ .

$2 a^{2} b c^{3}$ , $- 3 a^{3} b^{2} c$ y $- a b^{2} c^{3}$ .

$2 b^{2} c^{2} x^{2}$ , $2 a^{2} b^{2} c^{3}$ y $- 3 a^{3} b x^{3}$ .

$2 a^{3} b^{2} c$ , $- 3 a^{2} b^{3} c$ y $- 4 a^{2} b c^{3}$ .

$7 a m^{2} x^{3}$ , $3 a^{4} m^{2} x^{3}$ y $- 2 a m x$ .

$- 3 x^{2} y^{2} z^{2}$ , $2 x^{2} y z^{3}$ y $- 5 x^{4} y z$ .

Si $a = - 2$ , $b = 3$ y $c = - 1$ , encuentra el valor de:

$2 a b^{2} - 3 b c^{2} + c$ .

$4 a^{2} - 2 b^{2} - c^{2}$ .

$5 a + 2 b - 4 c^{4}$ .

$2 a^{3} - 3 b + 8 c^{2}$ .

$- a + 3 b - 2 c^{2}$ .

$- a^{3} - 2 b - 10 c$ .

$3 a^{3} - 3 b^{3} - 3 c^{3}$ .

$2 a b^{2} - 3 b c^{2} + 2 a c$ .

$3 a b c + 5 a^{2} b^{2} - 2 a^{2} b$ .

$a b^{2} c^{2} + 2 a b c^{2} + a^{2} b^{2} c^{2}$ .

$2 a^{2} b c + 3 a b c + a^{2} b^{2} c^{2}$ .

$6 a^{2} + 8 a^{2} b^{2} - 5 a^{2} b c$ .

76. División.

Dividir $48$ entre $8$ es hallar el número de veces que es necesario tomar el $8$ para formar $48$ . Aquí se dan el producto y un factor, y se requiere el otro factor. Podemos, por lo tanto, tomar como definición de la división:

La operación mediante la cual, dados el producto y un factor, se halla el otro factor.

En relación con esta operación, el producto se denomina dividendo, el factor dado, divisor, y el factor requerido, cociente.

77. Ley de los signos en la división.

{2} &\text{Puesto que } (+a) × (+b) = +ab,\quad && \therefore +ab ÷ (+a) = +b. \ &\text{Puesto que } (+a) × (-b) = -ab, && \therefore -ab ÷ (+a) = -b. \ &\text{Puesto que } (-a) × (+b) = -ab, && \therefore -ab ÷ (-a) = +b. \ &\text{Puesto que } (-a) × (-b) = +ab, && \therefore +ab ÷ (-a) = -b.

Es decir, si el dividendo y el divisor tienen signos Iguales, el cociente tiene el signo más; y si tienen signos distintos, el cociente tiene el signo menos. Por tanto, en la división,

Signos iguales dan $+$ , y signos distintos dan $-$ .

78. Ley de exponentes en la división.

El dividendo contiene todos los factores del divisor y del cociente, y por lo tanto el cociente contiene los factores del dividendo que no se encuentran en el divisor.

Por lo tanto, $\frac{a b c}{b c} = a$ , $\frac{a a b x}{a b} = a x$ , $\frac{124 a b c}{- 4 a b} = - 31 c$ .

Divide $a^{5}$ entre $a^{2}$ , $a^{6}$ entre $a^{4}$ , $a^{4}$ entre $a$ . {4} \frac{a^{5}}{a^{2}} &= \frac{aaaaa}{aa} &&= aaa &&= a^{3} &&= a^{5-2}; \ \frac{a^{6}}{a^{4}} &= \frac{aaaaaa}{aaaa} &&= aa &&= a^{2} &&= a^{6-4}; \ \frac{a^{4}}{a} &= \frac{aaaa}{a} &&= aaa &&= a^{3} &&= a^{4-1}.

Si $m$ y $n$ representan números enteros cualesquiera, y $m$ es mayor que $n$ , $a^{m} - a^{n} = a^{m - n} .$

El exponente del cociente de dos potencias de la misma letra es igual al exponente de la letra en el dividendo menos el exponente de la letra en el divisor.

79. Ejemplos.

Divide $15 x y$ entre $5 x$ .

$\frac{15 x y}{5 x} = \frac{3 \times 5 x y}{5 x} = 3 y .$

Aquí cancelamos los factores $5$ y $x$ , que son comunes al dividendo y al divisor.

Divide $- 21 a^{2} b^{3}$ by $3 a b^{2}$ .

$\frac{- 21 a^{2} b^{3}}{3 a b^{2}} = - 7 a b .$

Divide $54 a^{5} b^{3} c$ entre $- 6 a b^{2} c$ . $\frac{54 a^{5} b^{3} c}{- 6 a b^{2} c} = - 9 a^{4} b .$

Divide $- 45 x^{4} y^{5} z^{7}$ entre $- 15 x^{4} y^{5} z^{5}$ . $\frac{- 45 x^{4} y^{5} z^{7}}{- 15 x^{4} y^{5} z^{5}} = 3 z^{2} .$

Divide $- 15 a^{3} b^{2} c^{3}$ entre $- 60 a^{2} b c^{3}$ . $\frac{- 15 a^{3} b^{2} c^{3}}{- 60 a^{2} b c^{3}} = \frac{a b}{4} .$

Ejercicio 17.

Divide:

$x^{3}$ entre $x$ .

$21 x^{5}$ por $7 x^{3}$ .

$35 x^{2}$ entre $- 5 x^{2}$ .

$- 42 x^{2}$ por $6 x^{2}$ .

$- 63 x^{5}$ por $- 9 x$ .

$- 72 x^{3}$ entre $- 8 x^{2}$ .

$- 32 a^{2} b^{2}$ entre $8 a b^{2}$ .

$- 16 x^{3} y^{3}$ entre $- 4 x y$ .

$18 x^{2} y$ entre $- 2 x y$ .

$- 25 x^{4} y^{2}$ entre $- 5 x^{3} y^{2}$ .

$- 51 x^{2} y^{3}$ entre $- 17 x^{2} y$ .

$- 28 a^{4} b^{3}$ entre $7 a^{3} b$ .

$- 36 x^{2} y^{6}$ entre $- 3 x y^{2}$ .

$- 3 x^{4} y^{6}$ por $- 5 x y^{3}$ .

$- 12 a^{2} b^{3}$ entre $8 a b^{3}$ .

$- a b c d$ entre $a c$ .

$- a^{2} b^{3} c^{4} d^{5}$ entre $- a b^{3} c^{3} d^{3}$ .

$2 x^{2} y^{2} z^{3}$ por $- 3 x y z^{3}$ .

$- 5 a^{5} b^{3} c^{7}$ por $- a^{4} b^{2} c^{7}$ .

$52 a^{2} m^{3} n^{4}$ por $13 a^{2} m^{2} n^{3}$ .

$13 x y^{2} z^{4}$ por $39 x y z$ .

$68 x c^{2} d^{3}$ entre $- 4 x c d^{2}$ .

$- 8 m^{5} n^{3} p^{2}$ entre $- 4 m^{5} n p$ .

$- 6 p q r^{3}$ entre $- 2 p^{2} q r$ .

$26 a^{2} g^{2} t^{5}$ entre $- 2 a g t^{4}$ .

$- a^{4} b^{2} c^{3}$ por $- a^{5} b^{3} c^{4}$ .

$- 3 x^{2} y^{2} z^{2}$ por $- 2 x^{3} y^{4} z^{5}$ .

$- 6 m n p$ por $- 3 m^{2} n^{2} p^{2}$ .

$- 17 a^{2} b^{3} c^{4}$ por $51 a b^{5} c^{4}$ .

$- 19 m g^{2} t^{3}$ entre $57 m^{2} g t^{4}$ .